第7章 随机变量及其分布 章末复习与总结-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

070 章末复习与总结 知识体系构建 加法公式一■ 全概李公式 随 条件概奉 来法公式 贝叶斯公式 机变 分布列 量及 两点分布 离散型随机变量 二项分布 C-国 其分布 超几何分布 连续型随机变量 正态分布 正态密度曲线 -30原则 核心考点培优 考点一 条件概率及全概率公式 例1.(1)某市计划开展知识竞赛活动.某单位初步推选出3名男选手和5 名女选手，并从中随机选取4人组成代表队参赛.在代表队中既 有男选手又有女选手的条件下，男选手甲被选中的概率为() 以沿 [方法总结1] (1)计算条件概奉 cu u号 时，应明白是在谁的 条件下，计算谁的概 （2)已随礼作A,8满足PA)-写P(A18)-子，r(B①）=石 奉；明确P(A), P(BIA)以及P(AB) 则P(B)= 三者间的关系，实现 A. B.3 三者间的互化； 16 (2)理解全概奉公式 Cio D甜 P(B)=名P(A) (3)随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合 P(BIA:)中化整为零的 计算思想. 理的出行方式.某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早 上他选择自驾，坐公交车，骑共字单车的概率分别为，日，}，而 他自驾，坐公交车，骑共字单车迟到的概率分别为片，写，。，结果 这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是 >[方法总结1] 071 考点二 离散型随机变量的分布列、均值和方差 例2.(1)随机变量X的分布列如表所示若()=了，则D(3X-2)= ( X -1 0 1 [方法总结2] 随机变量的数学期望 P 6 b 与方差的三种求法 (1)定义法：结合分布 C.5 D.7 列，利用期望与方差 的定义直接计算； (2)甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种 (2)性质法：若专= 类和数量也大致相等.两个保护区每个季度发生违反保护条例的 aX+b,则E(专)= 事件次数的分布列分别为 aE(X)+b,D(专)= aD(X);D(X)= 甲保护区违规次数的分布列 E(X)-E2(X). 5 0 1 2 3 (3)公式法： P 0.3 0.3 0.2 0.2 分布模型期塑公式方差公式 E(X) D(X) 两点分布 乙保护区违规次数的分布列 =p =p(I-p) 二项分布 2 0 1 E(X) D(X)= X-B =np np(I-p)】 0.1 0.5 0.4 (n,P】 D(X)= 试评定两个保护区的管理水平. 超几何分 E(X) >[方法总结2] 布X-H (n,M.N) 不要求 记忆) 正态分布 E(X) x-N D(X)=a 072 考点三二项分布及其实际应用 例3某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有 A,B,C三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大 一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如表： 班级 二 三 四 人数 2 3 × [方法总结3] (1)从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率； 利用二项分布来解决 实际问题的关键在于 (2)从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习 在实际问题中建立二 时间每人选择一款软件，其中选A,B两款软件学习的概率都是 项分布的模型，也就 6,且他们选择AB,C任一款软件都是相互独立的，设这三名学 是看它是否为n重伯 努利试验，随机变量 生中下午自习时间选软件C的人数为，求的分布列和均值. 是否为在这n重伯努 [方法总结3] 利试验中某事件发生 的次数。此类问题主 要考查独立重复试 验、n重伯努利实验 和二项分布。 ●073 考点四超几何分布及其实际应用 例4某学校为了调查本校学生2025年4月“健康上网”（健康上网是指每 天上网时间不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学 生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以 下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率 分布直方图，如图所示. 个频率 组距 0.09--- [方法总结4] 利用超几何分布模型 0.04 0.03------ 解决离散型随机变量 0.02-- 0.01日 的分布列问题时，先 51015202530天数 判断所给问题是否属 (1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天于超几何分布，并明 的人数； 确离散型随机变量的 (2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网 可能取值以及每个值 天数超过20天的人数，求Y的分布列及均值E(Y) 所表示的意文，再利 用超几何分布的公 ●[方法总结4] 式，写出离散型随机 变量取每个值的概 率，最后按规范形式 写出其分布列 074 考点五正态分布的实际应用 例5，某工厂生产的T型零件的外直径服以正态分布X~N(00.2),从该 [方法总结5] 工厂上午和下午生产的T型零件中各随机取出一个，测得其外直径分 利用服从正态分布 别为9.52mm和9.98mm,试分析该工厂这一天的生产状况是否N(u,σ)的随机变量 正常. X在三个特殊区间上 取值的概奉，可以解 P[方法总结5] 决两类实际问题： (1)估计在某一范围 内的数量，具体方法 是先确定随机变量在 该范围内取值的概 奉，再乘样本容量 即可； (2)利用3σ原则作决 策.决策步骤如下： ①确定一次试验中取 值a是否落入范围 [u-30,u+30]内； @作出判断，若ae [u-3o,A+3σ]， 则接受统计假设，若 a年[u-30,u+ 3σ]，则拒绝统计假 设. 素养等级测评 请同学们认真完成考案（二）所以4=80：因为P(72≤X≤88)≈0.6827，结合P(4-σ≤ X≤4+c）≈0.6827，可知o=8;因为P(μ-2σ≤X≤4+2a) ≈0.9545，且P(X<64)=P(X>96),所以PX<64)≈2× 1 (1-0.9545)=7×0.0455=0.02275,所以P(X>64)= Q9725:因为P(X<72)=[1-P(72≤X≤8)]=3× 1 (1-0.6827)=0.15865,所以P(64<X<72)=P(X>64) P(X>72)=0.97725-(1-0.15865)=0.1359. 例3：BC由题意，X~N(1.8,0.12),所以X的均值为4o=1.8, 标准差为σ。=0.1，故随机变量X的正态曲线如图1，由图可 知，P(X>2)<P(X>1.9)=1-P(X<1.9)=1-P(X<+ 。)=1-0.8413=0.1587<0.2,故A项错误，B项正确；又 Y~N(x,2),x=2.1,s2=0.01,所以Y的正态曲线如图2，由 图形的对称性可知，P(Y>2)=P(Y<2.2)=P(Y<x+s)= 0.8413,故C项正确，D项错误 1.81.91 22.12.2 u0uo+T0μ0+2T0 X-s X 图1 图2 跟踪训练3：【解析】(1)X~N(20,4),∴u=20,σ=2，∴4- 0=18,4+0=22, 于是尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比大约是 68.27%. (2).4-3σ=144+3σ=26,4-2o=16,4+2σ=24， '.尺寸在24~26mm间的零件所占的百分比大约是 99.73%-95.45%=2.14%. .尺寸在24~26mm间的零件大约有5000×2.14%=107 (个). 随堂检测重反馈 1.D:随机变量X~N(8,σ2)，P(7≤X≤9)=0.4，.P(X>8) =0.5,P(8≤X≤9)=0.2，.P(X>9)=P(X>8)-P(8≤X ≤9)=0.3，故选D. 2.C因为P(X≤1-a)+P(X≤1+2a)=1,所以l-a+1+2a 2 =2,所以a=2. 3.CP(1<X<3)=P(3<X<5)=0.5-P(X>5)=0.5-0.2 =0.3. 4.10由题意知，P(>10)=1-2P(90,≤≤100)=0.2，故估 计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10. 章末复习与总结 核心考点培优 1:(1c(2)A(3)9 【解析】(I)既有男选手又有女选手的情况有C;C+CC+ CC;=65(种)，其中男选手甲被选中的情况有C+CC?+ CC;=35(种)，所以在代表队中既有男选手又有女选手的条 -17 件下，男选手甲发选中的挺率为总 (2)由已可行，A(B)--6因为A)=号所 P(A) 以P(AB)=又P(A)=P(AB)+P(AB)=号，所以 PB)=洽又P4B)8=子所以PB=子 1 (3)设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表 示“骑共享单车”，事件D表示“迟到”，由题意可知P(A)= (=P(C)(D)(D)- 名，则PD)=P()P(DIA)+P(B)P(DI)+P(CP(DIC) =x(片+方+右)谒P(A0)=P4)P(D1A) ×4 专×片立考小明送到了，则他自驾去上班的横水是 1 P(A1D)=PAD=2-15 P(D)=37=37 180 例2：(1)C(2)见解析 【解析】(1)因为E(X)=了，根据随机变量X的分布列得 1 6+a+b=1, 「a= 31 解得】 1 +(0言）广x分+1-吉）×宁=日所以0(3x-2) =90(X0=9×g=5 (2)甲保护区的违规次数的均值和方差分别为E()=0× 0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3, D(5)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2× 0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21. 乙保护区的违规次数？的均值和方差分别为 E(η)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3， D(m)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2× 0.4=0.41. 因为E()=E(n),D()>D(?),所以两个保护区每个季度 发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次 数相对分散，乙保护区的违规事件次数更集中. 例3：【解析】(1)由题知，从这12人中随机抽取2人，共有C2 =66种可能情况， 记“这2人恰好来自同一班级”为事件A, 则事件A包含的可能情况有C+C号+C+C=3+1+3+6 =13种， 所以P(A)=66 13 (2)由题知，5的可能取值为0,1,2,3， 因为选A,B两款软件学习的概率都是行，且他们选择AB,C 任一款软件都是相互独立的， 所以他加选择C款软件学习的概率是1-石-石=子， 所以这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为专~ B(3,子) 所以P(=0)=C(号)'（兮）=7 =1)=C(3)(兮)= P=2=(号)（兮）广=， P=3)=c(号)'（行）= 所以专的分布列为 0 1 2 3 2 4 27 9 27 所以()=3×号=2 例4：【解析】(1)由题图可知，健康上网天数未超过20天的频 率为(0.01+0.02+0.03+0.09)×5=0.15×5=0.75， 所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1-0.75) =40×0.25=10. (2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，且Y服从超几何 分布， C-29 所以P(Y=0)=C52 P(Y=1)=ClC= C13' p(Y=2)-52 C-3 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 29 5 3 52 13 52 29 5 3 所以Y的均值E(Y)=0× 2+1×i+2×=2 例5.【解析】X~N(10,0.22),4=10,o=0.2. ∴u-30=10-3×0.2=9.4,4+30=10+3×0.2=10.6. 9.52e[9.4,10.6],9.98e[9.4,10.6], .该工厂这一天的生产状况是正常的。 第八章成对数据的统计分析 8.1成对数据的统计相关性 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 精确地 知识点二 1.直角坐标系 2.增加减小 7、 3.一条直线 知识点三 2.(1)正负 (2)[-1,1]强弱 预习自测 1.BCD扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为 相关关系。 2.BC图A中两个变量具有确定的函数关系，不符合题意：图B 中的所有散点在一条直线附近波动，两个变量为线性相关，符 合题意：图C中的所有散点在一条曲线附近波动，两个变量为 非线性相关，符合题意；图D中的点杂乱无章，无规律可言，两 个变量不具有相关关系，不符合题意 3.A由相关系数的定义以及散点图可知r2<T4<0<r3<r1,故 选A. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)散点图如图： ↑水稻产量 500 400 300 200 100 0 5101520253035404550施化肥量 (2)从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量 也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此 施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是 在一定范围内随着施化肥量的增加而增加，不会一直随施化 肥量的增加而增加。 跟踪训练1：【解析】(1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示木材 体积，可得相应的散点图如图所示： 个体积 80 70 0 50 0 20 10H 0 树龄 123456789x (2)由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋 势，且散点落在一条直线附近，所以木材体积与树木的树龄近 似成线性相关关系. m.(解折】宝=名×(0+65+70+75+80+5+90+95) 77.5. =8×(72+77+80+85+88+90+93+95)=85. y (-)(-)=685,含(x-)2=1050,2(y,-)2 =456 含4-03-列 685 所以r= ≈0.99. (-)，- /1050×456 75