1.3.2 第1课时 等比数列的前 n 项和-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

036 课堂检测 固双基 1.在等比数列{an}中，a4=6,ag=18,则a2= A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 A.24 B.30 C.充分必要条件 C.54 D.108 D.既不充分也不必要条件 2.在等比数列{an}中，a2,as是方程x2+6x+4=4.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的 0的两根，则a4a16+a10= () 意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙 A.6 B.2 分得28石，则衰分比例为 C.2或6 D.-2 3.设各项均为正数的等比数列{an}的公比为g, 夯基提能作业 且bn=log2an,则“{bn}为递减数列”是“0<g 请同学们认真完成练案[8] <1”的 ()日 3.2等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理 1.通过等比数列的前n项和公式的应用，培养数 解等比数列的通项公式与前n项和公式的 学运算素养 关系 2.能利用等比数列的通项公式、前n项和公式解 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比 决实际问题，培养数学建模素养 关系，并解决相应的问题 必备知识 探新知 知识点等比数列前n项和公式及推导 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 ra(1-q") 求和公式 S,= 1-9(9*1) S= r-a9(q≠1) 1-q na(q=1) na (q=1) [提醒]若题目中q为字母参数，不确定具体数值，则求等比数列的前n项和时，应分9=1与 9≠1两种情况进行讨论。 想一想： 当g≠1时，等比数列{an}的前n项和Sn是n的函数，该函数的解析式有什么特点？ ●037 练一练： 1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） (1)所有等比数列的前n项和都可以直接使用公式S.=,1-g） 1-9 (2)数列{an}的前n项和Sn=ag+b(g≠1)，则数列{an}一定是等比数列. (3)等比数列的前n项和不可以为0. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a2=3,2a1+a2=4,则S6= A.128 B.127 C.64 D.63 3.设等比数列{an}中，前n项和为Sn,已知S?=8,S6=7,则a,+ag+ag等于 A.g c 号 4在等比数列a中，若a=8g=方4=分，则5，的值是 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一与等比数列前n项和有关的基本运算 例（)已知正项等比数列1a.的前n项和为5,4，-2且s=2a,-2,则 公比g= () A号 1 B.2 C.3 0.3 规律方法： (2)已知数列{an}为等比数列.若a4-2=24,a2+a3=6,an=125，, 等比裁列前n项和运 求Sn 算的技巧 (1)在等比裁列的通 项公式和前n项和公 式中，共涉及五个 量：a1,an,n,9,Sn 其中首项a1和公比q 为基本量，且“知三 求二”，常常列方程 组来解答. (2)对于基本量的计 算，列方程组求解是 基本方法，通常用约 分或两式相除的方法 [规律方法] 进行消元，有时会用 到整体代换。 》对点训练1 提醒：两式相除是解 (1)设a,}是正项等比数列，S。为其前n项和，已知@1a,=1,S=7,则S。决等比数列基本量运 (） 算常用的运算技巧. A. B.63 8 C.63 D61 4 (2)在正项等此数列{an}中，a2=4,a6=64,Sn=510,则n= A.6 B.7 C.8 D.9 038 题型二等比数列前n项和公式的函数特征 例2.已知数列a,是等比数列，其前n项和为s=3+(nEN),则常 数k= ·[规律方法] 规律方法： 等比戴列前n项和公 】对点训练2 式的特征 设等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=k·2”-3,则a4= 数列{an}是非常数数 A.4 B.8 列的等比裁列曰Sn= C.12 D.16 -Ag”+A(A≠0， 题型三等比数列前n项和的性质应用 例3.（1在等比数列1a中，已知S,=48,=60,求s； q≠0,1，n∈N*). 即指裁式的系裁与常裁 (2)一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，项互为相反裁，其中A 前3项之积为64，求该等比数列的通项公式 [分析]运用等比数列的前n项和公式，要注意公比g=1和q≠1两种 =1-g 情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元 规律方法： ·[规律方法] 等比数列前n项和的 性质 》对点训练3 (1){an}是公比不为 (1)设等比数列{an}前n项和为Sn,若S3=8,S6=24,则a10+a11+a12= -1的等比裁列，则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍 A.32 B.64 C.72 D.216 成等比裁列，其公比 (2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项为g 的和为170，求此数列的公比和项数. (2)在等比数列{an 中，当项数为2n(n EN)时. S一9 ●039 题型四等比数列前n项和公式的实际应用 例4中阳古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里 关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行 里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天 健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地.”则此人第4天走了 ( A.60里 B.48里 C.36里 D.24里 ◆[规律方法] 》对点训练4 规律方法： 求解裁列应用问题应 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人 明确以下几个问题： 苗，苗主责之粟五斗，羊主日：“我羊食半马.”马主日：“我马食半牛.”今欲衰 (1)是哪一类数列 偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主 模型 人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说： (2)是否能直接求出 “我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各偿还多少？该 通项公式，否则先建 问题中，1斗为10升，则羊主人应偿还粟 (）立递推公式： 《 2 c9升 n.19升 (3）是求和还是 求项： ●易错警示 (4)裁列的项数 忽略对公比q的讨论致误 例5已知等比数列a,中，4=2，心=6，求4，和g [错解] 由等比数列的前n项和公式得S-“1）-2-=6, 1-q 1-q ÷1-9)1+9+2=3, 1-9 .1+9+q=3,.9+q-2=0. .9=-2或9=1（舍去）.a3=a1g=2×(-2)2=8 [误区警示]错解中由于没讨论公比9是否为1，就直接使用了等比数列的 前n项和公式S.=1-9 1-9 ,从而导致漏解。 [正解] 040 课堂检测 固双基 1.在等比数列{an}中，若a1=1,a4= 8,则该数 A.13 B.25 C.37 D.41 3.已知在等比数列{an}中，a1=3,an=96,Sn= 列的前10项和S1= ( 189,则n的值为 () A.2-⊙ 1 B.2-2 1 A.4 B.5 C.6 D.7 C2、 D2- 4.等比数列{an}的前n项和Sn=2”-1,则通项 210 2.已知等差数列{an}的前n项和为S,等比数列 {bn}的前n项和为Tn,且a1=b1=1,b4=2a4 夯基提能作业 =8,则S3+T,= ( 请同学们认真完成练案[9] 第2课时 等比数列习题课 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.通过学习等比数列的通项公式、前n项和公式 1.掌握等比数列前n项和的性质的应用. 性质及其应用，提升数学运算素养。 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用. 2.借助利用等比数列的前n项和公式解决实际问 3.会用错位相减法求数列的和， 题，培养数学建模素养 必备知识探新知 知识点一等比数列Sn与a.的关系 S。与4，的关系可以由S.=二9得到，一般已知41,9即可得到二者之间的关系，也可以通过 1-q 特殊项验证判断. 练一练： 数列{an}的前n项和为S,若S。=3"+1+3-m,且{an}是等比数列，则m= A.0 B.3 C.4 D.6 知识点二 分组转化法求和 若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求 数列{cn}的前n项和. 练一练： 数列{a.}满足a1=0,a2=1,an= r2+an-2,n≥3，n为奇数， 则数列{a}的前20项和为() 2×an-2,n≥3，n为偶数， A.1110 B.1111 C.1112 D.1113 知识点三错位相减法求和 般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·b的前n项和时，可采用错 位相减法。例2：(1)a2a4=a,a4a6=a5, ∴.a2a4+2a3a5+a4a6=a+2a3a5+a5=(a3+a5)2=25, .'an>0,.a3ta5>0, .a3+a5=5. (2)根据等比数列的性质，得 asa6=aa1o=azao a3as =asa=9, .a1a2aga10=(a5a6)3=9 .log3a1+log3a2+…+log3a10=l0g3(a1a2·…·aga1o） =log3(a5a6)5=log310=10. 对点训练2：(1)25方法一：a,a12=aga1=aga10=5, agdoa10a11=52=25. 方法二：由已知得a1g·a1g”=aig”=5, .agda1oa11=a19·a19·a19'·a1g0=a14·g4=(a7· g7)2=25. （2)1或64.a1a。=a1a7=64,..a1,a7是方程x2-20x+ 64=0的两根. as16或/%=16 解得04 la,=4 ①若a3=4,a1=16,则由，=a39得，9=4， .a11=a,9=16×4=64. ②若a=4,4=16,则由4=，9得，9=子， a1=a,9=4×4=1.故a1=64,或a=1: (3)50由a1oa1+aga2=2e3,可得a1oa1=e3. 令S=lna1+lna2+…+lnao,则2S=(lna1+lna0）+ (In az +In a)+..+(In a +In a)=20ln(adz)=201n(aoau) =20lne3=100.所以S=50. 例3：C单位时间内的进光量形成公比为，的等比数列 an},则F4对应单位时间内的进光量为a;,F1.4对应单位时间 内的进光量为a2,从F4调整到F1.4,则单位时间内的进光量为 原来的2=8倍 对点训练3：(1)C第一年价格为：8100×(1-号) 5400: 第二年价格为：5400×(1-号)-360： 第三年价格为：3600×(1-3)=2400. (2)D能量流动法则表明能量的效率大约是10%，如果要 使H3获得10kJ能量，则H×(10%)2=H3,解得H1=103kJ. 例4：A因为{an}为等比数列，所以aa,=a4a6=a1ag 所以(a1a)2=81,即a1a,=±9. 因为在等比数列{a.}中，奇数项（或偶数项）的符号相同， 所以a1,ag同号，所以a1ag=9. 课堂检测固双基 1.Ca=a,49,g-4=18 a46 3,.a12=ag·g=18×3=54. 2.B由题意知，a2+a1g=-6,a2a1g=4,.a2<0,a1g<0, .∴.a10<0,又.ai0=a2·a18=4,∴.a10=-2.又a4a16=a2·a18 =4,.a4a16+a10=4-2=2.故选B. 3.C由题设a.=a19-1>0且9>0， b=logza+(n -1)log2q=nlog2q +log2 9 若bn}为递减数列，故1og2g<0,则0<g<1,充分性成立； 若0<q<1,则1o9<0,易知bn}为递减数列，必要性也成立： 所以“{b.}为递减数列”是0<q<1”的充分必要条件.故选C 4.2 】 设衰分比例为9，则甲、乙、丙各分得28,28,28g石， -15 28+28+28g=989=2或7 0<q<1q=2 1 3.2等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和 必备知识探新知 知识点 想一想： S=41-g2) 1-9 产)+产g、是关于n的指数型函 数，其中指数式的系数与常数互为相反数 练一练： 1.(1)×当g=1时，Sn=na1. (2)×只有当a与b互为相反数时，数列{a,}才是等比数 列. (3)×例如1，-1,1，-1，… 2D由%+a=3, L2a1+a2=4, 解得↓所以公比g=2. a3=2, 所以8号8 3.A因为a7+ag+a=S,-S6,且S,S6-S,S,-S6也成 等比数列， 因为S3=8,S6=7,所以S6-S3=-1,所以8，-1，S。-S6成 等比数列， 1 则8(5，-56)=1，即S,-S%=8, 所以a,+ag+a,=8 4}在等比数列a,中，因为a=8,9=7a,=分，所 以a=a·=8×(分)=(2)=方，所以n-4=1n =5 所以S.=5= 1-2 1 关键能力攻重难 例1：(1)B由S3=2a3-2得a-a2-a1-2=0, 又a1=2,所以g2-q-2=0, 即(q-2)(g+1)=0, 所以9=2或q=-1(舍去) (2)设该等比数列的公比为q, 由a4-a2=24,a+a3=6, 得a292-a2=24,a2+a29=6, 解得a2=1,9=5, 所a 所以an=a1g-1=5"-2」 令an=125,解得n=5, 所以S=11-9)-78 1-q-51 对点训练1：(1)B因为an}是正项等比数列， 所以am>0,9>0, 由等比中项得a1a5=a3=1,解得a3=1, 所以S,=a+a,+a,=+上+1=7， 解得g=或9=宁（舍去)a-2=4, 所以S。=1(1-9)63 1-9 28 (2)C由题意知g=4s=16且q>0,则g=2,41=2,所以 9,=21-22=510,解得n=8, 1-2 1 例2：-3方法一：由已知得，4=5=1+，4=S,-S8 =2,a3=S3-S2=6. 因为数列{an}是等比数列，故a=a1a, 即2=6(1+)，解得k=-行 方法二：因为数列{a.}是等比数列， 放12品+产。 1-9 又因为S,=3-1+k=3”×3+k, 放可得长=一分 对点训练2：C当n≥2时，an=S。-S.-1=k·2”-； 当n=1时，a1=S1=2k-3=k·2-1 解得k=3,ak=a=3·23-1=12.故选C. 例3：(1)方法一：S2n≠25m,.9≠1. 01(1-92=48① 由题意得， 1-9 41-92)=60② 1-9 ②÷①得1+0=子， g=子把分=代入①得产g64, 5g2=6(1-)=6 1 1-9 方法二：由题意知，公比9≠-1， Sn,Sm-S,Sm-S也成等比数列， ..(S2-S)2=S(Sa-S2), 8=-8)2 S +5,=60-481+60=63 48 (2)设数列{a.}的首项为a1,公比为q,奇数项的和为S奇， 偶数项的和为S偶， 由题意得S待+S偶=4S偶， 即S奇=3S隅 :数列{an}的项数为偶数， 又，a1a2a3=ag3=64, .a1=12, g=2×(分 对点训练3：(1)B由于S,S6-S3,S,-S6,S2-S,成等比 数列，S=8,S-S=16,故其公比为2，所以S,-S6=32,S2- S=64,即a10+a11+a12=S12-Sg=64. (2)方法一：设原等比数列的公比为q,项数为2n(neN,). 由已知a1=1,g≠1，有 ,1-92" =85,① 1-g21 191-9)=170.② 11-q 19 由②÷①，得q=2, =5,4=256n=4 故公比为2，项数为8. 方法二：S偶=a2+a4+…+a2m=a19+a39+…+a2m-19= (a1+a3+…+a2m-1)q=S奇·9， 产器2 又3-5+10=25据1g得号=25， 1-g .2”=256,n=8.即公比q=2,项数n=8. 例4：D记每天走的路程里数为an},可知 1a,}是公比为g=2的等比数列. 1 因为S。=378,所 a(1-2-378. 1-2 解得a1=192, 所以a,=192×2=24. 对点训练4：C设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1,a2,a,则 a,是公比为2的等比数列， a1- 1 所以S,= =50 解得4，一2，所以羊主人应偿还： 89x女-9升菜 例5：若q=1,则S=3a1=6,符合题意.此时，9=1，a3=a1 =2 若g≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S,=a1-9） 1-9 =2(1-)=6, 1-g 解得9=1（舍去）或q=-2. 此时，a3=a192=2×(-2)2=8. 综上所述，9=1，a3=2或q=-2,a3=8. 课堂检测固双基 1.Ba=1,a=日分=gg=分 1 1 -2京放选B 1 2.C设等差数列{a.}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,因 为a1=b1=1,b4=2a4=8, 所以T=会=8 l2a4=2(a1+3d)=8, 年得G2 所以3+，=3a,+3+二2=3+3+号 1-9 237 3.C由an=a19-1,得96=3g”-1.g-1=32=25. 令n=6,g=2,这时S。=31-?1=189,符合题意，故选C 1-2 4.2-1当n=1时，a1=1, 当n≥2时，a.=Sn-Sm-1=(2"-1)-(2"-1-1)=2"-1, 8 又a1=1也适合上式， 所以a.=2”-1 第2课时 等比数列习题课 必备知识探新知 知识点 练一练： D分析：利用an=Sn-Sn-1算出通项，再结合该数列为等 比数列可求m. 解：因为Sn=3"+1+3-m, 12-m,n=1 故a,={23”,n≥2' 因为a}为等比数列，故= az a 即23=2·32 2·32-m放m=6, 此时a6n≥2即a=2·3。=3即10为等 an- 比数列 故选D. 知识点二 练一练： D分析：由数列的递推关系知奇数项构成等差数列，偶数 项构成等比数列，由此可分组求和. 解：因为n≥3且n为奇数时an=2+a-2, 所以所有奇数项构成a1=0为首项，2为公差的等差数列， 又因为n≥4且n为偶数时，a.=2a.-2,即所有偶数项构成 a=1为首项，2为公比的等比数列， 所以a1+a2+a3+…+a20 =（a1+a3+.·+a19）+(a2+a4+...+a20） =(0+18)×10,1-20 2 +1-2=90+1023=113. 故选D. 知识点三 练一练： 分析：利用乘公比错位相减法，求数列{×2}的前9项和 即可 解析：S=1x1 ①-②得：宁=++++-9×克 。1 1 动) 1-2 -9×2 =1京-9x-1品-88 1 所以s=器 关键能力攻重难 例1：(1)A设等比数列的公比为g(9>0), 由a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列， 得2a2=a4-a3,即2g=g3-g2,得g=2. 所以s2则8=2a1 (2)Ba+1=3Sn,an=3S4-1,故aa1-an=3aa,即am+1= 4an(n≥2)，而n=1时，a2=3S=3a1,可知该数列不是等比数 -15 列.当an=0时，数列{an}为等差数列.故本题正确答案为B. 对点训练1：.Sn=2am+1① .S-1=2am-1+1(n≥2)② ①-②得a.=2an-2a-1, .an=2am-1, a.=2(n≥2） an-1 又a1=S1=2a1+1, .a1=-1, ∴.数列{a.}是首项为-1，公比为2的等比数列， s==1-22=1-2 1-2 例2：(1)因为Sm+1-S.=am+1, 所以，由题意得an+1=an+1,即am+1-an=1,所以数列 an}是等差数列，公差为1. 选①，a4+a7=13,则a1+3+a+6=13,解得a1=2,所以 an=2+(n-1)=n+1; 选②，a1,a3,a7成等比数列， 则a=a1a7,所以(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以 am=2+(n-1)=n+1; 选3,5。=10a,+10X9×1=65,解得41=2， 所以an=2+(n-1)=n+1; (2)由题意得b1-a1=1,b.-an=2"-1, 任选①②③：a.=n+1, 所以bn=2"-1+n+1,Tn=(1+2)+(2+3)+(22+4)+… +(2"-1+n+1) +2+…+2)+[2+3+…+(n+10刀-2+ n2+n+=2++3n-2 2 2 对点训练2：(1)设公比为q,∵a1=1,a2a4=16, .94=16,g>0,.9=2. ∴.an=2m-1 S =3n2tn 2 当n≥2时，6=5-s1=3n+n_3(n-1)2+(n-) =3n-1. 当n=1时，b1=S1=2满足上式，.bn=3n-1. (2)cn=an+bn=2"-1+3n-1. .Tn=C1+c2+…tcn =(2°+2+…+2-1)+[2+5+…+(3n-1)] -号+2+g-2-1+g 2 2 例3：(1)证明：由a1=”+25,01=51-5,得51- n S.=n+25.. 整理得nSn+1=2(n+1)S, 所u=2÷1 所以3是首项为1，公比为2的等比数列. [n (2)由(1)得=2-， 所以Sn=n·2-l(neN*). 所以Tn=1×2°+2×2+3×22+…+n·2"-1,① 2T.=1×2+2×22+…+(n-1)·2m-1+n·2".② 由②-①得T。=-(1+2+22+…+2-1)+n·2”=