1.2.1 第1课时 等差数列-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

7.递减由已知a1<0,a.+1=2an(neN),得a,<0(neN*). 又au+1-an=2a。-a.=a.<0,所以{an}是递减数列. 89因为a=g3n所以n≤9时>0，a10时，a<0, 因为a,}在[1,9](neN*)上递增， 所以(an)ms=ag, 又因为对任意正整数n都有an≤ak, 所以k=9. 9.(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a=1.图象如图1. 3 4 (2)a1=2,a,=2,4=3a4= 5 4a=5图象如图2. 6 am 4 4 3 2· 1 012345元 012345元 图1 图2 0.1):a,=r+9g,又a=-34=- 41 [p+q=-2 1 解得P= p2+9=-4, lg=-1. ÷a的通项公式是a,=(分)-1 (2令a=器即()广-1=器 (分)=嘉即n=8 8是。，中的第8项 (3a=(2-1,且=(2 随n增大而减小， .a.的值随n增大而减小， ∴.an}是递减数列. B组·能力提升 1.Cam+1-an=(n+2)·0.9"1-(n+1)·0.9=0.9[0.9(n +2)-(n+1)]=0.9"(0.8-0.1n), 当n=8时，a+1-an=0,当n<8时，a+1-a。>0,当n>8时， am+1-an<0. 所以当n<8时，an+1>a.,数列{an}单调递增； 当n>8时，a+1<a,数列{an}单调递减，所以当n=8时，ag =ag为数列的最大项. 2.A若“函数y=f代x)在[1，+o)上递增”，则“数列{an}是递 增数列”一定成立；若“数列{an}是递增数列”，则“函数y= f代x)在[1，+0)上递增”不一定成立，比如函数在[1,2]上先 减后增，且在1处比在2处的函数值小.综上，“函数y=f(x) 在[1，+∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的充分而不必 要条件 3.BCD由于数列为递增数列， rA-1>0, 所以3-入>1， 解得入e(1,了) 4(A-1)+5<(3-)+5, 7 4.递减0出=k.3”。1 a,3m·F=3<1.k>0,a.>0, am+1<an,.an}是递减数列. 5.(5,7)因为f(x)=x2-x+2020的图象开口向上，对称轴 为直线x=子，则由题意知子<行<子，所以te(5,7). 6.(1)因为an=n(n-8)-20=(n+2)(n-10),所以当an<0 时，0<n<10, 所以数列an}共有9项为负。 (2)因为a+1-a:=2n-7,所以当am+1-a.>0时，即2n-7 >0,解得n>子，故以第4项开始数列a,递塔 (3)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,根据二次函数的性质 知，当n=4时，a.取得最小值-36，即数列中有最小值，最小 值为-36. C组·创新拓展 4,=-丽+（网-8-四-死+l, n-99 n-99 点(n,a,)在函数y=9-+1的图象上， x-/99 910 在平面直角坐标系中作出函数y=9-s+1的图象。 x-99 由图象易知，当x∈(0，√⑨9)时，函数单调递减 .∴.ag<ag<a7<…<a1<1, 当x∈(99，+∞)时，函数单调递减 ..a10>a11>…>a0>1. 所以，数列an}的前30项中最大的项是ao,最小的项是ag 练案[3] A组·基础自测 1.C设等差数列的公差为d,则10-2=4d,解得d=2,所以 c-a=2d=4,故选C. 2.C由等差数列的通项公式得an=a1+(n-1)d=4+(n-1) ×(-2)=-2n+6 3.C.a-1,a+1,2a+1是等差数列{an}的前三项，∴.a+1 (a-1)=2a+1-(a+1),a=2,.{an}的首项a1=1,公差 d=2,.通项公式a.=1+(n-1)×2=2n-1. 4.B设an}的首项为a1,公差为d, 「(a1+2d)+(a1+10d)=24, 解得d=3. a1+3d=3, 5.BCD对于A,令a=1,b=2,c=3,则a2=1,b2=4,c2=9,A 错；对于B,取a=b=c→2=2=2，B正确，对于C,因为a, b,c成等差，所以a+c=2b,所以(ha+2)+（kc+2)=k(a+ 。)+4=2(幼+2).C正确对于D,取a=6=6≠0则。= 8 =之，D正确 6.-2n+3设公差为d,由题意，得 a3=a1+2d,-3=1+2d.d=-2. .am=a1+(n-1)d=1-2(n-1)=-2n+3. 7.3n2点(a,√a-1)在直线x-y-5=0上， ∴√a,-√a-1-5=0,即a,-√a-i=5(n≥2). 则数列{√a,}是以5为首项，5为公差的等差数列， .√an=5+3(n-1)=3n, .数列{an}的通项公式为a.=3n2. 87设此等差数列为a,},公差为d,则 66 [a1+a2+a3+a4=3, La ag +ao=4, 13 [4a1+6d=3, 【a=22' 解得 l3a1+21d=4, 7 d=6 13 767 a=a+41=2+4×6666 9(1)证明：因为3a,a-1+a,-a-1=0(n≥2)，整理得1 a. 1=3(n≥2)， an 所以数列「】是以1为首项，3为公差的等差数列. (2)(1)可得动=1+3(a-1)=3m-2。 1 所以am=3n-2 B组·能力提升 1.A由已知a,}满足2a1-2a.=1,即a,1-a。=2,又由 a1=2,所以数列{a.}是首项为2，公差为)的等差数列，所以 aa=a1+10d=2+100×7=52 2.B依题意，金箠由粗到细各尺质量依次构成一个等差数列， 设首项为a1=4,则a5=2,设公差为d,则2=4+4d,解得d= -所以=4--子 3ABD设数列{。十}的公差为，则上1 a+1a+7=4h, 优人故据限后因此+2以：号 微a=吃o。*石女+石分解得4=山 4.+出设这两个等差数列公差分别是山，d,则a-a=d, m+1 6,-6=山，第-个数列共(m+2)项d=第二个数 列共(n+2)项，d,=Y二-a=4=n+1 n+i心2-6=d2m+ 5.an=2n-1由a-1+a1=2an,得a+1-a,=a-a-1(n≥2). -17 .数列{an}是等差数列. 又a1=1,a2=3,d=2,an=a1+(n-1)d=2n-1. 6.因为当n≥2时，xn=f代x-1), 所以x,= +2n≥2)，即x-1+24=21(n≥2) 得22丝=1(n≥2).即-=分（≥2） XnXn-1 nxm-1 又=3，所以数列{}是以3为首项，号为公老的等老数 列.所以=3+(-1)x分”， X 21 所以无子5所以5写动 2 C组·创新拓展 BCD a,=√n,则a=n,{an}是等方差数列，但an}不是等差 数列，A错误； 若an=a,则a-a2-1=0,{an}是等方差数列，{an}也是等差 数列，B正确： am=（-1)“,则a7=1,a-a元-1=0，an-an-1=0,所以{an}为 等方差数列，C正确； 若{an}是等方差数列，则a+1-a=p是常数，因此a2+)- a2n=a2m+l)-an+1+a2m+1-a2n=p+p=2p是常数，所以 {a2m}也是等方差数列，D正确。 练案[4] A组·基础自测 [a6+ag=16 1.D方法一：. la4=1 r2a1+13d=16 la1+3d=1 ∫4=-5 d=2 a1=a1+10d=15. 方法二：a4+a1=a6+ag=16,又，a4=1,.a1=15. 2.C因为an},{bn}都是等差数列，所以{a+bn}也是等差数 列，因为a1+b1=100,又a2+b2=100,所以a7+b,=100.故 选C. 3.C因为a.}为等差数列，设公差为d, 因为数列{an}单调递增，所以d>0, 因为a1+ag=6,则a1+a1+7d=6,所以a1 _6-7d 2,a6=41+ 5d=3+弓>3，所以，的取值范围为(3.+) 4.Ba1+a2+a3=3a2=15,.a2=5, 又a1a2a3=80,.a1a3=16, 即(a2-d)(a2+d)=16, d>0,.d=3 则a1+a12+a13=3a2=3(a2+10d)=105. 5.ACD设等差数列{an}的公差为d,当n≥2时，an-an-1=d. 对于A,aml+3-(an+3)=ant1-an=d,为常数，因此an+ 3}是等差数列，故A正确；对于B,ai1-a=d(a.1+an)= d[2a1+(2n-1)d],不为常数，因此a}不是等差数列，故B练案[3] 第一章数列 §2[2.1第1课时 等差数列] 力组·基础自测 三、解答题 一、选择题 9.在数列{an}中，a1=1,3 AnAn-1+am-am-1= 0(n≥2) 1.如果2，a,b,c,10成等差数列，那么c-a= (1)求证：数列是等差数列： A.1 B.2 C.4 D.8 (2)求数列{an}的通项 2.已知在等差数列{an}中，首项a1=4,公差d= -2,则通项公式an等于 A.4-2n B.2n-4 C.6-2n D.2n-6 3.已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1, 2a+1,则此数列的通项公式为 () A.a =2n-5 B.a =2n-3 C.a =2n-1 D.a =2n +1 4.已知数列{an}是等差数列，若3+a1=24,a4 =3,则数列{an}的公差等于 ( A.1 B.3 C.5 D.6 5.(多选)下列命题中正确的是 A.若a,b,c成等差数列，则a2,b2,c2一定成等 差数列 B.若a,b,c成等差数列，则2,2,2可能成等 差数列 C.若a,b,c成等差数列，则ha+2,b+2,c+ 2一定成等差数列 D若a,be成等差数列，则片可能成等 差数列 二、填空题 6.在等差数列{an}中，a1=1,a3=-3,则an= 7.在数列{an}中，a1=3,且对任意大于1的正整 数n,点（√a,√a.-i)在直线x-y-5=0 上，则数列{an}的通项公式为an= 8.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的 竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则 第5节的容积为 升. —105 乃组·能力提升 三、解答题 一、选择题 6卫知2在数列中有 1.在数列{an}中，a1=2,2am+1-2an=1,则a1ol fx.-1)(n≥2，n∈N),试说明数列}是等 的值为 A.52 B.51 差数列，并求x5的值. C.50 D.49 2.《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺 斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一 尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠，长 五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺， 重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺 依次重多少？”按这一问题的题设，假设金箠 由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端 开始的第二尺的质量是 A新 c行 D.3斤 3.(多选)在数列{an}中，已知a2=2,a6=0,且 数列+}是等差数列，公差为d,则( 组·创新拓展 1 A.04=2 B.a3=1 (多选)在数列{an}中，若a-a-1=p(n≥2， C.d= D.d=1 n∈N,p为常数)，则{an}称为“等方差数 6 列”，下列对“等方差数列”的判断正确的是 二、填空题 () 4.已知x≠y,且两个数列x,a1,a2,…,amy与x, A.若{an}是等方差数列，则{an}一定是等差 6b2,…,6y各自都成等差数列，则%-= 数列 b2-b1 B.若{an}是等方差数列，则{an}可能是等差 数列 5.已知数列{an}满足am-1+an+1=2an(n∈N, C.{(-1)”}是等方差数列 n≥2)且a1=1,a2=3,则数列{an}的通项公 D.若{an}是等方差数列，则{a2m}也是等方差 式为 数列 —106