1.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

∴.a3+a6=a3+a39=a3(1+g)=36, a3=32. a.=a,g3=32×(2=(分)=分 ∴.n-8=1,.n=9. (2)a=a,g9=子 1 an>0,9=2 a=ag=8×(合-(2 例2：(1)C因为数列a,}满足a1=20., 所以该数列是以了为公比的等比数列， 又4=8，所以g=8,即a1=64. 8 (2)Ba.=2am-1,n=2,3,4,有可能数列每一项都是零，此 时数列不是等比数列，反过来{an}是公比为2的等比数列，则一 定满足an=2a.-1·故为必要不充分条件. 对点训练2：(1)B由a.1-2an=0,得数列{an}为等比数 列，且公比为2， 1 又a4=1,则8a1=1,即a=8 (2)B若{a.}成等比数列，则a=an-1·a+i成立，当a-l =an=an+1=0时，满足a=an-1·a.+1成立，但an}成等比数列 不成立，故“{an}为等比数列”是“ad=a-1·a+1,n=2,3,4,…” 的充分不必要条件 例3：(1)证明：因为a1=20.+1, 所以a1-2=( =2（a。-2), 叉a-2=-1≠0，所以1-2=1 a.-2=2, 所以a,-2是首项为-1，公比为2的等比数列. ②)1)得a-2=-1×(分 ）=-2 所以a,=2-2 1 对点训练3：证明：因为1=4+1 =3+3an an+ an+1 又因为-2=-30， 1 所以{什-2是首项为-了，公比为兮的等比致列 1 例4：设该等比数列的公比为g,首项为a1, a2-a5=42,∴.9≠1， 由已知，得+a9+a192=168 la19-a1g=42 (1+9+9)=1680 la19(1-g3)=42② :1-g3=(1-9)(1+q+q2), 由号得901-9》=士 1 .1 42 六g=2a= % 令G是a5,a,的等比中项，则应有G=a5a,=a1g·a1g= -15 ig=6×分）”=9， .a5,a7的等比中项是±3. 课堂检测固双基 1.A设等比数列的公比为q, a1+a2=3,a2+a3=ga1+a2）=6,.9=2. 又a1+a2=a1+a19=3,.3a1=3.∴.a1=1,a,=26=64. 2.ACD设a,的公比为9，则。=q,2a -2al=an出=q(常 a. 数)，故A正确；若q=-1,则am+1+an=0.(等比数列的各项 3 不能为0.收B错误空会宁（常数.放C正角 an 4a+1a2=a山.a+2=g2(常数)，故D正确。 4a an+l a an+l 3.C设这个数列有n项，则128=4×2"-12-1=32，n=6. 4.1或-2在等比数列{an}中，a+a4=4,a2=2,∴.4+a4= a29+a29=2g+2g2=4,即g2+q-2=0.解得q=1或q=-2. 第2课时等比数列的性质及应用 必备知识探新知 知识点 等比数列 练一练： 1.D方法一：由题设，g=2=3, 所以a6=a49=9. 方法二：由等比数列性质，a2a6=a, 所以1×a6=32,即a。=9. 2.±31与9的等比中项为±1×9=±3. 知识点二 {0,2g0. 10<q<1 l9>1 (3)常数列 练一练： B在等比数列{an}中，首项a1<0, 若a1>a,即a19>a49-1, 因为a1<0,所以g<g-1,即g-1(g-1)<0. 因为数列an}对任意正整数n都有a.+1>an,所以q>0, 所以q-1<0,解得0<q<1.故选B. 知识点三 1.(1)g-m(2)a,·a,a22.a-1a.-k+l 练一练： 1.Bag·a1=ag·a1o=a5·a14.ag·ag·a0·a1=（as ·a14)2=25. 2.16:{an}成等比数列， +a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列， .(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6), 4$=16 .a5+a6= 关键能力攻重难 例1：A由8a2-a,=0,可知9=g=8,解得g=2 又a1>0,所以数列{an}为递增数列. 对点训练1：D如等比数列{(-1)“}的公比为-1，为摆动 数列，不具有单调性：等比数列{（分）广}的公比为子，是递减数 列；等比数列-（分）}的公比为7，是递端数列， 6 例2：(1)a2a4=a,a4a6=a5, ∴.a2a4+2a3a5+a4a6=a+2a3a5+a5=(a3+a5)2=25, .'an>0,.a3ta5>0, .a3+a5=5. (2)根据等比数列的性质，得 asa6=aa1o=azao a3as =asa=9, .a1a2aga10=(a5a6)3=9 .log3a1+log3a2+…+log3a10=l0g3(a1a2·…·aga1o） =log3(a5a6)5=log310=10. 对点训练2：(1)25方法一：a,a12=aga1=aga10=5, agdoa10a11=52=25. 方法二：由已知得a1g·a1g”=aig”=5, .agda1oa11=a19·a19·a19'·a1g0=a14·g4=(a7· g7)2=25. （2)1或64.a1a。=a1a7=64,..a1,a7是方程x2-20x+ 64=0的两根. as16或/%=16 解得04 la,=4 ①若a3=4,a1=16,则由，=a39得，9=4， .a11=a,9=16×4=64. ②若a=4,4=16,则由4=，9得，9=子， a1=a,9=4×4=1.故a1=64,或a=1: (3)50由a1oa1+aga2=2e3,可得a1oa1=e3. 令S=lna1+lna2+…+lnao,则2S=(lna1+lna0）+ (In az +In a)+..