精品解析：江苏省天一中学2025-2026学年高一第一学期期末考试数学强化班试题

江苏省天一中学2025－2026学年第一学期期末考试 高一数学（强化班） 命题 王凯 审阅 李维维 一、单选题 1. 已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间上有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 设全集，集合，，则集合（ ） A B. C. D. 3. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图，在中，，，则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 6. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 7. 当把一个任意正整数表示成的时候，就可以得出正整数的位数是，如：，则625的位数是3．利用上述方法，判断的位数是（ ） （参考数据：，） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 8. 已知，则（ ） A. B. － C. D. － 二、多选题 9. 已知向量，，则（ ） A. 向量夹角为 B. 若，则 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 若，函数在上有2个零点，则 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知函数则不等式的解集为__________. 13. 如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 14. 若对于，总，使得，则实数最小值为______. 四、解答题 15. 在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且. （1）当时，若，求的值； （2）当时，求的值. 16. 已知向量，，. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）将图象的纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，求的最小值. 17. 已知函数，. （1）判断奇偶性以及在上的单调性（直接写结果，无需证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 18. 均匀绳索在仅受其自身重力作用下形成的曲线可以用双曲函数来描述，其中最基本的双曲正弦函数和双曲余弦函数定义如下：双曲正弦函数，双曲余弦函数，（e为自然对数的底）.已知函数. （1）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围； （2）求证：函数有且只有一个零点； （3）记函数的唯一零点为，证明：. 19. 已知，且，定义的“区间长度”为，函数的定义域为. （1）当时，求关于的不等式解集的“区间长度”； （2）已知，设关于的不等式解集的“区间长度”为. （i）若，求的值； （ii）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省天一中学2025－2026学年第一学期期末考试 高一数学（强化班） 命题 王凯 审阅 李维维 一、单选题 1. 已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间上有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，及定理本身就是充分不必要条件，即可作出判断. 【详解】因为函数的图象在上连续不断，若，则在区间上有零点，所以“”是“在区间上有零点”的充分条件；若，满足在区间上有零点，但是，所以“”不是“在区间上有零点”的必要条件，所以“”是“在区间上有零点”的充分不必要条件． 故选A． 2. 设全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式可得集合间的关系. 【详解】因为，所以，即， 所以或. 于是集合. 故选：B 3. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】结合指数运算法则与基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 4. 若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（ ） A B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义得与的方程组，可解出，即得答案. 【详解】根据已知条件， 为奇函数， 为偶函数，可得： ， 联立解得： 计算得： 因此，. 故选：D. 5. 如图，在中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 6. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得为偶函数，由题意得，画出函数与在上的大致图象，数形结合可得结论. 【详解】易得的定义域为， 且，所以偶函数. 当时，.令，可得. 画出函数与在上的大致图象，如图所示， 易得与在上的图象的交点个数为1， 所以在上的零点个数为1. 又因为为偶函数，，所以的零点个数为2. 7. 当把一个任意正整数表示成的时候，就可以得出正整数的位数是，如：，则625的位数是3．利用上述方法，判断的位数是（ ） （参考数据：，） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】设，，则，计算即可求出，从而得出结果． 【详解】设，其中， 两边取对数得， 因为， 所以， 因为，所以，即， 解得， 又因为，所以，所以位数是， 故选：C 8. 已知，则（ ） A. B. － C. D. － 【答案】D 【解析】 【分析】结合，运用两角和与差的正弦公式构造出与，再利用诱导公式，即可得解. 【详解】由得，①，②， 即，， ∴ ∵，∴. 故选：D. 二、多选题 9 已知向量，，则（ ） A. 向量的夹角为 B. 若，则 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量夹角的坐标运算、向量垂直的坐标表示、投影向量的求法、向量平行的坐标表示依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，， ，又， ，A正确； 对于B，，，解得：，B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为，C错误； 对于D，，， ，，解得：，D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 在上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 若，函数在上有2个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的部分图象求出的解析式，结合正弦函数的奇偶性、单调性、最值与零点可判断各个选项. 【详解】设函数的周期为，由图象可知，，，所以，解得，此时； 如图，，因为，所以，因此； 对于A，因为函数，所以函数是奇函数，故A正确； 对于B，因为，所以，结合正弦函数的单调性知，在上单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以的最小值等于，故C错误； 对于D，依题意，，由，，得；因为，函数在上有2个零点，，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由条件推得，对于A，利用指数函数的单调性，即可判断；对于B，根据条件，可得，再利用三角函数的单调性，可得，即可判断；对于C，利用在区间上单调递减，可得，再利用和的单调性，即可推得；对于D，利用和的单调性，可得，再利用对数函数的单调性，即可推得. 【详解】由，可得，则， 对于A，由是增函数，是减函数，可得， 故，故A正确； 对于B，因为，所以， 又在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以，则有，故B错误； 对于C，由，又在区间上单调递减， 可得，故有是减函数，则， 又由在上是增函数可得，，因此，故C正确； 对于D，因为在上是增函数，所以，又是减函数，得， 因此，两边取对数可得，故D正确. 故选：ACD． 【点睛】方法点晴，比较函数值的大小，常用的方法： （1）利用基本函数的单调性，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等； （2）借助中间值进行比较，常用和. 三、填空题 12. 已知函数则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断的单调性，然后化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且时，， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 13. 如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则______. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】以为基底，将表示出来，从而求得数量积. 【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以， 因为，所以， 所以. 因为，，， 所以 . 故答案为： 14. 若对于，总，使得，则实数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数性质解不等式，由题意，列不等式求解即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的解集为， 对于，总，使得， 所以，，， 所以， 所以，即实数的最小值为. 故答案为： 四、解答题 15. 在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且. （1）当时，若，求的值； （2）当时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立平面直角坐标系，写出坐标和向量，再通过题目给的条件列式即可； （2）先设出点坐标，利用和条件列式并联立即可求解. 【小问1详解】 由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则， ，、，又D为AC边上的中点，， 当时，E为BC边上的中点，，即、、， 又，，即，解得， . 【小问2详解】 设，则，又，，， 、，又，，即，解得， ，解得. 16. 已知向量，，. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）将图象的纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，求的最小值. 【答案】（1），单调递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标表示以及辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据周期的计算公式以及单调区间的求法即可求解； （2）先根据三角函数图形伸缩、平移变换的规律得到，再根据正弦函数的奇偶性，求出，从而可得答案. 【小问1详解】 已知， 可得：， 化简得： ，最小正周期， 令，可得， 所以的单调递减区间是. 【小问2详解】 的图象的纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，得到的图象. 再向左平移个单位， 得到的图象， 因为为偶函数，所以， 移项可得，则， 因为，当时，取得最小值为. 17. 已知函数，. （1）判断奇偶性以及在上的单调性（直接写结果，无需证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）偶函数，在上单调递增； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性；通过换元，将解析式变为判断单调性； （2）由是偶函数且在上单调递增，将转化为在上恒成立求解； （3）将不等式，转化为，再通过换元求解. 【小问1详解】 由，当且仅当时取等号， 所以时，故的定义域为， 由，故偶函数， 所以，设，则当时， 设，可知在单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增. 【小问2详解】 因为是偶函数且在上单调递增， 又时，恒成立， 所以时，有恒成立， 即在时恒成立 设，则， 解得或. 【小问3详解】 当时，，即， 因为对数函数单调递增，所以， 令，则， 所以， 令，则，， 因为在上单调递增，所以， 所以，则， 所以，所以. 又在上恒成立，即恒成立， 因为，所以. 综上，. 18. 均匀绳索在仅受其自身重力作用下形成的曲线可以用双曲函数来描述，其中最基本的双曲正弦函数和双曲余弦函数定义如下：双曲正弦函数，双曲余弦函数，（e为自然对数的底）.已知函数. （1）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围； （2）求证：函数有且只有一个零点； （3）记函数的唯一零点为，证明：. 【答案】（1）或； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）令，得，问题化为在上唯一零点，结合二次函数的性质分析判断参数范围； （2）根据对数函数、正弦型函数的性质，应用分类讨论研究的单调性，进而确定区间或端点值符号，由零点存在性定理证明结论； （3）根据已知有，应用分析法，将问题化为证明，结合（2）和零点存在性定理判断证明即可. 【小问1详解】 由题设，令，且，即， 所以，且， 令，则在上单调递增，则， 所以在上有唯一零点， 当时，在上无零点，不满足题设， 当时，对于，， 若或，此时方程无实根，不满足题设， 若， 当，满足题意， 当，不满足题意， 若且，此时方程有两根，记为且， 当，则，若， 此时，满足题意， 当，则，此时不满足， 综上，或； 【小问2详解】 由的定义域为， 且时，时， 显然在定义域上连续，则至少有一个零点， 当，则，，故， 当，则，，故， 所以的零点必在，且在上单调递增， 当，则，在上单调递增， 则在上单调递增， 其中， 所以在上存在唯一零点， 当，则，显然，且，故上恒成立， 综上，有且只有一个零点，得证； 【小问3详解】 由题意，则， 要证，即证，即证， 即，即证， 而， 由（2）且，则，故， 所以，得证. 19. 已知，且，定义的“区间长度”为，函数的定义域为. （1）当时，求关于的不等式解集的“区间长度”； （2）已知，设关于的不等式解集的“区间长度”为. （i）若，求的值； （ii）求的最大值. 【答案】（1）解集的“区间长度”为； （2）（i）或；（ii）的最大值为 【解析】 【分析】（1）由定义直接计算即可； （2）（i）不等式解集为或，设的两个根为，设的两个根为，结合三角函数的性质计算可求得的值；（ii）由（i）可得，即，利用基本不等式，结合三角函数的性质计算可求得的最大值. 【小问1详解】 当时，， 由，可得，故或， 又函数的定义域为，所以.或， 所以解集的“区间长度”为； 【小问2详解】 （i），，其中， 故不等式解集为或， 设的两个根为，其中，且， 同理，设的两个根为，其中，且， 所以，又，所以， 其中，即， 由诱导公式得，即， 又，解得或，故或， 所以 ， 或 ，所以或， （ii）由（i）可得，即， 即， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，所以或， 由于，故，所以， 所以舍去，故， 所以， 因为，，所以， 由，可得， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以，故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $