专题10 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率应用（7大题型）（期末复习专项训练）高二年级数学下学期人教A版

专题10 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率应用 题型1 条件概率基础计算（常考点） 题型5 全概率拔高计算（常考点） 题型2 独立事件与条件概率辨析计算（常考点） 题型6 贝叶斯公式的概率计算 题型3 条件概率性质应用及相关概率证明（难点） 题型7 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率的综合应用（难点） 题型4 全概率基础计算（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 条件概率基础计算（共8小题） 1．（24-25高二下·广东清远·月考）设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知两个随机事件，若，，则_______. 4．（24-25高二下·重庆·期末）记为事件A的对立事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）一个体育队有4名女运动员和3名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选1个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·福建·期末）从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山东淄博·期末）从装有3个白球、4个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·北京海淀·期末）甲、乙两名运动员进行某项比赛并约定：若其中一人连续赢两局，则此人获胜，比赛结束．已知每局比赛结果相互独立，且每局甲赢的概率为（没有平局）．则在第三局结束比赛的条件下，运动员甲获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 题型二 独立事件与条件概率辨析计算（共10小题） 多选题 9．（24-25高二下·湖北武汉·期末）下列命题正确的是（   ） A．若三个事件两两独立，则满足 B．若，，且，则相互独立 C．若事件满足，，，则 D．给定事件，且，则 10．（24-25高二下·广东肇庆·期末）记随机事件的对立事件分别为，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则事件相互独立 C． D．若，，，则 11．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）掷2次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有（   ） A．和互斥 B．和独立 C． D． 12．（24-25高二下·福建·期末）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A．A与B相互独立 B． C． D． 13．（24-25高二下·福建福州·期末）一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（     ） A．事件，为对立事件 B． C．事件B，C为独立事件 D． 14．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若A，B是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A．A与B相互独立 B． C． D． 15．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知盒子中有2个白球和3个黑球，盒子中有3个白球和2个黑球．先从盒子随机取出一球放入盒子，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件；再从盒子中随机取一球，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件，下列说法正确的是（   ） A．是互斥事件 B．是独立事件 C． D． 16．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知事件，满足，，则（    ） A． B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则 17．（24-25高二下·广西钦州·期末）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（    ） A．与相互对立 B．与相互独立 C． D． 18．（24-25高二下·湖北武汉·期末）小宁连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（   ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B不相互独立 C． D． 题型三 条件概率性质应用及相关概率证明（共4小题） 19．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20．（24-25高三下·福建厦门·月考）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)设第1，2，3次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为．求； (2)对于事件、、，当时，写出的等量关系式，并加以证明． 21．（2024·广东佛山·三模）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 王同学 9天 6天 12天 3天 张老师 6天 6天 6天 12天 假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率； (2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：． X 1 2 P 0.1 0.9 22．（2023·全国·模拟预测）中秋节起源于我国，是我国的传统节日之一，吃月饼是中秋节的重要习俗．某超市为了解月饼销售情况，随机调研了某日来店购买月饼的200位顾客，并将调研结果整理如下： 年龄 购买袋装月饼 购买礼盒月饼 50岁及以上 80 20 不超过50岁 60 40 (1)根据已知条件，试判断是否有的把握认为顾客购买袋装月饼或礼盒月饼与年龄有关？ (2)假设表示事件“在该超市购买月饼礼盒赠送玉兔望月挂件”，表示事件“顾客在该超市购买月饼礼盒”，，根据以往经验，在赠送礼品的情况下顾客在该超市购买月饼礼盒的概率会增大，证明：． 附：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 题型四 全概率基础计算（共7小题） 23．（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二下·新疆·期末）某超市鸡蛋成板出售，每板10个．若各板鸡蛋含0，1，2个破损鸡蛋的概率分别为，，．甲计划在该超市购买一板鸡蛋，先由超市服务员随意取一板，再由甲任意抽取该板鸡蛋中的3个鸡蛋，若没有破损鸡蛋，则买下该板鸡蛋，否则退回，则甲买下该板鸡蛋的概率为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末），两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且，两种品牌的钢笔的次品率分别为和．若市场上这种型号钢笔的次品率为，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 26．（24-25高二下·山东淄博·期末）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为8%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它为次品的概率是（    ） A．0.078 B．0.077 C．0.076 D．0.075 27．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末）甲乙两地毗邻而居，据统计，甲地下雨时，乙地也下雨的概率为80%，甲地不下雨时，乙地下雨的概率为20%，若气象台预计某天甲地下雨的概率为60%，则当天乙地下雨的概率是（   ） A．44% B．48% C．52% D．56% 28．（24-25高二下·山东枣庄·期末）现有8道四选一的单选题，某生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.85，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.该生从这8道题中随机选择1题，他做对该题的概率为（   ） A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.85 29．（24-25高二下·四川泸州·期末）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占，三厂生产的占，又知这三个厂的产品次品率分别为，从这批产品中任取一件是次品的概率是（   ） A．0.015 B．0.02 C．0.014 D．0.013 题型五 全概率拔高计算（共9小题） 30．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）某学校有、两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐，如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为______． 31．（24-25高二下·吉林长春·期末）甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.8，第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第二次听写的人是甲的概率_____；第次听写的人是甲的概率_______． 32．（24-25高二下·天津滨海新·期末）已知某学校音乐社、舞蹈社和美术社三个社团的学生人数之比为2:3:4，其中这三个社团中会乐器的人数占各社团人数的比例分别为.（ⅰ）现从这三个社团中各随机抽取一人，则这三人均会乐器的概率为______；（ⅱ）若将这三个社团成员组成一个联合团体，从中随机抽取一人，则此人不会乐器的概率为______. 33．（24-25高二下·福建泉州·期末）毕业晚会结束后，学生们排队合影留念.将10个座位和10名学生从1-10进行编号，编号为1的学生先从10个座位中任选一个，从编号为2的学生开始按照编号从小到大的顺序依次选座，选座规则为：若学生编号对应的座位未被选，则该学生坐在对应编号的座位，若学生编号对应的座位已被选，则该学生从剩余的座位中任选一个，则3号学生坐在3号座位的概率为_____. 34．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）对某小区内有小孩的家庭进行调查，发现各家小孩都没有超过个，且其中有个小孩、个小孩、个小孩的家庭占比分别为、、，假设生男生女是等可能的，从该小区任选一个有小孩的家庭，则此家庭中有女孩的概率为_____. 35．（24-25高二下·湖北武汉·期末）A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则________，的数学期望________.（用表示） 36．（24-25高二下·山东东营·期末）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望； (3)设第i次降落成功的概率为，求证：. 37．（24-25高二下·四川广元·期末）已知甲乙两个盒中均有3个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球和1个红球．从甲乙两个盒中各任取一个小球交换，重复进行次操作后，记甲盒中红球的个数为，甲盒中恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． (1)求的数学期望； (2)找出与的关系，并求的通项公式； (3)证明：． 38．（24-25高二下·广东·期末）在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. (1)若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； (2)记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； (3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 题型六 贝叶斯公式的概率计算（共8小题） 39．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 40．（2025·江西·模拟预测）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25高二下·福建福州·期中）随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 43．（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 45．（24-25高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 46．（23-24高二下·福建三明·期末）假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件. (1)求取出的零件是次品的概率； (2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率. 题型七 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率的综合应用（共8小题） 47．（24-25高二下·安徽·期末）为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．可化简为，估计其值为 B．可化简为，估计其值为 C．可化简为，估计其值为 D．可化简为，估计其值为 多选题 48．（24-25高二下·广东湛江·期末）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 49．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 50．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 51．（24-25高二下·重庆·期末）设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. (1)当，时，求游戏成功的概率； (2)当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； (3)设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 52．（24-25高二下·山东菏泽·期末）在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局．现有8支球队随机编号到对阵位置，所有球队在任何一场比赛中获胜的概率均为．已知甲、乙两队参赛．    (1)求甲队获得冠军的概率； (2)求甲、乙在第轮（其中）相遇的概率； (3)为使得甲、乙两队在比赛过程中相遇的概率小于0.001，组委会计划增加球队支数到支，对阵图和上图类似，求的最小值． 53．（24-25高二下·山东泰安·期末）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：①每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响. (1)当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X，现在规定：若，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率； (2)若两人共进行局比赛，当且时，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”，事件B表示“甲最终获胜”，求，的值； (3)若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，已知，试判断与的大小关系，并说明理由. 54．（24-25高二下·浙江宁波·期末）在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； (3)如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. $专题10 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率应用 题型1 条件概率基础计算（常考点） 题型5 全概率拔高计算（常考点） 题型2 独立事件与条件概率辨析计算（常考点） 题型6 贝叶斯公式的概率计算 题型3 条件概率性质应用及相关概率证明（难点） 题型7 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率的综合应用（难点） 题型4 全概率基础计算（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 条件概率基础计算（共8小题） 1．（24-25高二下·广东清远·月考）设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【答案】A 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以， 故选：A. 2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 3．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知两个随机事件，若，，则_______. 【答案】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 4．（24-25高二下·重庆·期末）记为事件A的对立事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式，求出，根据事件与事件的关系，进而求出，根据概率加法公式求出； 【详解】由题意得，， 因为，得， 则. 故选：C. 5．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）一个体育队有4名女运动员和3名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选1个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率的概率公式结合排列组合知识求解. 【详解】用事件表示“第1次抽到女运动员”，事件表示“第2次抽到男运动员”， 第1次抽到女运动员包括第1次女第2次男：种，两次均为女种， 共种， 从所有运动员中依次取2名共有种， 则，，则， 则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为. 故选：C 6．（24-25高二下·福建·期末）从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型的计算方法和分步乘法概率计算公式，求出事件的概率和积事件的概率，依据条件概率公式求出条件概率即可. 【详解】由题意，在1~10这10个数字中，5的倍数有5、10，共2个， 所以事件A发生的概率， 记事件AB表示“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”， 若第一次抽到5，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法； 若第一次抽到10，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法； 所以. 根据条件概率公式，. 故选：B. 7．（24-25高二下·山东淄博·期末）从装有3个白球、4个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 表示事件“两次取出的球均是红球”，则， 故， 故选：D 8．（24-25高二下·北京海淀·期末）甲、乙两名运动员进行某项比赛并约定：若其中一人连续赢两局，则此人获胜，比赛结束．已知每局比赛结果相互独立，且每局甲赢的概率为（没有平局）．则在第三局结束比赛的条件下，运动员甲获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】第三局结束比赛的概率为， 则在第三局结束比赛的条件下甲获胜的概率为， 故选：C 题型二 独立事件与条件概率辨析计算（共10小题） 多选题 9．（24-25高二下·湖北武汉·期末）下列命题正确的是（   ） A．若三个事件两两独立，则满足 B．若，，且，则相互独立 C．若事件满足，，，则 D．给定事件，且，则 【答案】BC 【分析】根据独立事件的定义及条件概率的性质可判断各选项正误. 【详解】对于A，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，A错误； 对于B， ，即，所以相互独立，B正确； 对于C，由，，则，， ，则0.4， 又，则， ，则 ，C正确； 对于D，当互斥时，； 当不互斥时，，D错误. 故选：BC. 10．（24-25高二下·广东肇庆·期末）记随机事件的对立事件分别为，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则事件相互独立 C． D．若，，，则 【答案】ABD 【分析】对于A，根据条件概率公式可验证；对于B，利用条件概率公式及独立性检验即可判断；对于C，利用条件概率公式可证即可判断；对于D，由条件概率即全概率公式即可求解. 【详解】，，， A正确； ，，，B正确； ，C错误； ，，又，， .D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）掷2次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有（   ） A．和互斥 B．和独立 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义判断B；根据条件概率的公式即可判断C；根据古典概型即可判断D． 【详解】对于A，由题可知，和互斥，故A正确； 对于B，，，， ，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，，故D正确； 故选：ACD． 12．（24-25高二下·福建·期末）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知及概率的性质可得，根据独立事件的判定、全概率公式、条件概率公式依次判断各项的正误即可. 【详解】由题设，，，， 由，且， 所以，则，A错； 由，则，B对； 由，C对； 由，则，D对. 故选：BCD 13．（24-25高二下·福建福州·期末）一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（     ） A．事件，为对立事件 B． C．事件B，C为独立事件 D． 【答案】ABD 【分析】根据独立事件和互斥、对立事件的概念，判断事件之间的关系，通过古典概型概率公式和条件概率公式求事件概率. 【详解】对A，事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球，因为一次只取一个球，事件，，不可能同时发生且必有一个发生，所以为对立事件，A正确. 对B，取出的两球同色分为都是红色和都是白色，则，所以B正确. 对C，已知事件C：取出的两球中至少有一个红球，则对立事件为两个球没有红色，则概率，积事件为两个红色球，则,可知，所以C错误 对D，由题意知，积事件为第一次取白球，第二次取红球，则，根据条件概率公式可知，所以D正确. 故选：ABD. 14．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若A，B是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（   ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【答案】BC 【分析】先根据已知条件结合求出，，然后根据独立事件的定义，条件概率公式逐个分析判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，，， 所以，所以，得， 对于A，因为，所以A与B不相互独立，故A错误， 对于B，因为，所以，故B正确， 对于C，因为，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：BC. 15．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知盒子中有2个白球和3个黑球，盒子中有3个白球和2个黑球．先从盒子随机取出一球放入盒子，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件；再从盒子中随机取一球，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件，下列说法正确的是（   ） A．是互斥事件 B．是独立事件 C． D． 【答案】AD 【分析】根据互斥事件的概念即可判断A；由条件概率，全概率公式即可判断BCD． 【详解】由题可知，，， 对于A，由题可知，是对立事件，所以是互斥事件，故A正确； 对于BC，， ， ，故不是独立事件，故BC错误； 对于D，，故D正确； 故选：AD． 16．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知事件，满足，，则（    ） A． B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于AB：根据事件的运算求解；对于C：根据独立事件的性质分析求解；对于D：根据条件概率公式运算求解. 【详解】因为，， 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于选项B：若，则，故B正确； 对于选项C：若与相互独立，则与相互独立， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，可得， 又因为， 所以，故D错误. 17．（24-25高二下·广西钦州·期末）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（    ） A．与相互对立 B．与相互独立 C． D． 【答案】BC 【分析】根据独立事件的定义判断B，根据互斥事件、对立事件的定义判断A，根据独立事件及条件概率的概率公式判断C、D. 【详解】对于A，由题意可知，事件与事件有可能同时发生， 例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件与事件不是互斥事件，当然也不是对立事件，故A错误； 对于B，依题意，，， 所以事件与事件相互独立，故B正确； 对于C、D，，因为，所以， 所以，故C正确，D错误． 故选：BC． 18．（24-25高二下·湖北武汉·期末）小宁连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（   ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B不相互独立 C． D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件的定义可判断A；根据相互独立事件的定义可判断B；求出可判断C；根据条件概率公式可判断D. 【详解】连续抛掷一枚骰子2次，，共有36种样本点， ，共有18样本点， ， 共有27个样本点， 所以，且事件与事件包含的样本点一样， 对于A，事件A与事件B不互斥，故错误；     对于B，，所以， 所以事件A与事件B不相互独立，故正确； 对于C，，故错误；     对于D，，故正确. 故选：BD. 题型三 条件概率性质应用及相关概率证明（共4小题） 19．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；(ii)； 【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求. 【详解】（1）由已知， 又，， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）(i)因为， 所以 所以， (ii) 由已知，， 又，， 所以 20．（24-25高三下·福建厦门·月考）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)设第1，2，3次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为．求； (2)对于事件、、，当时，写出的等量关系式，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）用表示第次摸出红球，再根据古典概型的概率公式求，用条件概率的概率公式求； （2）利用条件概率的概率公式化简即可. 【详解】（1）用表示第次摸出红球， 由已知得， ， ． 所以． （2）由（1）可得，即， 猜想：．             证明：由条件概率及， 得，           所以． 21．（2024·广东佛山·三模）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 王同学 9天 6天 12天 3天 张老师 6天 6天 6天 12天 假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率； (2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）运用古典概型求概率即可． （2）根据已知条件计算简单离散型随机变量的分布列及期望． （3）运用条件概率及概率加法公式计算可证明结果． 【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”， 因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为， 所以． （2）由题意知，王同学午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.3， 王同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1， 张老师午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2， 张老师午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4， 记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2， 所以，， 所以X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 所以X的数学期望 （3）证明：由题知， 所以， 所以， 所以， 即：， 所以， 即. 22．（2023·全国·模拟预测）中秋节起源于我国，是我国的传统节日之一，吃月饼是中秋节的重要习俗．某超市为了解月饼销售情况，随机调研了某日来店购买月饼的200位顾客，并将调研结果整理如下： 年龄 购买袋装月饼 购买礼盒月饼 50岁及以上 80 20 不超过50岁 60 40 (1)根据已知条件，试判断是否有的把握认为顾客购买袋装月饼或礼盒月饼与年龄有关？ (2)假设表示事件“在该超市购买月饼礼盒赠送玉兔望月挂件”，表示事件“顾客在该超市购买月饼礼盒”，，根据以往经验，在赠送礼品的情况下顾客在该超市购买月饼礼盒的概率会增大，证明：． 附：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)有 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意补全列联表，计算出后，与比较大小即可判断是否有的把握认为顾客购买袋装月饼或礼盒月饼与年龄有关； （2）根据条件概率计算公式，结合事件间的基本关系证明即可. 【详解】（1）补全列联表如下： 年龄 购买袋装月饼 购买礼盒月饼 总计 50岁及以上 80 20 100 不超过50岁 60 40 100 总计 140 60 200 ， 有的把握认为顾客购买袋装月饼或礼盒月饼与年龄有关． （2）由题知，， ， ， ， ， ， ， 即． 题型四 全概率基础计算（共7小题） 23．（24-25高二下·宁夏·期末）最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用全概率公式即可求解. 【详解】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件，取到莲花清瘟胶囊为事件，取到感冒灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 则，，， ，，， 所以感冒被治愈的概率为 ． 故选：D 24．（24-25高二下·新疆·期末）某超市鸡蛋成板出售，每板10个．若各板鸡蛋含0，1，2个破损鸡蛋的概率分别为，，．甲计划在该超市购买一板鸡蛋，先由超市服务员随意取一板，再由甲任意抽取该板鸡蛋中的3个鸡蛋，若没有破损鸡蛋，则买下该板鸡蛋，否则退回，则甲买下该板鸡蛋的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出事件，直接利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件为“该板鸡蛋中有i个破损鸡蛋”，其中i＝0，1，2， 事件B为“甲买下该板鸡蛋”，则， ， 则． 故选：D 25．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末），两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且，两种品牌的钢笔的次品率分别为和．若市场上这种型号钢笔的次品率为，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用全概率公式计算直接得出结果. 【详解】设从市场上任取一支该种型号钢笔，它是次品为事件A， 则，解得，故B正确. 故选：B. 26．（24-25高二下·山东淄博·期末）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为8%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它为次品的概率是（    ） A．0.078 B．0.077 C．0.076 D．0.075 【答案】D 【分析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A、B、C，该零件为次品为事件D，根据全概率公式求解. 【详解】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A、B、C，该零件为次品为事件D， 则，，，，， 任取一个零件是次品的概率:. 故选：D 27．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末）甲乙两地毗邻而居，据统计，甲地下雨时，乙地也下雨的概率为80%，甲地不下雨时，乙地下雨的概率为20%，若气象台预计某天甲地下雨的概率为60%，则当天乙地下雨的概率是（   ） A．44% B．48% C．52% D．56% 【答案】D 【分析】设事件表示甲地下雨，事件表示乙地下雨，利用全概率公式即可求解. 【详解】设事件表示甲地下雨，事件表示乙地下雨， 所以， 所以. 故选：D. 28．（24-25高二下·山东枣庄·期末）现有8道四选一的单选题，某生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.85，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.该生从这8道题中随机选择1题，他做对该题的概率为（   ） A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.85 【答案】A 【分析】由全概率公式计算即可得出结果． 【详解】设事件A表示“考生答对该题”，事件B表示“选到有思路的题”，由全概率公式得 ． 故选：A． 29．（24-25高二下·四川泸州·期末）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占，三厂生产的占，又知这三个厂的产品次品率分别为，从这批产品中任取一件是次品的概率是（   ） A．0.015 B．0.02 C．0.014 D．0.013 【答案】D 【分析】由全概率公式计算即得． 【详解】设事件为“任取一件产品为次品”，事件为“任取一件产品为厂的产品”， ，， 由已知，， 由全概率公式得， 故选：D． 题型五 全概率拔高计算（共9小题） 30．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）某学校有、两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐，如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为______． 【答案】 【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去，餐厅的概率，继而可求第3天去餐厅用餐的概率. 【详解】设表示事件：第天去餐厅，表示事件：第天去餐厅， 则， 则， 故， , 则 故答案为：. 31．（24-25高二下·吉林长春·期末）甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写，无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.8，第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第二次听写的人是甲的概率_____；第次听写的人是甲的概率_______． 【答案】 / 【分析】根据全概率公式列出，然后根据等比数列的通项公式求出，进而可求得结果. 【详解】根据题意，记“第次听写的人是甲”为事件，“第次听写的人是乙”为事件， 设，依题可知. 则. 即. 变形可得，又，则. 则数列是首项为，公比为的等比数列. 即. 所以第2次听写的人是甲的概率为. 所以第次听写的人是甲的概率为. 故答案为：；. 32．（24-25高二下·天津滨海新·期末）已知某学校音乐社、舞蹈社和美术社三个社团的学生人数之比为2:3:4，其中这三个社团中会乐器的人数占各社团人数的比例分别为.（ⅰ）现从这三个社团中各随机抽取一人，则这三人均会乐器的概率为______；（ⅱ）若将这三个社团成员组成一个联合团体，从中随机抽取一人，则此人不会乐器的概率为______. 【答案】 /0.015 【分析】第一空由独立事件的乘法公式可得；第二空结合题意由全概率公式可得. 【详解】由题意可得，从这三个乐团中随机抽取一个人会乐器的概率分别为0.3,0.2,0.25， 所以由独立事件的乘法公式可得三人均会乐器的概率为； 由全概率公式可得. 故答案为：；. 33．（24-25高二下·福建泉州·期末）毕业晚会结束后，学生们排队合影留念.将10个座位和10名学生从1-10进行编号，编号为1的学生先从10个座位中任选一个，从编号为2的学生开始按照编号从小到大的顺序依次选座，选座规则为：若学生编号对应的座位未被选，则该学生坐在对应编号的座位，若学生编号对应的座位已被选，则该学生从剩余的座位中任选一个，则3号学生坐在3号座位的概率为_____. 【答案】 【分析】根据题意得到1号学生选择1，2，3号座位的概率，接着利用条件概率求解出，，，再结合全概率公式求解即可. 【详解】设事件分别为1号学生选择1，2，3号座位， 事件为1号学生选择4-10号座位，易知，. 设事件B为3号学生坐在3号座位，所以，，， 所以 . 故答案为： 34．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）对某小区内有小孩的家庭进行调查，发现各家小孩都没有超过个，且其中有个小孩、个小孩、个小孩的家庭占比分别为、、，假设生男生女是等可能的，从该小区任选一个有小孩的家庭，则此家庭中有女孩的概率为_____. 【答案】/ 【分析】记事件选出的家庭有个小孩，记事件选出的家庭中有女孩，求出的值，再利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件选出的家庭有个小孩，记事件选出的家庭中有女孩， 则，，， ，， 由全概率公式可得 故答案为：. 35．（24-25高二下·湖北武汉·期末）A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则________，的数学期望________.（用表示） 【答案】 【分析】利用全概率公式，构造概率递推公式，再由数列中的递推求通项思想即可. 【详解】经过第一次操作得：，， 经过第二次操作得：；. 根据全概率公式可知：， ， 两式相加可得， 则：，时，， 所以，， 因为，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以. 故答案为：①；②. 36．（24-25高二下·山东东营·期末）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望； (3)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，再利用全概率公式即可求解； （2）可取值为，分别求出相应的概率，从而可列出分布列，求出期望值； （3）当时，整理可得，再结合数列知识由递推公式数列的构建等比数列，从而可求解. 【详解】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，. 由全概率公式得 ， 该操作员第二次降落成功的概率为. （2）由题意得，，，，. 的所有取值为0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由题意得， 当时， 即， 整理得，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故，即，易知单调递增 所以. 37．（24-25高二下·四川广元·期末）已知甲乙两个盒中均有3个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球和1个红球．从甲乙两个盒中各任取一个小球交换，重复进行次操作后，记甲盒中红球的个数为，甲盒中恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． (1)求的数学期望； (2)找出与的关系，并求的通项公式； (3)证明：． 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）由题意写出随机变量的可能取值，分别求得所有取值的概率，根据数学期望的公式，可得答案； （2）由全概率公式，可得数列的递推公式，利用构造法以及等比数列的通项公式，可得答案； （3）类比（2）求得数列的通项公式，利用数学期望的计算，可得答案. 【详解】（1）由题意随机变量， 则，，， 所以随机变量的分布列如下： 故数学期望. （2）由全概率公式可得 ， 即，化简可得， 所以，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即. （3）由全概率公式可得 ， ， 即，又，所以， 可得，又， 故，则，， 所以 38．（24-25高二下·广东·期末）在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率. (1)若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率； (2)记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：； (3)教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）方法一：根据二项分布直接求解即可；方法二：讨论甲获得最终胜利的情况，针对每种情况求对应的概率，它们的和即为所求结果. （2）讨论甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的情况，然后利用全概率公式进行求解即可. （3）先根据题意将的表达式列出来，然后利用组合数的公式进行化简，从而证明不等式成立. 【详解】（1）设事件为“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利 法一： 事件等效于甲乙进行5局比赛且甲至少赢3局. 记5局比赛中甲赢的局数为，由题意得 . 法二： 事件分三种情况 ①比赛局数为3，甲3局全胜 ②比赛局数为4，甲第4局胜，前3局输1局 ③比赛局数为5，甲第5局胜，前4局输2局 . （2）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则 且. “局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利 若第2局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局 若第2局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局 由全概率公式得 故. （3）不妨设有无数支粉笔 题意“用了支白粉笔时，至多用了支黄粉笔”     “总共用了支粉笔时，至少用了支白粉笔”.. 设总共用了支粉笔时，白粉笔用了支，则 事件“”等效于甲乙进行“局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为，最终甲获胜，由对称性可知. 注意到 得证. 题型六 贝叶斯公式的概率计算（共8小题） 39．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 40．（2025·江西·模拟预测）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据古典概型的概率计算以及条件概率的计算公式，结合全概率公式，可得答案. 【详解】设事件为“取出的球在i号箱中”，事件B为“取出的球为红球”， 则组成了完整的样本空间，且两两互斥． 由题意有 ，． 则由全概率公式，， 则在取出的球为红球的条件下， 其取自3号箱的概率为． 故选：A． 41．（24-25高二下·福建福州·期中）随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解概率即可. 【详解】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”， 由题意可知：，，，， 则，， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是． 故选：B 42．（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 43．（24-25高二上·江西·期末）托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助全概率公式及贝叶斯公式计算即可得. 【详解】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为， 从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B， 由题意：①，； ②，； ③，. 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球， 则从甲袋中取出的是2个红球的概率为： . 故选：A. 44．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为 . 45．（24-25高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 【答案】(1)； (2)2. 【分析】(1)利用全概率公式来求解即可； (2)利用贝叶斯公式来求解即可得到最大概率的判断. 【详解】（1）利用全概率公式可知，任取一个零件，它是次品的概率为： ； （2）利用贝叶斯公式可知， 如果取到的零件是次品，该次品来自第1台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第3台车床的概率为： 通过比较，如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率最大. 46．（23-24高二下·福建三明·期末）假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件. (1)求取出的零件是次品的概率； (2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式即可得解； （2）根据条件概率公式可得解. 【详解】（1）设事件“从第箱中取一个零件”， 事件“取出的零件是次品”， 则，且互斥， 则，， 所以，， 所以 ， 所以取出的零件是次品的概率为； （2）取出的是次品是从第一箱取出的概率 ， 所以已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为. 题型七 条件概率、全概率、贝叶斯公式等概率的综合应用（共8小题） 47．（24-25高二下·安徽·期末）为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（    ） A．可化简为，估计其值为 B．可化简为，估计其值为 C．可化简为，估计其值为 D．可化简为，估计其值为 【答案】A 【分析】利用条件概率公式化简. 【详解】1.化简. 已知， 则， 由条件概率公式， 所以 ， 2.根据列联表计算概率 由列联表可知，， 所以 故选：A. 多选题 48．（24-25高二下·广东湛江·期末）若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知及概率的性质可得，根据独立事件的判定、全概率公式、条件概率公式依次判断各项的正误即可. 【详解】由题设，，，， 由，且， 所以，则，解得， 对于A选项，因为，所以A与B相互独立，A对； 对于B选项，由，则，B对； 对于C选项，由，C错； 对于D选项，由，则，D对. 故选：ABD. 49．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 【答案】ABC 【分析】利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的概率性质判断A；利用条件概率、全概率公式探讨的关系，再赋值计算判断B，C，D即可. 【详解】对于A，，，，故A正确； 当时，记事件“甲在该比赛中获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”， ， 当事件和发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中至少要赢局，则； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于或恰好赢了局， 所以； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于， 可看成事件“在后续的局比赛中赢的局数大于”， 与事件“在后续的局比赛中恰好赢了局”的差事件， 所以， 则 ， 即， 易得，则我们讨论的正负即可， 对于B，若，则，当时，， 即，则当时，最大，故B正确， 对于C，若，则，当时，， 即，则当时，最小，故C正确， 对于D，若，则， 当时，，此时， 当时，，此时， 则当时，最大，故D错误. 故选：ABC 50．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 【答案】BC 【分析】A选项利用条件概率和全概率公式求出和，再利用独立事件的定义进行判断即可；B选项利用条件概率求解；C选项由全概率公式求解；D选项利用贝叶斯公式进行求解. 【详解】设“小明与父母一起爬山”，“选择甲路线”， 则“小明不与父母一起爬山”，“选择乙路线”， ，，， ，， 对于A选项，，， 根据全概率公式可得，， ， “小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”不是相互独立事件，故A错误； 对于B选项，小明与父母一起选择乙路线登山为， ，， ， 即小明与父母一起选择乙路线登山的概率为，故B正确； 对于C选项，由A选项的解析可知， 即小明选择甲路线登山的概率为，故C正确； 对于D选项，已知小明从乙路线登山，求他与父母一起爬山的概率，即求， ，， 根据条件概率公式可得，， 再根据贝叶斯公式可得，，故D错误. 故选：BC. 51．（24-25高二下·重庆·期末）设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. (1)当，时，求游戏成功的概率； (2)当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； (3)设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 【答案】(1) (2)（且），证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由条件可知，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3，转化为独立重复概率类型，列式求解； （2）根据硬币正面朝上的硬币数为奇数和偶数，结合全概率公式，即可得到递推关系式，再利用数列的构造法，即可证明； （3）方法一：根据（2）的结果，结合等比数列通项公式的求法，求得，，以及的通项公式，以及递推关系式，并代入求解的通项公式，讨论的取值，即可证明；方法二：首先设个硬币出现奇数的概率为，根据全概率公式，得到的递推关系式，以及通项公式，再求前3项，并表示，即可证明. 【详解】（1）当时，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3， 此时，游戏成功的概率为：； （2）设游戏成功的概率为，当时，，接下来用表示， 当时，投掷枚硬币，，…，正面朝上的硬币为奇数有两种情况： 第一：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为奇数时，反面朝上； 第二：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为偶数时，正面朝上. 此时，，所以（且）， 则，且，则是以为首项，为公比的等比数列. （3）方法一：当时，此时游戏成功的概率记为，. 由（2）知：，则，（） 所以，（）① 当时，， 则， 注意到：，则， 故：② 当时，， 则：③. 结合①②③： 由于，当时，，，，则； 当时，，则； 当时，，，，则. 综上：对任意的，成立. 方法二：对于个硬币出现奇数的概率为， ∴ ∴ ∴ ∴等比，∴ ∴前个硬币出现奇数的概率 中间个： 后面个： 当时，. 当时，. 当时，. ∴成立. 52．（24-25高二下·山东菏泽·期末）在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局．现有8支球队随机编号到对阵位置，所有球队在任何一场比赛中获胜的概率均为．已知甲、乙两队参赛．    (1)求甲队获得冠军的概率； (2)求甲、乙在第轮（其中）相遇的概率； (3)为使得甲、乙两队在比赛过程中相遇的概率小于0.001，组委会计划增加球队支数到支，对阵图和上图类似，求的最小值． 【答案】(1) (2)第1轮相遇的概率为，第2轮相遇的概率为，第3轮相遇概率为. (3)11 【分析】（1）由每轮比赛甲都必须获胜即可求解； （2）假设甲的位置固定，分析甲乙要想在第轮相遇乙的位置，然后结合相互独立事件的概率乘法公式可得； （3）法一：分析甲乙要想在第轮相遇乙的位置，求出相应概率，然后求和，解不等式即可得解；法二：求出参赛球队为、时，甲乙相遇的概率关系，利用累加法求解，然后解不等式可得. 【详解】（1）设甲队获得冠军为事件A，甲如果想获得冠军，每轮比赛都要获胜， 则. （2）设甲乙第一轮相遇概率为，甲乙第二轮相遇概率为，甲乙第三轮相遇概率为， 设甲的位置固定，若乙要与甲在第一轮相遇只能在同一组， 所以甲乙在第一轮相遇的概率， 甲乙要在第二轮相遇，则甲乙在同一个半区，但不在同一组的概率为， 同时甲乙在第一轮都要获胜，则. 甲乙要在第三轮相遇，则甲乙不在同一个半区的概率为， 同时甲乙在第一､二轮都要获胜，则. 综上，第1轮相遇的概率为，第2轮相遇的概率为，第3轮相遇概率为. （3）解法一：记比赛的轮次为事件，甲乙在比赛过程中相遇的事件为， 要使甲乙能在第轮相遇，则甲乙必须得在同一个区内的不同半区，概率为， 同时甲乙在前轮都要获胜， 所以. 所以甲乙相遇的概率为. 要使得甲乙相遇的概率小于0.001，即，即， 又因为为整数，所以最小的值为11. 解法二：设支球队参赛，甲乙相遇的概率为，则当时，甲乙一定相遇，此时. 当支球队参赛，甲乙相遇的概率为. 考虑将个选手分成上下两个区，每区名选手，这时有2种情况， 情形一：乙和甲在同一区，此时甲乙相遇的概率为， 情形二：乙和甲不在同一区，两人相遇必须都进入决赛，即前轮比赛均获胜. 所以， 于是，， 累加得，所以. 要使得甲乙相遇的概率小于0.001，即，即 又因为为整数，所以，所以最小的值为11. 53．（24-25高二下·山东泰安·期末）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：①每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响. (1)当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X，现在规定：若，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率； (2)若两人共进行局比赛，当且时，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”，事件B表示“甲最终获胜”，求，的值； (3)若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，已知，试判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，； (3)，理由见解析. 【分析】（1）应用独立重复试验的概率求法及互斥加法公式求概率； （2）由题设前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局，则剩余2局的赢局数，总分满足，应用二项分布的概率及对立事件概率求法求，； （3）由全概率公式得，即，再应用作商、基本不等式得，即可得结论. 【详解】（1）， ∴甲队获得一次特殊训练机会的概率为； （2）由题设，前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局， 则剩余2局的赢局数，总分满足， 所以对应，即，又，故， 对于对应，即，又，所以； （3）由全概率公式得     ， ∴， 当时，， ， ∵， ∴， ∴. 54．（24-25高二下·浙江宁波·期末）在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. (1)如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； (2)如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； (3)如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据概率的性质可得，则独立，利用条件概率求得不换箱子不中奖和不换箱子中奖的概率的概率，即可得解. （2）求得，即可判断. （3）记事件表示主持人知道内情，结合互斥事件的概率加法公式，利用条件概率得，进而求出，即可求出抽奖人不换箱子中奖的概率. 【详解】（1）如果主持人知道内情，则他必然打开空箱子，，则， ，所以独立， 所以， 说明不换箱子不中奖的概率是，不换箱子中奖的概率是，于是，换箱子中奖的概率是. （2）如果主持人不知道内情，， 于是，， 说明换箱子与不换箱子中奖概率都是. （3）如果主持人知道内情的概率为，事件表示主持人知道内情，则， ， 又，设， ， ， 因此，. 说明不换箱子不中奖的概率. $