+(In a +In a)=20ln(adz)=201n(aoau) =20lne3=100.所以S=50. 例3：C单位时间内的进光量形成公比为，的等比数列 an},则F4对应单位时间内的进光量为a;,F1.4对应单位时间 内的进光量为a2,从F4调整到F1.4,则单位时间内的进光量为 原来的2=8倍 对点训练3：(1)C第一年价格为：8100×(1-号) 5400: 第二年价格为：5400×(1-号)-360： 第三年价格为：3600×(1-3)=2400. (2)D能量流动法则表明能量的效率大约是10%，如果要 使H3获得10kJ能量，则H×(10%)2=H3,解得H1=103kJ. 例4：A因为{an}为等比数列，所以aa,=a4a6=a1ag 所以(a1a)2=81,即a1a,=±9. 因为在等比数列{a.}中，奇数项（或偶数项）的符号相同， 所以a1,ag同号，所以a1ag=9. 课堂检测固双基 1.Ca=a,49,g-4=18 a46 3,.a12=ag·g=18×3=54. 2.B由题意知，a2+a1g=-6,a2a1g=4,.a2<0,a1g<0, .∴.a10<0,又.ai0=a2·a18=4,∴.a10=-2.又a4a16=a2·a18 =4,.a4a16+a10=4-2=2.故选B. 3.C由题设a.=a19-1>0且9>0， b=logza+(n -1)log2q=nlog2q +log2 9 若bn}为递减数列，故1og2g<0,则0<g<1,充分性成立； 若0<q<1,则1o9<0,易知bn}为递减数列，必要性也成立： 所以“{b.}为递减数列”是0<q<1”的充分必要条件.故选C 4.2 】 设衰分比例为9，则甲、乙、丙各分得28,28,28g石， -15 28+28+28g=989=2或7 0<q<1q=2 1 3.2等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和 必备知识探新知 知识点 想一想： S=41-g2) 1-9 产)+产g、是关于n的指数型函 数，其中指数式的系数与常数互为相反数 练一练： 1.(1)×当g=1时，Sn=na1. (2)×只有当a与b互为相反数时，数列{a,}才是等比数 列. (3)×例如1，-1,1，-1，… 2D由%+a=3, L2a1+a2=4, 解得↓所以公比g=2. a3=2, 所以8号8 3.A因为a7+ag+a=S,-S6,且S,S6-S,S,-S6也成 等比数列， 因为S3=8,S6=7,所以S6-S3=-1,所以8，-1，S。-S6成 等比数列， 1 则8(5，-56)=1，即S,-S%=8, 所以a,+ag+a,=8 4}在等比数列a,中，因为a=8,9=7a,=分，所 以a=a·=8×(分)=(2)=方，所以n-4=1n =5 所以S.=5= 1-2 1 关键能力攻重难 例1：(1)B由S3=2a3-2得a-a2-a1-2=0, 又a1=2,所以g2-q-2=0, 即(q-2)(g+1)=0, 所以9=2或q=-1(舍去) (2)设该等比数列的公比为q, 由a4-a2=24,a+a3=6, 得a292-a2=24,a2+a29=6, 解得a2=1,9=5, 所a 所以an=a1g-1=5"-2」 令an=125,解得n=5, 所以S=11-9)-78 1-q-51 对点训练1：(1)B因为an}是正项等比数列， 所以am>0,9>0, 由等比中项得a1a5=a3=1,解得a3=1,033 第2课时 等比数列的性质及应用 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.结合等差数列的性质，理解等比数列的 性质 1.通过等比数列的性质的应用，培养数学运算 2.掌握等比中项的概念，会求同号两数的等 素养 比中项 2.借助等比数列的判定，培养逻辑推理素养 3. 理解等比数列的单调性与a,g的关系. 必备知识探新知 知识点一等比中项 在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 ,那么称G为a,b的等比中项 [提醒](1)只有两个正数或两个负数才有等比中项； (2)注意：若G=ab,G不一定是a与b的等比中项，例如0=5×0，但0,0,5不是等比数列. 练一练： 1.在等比数列{an}中，a2=1,a4=3,则a6等于 A.-5 B.5 C.-9 D.9 2.1与9的等比中项为」 知识点二等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a,公比为g,则 (1)当%>0， 或 时，等比数列{an}为递增数列 lg>1 (2)当%>0， 或 时，等比数列{an}为递减数列； l0<g<1 (3)当g=1时，等比数列{an}为 (这个常数列中各项均不等于0)； (4)当g<0时，等比数列{αn}为摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇 数项与偶数项异号). 练一练： 在等比数列{an}中，首项a1<0,要使数列{an}对任意正整数n都有an+1>an.则公比g应满足 () A.9>1 B.0<g<1 c3<g<1 D.-1<g<0 知识点三等比数列的性质 1.等比数列的项之间的关系 (1)两项关系 通项公式的推广： am=am· (m,nEN*). 034 (2)多项关系 项的运算性质 若m+n=p+q(m,n,p,g∈N*), 则am·am三 特别地，若m+n=2p(m,n,peN*), 则am·am= 2.等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间 项的平方)，即41·4.=a·=ak‘ =a(n为正奇数) 练一练： 1.在等比数列{an}中，a5a4=5,则ag·ag·a1·a1= A.10 B.25 C.50 D.75 2.在由正数组成的等比数列{an}中，a1+a2=1,a3+a4=4,则a5+a6= 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一等比数列的单调性 例1.在等比数列1a,中，已知a>0,8a:-4=0,则数列a,为 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 规律方法： ·[规律方法] 由等比裁列的通项公 对点训练1口 式可知，公比影响裁 在等比数列{an}中，如果公比为q,且q<1,那么等比数列{an}是( 列各项的符号：一般 地，q>0时，等比裁 A.递增数列 B.递减数列 列各项的符号相同： C.常数列 D.无法确定单调性 q<0时，等比裁列各 题型二等比数列性质的应用 项的特号正负交替 例2已知a,为等比数列. (1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; 规律方法： (2)若an>0,a5a6=9,求l0g3a1+l0g32+…+log3a1o的值 等比裁列性质的作用 1.利用等北数列的性 [分析]观察已知条件与所求式子的特征→利用等比数列的性质求解 质解题，会起到化繁 为简的效果 2.等比数列中的项的 序号若成等差数列， 则对应的项依次成等 比数列，有关等比裁 列的计算问题，应充 分发挥“下标”的 “指引”作用 [规律方法] ●035 )】对点训练2 (1)在等比数列{an}中，已知aan=5,则asaoa1oa1=一； (2)数列{an}为等比数列，且a1ag=64,a3+a,=20,则a11= (3)若等比数列{an}的各项均为正数，且aoa1+aa2=2e,则lna,+ lna2+…+lna2o= 题型三等比数列的实际应用 例3，光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的北量的装 置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如 下：F1,F1.4,F2,F2.8,F4,F5.6,F8,…,F64.光圈的F值越小，表 示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2 倍，如光圈从8调整到F5.6,进光量是原来的2倍.若光圈从F4调 规律方法： 整到F1.4,则单位时间内的进光量为原来的 关于等比裁列在应用 问题中的应用 A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍 首先根据题意判断是 [规律方法] 否是等比数列模型， 】对点训练3 其次分析等比数列的 首项、公比、项数， (1)计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低了，现在价格 最后利用等北数列的 为8100元的计算机3年后的价格可降低为 ) 通项公式计算解题。 A.300元 B.900元 C.2400元 D.3600元 (2)生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的 能量能够流到下一个营养级，在H,→H2→H这个生物链中，若能使H3获得 10kJ的能量，则需H1提供的能量为 ( A.10-2kJ B.10-1kJ C.102 kJ D.103kJ ●易错警示 忽略等比数列中的项的符号致错 例4在等比数列1a中，aa,=81,则4，的值为 A.9 B.-9 C.±9 D.18 [错解]a3a,=a46=a1ag, .(a1a)2=81,.a1a,=±9，故选C. [误区警示]本题易忽略在等比数列中，奇数项（或偶数项）符号相同 这一条件，而得到a1ag=±9. [正解] 036 课堂检测 固双基 1.在等比数列{an}中，a4=6,ag=18,则a2= A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 A.24 B.30 C.充分必要条件 C.54 D.108 D.既不充分也不必要条件 2.在等比数列{an}中，a2,as是方程x2+6x+4=4.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的 0的两根，则a4a16+a10= () 意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙 A.6 B.2 分得28石，则衰分比例为 C.2或6 D.-2 3.设各项均为正数的等比数列{an}的公比为g, 夯基提能作业 且bn=log2an,则“{bn}为递减数列”是“0<g 请同学们认真完成练案[8] <1”的 ()日 3.2等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理 1.通过等比数列的前n项和公式的应用，培养数 解等比数列的通项公式与前n项和公式的 学运算素养 关系 2.能利用等比数列的通项公式、前n项和公式解 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比 决实际问题，培养数学建模素养 关系，并解决相应的问题 必备知识 探新知 知识点等比数列前n项和公式及推导 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 ra(1-q") 求和公式 S,= 1-9(9*1) S= r-a9(q≠1) 1-q na(q=1) na (q=1) [提醒]若题目中q为字母参数，不确定具体数值，则求等比数列的前n项和时，应分9=1与 9≠1两种情况进行讨论。 想一想： 当g≠1时，等比数列{an}的前n项和Sn是n的函数，该函数的解析式有什么特点？