6.2.4 第2课时 组合的综合应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

10.【解析】(1)由排列数和组合数公式， 则3(x-3).5 x-714知5.-4g 原方程可化为3·，（x-3)！ (x-6)1 4!x-61 即为(x-3)(x-6)=40 所以x2-9x-22=0, 解之可得x=11或x=-2. 经检验知x=11是原方程的解， 所以方程的解为x=11. (2)由组合数的定义知0≤r+1≤10， 0≤17-r≤10. 所以7≤r≤9.又reN, 所以r=7,8,9, 当r=7时，原式=C。+C0=46: 当r=8时，原式=C0+C0=20; 当r=9时，原式=C8+C。=46. 11.C要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下 走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线 段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行 走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段， 共有CC=126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有 126条.故选C. 12.120C=C%,.m=11,.Cg+Cg+Cg+C4*2+ Cis*3=CI+Cl2+Ci3+Cl+Cis Cig +Ci Cla+Ci Cig +C4+C=C+C=C6=120. 13.【解析】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数， 就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C。= 99-45 (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有C。种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C?种方法. 根据分类加法计数原理，共有C6+C=15+6=21(种)不同 的选法。 14.247在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠， 再随机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有C4C=24 (个)，当下珠拨的是百位档时，上珠只能拨个位档和十位档， 有1种情况；当下珠拨的是个位档或十位档时，上珠可以从 个、十、百位档中随机选择两个档位各拨一颗，有C,C=6 (种)情况，所以所拨数字小于600的有1+6=7（个）. 练案[6] 1.C分两类：一类是2个白球有C%=15(种)取法，另一类是2 个黑球有C=6(种)取法，所以共有15+6=21（种）取法 2.A由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所 求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CC2+C4C2=210 （种). 3.B利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线 的情况，所以符合条件的三角形的个数为Cg-C4-C;=42. 4.A当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有CC2=20 (种)不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙 组中只有1人时，有CC=30(种)不同的分配方案；当甲组 中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有CC;=30(种) 不同的分配方案.故共有20+30+30=80（种）不同的分配 方案. 18 5.ABC对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的 四科中任选2科，根据分步乘法计数原理，可得选法总数为 CC种，所以A正确；对于B中，先从物理、历史中选1门，有 C,种选法，若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有 C种选法，由分步乘法计数原理，可得选法共有CC种，所 以B正确；对于C中，先从物理和历史中选1门，有C种选 法，若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门， 有CC,种选法，若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2 门，只有1中选法，由分类加法计数原理，可得共有CCC+ C,所以C正确：对于D中，若物理必选，只有1种选法，若化 学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有CC2种选法， 若化学、生物都选，则只有1种选法，由分类加法计数原理，可 得选法总数为C,C)+1,所以D错误.故选ABC. 6.BD若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每 个班级至少1个，根据隔板法，有C。种分配方法，故A错误 若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个 班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有C。种分配方法，故 B正确；若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需 先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额 分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名 额中的9个空上放置5个隔板即可，故有C。=126种，故C错 误，D正确.故选BD 7.568个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8 个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3 个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题，这样共有C= 56种排法. 8.714若只有1名队长入选，则选法种数为C·C;若两名队 长均人选，则选法种数为C1。,故不同选法有C2·Ci。+C10= 714(种). 9.36由题意知有两名大学生去同一个乡镇.分两步完成：第一 步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有C种；第二 步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A:种.所以满足 条件的分配方案有C4·A=36(种). 10.【解析】可以分三类： 第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有 CC种选法； 第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有 CC种选法； 第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有CC 种选法， 根据分类加法计数原理，一共有CC+CC+CC?=42 （种)不同的选法. 11.D此题可化归为圆上9个点可以组成多少个四边形，所有 四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C。=126 (个). 12.364位同学的总分为0，有以下三种情况：①4人都选择答 甲题，2人答对，2人答错，有C种情况；②4人都选择答乙 题，2人答对，2人答错，有C种情况；③2人答甲题且1人对 1人错，2人答乙题且1人对1人错，有C4×2×2种情况.综 上，共有C+C+C×2×2=6C=36种情况. 13.1806位游客选2人去A风景区，有C种，余下4位游客选 2人去B风景区，有C种，余下2人去C,D风景区，有A 种，所以分配方案共有C6C4A2=180(种). 14.【解析】（1)从10个球中任取4个，使红球的个数不比白球 的个数少的取法，可分三类： 第一类，红球取4个时，有C4种方法； 第二类，红球取3个、白球取1个时，有CC6种方法； 第三类，红球取2个、白球取2个时，有CC6种方法， 由分类加法计数原理可知，共有C4+CC6+CC6=115(种) 取法 ②)设取红球x个白球y个，依愿意知{+y5,0≤ ≤4,0≤y≤6， 光子[ 这样使总分不少于7的取法可以分为三类： 第一类，红球取2个、白球取3个的方法数为CC; 第二类，红球取3个、白球取2个的方法数为CC6; 第三类，红球取4个、白球取1个的方法数为C4C6 由分类加法计数原理可知，共有符合条件的取法CC。+ CC6+C4C6=186(种). 练案[7] 1.D含x的项是T=Cox(-5)4=9Ctx6. 2c=c(告广”·（左=(-1yG· (兮）广“，当8-÷=0，即=6则，=(-1) g(3)=7 3.Aa0-2Cloa°+22Coa8-…+210=(a-2)10,当a=2-2 时，(a-2)1°=32. 