1.1.1 数列的概念-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

学案及练案部分 参芳答案 [学案部分] 第一章数列 :7,7×9,…是两个相邻奇数的乘积 2n §1数列的概念及其函数特性 故a,=(2n-1）(2n+) (2)奇数项为1，偶数项为0， 1.1数列的概念 「1，n为奇数 故a.={0,n为偶数 必备知识探新知 (3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负， 知识点一 偶数项为正，故an=(-1)“·n 1.次序2.每一个数3.an}首项通项 想一想： (4)数列各项可化为号×9，号×9，号×9，…，所以通项 数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为 二者的项的排列次序不同 公式为a,=号(10-1). 练一练： 例3：(1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6=-60. (1)×1,3,5,7}不表示数列 (2)令3n2-28n=-49, (2)×数列具有有序性，顺序不同一定不是相同数列 (3)V数列中的各项数可能相等 解得n=7或n=子（合去）。 知识点 所以n=7,即-49是该数列的第7项」 1.有限2.无限 练一练： 令3n-28m=68,解得a-兰或n=-2 ACB、D是有穷数列，A、C是无穷数列 因为3 知识点三 N”,-2gN,所以68不是该数列的项 一个式子 (3)am=n(3n-28),令an<0 练一练： 又neN,解得n=1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1.B这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项 即数列{an}中有9个负数项 公式为an=n+1. 对点训练3：令户，=9 2.2因为an= +10,得2=9， /16-2n 所以n=3(n=-3舍去)， 所以a4=16-8 4 =2 故号是该数列中的项，并且是第3项： 关键能力攻重难 例1：AC根据数列的相关概念，可知数列4,7.3,4的第1 令0得所以= 项就是首项，即4，故A正确：同一个数在一个数列中可以重复 由于兮与-了都不是正整数。 出现，故B错误；由无穷数列的概念可知C正确；当a,b都代表 数时，能构成数列，当a,b中至少有一个不代表数时，不能构成 因此品不是数列中的项 数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误 例4：集合可表示为1,2,3,4}，由集合中的元素组成的数 对点训练1：CA中，14,2，了，5是数列：B中，数列的第列要求首项为1，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有6 个：1,2,3,4；1,2,4,3；1,3,2,4；1,3,4,2；1,4,2,3；1,4,3,2. k项为1+：D中，数列应记为2n-2,所以D不正确：很明课堂检测固双基 显C正确. 1.B各项乘2，变为1×2,2×3,3×4，…，可得原数列的通项公 例2：(1)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，新数 式为a,=(n+1 列{bn}的通项公式为bn=10,可得原数列{an}的一个通项公式 2 为am=10”-1 故x=a,=5x(5+山=15. 2 新数列山的通项公式为，21，考虑到〔是1具有转换2A②正确，其余均不对。 (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数， 正负号的作用，所以原数列{a.}的一个通项公式为a.= 3.B观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项 多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可，根 (-1)"1(2n-1). 据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+ (3)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分 5+6+7=28. 数再观察各项变为分子，号空所以数列a的- 4.17令n(n+2)=323,n2+2n-323=0, 个通项公式为“，= .(n+19)(n-17)=0,:neNt,n=17. 1.2 数列的函数特性 (4)3可看作2+1,5可看作22+1,9可看作2+1,17可 看作2+1,33可看作2+1，…，所以数列a}的一个通项公式必备知识 探新知 为an=2"+1. 知识点一 对点训练2：(1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×： 正整数集N,从小到大 -149●001 第一章数列 §1数列的概念及其函数特性 1.1数列的概念 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.了解数列、通项公式的概念，能根据通项公 1.通过对数列有关概念的学习，培养数学抽象 式确定数列中的项， 素养。 2.能根据数列的前几项写出数列的一个通项2.借助通项公式的确定与应用，提升数学运算 公式 素养 必备知识 探新知 知识点一 数列的有关概念 1.数列：按一定 排列的一列数叫作数列. 2.项：数列中的 叫作这个数列的项. 3.数列的表示：数列的一般形式可以写成a41,a2,a,…,a,…或简记为 ·数列的第1项， 也叫数列的 ,an是数列的第n项，也叫数列的 [提醒]{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列中的第n项. 想一想： 数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1是同一个数列吗？ 练一练： 思考辨析（正确的画“V”,错误的画“×”） (1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}. (2)数列1,0，-1，-2与数列-2，-1,0,1是相同的数列 (3)数列中的项可以相等， 知识点二数列的分类 1.项数 的数列称为有穷数列： 2.项数 的数列称为无穷数列· 002 练一练： （多选)下列四个数列中，是无穷数列的是 1吃写房 B.1,2,3,4,…,2n c-1,分-子8… D.1,2,5,…,√21 知识点三数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用 表示成an=f(n),那么这个 式子叫作这个数列的通项公式， [提醒]1.并不是所有的数列都有通项公式. 2.同一数列的通项公式表达形式不是唯一的.例如，数列-1,1，-1,1，-1,1，…的通项公式可 以写成an=(-1)”,an=（-1)”+2或an=COS nT等 3.数列的通项公式的定义域是正整数集N,或它的有限子集. 练一练： 1.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为 A.an=n B.a =n+1 C.a=n+2 D.a =2n 2.数列{an}中，若an= ，则a4=一 √J16-2n 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一数列的概念及分类 例.（多选）下列说法正确的是 A.数列4,7,3,4的首项是4 B.数列{an}中，若a1=3,则从第2项起，各项均不等于3 C.数列1,2,3，…是无穷数列 规律方法： 数列概念的三个注 D.a,-3,-1,1,b,5,7,9,11能构成数列 ·[规律方法] 意点 》对点训练1 (1)裁列{an}表示裁列 下列说法正确的是 a1,02,a3,,an,,不 是表示一个集合，与 A1,42分5不是数列 集合表示有本质的 区别. B数列}的第项为1+房 (2)从数列的定义可 以看出，如果组成数 列的裁相同而排列次 C.-1,1,3,5,…是数列 序不同，那么它们就 D.数列0,2,4,6,8，…可记为{2n 是不同的数列；在定 题型二根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 义中，并没有规定数 例2写出下面各数列a,的一个通项公式： 列中的数必须不同， 因此，同一个数在数 (1)9,99,999,9999,… 列中可以重复出现. (2)1,-3,5,-7,9,… (3)裁列中各项的次 序揭示了数列的规律 性，是理解、把握数列 的关健. (4)3,5,9,17,33,… ●003 [分析]观察给出的前几项，归纳、猜想出通项公式， 规律方法： 由裁列的前几项求通 项公式的思路 (1)先统一项的结构， 如都化成分数、根式 等，然后通过观察、分 析、联想、比较，去发 现项与序号之间的 关系； (2)如果关系不明显， 可将各项同时加上或 减去一个数，或分解、 还原等，将规律呈现， 便于我通项公式； (3)要借助一些基本 裁列的通项，如正整 。[规律方法] 数数列、正整数的平 方数列、奇裁列、偶 对点训练2 数列等； 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式 (4)符号用(-1)”或 写58 (-1)”+来调整； (5)分式的分子、分 (2)1,0,1,0,… 母分别找通项，还要 (3)-1,2,-3,4,… 充分借助分子、分母 (4)2,22,222,2222,… 的关系； (6)对于周期出现的 数列，可考虑拆成几 个简单裁列和的形 式，或者利用周期函 数，如三角函数等求 通项. 004 题型三数列中的项的求解与判断 例3.已知数列1a,的通项公式为4，=3m-28m (1)写出数列的第4项和第6项， (2)-49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数 列的一项呢？ (3)数列{an}中有多少个负数项？ [分析](1)分别将n=4,n=6代人通项公式，即可求得a4,a6;(2)令 an=-49,an=68,分别求得n的值，若n∈N*,则是数列的项，否则不是该数 列的项；(3)令an<0,求出n的范围，范围内正整数的个数即数列{an}中负数 项的个数 规律方法： 判断某数值是否为该 戴列的项的方法 先假定它是数列中的 第n项，然后列出关于 n的方程若方程解为 正整数，则是数列中 的一项；若方程无解 ●[规律方法] 或解不是正整数，则 》对点训练3 不是该戴列中的 一项. 已知数列0，的通项公式是a,=” n2+1 试判品和是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；者不是，说 明理由. 005 ●易错警示 忽略数列有序性致误 例4写出内集合xxN,且x≤4中的所有元素构成的所有数列（要求首项为1，且集合的元素 只出现一次). [误区警示]数列的记法{a,}只是“借用”集合的符号{}表示数列，它们之间有本质上的区 别：(1)集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的.(2)集合中的元素是无序的，而数列 中的项必须按一定顺序排列. 课堂检测固双基 1.数列1,3,6,10，x,21,28,…中，由给出的数之3.把1,3,6,10,15,21这些数叫作三角形数，这 间的关系可知x的值是 ( 是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图 A.12 B.15 C.17 D.18 所示)，则第七个三角形数是 2.有下列命题： ①数列号号各…的-个通项公式是口 10 15 s、h B.28 n+1 A.27 C.29 D.30 ②数列的图象是一群孤立的点； 4.323是数列{n(n+2)}(n∈N,)的第项 ③数列1，-1,1，-1，…与数列-1,1，-1,1，…是 同一数列， 其中正确命题的个数为 夯基提能作业 A.1 B.2 C.3 D.0 请同学们认真完成练案[1] 1.2 数列的函数特性 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.了解数列的几种简单表示方法， 1.通过对递增数列、递减数列、常数列等概念的学 2.了解递增数列、递减数列、常数列的概念 习，培养数学抽象素养 3.掌握判断数列的增减性的方法 2.借助数列的增减性的判断，提升逻辑推理素养