1.3.1 第1课时 等比数列-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

028 §3 等比数列 3.1等比数列的概念及其通项公式 第1课时等比数列 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握等比数列的概念、判定方法和通项 1.通过对等比数列的有关概念的学习，培养数学 公式 抽象素养。 2.理解等比数列通项公式的推导过程， 2.借助等比数列通项公式的简单应用，提升数学 3.掌握等比数列通项公式的简单应用， 运算素养。 必备知识探新知 知识点一等比数列 (1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 ,那么 这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0） (2)符号语言：在数列a.}中，若1=q(g为常数，且g≠0)对任意n∈N都成立，则数列a.} a. 是等比数列 [提醒]“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.“每一项与它的前一项的比等于同一常 数”，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒. 想一想： 1.为什么等比数列的每一项均不为零？ 2.常数列一定是等比数列吗？ 练一练： 1.思考辨析（正确的画“V”,错误的画“×”） (1)等比数列的任意一项均不为零 (2)等比数列a,的公比9=2 (3)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac. (4)Hn∈N*,am+1=qan,其中g是常数且不为零，则{an}是等比数列. ●029 2.下面四个数列中，一定是等比数列的是 ( A.9,2q,4q,6g B.9,92,92,9 C.9,2q,4q,8q D.1111 23,4 9'q99 知识点二等比数列的通项公式 首项为a1,公比是q(g≠0)的等比数列的通项公式为 [提醒](1)已知首项α1和公比g的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项. (2)在通项公式中，有a,a1,9,n四个量，如果已知任意三个，那么可求出第四个量. 想一想： 等比数列的通项公式an=a1g”-1与指数函数f(x)=a(a>0,a≠1)有什么联系？ 练一练： 1.已知等比数列{an}的公比为正数，若a3ag=2a,a2=2,则a1= A分 B C.√2 D.2 2.已知数列{an}是等比数列，且a1= 8,a4=-1,则数列{a.}的公比g为 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一等比数列通项公式及应用 例在等比数列a中， (1)a1=3,a3=27,求an; (2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. [分析]（1)已知等比数列的通项公式an=a1g”-1代入a1,,求出g,最 后求出an (2)已知项的和，代入等比数列的通项公式，求出a1,g,由an=1求n. 规律方法： 与等比裁列通项有关 的基本量计算 (1)常规方法：根据已 知条件，建立关于a, g的方程组，求出a1, q,再求an; (2)整体法：利用各项 之间的关系，直接求 出q后，再求a1,最后 求an,这里体现了整 体思想的应用 [规律方法] 030 》对点训练1 在等比数列{an}中： (1)已知a+4,=36,4+a,=18,a=分求m: (2)已知a=8,a7=2,an>0,求an 题型二等比数列的判定与证明 角度1等比数列的判定 例2.(1)已知数列a,满足a+1=,若a,=8,则a等于 () 规律方法： 判断一个数列{an是 A.1 B.2 C.64 D.128 等比裁列的方法 (2)在数列{an}中，“an=2an-1,n=2,3,4”是“{an}是公比为2的等比数(1)定义法：若数列 列”的 ( a满是1=q(g A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 an C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 为常数且不为零)或 ·[规律方法] a。=q(n≥2,9为常 Qn-I 》对点训练2 数且不为零)，则裁列 (1)数列{a}满足a4=1,a.+1-2an=0(n∈N*),则a1等于（ ）{an是等比最列： A日 n.g c话 D克 (2)通项公式法：若数 列{an}的通项公式为 (2)已知数列{an},则“{an}为等比数列”是“a=an-1·a+1,n=2,3,an=a19-(a1≠0,9≠ 4…,”的 ()0),则数列{an{是等 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 比数列. C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ●031 角度2等比数列的证明 例3.已知数列a.中，a=1,a1=0.+1 (1)证明：数列{an-2}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式. 规律方法： 1.证明一个数列是等 比数列，可考虑用定 义证明，即证明 4m-1 =q(q为常裁，且n≥ 2). 2.说明一个裁列不是 等比裁列，只需说明 [规律方法] 存在两个相外两项的 】对点训练3 比不等即可 已知数列a的首项a=号a1=0AeN求证：数列 位-2为等比数列 032 ●易错警示 忽视等比中项的符号致错 例4等北数列a.的前三项的和为168，a-4,=42,求4,4的等比中项 [错解]设该等比数列的公比为g,首项为a1, .a2-a5=42, a1+a19+a19=168, 9≠1，由已知，得 a19-a194=42, ra1(1+q+g2)=168① a19(1-g3)=42② 1-g=(1-9)(1+9+92)…由②除以①，得g(1-9)=4 1 42 92》 =96,=a=96x=3 a5,a,的等比中项为a6,∴.5，a的等比中项为3. [误区警示]错误的原因在于认为a,a,的等比中项是a6,忽略了同号两数的等比中项有两 个且互为相反数. [正解] 课堂检测【 固双基 1.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a=3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2， 6,则a2等于 () 则这个数列的项数为 () A.64 B.81 C.128 D.243 A.4 B.8 C.6 D.32 2.（多选)若{an}是等比数列，则下列是等比数4.等此数列{an}中，a3+a4=4,a2=2,则公比g 列的是 等于 A.{-2an} B.an +an+1 夯基提能作业 c D.4aan+i 请同学们认真完成练案[7]∴a.=a+(n-1）)d=2n+l,s.=na,+nn)-d=n2+2n ②由题意可得6，-a.+(a,-d2n+2)·7 1 =1(1-1_）} =4nm+D=4元-n+i) .Tn=b1+b2+b3+…+bn =4(1-2)+4(3)+(兮)+… =-）mD 例3：(1)设等差数列的公差为d, a=a1+d=11, 由题意可得 o=10a+0294=40, 即+d=:解得=1B. l2a1+9d=8, d=-2 所以an=13-2(n-1)=15-2n. (2)因为S,=n13+5-2n=14n-n2. 2 令a,=15-2n>0,解得n<吕且aeN, 当n≤7时，则an>0,可得Tn=lal+1a2l+…+1anl=a +a2+…+an=Sn=14n-n2; 当n≥8时，则an<0,可得T,=Ia1I+Ia2I+…+|anI= (a1+a2+…+a7）-（ag+…+am) =S,-(Sn-S,)=2S,-Sn=2(14×7-72)-(14n-n2)= n2-14n+98; rl4n-n2,n≤7， 综上所述：T,=n-14n+98,n≥8： 对点训练3：(1)①当n=1时，a1=S,=-9; ②当n≥2时，an=Sn-S.-1=n2-10n-(n-1)2+10n-10 =2n-11, 对n=1也成立，所以an=2n-1l(neN*); (2)当1≤n≤5时，an<0,即Tn=la1+la21+…+|anI= (a1+a2+…+an）=-Sn=10n-n2. 当n≥6时，an>0,Tn=-(a1+a2+…+a5）+(a6+…+ an)=-S5+S.-S,=n2-10n+50, 综上x-{《0N 例4：，1 =1/1-1 n(n+2)=2nn+2}: 数列{6+2}的前n项和=(-+- ln(n+2)了 1 +号中中=子2n0 3.2n+3 课堂检测固双基 1.A as ao+ato +au+az=S12-S =122+12+1-72-7-1=100. 2.Cam=120+5(n-1)=5n+115, 由a.<180得n<13且neN*, 由n边形内角和定理得， (n-2)×180=nx120+nn,-1D×5. 2 解得n=16或n=9, .n<13,.n=9. 15 3.DS=902×20=10(a+a ∴.M=a1+a如=a2+ag.故选D. 4.190令a.=2n-30≥0，即n≥15，故前14项都是负数， 所以S0=-(a1+a2+…+a10) =-（-28-10）×10=190. 2 §3等比数列 3.1等比数列的概念及其通项公式 第1课时等比数列 必备知识探新知 知识点 (1)同一个常数 想一想： 1.若存在一项为零，设这一项为a,则 (1)若ak不是最后一项，它将不能与ak+1作比； (2)若a是最后一项，可推知公比g等于零，从而a2=0,它 将不能与a,作比. 故等比数列的每一项均不能为零 2.不一定，当常数列各项均为零时，该常数列不是等比数 列；当常数列各项均不为零时，该常数列是等比数列. 练一练： 1.(1)V(2)×(3)×(4)× 2.D对于A,B,C:当9=0时不是等比数列，故A,B,C错 误：对于D:由已知可得q≠0，且符合等比数列的定义，公比是 上，故D正确 知识点二 an=a19"- 想一想： a.=a·q1=4·g,当g>0且g≠1时，等比数列0，} 的第n项a,是指数型函数f(x)=4·g广(xeR)在x=n时的 值，即a.=f(n).数列{an}图象上的点(n,an)都在指数函数 fx)的图象上.反之指数函数f代x)=a=a·a-1(a>0,a≠1) 可以构成一个首项为a,公比为a的等比数列a·a”-l}. 练一练： 1.C设等比数列{an}的公比为q,9>0, aag=2a→a2·q·a2·q=2(a293)2→q2=2, 因为q>0,所以g=2,而a2=2, 所以4==2=5 Γ92 2-24=4=-8,所以g=-2. a 关键能力攻重难 例1：(1)设公比为q,则a3=a1·9, 所以27=3g2,所以q=±3， a.=3"或an=-（-3)" (2)设公比为q,由题意，得 [a19+a1q=18 ① la19+a1g3=9 ② 器得g=分a=记又a=1,2×(宁 =1, 即26-"=2°，∴n=6. 对点训练1：(1)设等比数列{an}的公比为q,由题意得 「a,+a,=(a,+4,)q=18解得q=之 la3+a6=36, 5 ∴.a3+a6=a3+a39=a3(1+g)=36, a3=32. a.=a,g3=32×(2=(分)=分 ∴.n-8=1,.n=9. (2)a=a,g9=子 1 an>0,9=2 a=ag=8×(合-(2 例2：(1)C因为数列a,}满足a1=20., 所以该数列是以了为公比的等比数列， 又4=8，所以g=8,即a1=64. 8 (2)Ba.=2am-1,n=2,3,4,有可能数列每一项都是零，此 时数列不是等比数列，反过来{an}是公比为2的等比数列，则一 定满足an=2a.-1·故为必要不充分条件. 对点训练2：(1)B由a.1-2an=0,得数列{an}为等比数 列，且公比为2， 1 又a4=1,则8a1=1,即a=8 (2)B若{a.}成等比数列，则a=an-1·a+i成立，当a-l =an=an+1=0时，满足a=an-1·a.+1成立，但an}成等比数列 不成立，故“{an}为等比数列”是“ad=a-1·a+1,n=2,3,4,…” 的充分不必要条件 例3：(1)证明：因为a1=20.+1, 所以a1-2=( =2（a。-2), 叉a-2=-1≠0，所以1-2=1 a.-2=2, 所以a,-2是首项为-1，公比为2的等比数列. ②)1)得a-2=-1×(分 ）=-2 所以a,=2-2 1 对点训练3：证明：因为1=4+1 =3+3an an+ an+1 又因为-2=-30， 1 所以{什-2是首项为-了，公比为兮的等比致列 1 例4：设该等比数列的公比为g,首项为a1, a2-a5=42,∴.9≠1， 由已知，得+a9+a192=168 la19-a1g=42 (1+9+9)=1680 la19(1-g3)=42② :1-g3=(1-9)(1+q+q2), 由号得901-9》=士 1 .1 42 六g=2a= % 令G是a5,a,的等比中项，则应有G=a5a,=a1g·a1g= -15 ig=6×分）”=9， .a5,a7的等比中项是±3. 课堂检测固双基 1.A设等比数列的公比为q, a1+a2=3,a2+a3=ga1+a2）=6,.9=2. 又a1+a2=a1+a19=3,.3a1=3.∴.a1=1,a,=26=64. 2.ACD设a,的公比为9，则。=q,2a -2al=an出=q(常 a. 数)，故A正确；若q=-1,则am+1+an=0.(等比数列的各项 3 不能为0.收B错误空会宁（常数.放C正角 an 4a+1a2=a山.a+2=g2(常数)，故D正确。 4a an+l a an+l 3.C设这个数列有n项，则128=4×2"-12-1=32，n=6. 4.1或-2在等比数列{an}中，a+a4=4,a2=2,∴.4+a4= a29+a29=2g+2g2=4,即g2+q-2=0.解得q=1或q=-2. 第2课时等比数列的性质及应用 必备知识探新知 知识点 等比数列 练一练： 1.D方法一：由题设，g=2=3, 所以a6=a49=9. 方法二：由等比数列性质，a2a6=a, 所以1×a6=32,即a。=9. 2.±31与9的等比中项为±1×9=±3. 知识点二 {0,2g0. 10<q<1 l9>1 (3)常数列 练一练： B在等比数列{an}中，首项a1<0, 若a1>a,即a19>a49-1, 因为a1<0,所以g<g-1,即g-1(g-1)<0. 因为数列an}对任意正整数n都有a.+1>an,所以q>0, 所以q-1<0,解得0<q<1.故选B. 知识点三 1.(1)g-m(2)a,·a,a22.a-1a.-k+l 练一练： 1.Bag·a1=ag·a1o=a5·a14.ag·ag·a0·a1=（as ·a14)2=25. 2.16:{an}成等比数列， +a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列， .(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6), 4$=16 .a5+a6= 关键能力攻重难 例1：A由8a2-a,=0,可知9=g=8,解得g=2 又a1>0,所以数列{an}为递增数列. 对点训练1：D如等比数列{(-1)“}的公比为-1，为摆动 数列，不具有单调性：等比数列{（分）广}的公比为子，是递减数 列；等比数列-（分）}的公比为7，是递端数列， 6