4C二三项式(2x+） 的展开式即(：+2x的展开式，通 项公式为11=G(是）(2x)=C2a-x”,令-7+ 2r=-3,解得r=2,代入得C×2a=84,解得a=1,故选C. sB=cg3一（左） =C3”-x“子，当T1是常数项 时，n-名=0，当1=2n=5时成立 6BCD因为n=6,故(2x-） 的展开式共有7项，故选项 A错误：(2：-)广的展开式的通项公式为1 C(2x)6-(-1).(x2)=(-1)C26-*x6-张，当k=2时， 展开式的常数项为(-1)2·24·C6=240,故选项B正确；令6 -3k=-3,得k=3,展开式中x3的系数为(-1)3C623= -160,故选项C正确；令6-3k=-6,得k=4,展开式中x6 的系数为(-1)4C2=60,故选项D正确. 7.1269由二项式定理及展开式的通项可得，第6项的二项 式系数为G=126由题意可知，1=代·(2》·(-六)》 =9x2,故第3项的系数为9. 8.60(1-2x)的展开式的通项Tk+1=C(-2)x,当k=2 时，T3=C%(-2)2x2=60x2,所以x2的系数为60. 92(-只)广a>0)的展开式的通项1：=c(-会） -(-)c学令6-整-3，得k=2A=㎡C=150;令6 —18 -=0,得k=4B=C=15a.B=4M,15a= 4×15a2,又a>0,a=2. 10.【解析】工1=C()-(-2方】 1 =(-)c, 由前三项系数的绝对值成等差数列， 得c+(-)c-2x2c, 解这个方程得n=8或n=1(舍去). (1)展开式的第4项为 1=()广=-7派 (2)当号-子=0，即r=4时， 帝数项为()'G- .B通项公式7=C。（-)6支，由会可得分=6-n 故r=4,所以系数为(-1)4C4=15.故选B. 12.17（5x+2)的展开式的通项11=Cmm·3鸟 ·2生，若1的系数为有理数则，专均为整数，即 为6的整数倍.由0≤k≤100，k∈N,知k的可能取值为0,6， 12,…,96,共17个，即系数为有理数的共有17项 13.【解析】(1)展开式的通项为 10-k 1=(-1)(受)C, 令20-2=0，解得k=8, 即k=8时，常数项为 元=(-1（受）c-华， 解得a=1. (2)令20-=m,mez, 又0≤k≤10，keN, 解得k=0,2,4,6,8,10, 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项， 所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有 理项也有无理项的取法共有C6C?+C6C=135种. 14.【解析】方法一：因为含x的项为 C·(x2)2·C·(-x)·C·12+Cg·x2·C·(-x)3· C·1+C·(-x) =-30x3-20x3-x3=-51x3, 所以x5的系数为-51. 方法二：因为(x2-x+1)=[1+(x2-x)]5的展开式通项为 C515-·(x2-x C515-+·(x2-x)的通项为 C5·C(x2)-(-x)*=C·C(-1)2-, 且0≤k≤r≤5，k,reN, 令2r-k=5,则k=5,r=5,或k=3,r=4,或k=1,r=3, 所以x的系数为(-1)C·C+(-1)3Cg·C+(-1)'C· C=-1-20-30=-51. 方法三：(x2-x+1)5展开式中的项可看作从5个(x2-x+ 1)中取x2,-x,1中的某一个相乘得到，含x的项列表：练案[6]第六章 6.26.2.36.2 A组·基础巩固 1.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个 黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同 取法有 A.27种B.24种C.21种D.18种 2.某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不 同的素菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午 餐：(1)任选两种荤菜、两种素菜和白米饭； (2)任选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭，则每 天不同午餐的搭配方法共有 () A.210种B.420种C.56种D.22种 3.如图，∠MON的边OM上有四个点A1,A2,A3, A4,ON上有三个点B1,B2,B3,则以0，A1,A2, A3,A4,B,B2,B3中三点为顶点的三角形的个 数为 A. A OB B.B N A.30 B.42 C.54 D.56 4.把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至 少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方 案有 A.80种B.120种C.140种D.50种 5.（多选)在新高考方案中，选择性考试科目有： 物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生 根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在 物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地 理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩 计入考生总分，作为统一高考招生录取的依 —1 .4[第2课时组合的综合应用] 据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、 地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列 说法正确的是 () A.若任意选科，选法总数为CC B.若化学必选，选法总数为CC C.若政治和地理至多选一门，选法总数为 C C2 CZ+C2 D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法 总数为C2C2+C2 6.（多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实 践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共 6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义 务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并 不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说 法正确的是 () A.若1班不再分配名额，则共有C,种分配 方法 B.若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有 C种分配方法 C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配 方法 D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配 方法 7.有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小 球排成一排，不同的排列方法有 种 8.某球队有2名队长和10名队员，现选派6人 上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那 么共有 种不同的选法。 9.将4名选调大学生分配到3个乡镇去当村干 部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）. 10.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译 工作，有4名能胜任德语翻译工作（其中有1 名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选 5名青年承担一项任务，其中3名从事英语 翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少 种不同的选法？ B组·综合运用 11.已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意 两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交 点有 A.36个B.72个C.63个D.126个 12.4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规定：每 位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答， 选甲题者答对得100分，答错得-100分；选 乙题者答对得90分，答错得-90分.若4位 同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况 的种数是 -117 3.现有6张风景区门票分配给6位游客，若其 中A,B风景区门票各2张，C,D风景区门票 各1张，则不同的分配方案共有 种. C组·拓展提升 4.一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的 白球 (1)从中任取4个，使红球的个数不比白球的 个数少，这样的取法有多少种？ (2)如果取1个红球记2分，取1个白球记1 分，那么从口袋中取5个球，使总分不少 于7的取法有多少种？