专题 1.4 整式的除法（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.4 整式的除法（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】单项式除以单项式 1 ★【题型 1】单项式除以单项式 1 ★【题型 2】单项式除以单项式求参数的值 3 【知识点二】多项式除以单项式 4 ★【题型 3】多项式除以单项式 4 ★【题型 4】多项式除以单项式与字母的值 6 二.综合培优题型精析 7 ★★【题型 5】多（单）项式除以单项式化简求值 7 ★★【题型 6】多项式除以单项式与几何面积 10 三.中考真题专练 14 （一）选择题（6题） 14 （二）填空题（3题） 16 （三）解答题（3题） 17 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】单项式除以单项式 运算法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 特别提示：单项式除以单项式是单项式乘以单项式的逆运算。 ★【题型 1】单项式除以单项式 【例题1】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试），则括号内应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算： ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． ★【题型 2】单项式除以单项式求参数的值 【例题2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如果，则 ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若，则的取值分别为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）已知，则的值为 ． 【知识点二】多项式除以单项式 运算法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 ★【题型 3】多项式除以单项式 【例题3】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（2025九年级上·重庆·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京密云·期末）计算： ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． ★【题型 4】多项式除以单项式与字母的值 【例题4】（25-26七年级上·上海·期中）已知为，为，根据流程图列式计算，求． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）一个三角形的面积为，若它的一边长为，则这个边上的高为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·月考）任意给一个非零数，按下列程序进行计算，输出结果是 ． 【变式3】（23-24七年级下·江西景德镇·期中）已知某长方形的面积是，它的一边长为，求此长方形的周长． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 5】多（单）项式除以单项式化简求值 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下是明明的课后作业，阅读并完成下列任务： 化简：． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)任务一：上述化简过程在第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)任务二：写出正确的化简过程． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）已知，求：的值． 【变式2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知与 是同类项，先化简，再求值． 【变式3】（25-26八年级上·广东汕尾·月考）先化简，再求值：，其中，． ★★【题型 6】多项式除以单项式与几何面积 【例题6】（23-24七年级下·河南郑州·月考）如图，某新建高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷泉四周留有宽度均为b米的人行通道． (1)请用代数式表示高铁站广场的面积并化简； (2)请用代数式表示喷泉的面积并化简； (3)喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客通行，若每块地砖的面积是平方米，则刚好铺满不留缝隙，求需要这样的地砖多少块． 【变式1】（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，某新建高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷泉四周留有宽度均为米的人行通道． (1)请用代数式表示喷泉的面积并化简； (2)喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客通行，若每块地砖的面积是平方米，则刚好铺满不留缝隙，求需要这样的地砖多少块． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，现有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果该长方体纸盒的容积为，底面的一边的长为． (1)求的长； (2)求原长方形的面积． 【变式3】（24-25六年级下·山东烟台·期末）（1）小刚在做作业时，不小心在算式上滴了一滴墨水，于是他翻书找到答案，正确结果为．请你帮助小刚求出“█”处应表示的数； （2）某校有一个长方形操场，长为米，宽为米，为了美化校园环境，学校决定在操场内四周做a米宽的绿化带，负责后勤的黄老师让小明和小颖计算剩下的操场的面积，小明计算的结果是，小颖计算的结果是，他们为此争论不休，你能运用所学的知识来帮他们判断对错吗？并说明理由． 三.中考真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·四川德阳·中考真题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川南充·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川泸州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·新疆·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·江苏扬州·中考真题）若，则括号内应填的单项式是(   ) A．a B． C． D． （二）填空题（3题） 7．（2023·山东青岛·中考真题）计算： ． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 9．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． （三）解答题（3题） 10．（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 11．（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． 12．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.4 整式的除法（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】单项式除以单项式 1 ★【题型 1】单项式除以单项式 1 ★【题型 2】单项式除以单项式求参数的值 3 【知识点二】多项式除以单项式 4 ★【题型 3】多项式除以单项式 4 ★【题型 4】多项式除以单项式与字母的值 6 二.综合培优题型精析 7 ★★【题型 5】多（单）项式除以单项式化简求值 7 ★★【题型 6】多项式除以单项式与几何面积 10 三.中考真题专练 14 （一）选择题（6题） 14 （二）填空题（3题） 16 （三）解答题（3题） 17 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】单项式除以单项式 运算法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 特别提示：单项式除以单项式是单项式乘以单项式的逆运算。 ★【题型 1】单项式除以单项式 【例题1】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 根据单项式除以单项式法则计算即可得； （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试），则括号内应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了计算单项式除以单项式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据题意列出算式，再计算即可． 解：∵， ∴括号内应填的代数式是， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方计算，先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的计算法则求解即可． 解： ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的除法，同底数幂的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）利用单项式除以单项式法则计算即可； （2）将系数与同底数幂分别相除，再将结果相乘即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ★【题型 2】单项式除以单项式求参数的值 【例题2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如果，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，根据指数运算法则，先计算分母的平方，再将除法转化为分数形式，分别比较x和y的指数得出方程，求解a和b的值即可 解： 化简得：， 简化得： 两边除以2： ，， 解得：，解得 ， 故答案为：5． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若，则的取值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式除以单项式，同底数幂的除法，根据单项式除以单项式的计算法则计算即可得出m、n的值，熟练掌握单项式除以单项式的计算法则是解此题的关键． 解：， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则，系数与同底数幂分别相除，再通过指数对应相等，求出和的值，最后计算． 解：由已知等式， ，且该式等于 ∴． 由于右边不含， ∴，即：． 解得：． 代入得：． ∴． 解得：． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式的运算法则，解题关键是利用“同底数幂相除，指数相减”的规则，通过等式两边指数对应相等来求解． 【知识点二】多项式除以单项式 运算法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 ★【题型 3】多项式除以单项式 【例题3】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，正确掌握运算法则是解题的关键． 运用多项式除以单项式的法则进行计算，即可作答． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（2025九年级上·重庆·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．利用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式后化简． 解： 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·北京密云·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式除以单项式的运算法则，用多项式的每一项除以单项式． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）多项式除以单项式用多项式的每一项分别与单项式相除即可，根据法则计算即可； （2）先计算积的乘方，然后再利用多项式除以单项式的法则进行计算即可； （3）多项式除以单项式用多项式的每一项分别与单项式相除即可，根据法则计算即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． ★【题型 4】多项式除以单项式与字母的值 【例题4】（25-26七年级上·上海·期中）已知为，为，根据流程图列式计算，求． 【答案】 【分析】本题考查了流程图计算，多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据流程图列式得到，即，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可解答． 解：根据题意可知，， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）一个三角形的面积为，若它的一边长为，则这个边上的高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了整式的除法运算．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 解：∵三角形的面积为，它的一边长为， ∴这个边上的高为： ， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·月考）任意给一个非零数，按下列程序进行计算，输出结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了列代数式，整式的混合运算，按照规定的运算顺序与计算方法列出代数式，根据整式的混合运算法则计算即可得出结果． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·江西景德镇·期中）已知某长方形的面积是，它的一边长为，求此长方形的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，根据长方形面积先求出长方形的另外一条边长，然后再求出周长即可． 解：长方形的另一边长为： ， 故长方形的周长为： ． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 5】多（单）项式除以单项式化简求值 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下是明明的课后作业，阅读并完成下列任务： 化简：． 解：原式   第一步    第二步 ．   第三步 (1)任务一：上述化简过程在第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)任务二：写出正确的化简过程． 【答案】(1)二；括号前是负号，去括号时未变号 (2)见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据去括号法则即可得在第二步开始出现错误，去括号时未变号； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算多项式除以单项式，然后计算整式的加减即可得． （1）解：上述化简过程在第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是负号，去括号时未变号， 故答案为：二；括号前是负号，去括号时未变号． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）已知，求：的值． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方的非负性，整式混合运算的化简求值等知识点，能灵活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键．先根据完全平方公式将变形为，求出，，再根据积的乘方和单项式除以单项式进行计算，代入a、b的值，进而求出答案即可． 解：因为， 所以， ， 所以， 解得， 因为， 当，时，． 【变式2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知与 是同类项，先化简，再求值． 【答案】， 【分析】本题考查同类项的概念，代数式的化简求值，熟练掌握相关知识是解题关键． 先根据代数式的混合运算的法则进行化简，再根据同类项的定义求出和的值，代入求值即可． 解： ， ∵与 是同类项， ∴，， ∴，， 当，时， 原式， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·广东汕尾·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，利用平方差公式和单项式乘以多项式展开后合并同类项，再除以单项式进行化简，最后把，代入计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：， ， 当，时， 原式 ． ★★【题型 6】多项式除以单项式与几何面积 【例题6】（23-24七年级下·河南郑州·月考）如图，某新建高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷泉四周留有宽度均为b米的人行通道． (1)请用代数式表示高铁站广场的面积并化简； (2)请用代数式表示喷泉的面积并化简； (3)喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客通行，若每块地砖的面积是平方米，则刚好铺满不留缝隙，求需要这样的地砖多少块． 【答案】(1) (2) (3)需要这样的地砖块． 【分析】本题考查列代数式，多项式乘多项式及多项式除以单项式的应用，熟练列式是解本题的关键； （1）直接利用长方形的面积公式计算即可； （2）先表示喷泉的长与宽，再结合长方形的面积公式，可以用代数式表示出喷泉的面积； （3）根据（1）（2）中的结果，计算道路的面积再除以每一块地砖的面积，可以解答本题； （1）解：高铁站广场的面积为： ； （2）由图可得，喷泉面积为： ； （3） （块）， 答：需要这样的地砖块． 【变式1】（23-24七年级下·广西百色·期末）如图，某新建高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在中间留一个长方形喷泉（图中阴影部分），喷泉四周留有宽度均为米的人行通道． (1)请用代数式表示喷泉的面积并化简； (2)喷泉建成后，需给人行通道铺上地砖方便旅客通行，若每块地砖的面积是平方米，则刚好铺满不留缝隙，求需要这样的地砖多少块． 【答案】(1)， (2)块 【分析】本题考查列代数式，多项式乘多项式及多项式除以单项式的应用， （1）根据题意目中的数据和图形，结合长方形的面积公式，可以用代数式表示出喷泉的面积； （2）根据（1）中的结果和题意，结合长方形的面积公式，可以解答本题； 解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）解：由图可得，喷泉面积为：； （2） ＝ ＝ （块）， 答：需要这样的地砖块． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，现有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果该长方体纸盒的容积为，底面的一边的长为． (1)求的长； (2)求原长方形的面积． 【答案】(1) (2)原长方形的面积为． 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据题意列式为，将其计算即可； （2）结合（1）中所求结果及已知条件，分别表示出，，然后相乘即可． （1）解：长方体纸盒的容积为，底边，高为， 则， 即的长为； （2）解：，， 则 ， 即原长方形的面积为． 【变式3】（24-25六年级下·山东烟台·期末）（1）小刚在做作业时，不小心在算式上滴了一滴墨水，于是他翻书找到答案，正确结果为．请你帮助小刚求出“█”处应表示的数； （2）某校有一个长方形操场，长为米，宽为米，为了美化校园环境，学校决定在操场内四周做a米宽的绿化带，负责后勤的黄老师让小明和小颖计算剩下的操场的面积，小明计算的结果是，小颖计算的结果是，他们为此争论不休，你能运用所学的知识来帮他们判断对错吗？并说明理由． 【答案】（1）；（2）小颖的结果对，理由见解析 【分析】本题主要考查整式的加减乘除运算的应用，熟练掌握整式加减乘除运算法则是解题的关键． （1）根据乘除和加减的相互转化，列出算式，计算得到答案； （2）用大长方形面积减去绿化带面积，得小颖的计算结果正确． 解：（1） 所以“█”处应表示的数为； （2）小颖的结果对；理由： 由题意得： 与小颖的计算结果相同，因此小颖的结论正确． 三.中考真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·四川德阳·中考真题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项、去括号、整式乘法及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别根据合并同类项，去括号，单项式的乘除运算法则逐项判断即可． 解：A：与的字母部分不同（与），不是同类项，无法合并，故本选项的计算错误； B：，故本选项的计算错误； C：，故本选项的计算正确； D：，故本选项的计算错误． 故选：C． 2．（2025·四川南充·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行解答即可． 解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘除法，多项式除以单项式，负整数指数幂，根据运算法则进行逐项计算，即可作答． 解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 4．（2024·四川泸州·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5．（2023·新疆·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算单项式乘以单项式，然后根据单项式除以单项式进行计算即可求解． 解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 6．（2023·江苏扬州·中考真题）若，则括号内应填的单项式是(   ) A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答． 解：∵， ∴（   ）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键． （二）填空题（3题） 7．（2023·山东青岛·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可． 解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，根据定义新运算计算即可，解题的关键是掌握定义新运算的运算法则． 解：根据新定义可得： ， 故答案为：． 9．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． （三）解答题（3题） 10．（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可． 解： ， 当时，原式． 11．（2024·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，运用完全平方公式展开，先算除法，再算加减法，最后代入求值即可． 解：原式 ， 当时，原式． 12．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 解： ， 当，时，原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $