第15章 分式 单元测试卷（A卷） 2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

八年级数学下册 第15章 分式 单元测试卷（A卷） 华东师大版 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。 1．要使分式有意义，则的取值应满足（　　） A． B． C． D． 2．解分式方程 时，去分母正确的是（　　) A．2-（x-2)=2+x B．2-（x-1)=2+x C．2-（x-1)=-2+x D．- 2+（x-1)=2+x 3．用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入1320个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用1小时输完，这两名操作员每分钟各能输入多少个数据?设乙每分钟能输入x个数据，根据题意，下列方程正确的是 （　　) A． B． C． D． 4．通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000074”用科学记数法表示为（　　） A．0.74×10-4 B．7.4×10-4 C．7.4×10-5 D．74×10-6 5．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 6．计算：（　　） A．27 B． C． D． 7．把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍 C．缩小为原来的 D．不变 8．定义一种新运算，当时，．若，则的值为（　　） A． B．4 C．4或 D．4或 9．下列分式为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 10．“若关于x的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下： 尖尖： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： ， 原方程无解， ， ． 丹丹： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 原方程无解，为增根， ，解得， ，解得． 下列说法正确的是（　　） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都对 D．两人的答案合起来才对 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。 11． 计算： 　 　. 12．某种细胞的直径约为0.00000095米，若将0.00000095这个数字用科学记数法表示，可表示为，这里的n值为　 　． 13．当x　 　时，分式有意义. 14．已知：（均不为零），则　 　． 15．已知，则　 　，　 　． 16．我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为x天，则根据题意可列出的方程为　 　． 三、解答题：本大题共10个小题，共102分。 17．解方程： 18．先化简，再求值：其中． 19．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产________件产品（用含的式子表示）； （2）更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品． 20．小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．” （1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？ （2）请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． 21．一块麦田有m hm2，甲收割完这块麦田需 n h， 乙比甲少用0.5h就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要多少小时? 22．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于则至少购进A型机器人多少台？ 23．小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的AI分析。 豆包给出分析： 这个解答从第 步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误。 正确解答为：，其中x=1 解：原式= 24．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 25．定义新运算：对于任意实数a，b（其中），都有，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如． （1）求的值； （2）若，求x的值． 26．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则.” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数.如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 如 这样的分式就是假分式； 这样的分式就是真分式.类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式). 如： 解决下列问题： （1）【理解知识】分式 是　 　分式（填“真”或“假”)； （2）【掌握知识】将假分式 化为带分式； （3）【运用知识】求所有符合条件的整数x 的值，使得分式 的值为整数. 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得，x＋3≠0， ∴x≠−3， 故答案为：D． 【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】 解： 去分母 ，两边同乘：（x-1）得： 2-（x-1)=2+x 故答案为：B. 【分析】根据解分式方程去分母：两边同乘：（x-1），由此即可解答. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：设乙每分钟能输入x个数据 由题意可得： 故答案为：D 【分析】设乙每分钟能输入x个数据，根据操作需输入1320个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用1小时输完建立方程即可求出答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：0.000074=7.4×10-5. 故答案为：C. 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数. 5．【答案】B 【解析】【解答】解： 故答案为：B . 【分析】直接根据乘法法则运算即可. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：； 故答案为：C 【分析】根据计算即可得到答案． 7．【答案】D 【解析】【解答】 解： 将x和y都扩大4倍后，代入分式得到： ， 可以得出：扩大x和y的值后，分式的值没有发生变化； 故答案为：D. 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以或同除以一个不等于0的数，分式的值不变； 即可把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：当时，则， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意； 当时，则， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意； 综上，的值为4或， 故答案为：D． 【分析】分和两种情况分别根据新运算计算求解即可． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：A、，不是最简分式，故A不符合题意； B、，不是最简分式，故B不符合题意； C、不能约分，是最简分式，故C符合题意； D、，不是最简分式，故D不符合题意； 故选：C． 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，进行约分，化出最简分式即可进行判断． 10．【答案】D 【解析】【解答】解：∵分式方程无解分两种情况，当方程去分母后得不到x的值或方程有增根； ∴两人的答案合起来才对． 故选：D． 【分析】分式方程的无解包括两种情况，①当分母为0时，分式方程无解，求出x的值，代入到去分母后的整式方程求出参数的值； ②去分母后整理成的形式，如果，，此时分式方程也无解． 11．【答案】3 【解析】【解答】 解： 1+2=3 故答案为：3. 【分析】先计算0指数幂等于1，再计算负指数幂等于2，再计算和，解答即可. 12．【答案】-7 【解析】【解答】解：0.00000095=9.5×10-7， ∴这里的n值为-7. 故答案为：-7 . 【分析】将0.00000095用科学记数法表示需先确定a和n的值，根据a的取值范围不难得到本题中a=9.5，确定n的值时，要看把0.00000095变成a×10n的形式时，小数点向右移动了多少位，n的绝对值就是几，注意本题中n是负数. 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵分式有意义 ∴当x-5≠0即x≠5. 故答案为≠5. 【分析】先求出x-5≠0，再计算求解即可。 14．【答案】 【解析】【解答】解：（，，均不为零）， 设，则，， ． 故答案为：． 【分析】根据题意设，则，，进而代入约分即可求解。 15．【答案】； 【解析】【解答】解：， ， ， ， ， 解得，， 故答案：，． 【分析】先通分计算分式减法运算得，再解二元一次方程组即可求得. 16．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天， 根据快马的速度是慢马的2倍，得， 故答案为：． 【分析】设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可． 17．【答案】解： 方程可化为 方程两边都乘（x-2)，得1=-（x-1)+3（x-2)， 解得x=3， 检验：当x=3时，x-2≠0. ∴x=3是原分式方程的解. 【解析】【分析】去分母，转换为整式方程，再解方程即可求出答案. 18．【答案】解： 当时，则原式 【解析】【分析】利用同分母分式的减法法则计算得到括号里面为，同时利用除法法则变形得到，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可． 19．【答案】（1） （2）解：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 则（件）， 答： 更新设备后每天生产125件产品． 【解析】【解答】解：（1）（件）. 故答案为：. 【分析】（1）根据题意列代数式，再整理即可； （2）根据题意找出等量关系，再列分式方程，解方程即可． （1）解：因为更新设备后生产效率比更新前提高了， 所以更新设备后每天生产件产品， 故答案为：； （2）解：由题意知：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 所以更新设备后每天生产件． 20．【答案】（1）小明的解法：①错误；小红的解法：②错误。 （2）原式. 当时，原式 【解析】【分析】 （1）观察小明和小红的计算过程，然后进行解答即可； （2）先把分式的分母分解因式，再进行通分，然后按照同分母分式相减法则进行计算，然后约分，最后把a=1代入化简后的式子进行计算即可. 21．【答案】解：由题意可得： 甲的工作效率为m2/h，乙的工作效率为m2/h ∴两人合作的总效率为+= ∴两人一起收割完需要的时间为小时 【解析】【分析】分别求出甲乙两人工作效率，再求出两人工作总效率，再求出时间，结合分式加法，除法即可求出答案. 22．【答案】（1）解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运千克材料， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料 （2）解：设购进A型机器人台，则购进B型机器人台， ， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴a的最小值为， 答：至少购进A型机器人17台 【解析】【分析】（1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运千克材料，利用“A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同 ”列出方程求解即可； （2）设购进A型机器人台，则购进B型机器人台，利用“ 要求每小时搬运材料不得少于 ”列出不等式求解即可. 23．【答案】解：①； 当=1时 原式=1-1=0 【解析】【分析】根据同分母分式的加减运算法则求解即可. 24．【答案】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 根据题意得：， 方程两边同乘， 得， 解得， 经检验，是分式方程的解； 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 【解析】【分析】设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，再利用“每台新型机器人搬运960吨货物的时间和每台旧型机器人搬运720吨货物的时间相同”列出方程，再求解即可. 25．【答案】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：， 经检验，符合题意， ∴． 【解析】【分析】 （1）根据题干所给的新运算方式列出式子计算即可求解； （2）根据题干所给运算方式列关于x的分式方程，解方程并检验即可求解． （1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解得：， 经检验，符合题意， ∴． 26．【答案】（1）真 （2）解： （3）解： 与x均为整数， ∴x-1=±2或±1， ∴x=-1或3或0或2 【解析】【解答】解：（1）∵2025的次数为0，x的次数为1 ∴是真分式 故答案为：真 【分析】（1）根据真假分式的定义，结合单项式相关量的定义即可求出答案. （2）根据带分式的定义，结合分式的性质化简即可求出答案. （3）根据分式的性质化简，结合分式的性质即可求出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $