备战2026年浙江中考数学一轮复习 第11讲 二次函数的应用及综合问题（讲义）

该初中数学中考复习讲义聚焦“二次函数的应用及综合问题”，覆盖二次函数与方程、不等式关系，实际应用及综合问题三大核心考点。通过知识清单系统梳理交点判别式、图像解不等式等基础，结合考点精析的真题例题，构建“概念-方法-应用”递进式复习架构，助力学生突破综合题难点。 亮点在于“问题情境-模型构建-推理验证”的教学策略，如通过铅球飞行轨迹、车流量优化等实例，培养学生用数学眼光观察现实问题，用数学语言表达函数模型的能力。设置分层巩固训练，配合真题限时演练，确保学生提升解题思维与应考能力，教师可据此精准把控复习节奏。

备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第三单元 函数 第11讲 二次函数的应用及综合问题 ( 课标要求 ) 1.掌握二次函数与方程（组）、不等式（组）之间的关系，会利用二次函数的图象、性质解决方程（组）、不等式（组）的问题. 2.掌握用二次函数模型解决实际问题 3.会解决二次函数与其他知识的综合问题 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） （1）抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. （2）若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. （3）二次函数与轴交点情况 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数： ①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； ③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 2.二次函数与不等式（组） （1）涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解 b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 （2）两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值. 3.利用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）设实际问题中的变量 （2）建立变量与变量之间的函数关系 （3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义 （4）利用函数的性质解决问题 （5）写出答案 ( 考点精析 ) ■考点一　二次函数与方程（组）► 【例1.1】（2025•城中区校级一模）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 　 ． 【例1.2】（2025•越秀区一模）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为 　 　 ． 【例1.3】（2025•榆林二模）已知在平面直角坐标系中，抛物线C1的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点为（﹣4，0），将抛物线C1向右平移3个单位长度后得到抛物线（a、b、c为常数，且a＜0），则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．2a+b＝0 D．9a+3b﹣c＞0 【例1.4】（2025•德州模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）． （1）若a＝1，函数图象经过点（0，﹣4）和（3，﹣1），求函数图象的顶点坐标． （2）若a＝﹣2，函数图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜6＜x2，求证：6b+c＞72． （3）若函数图象经过点（4，t），当x≤1时，y≥t+1；当x＞1时，y≥t，求a的值． ■考点二　二次函数与不等式（组）► 【例2.1】（2025•雨花区校级三模）一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞﹣4 C．﹣4＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣4 【例2.2】（2025•晋江市模拟）二次函数y1＝mx2﹣2mx+m（m是常数且m≠0）的图象经过点P（x1，y1），一次函数y2＝﹣mx+m的图象经过点Q（x2，y2），当m＞0时，下列结论不一定正确的是（　　） A．当x1＝x2＜0时，y1＞y2 B．当x1＝x2＞1时，y1＞y2 C．当y1＝y2＞m时，x1＞x2 D．当y1＝y2＜m时，x1＞x2 【例2.3】（2025•南京模拟）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n的图象上，当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2． （1）①m＝ 　 　 ； ②若抛物线与x轴只有一个公共点，则n的值为 　 　 ． （2）若P（2a﹣3，b1）；Q（5，b2）是图象上的两点，且b1＜b2，求a的取值范围． （3）若对于任意实数x1，x2都有y1+y2≥2，则n的取值范围是 　 ． ■考点三　二次函数的实际应用► 【例3.1】（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　 　 m． 【例3.2】（2025•清镇市模拟）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … （1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是　　 ；（只填正确答案的序号） ①q＝10v+500； ②； ③q＝﹣2v2+120v． （2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ （3）已知q，v，k满足q＝vk．某市交通运行监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【例3.3】（2025•天津一模）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，有下列结论： ①汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于9m； ②s的最大值是9.375m； ③汽车刹车后到停下来t等于2.5s． 其中，正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【例3.4】（2026•邵阳模拟）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求这两种粽子的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值． 【例3.5】（2026•沁阳市模拟）小王同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝﹣+x+a和直线y＝﹣x+m．其中，当纸飞机飞行的水平距离为8m时，自动进入滑行阶段． （1）若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m． ①直接写出a，m的值； ②小明的前方有一堵2.7m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？ （2）要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16m，直接写出a的最大值． ■考点四　二次函数的综合题► 【例4.1】（2025•河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且CO＝2AO，CO＝BO，AB＝3．则下列判断中正确的是（　　） A．此抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2 B．当x＞0时，y随着x的增大而增大 C．此抛物线与直线y＝只有一个交点 D．在此抛物线上的某点M，使△MAB的面积等于4，这样的点共有三个 【例4.2】（2025•浙江三模）已知二次函数y＝x2﹣3x﹣m2+3m（m≠0的实数）． （1）二次函数图象的对称轴是x＝　 ． （2）当m＝2时， ①若将平面内一点A（1，n）向右平移3a个单位，则与抛物线上的点B重合；向左平移2a个单位，则与抛物线上的点C重合，求n的值． ②如果点p（x，y）在抛物线上，且到y轴的距离小于等于2，那么我们称点p是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围． （3）对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤2t+1，x2≤﹣2时，均满足y1＜y2﹣6，直接写出t的取值范围． 【例4.3】（2026•固镇县一模）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P是直线AC下方抛物线上的点． （1）求a+b的值； （2）连接AP，CP，BC，过点P作PF⊥x轴于点F，交AC于点E，若，求点P的坐标； （3）如图2，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MAO＝∠OAC时，求点M的坐标． ( 巩固训练 ) 1．（2025•梅州二模）对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0，y随x的增大而减小 B．当x＝1时，y有最大值﹣3 C．图象的顶点（﹣1，﹣3） D．图象与x轴有两个交点 2．（2025•黄石模拟）若函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0 3．（2025•兰考县一模）如表中列出的是一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值： x … ﹣2 0 1 4 … y … 18 6 3 6 … 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的图象开口向下 B．当x＞1，y的值随x值的增大而增大 C．这个函数的最小值是3 D．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根 4．（2025•河西区模拟）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式为s＝60t﹣1.5t2（0≤t≤20）．有下列结论：①滑行的时间为2s时，滑行的距离是114m； ②飞机停下前最后10s内滑行的距离是450m；③飞机着陆后滑行了600m才停下来． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025•泉州模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（2，c）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，x1﹣x2＜0，x1+x2＞2，则下列判断正确的是（　　） A．不存在实数a，使得y1﹣y2＞0 B．存在实数a，使得a（y1﹣y2）＞0 C．无论非零实数a为何值，都有y1﹣y2＞0 D．无论非零实数a为何值，都有a（y1﹣y2）＜0 6．（2025•威海一模）如图，抛物线y＝﹣x2+px+m与x轴交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），抛物线y＝﹣x2+px+n与x轴交点的横坐标为x3，x4（x3＜x4）．已知0＜m＜n，则下列结论正确的是（　　） A．x3＜x4＜x1＜x2 B．x3＜x1＜x2＜x4 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x1＜x3＜x4＜x2 7．（2025•红桥区二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AB是墙，且AB的长不超过21m，E，F分别为边AB，CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF，FC上分别留出两个宽为1m的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是43m，有下列结论： ①AD的长可以是10m； ②当矩形菜园ABCD的面积为150m2时，BC的长为5m； ③当矩形菜园ABCD的面积最大时，BC的长为8m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024•田阳区二模）如图，抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝3相交于点A、B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（1，0） D．（3，0） 知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，2）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 　 　 ． 10．（2025•苏州一模）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的图象以点A（1，m），B（3，m），C（0，﹣m），其中m为常数，且m≠0，则方程ax2+bx﹣2c＝0的解为 　 ． 11．（2025•即墨区校级二模）2023年杭州亚运会举办期间，亚运会吉祥物深受广大人民的喜爱．某特许零售店某款亚运会吉祥物的销售日益火爆，每个吉祥物进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每降低1元，每天的销量增加20个．现商家决定降价销售．设销售单价为x（40＜x＜44）元，商家每天销售吉祥物获得的利润为w元，则w关于x的函数关系式为 　 ． 12．（2025•敦化市一模）某圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y＝﹣+6，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 　 　 m． 13．（2025•肇州县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，如图所示，其对称轴是直线x＝1，分析下列结论：①3a+c＞0；②（a+c）2＜b2；③a+3b+9c＞0；④若﹣1＜x＜2，则ax2+bx+c＞0；⑤a2m2+abm≤a（a+b）其中正确的结论有 　 （填序号）． 14．（2025•青羊区模拟）已知一次函数：y1＝ax+a，二次函数：，当﹣3＜x＜﹣1时，y1＞y2恒成立，则a的取值范围是　 　 ． 15．（2025•潍坊一模）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ （3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 16．（2025•山东一模）已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（a为常数）． （1）若抛物线与x轴正半轴的交点落在抛物线上，求a的值； （2）已知抛物线可由抛物线绕点P旋转180°得到，求点P的坐标； （3）若在﹣4≤x≤0的范围内，始终存在|y1﹣y2|≤4，求a的取值范围（直接写出答案）． 17．（2025•昆山市模拟）某网络经销商购进了一批以马拉松为主题的文创用品进行销售，该文创用品的进价为每件28元，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． （1）每件文创用品的利润为 　 　 元/件，每天销售数量y＝ 　 　 件（不要求写自变量的取值范围）； （2）设经销商每天的利润为W元，求销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ （3）营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文创用品的销售单价高于成本且不超过45元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文创用品的利润至少为37元；请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 18．（2025•杭州一模）已知抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点． ①若k＝1，求a的值． ②点C（x3，y3）在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2＝y3时，0≤x3≤1，求a的取值范围． 19．（2025•德州一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时， ①求b，c的值； ②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第三单元 函数 第11讲 二次函数的应用及综合问题 ( 课标要求 ) 1.掌握二次函数与方程（组）、不等式（组）之间的关系，会利用二次函数的图象、性质解决方程（组）、不等式（组）的问题. 2.掌握用二次函数模型解决实际问题 3.会解决二次函数与其他知识的综合问题 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） （1）抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. （2）若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. （3）二次函数与轴交点情况 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数： ①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； ②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； ③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 2.二次函数与不等式（组） （1）涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解 b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 （2）两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值. 3.利用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）设实际问题中的变量 （2）建立变量与变量之间的函数关系 （3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义 （4）利用函数的性质解决问题 （5）写出答案 ( 考点精析 ) ■考点一　二次函数与方程（组）► 【例1.1】（2025•城中区校级一模）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1　 ． 【思路点拨】把抛物线与直线联立可得方程ax2﹣bx﹣c＝0，那么方程ax2﹣bx﹣c＝0的解就是抛物线和直线交点的横坐标． 【解析】解：由函数图象可知， ∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1）， ∴关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，就是抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点的横坐标， ∴x1＝﹣2，x2＝1． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝1． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，能利用数形结合求出方程的解是解题的关键． 【例1.2】（2025•越秀区一模）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为 　或﹣3　 ． 【思路点拨】分两种情形：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）只有1个交点时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【解析】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4）， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣，x2＝3， 则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0）， 把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方， 则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4）， 如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点， ∴3+b＝0， 解得：b＝﹣3； 当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）只有1个交点时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点， 即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解， 整理得：x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0， 解得：b＝， 所以b的值为：﹣3或， 故答案为：或﹣3． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴交点的坐标，掌握翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的方法是解本题的关键． 【例1.3】（2025•榆林二模）已知在平面直角坐标系中，抛物线C1的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点为（﹣4，0），将抛物线C1向右平移3个单位长度后得到抛物线（a、b、c为常数，且a＜0），则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．2a+b＝0 D．9a+3b﹣c＞0 【思路点拨】由题意得，平移后抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），可得，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可得b＝﹣2a＞0，c＞0，进而可得abc＜0，b2﹣4ac＞0，2a+b＝0；由题意得，当x＝﹣3时，y＜0，即9a+3b﹣c＜0． 【解析】解：由题意得，平移后抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴b＝﹣2a＞0． ∵a＜0， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故A选项不正确，不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， 故B选项不正确，不符合题意； ∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， 故C选项正确，符合题意； 由题意得，当x＝﹣3时，y＜0， ∴9a+3b﹣c＜0， 故D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【例1.4】（2025•德州模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）． （1）若a＝1，函数图象经过点（0，﹣4）和（3，﹣1），求函数图象的顶点坐标． （2）若a＝﹣2，函数图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜6＜x2，求证：6b+c＞72． （3）若函数图象经过点（4，t），当x≤1时，y≥t+1；当x＞1时，y≥t，求a的值． 【思路点拨】（1）当a＝1时，二次函数y＝x2+bx+c，然后利用待定系数法即可求解； （2）若a＝﹣2，则二次函数y＝﹣2x2+bx+c，则抛物线开口向下，然后根据当x＝6时，y＞0即可求证； （3）当x≤1时，y≥t+1；当x＞1时，y≥t，则可判断抛物线开口向上，即a＞0，然后分①若对称轴在直线x＝1左侧时，即，②若对称轴在直线x＝1右侧时两种情况分析，结合图象即可求解． 【解析】（1）解：二次函数解析式为y＝x2+bx+c， 由条件可得， 解得：， ∴二次函数y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5， ∴函数图象的顶点坐标为（1，﹣5）； （2）证明：若a＝﹣2，则二次函数y＝﹣2x2+bx+c， ∴抛物线开口向下， ∵函数图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜6＜x2， ∴当x＝6时，y＝﹣2×62+6b+c＞0， ∴﹣72+6b+c＞0， ∴6b+c＞72； （3）解：∵当x≤1时，y≥t+1；当x＞1时，y≥t， ∴抛物线开口向上， ∴a＞0， ①如图，若对称轴在直线x＝1左侧时，即， ∵当x≤1时，y≥t+1；当x＞1时，y≥t， ∴当，y取最小值t+1， ∵t+1＞t， ∴此时不符合题意； ②如图，若对称轴在直线x＝1右侧时， ∴当x＝1时，y＝t+1，当，y取最小值t， ∴t＝16a+4b+c，， ∴a+b+c﹣1＝16a+4b+c，即15a+3b＝﹣1，b＝﹣8a， ∴， ∴a的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． ■考点二　二次函数与不等式（组）► 【例2.1】（2025•雨花区校级三模）一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞﹣4 C．﹣4＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣4 【思路点拨】由图象可得，ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜3，即可得不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为﹣4＜x＜3． 【解析】解：ax2+（b﹣m）x+c＞n， 即ax2+bx+c＞mx+n． 由图象可得，ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜3， ∴不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为﹣4＜x＜3． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【例2.2】（2025•晋江市模拟）二次函数y1＝mx2﹣2mx+m（m是常数且m≠0）的图象经过点P（x1，y1），一次函数y2＝﹣mx+m的图象经过点Q（x2，y2），当m＞0时，下列结论不一定正确的是（　　） A．当x1＝x2＜0时，y1＞y2 B．当x1＝x2＞1时，y1＞y2 C．当y1＝y2＞m时，x1＞x2 D．当y1＝y2＜m时，x1＞x2 【思路点拨】根据二次函数和一次函数解析式得出两者都恒过定点（1，0），与y轴的交点都为（0，m）．当m＞0时，画出大致图象，根据选项一一判断即可． 【解析】解：∵， y2＝﹣mx+m＝﹣m（x﹣1）， ∴抛物线与直线y2＝﹣mx+m都恒过定点（1，0），与y轴的交点都为（0，m）． 当m＞0时，大致图象如下， 由图可知，当x1＝x2＜0时，y1＞y2，故A正确，不符合题意； 当x1＝x2＞1时，y1＞y2，故B正确，不符合题意； 当y1＝y2＞m时，x1＞x2，故C正确，不符合题意； 当y1＝y2＜m时，若x1＜1，则x1＜x2， 若x1＞1，则x1＞x2，故选项D不一定正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】该题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数和一次函数的图象和性质并画出大致图象． 【例2.3】（2025•南京模拟）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n的图象上，当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2． （1）①m＝ 　﹣4　 ； ②若抛物线与x轴只有一个公共点，则n的值为 　4　 ． （2）若P（2a﹣3，b1）；Q（5，b2）是图象上的两点，且b1＜b2，求a的取值范围． （3）若对于任意实数x1，x2都有y1+y2≥2，则n的取值范围是 n≥5　 ． 【思路点拨】（1）①根据当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2，可求出该抛物线的对称轴，由此可求出m的值． ②若抛物线与x轴只有一个公共点时，Δ＝b2﹣4ac＝0，由此可求出n的值． （2）先求出点Q关于抛物线的对称轴的对称点Q′，再根据抛物线的图象可得到2a﹣3的取值范围，即可求出a的取值范围． （3）将抛物线配成顶点式，即可求出抛物线的最小值n﹣4，则有2（n﹣4）＝2n﹣8≥2，即可求n的范围． 【解析】解：（1）①∵当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝， ∴， ∴m＝﹣4． 故答案为：﹣4． ②∵若抛物线与x轴只有一个公共点， ∴关于x的方程x2﹣4x+n＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4n＝0， ∴n＝4． 故答案为：4． （2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线x＝2， 点Q（5，b2）关于直线x＝2的对称点为Q′（﹣1，b2）． ∵抛物线的开口向上， ∴当﹣1＜2a﹣3＜5时，b1＜b2， 解得1＜a＜4． （3）∵抛物线y＝x2﹣4x+n＝（x﹣2）2+n﹣4， ∴当x＝2时，函数有最小值n﹣4． ∵对于任意实数x1，x2都有y1+y2≥2， ∴2（n﹣4）＝2n﹣8≥2， 解得n≥5． 故答案为：n≥5． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，配方法求二次函数最值的相关知识，熟练掌握二次函数图象及性质，善于利用数形结合的思想方法，及利用二次函数对称轴的性质解题是关键． ■考点三　二次函数的实际应用► 【例3.1】（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　8　 m． 【思路点拨】由题得A（0，1.6），代入y＝a（x﹣3）2+2.5，得出抛物线的解析式为，令y＝0，求解即可， 【解析】解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：x1＝8，x2＝﹣2， ∴OB为8m， 故答案为：8． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【例3.2】（2025•清镇市模拟）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … （1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是　③　 ；（只填正确答案的序号） ①q＝10v+500； ②； ③q＝﹣2v2+120v． （2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ （3）已知q，v，k满足q＝vk．某市交通运行监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【思路点拨】（1）利用函数的增减性即可判断；（2）利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题；（3）求出v＝12或18时，定义的k的值即可解决问题； 【解析】解：（1）函数①q＝ 10v+500，q随v的增大而增大，不符合表格中的数据； 函数②q＝，q随v的增大而减小，显然不符合表格中的数据； 函数③q＝﹣2v2+120v＝﹣2（v﹣30）2+1800，符合表格中的数据． 故根据上表信息，函数③刻画q，v关系最准确． 故答案为：③； （2）由（1）知，q＝﹣2v2+120v＝﹣2（v﹣30）2+1800， ∵﹣2＜0， ∴v＝30时，q达到最大值，q的最大值为1800， ∴当该路段的车流速度为30千米/小时时，流量达到最大，最大流量是1800辆/小时； （3）当v＝12时，q＝1152，此时k＝96， 当v＝18时，q＝1512，此时k ＝84， ∴当84＜k＜96时，该路段将出现轻度拥堵． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，关键是弄清题意列出函数关系式． 【例3.3】（2025•天津一模）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，有下列结论： ①汽车刹车后行驶过程中的距离可以等于9m； ②s的最大值是9.375m； ③汽车刹车后到停下来t等于2.5s． 其中，正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】依据题意得，函数的解析式是s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，从而当t＝时，S取得最大值＝9.375，即汽车刹车后行驶过程中的最大距离是9.375m＞9m，故可判断①、②；令t＝，则汽车刹车后到停下来t等于s，即1.25s，故可判断③． 【解析】解：由题意得，函数的解析式是s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+， ∴当t＝时，S取得最大值＝9.375，即汽车刹车后行驶过程中的最大距离是9.375m＞9m，故①、②正确． 又∵t＝， ∴汽车刹车后到停下来t等于s，即1.25s，故③错误． 综上，正确的有2个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能熟练掌握并能利用配方法，找出二次函数的顶点式是关键． 【例3.4】（2026•邵阳模拟）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． （1）求这两种粽子的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数表达式并求出y的最大值． 【思路点拨】（1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为（n+20）元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可； （2）根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答． 【解析】解：（1）设豆沙粽每盒的进价为n元， 由题意得：， 解得：n＝30， 经检验：n＝30是原方程的解且符合题意， ∴n+20＝50， 答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元； （2）设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元）， 设猪肉粽每盒售价x元（52≤x≤70），y表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则： y＝（x﹣50）[180﹣10（x﹣52）]＝﹣10x2+1200x﹣35000＝﹣10（x﹣60）2+1000， ∵52≤x≤70，﹣10＜0， ∴当x＝60时，y取得最大值为1000元． 【点睛】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题． 【例3.5】（2026•沁阳市模拟）小王同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝﹣+x+a和直线y＝﹣x+m．其中，当纸飞机飞行的水平距离为8m时，自动进入滑行阶段． （1）若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m． ①直接写出a，m的值； ②小明的前方有一堵2.7m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？ （2）要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16m，直接写出a的最大值． 【思路点拨】（1）①依据题意，把（8，3.8）分别代入抛物线解析式和直线解析式可得a和m的值； ②取y＝2.7，分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的x的值，比较后可得所求的数值； （2）易得直线最远经过点（16，0），代入一次函数解析式，求得n的值，进而取x＝8，求得y的值，代入二次函数解析式可得c的最大值． 【解析】解：（1）①由题意，∵抛物线经过点（8，3.8）， ∴3.8＝﹣×82+8+a． ∴a＝2.2． ∵y＝﹣x+m经过点（8，3.8）， ∴3.8＝﹣×8+m， ∴m＝7.8． ②当y＝2.7时，2.7＝﹣x2+x+2.2， ∴x2﹣10x+5＝0， ∴x1＝5+2＞8（不合题意，舍去），x2＝5﹣2， 又∵2.7＝﹣x+7.8， ∴x＝10.2． ∵10.2＞5﹣2， ∴小明最多距离围栏10.2米时，纸飞机可以顺利飞过围栏． （2）由题意得：y＝﹣x+m经过点（16，0）， ∴0＝﹣×16+m， ∴m＝8， ∴y＝﹣x+8， 当x＝8时，y＝4， ∴y＝﹣x2+x+a经过点（8，4）， ∴4＝﹣×82+8+a， ∴a＝2.4． 故答案为：2.4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．理解并应用二次函数和一次函数的交点坐标解决相关问题是解决本题的关键． ■考点四　二次函数的综合题► 【例4.1】（2025•河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且CO＝2AO，CO＝BO，AB＝3．则下列判断中正确的是（　　） A．此抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2 B．当x＞0时，y随着x的增大而增大 C．此抛物线与直线y＝只有一个交点 D．在此抛物线上的某点M，使△MAB的面积等于4，这样的点共有三个 【思路点拨】利用CO＝2AO，而CO＝BO，AB＝3，可得出AO＝1，BO＝OC＝2，即可求出二次函数的解析式，由二次函数的对称轴，可得出当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，由二次函数的最小值为﹣，可得此抛物线与直线y＝﹣只有一个交点，由△MAB的面积等于4，得出M到x轴的距离为，这样的点共有2个．即可选出答案． 【解析】解：∵CO＝2AO，而CO＝BO，AB＝3， ∴AO＝1，BO＝OC＝2，即A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2，故A错误． ∵二次函数的对称轴为x＝， ∴当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，故B错误． ∵此二次函数的最小值为﹣， ∴此抛物线与直线y＝﹣只有一个交点，C正确． ∵要使△MAB的面积等于4，须使M到x轴的距离为，这样的点共有2个，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解． 【例4.2】（2025•浙江三模）已知二次函数y＝x2﹣3x﹣m2+3m（m≠0的实数）． （1）二次函数图象的对称轴是x＝　 ． （2）当m＝2时， ①若将平面内一点A（1，n）向右平移3a个单位，则与抛物线上的点B重合；向左平移2a个单位，则与抛物线上的点C重合，求n的值． ②如果点p（x，y）在抛物线上，且到y轴的距离小于等于2，那么我们称点p是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围． （3）对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤2t+1，x2≤﹣2时，均满足y1＜y2﹣6，直接写出t的取值范围． 【思路点拨】（1）根据二次函数的对称轴性质代入可得； （2）①根据平移可得B（1+3a，n），C（1﹣2a，n），关于对称轴对称，可得求值即可； ②点p到y轴的距离小于等于2，确定y的最小值和最大值，即所有“亲密点”的y的取值范围； （3）二次函数图象的对称轴直线开口向上，当时y随x值增大而减小，可知y2的最小值，然后分类讨论即可； 【解析】（1）解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣m2+3m， ∴二次函数图象的对称轴直线， ∴对称轴是直线， 故答案为：x＝； （2）①当m＝2时，二次函数为：y＝x2﹣3x+2，点A（1，n）平移后，B（1+3a，n），C（1﹣2a，n）， 由对称性得， 化简， 解得 a＝1， ∴1+3a＝4， 代入求n：n＝42﹣3×4+2＝16﹣12+2＝6，则 n＝6； ②∵点p到y轴的距离小于等于2， ∴﹣2≤x≤2， ∴顶点处y有最小值：当时，， 端点y有最大值：当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）+2＝12， 当x＝2时，y＝22﹣3×2+2＝0， ∴y的取值范围：； （3）当t﹣1≤x1≤2t+1，x2≤﹣2，需满足y1＜y2﹣6，则y1+6＜y2， 将P（x1，y1），Q（x2，y2）代入得：， ∵二次函数图象的对称轴直线，开口向上，当时y随x值增大而减小， ∴x2≤﹣2，当x2＝﹣2时，有最小值是10， ∴， ∴，则（x1﹣4）（x1+1）＜0， ∴或， ∴解得解集为：﹣1＜x1＜4， 当x1＝t﹣1时，则﹣1＜t﹣1＜4，解得：0＜t＜5， 当x1＝2t+1时，则﹣1＜2t+1＜4，解得：， ∴综上，t的取值范围为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【例4.3】（2026•固镇县一模）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P是直线AC下方抛物线上的点． （1）求a+b的值； （2）连接AP，CP，BC，过点P作PF⊥x轴于点F，交AC于点E，若，求点P的坐标； （3）如图2，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MAO＝∠OAC时，求点M的坐标． 【思路点拨】（1）利用待定系数法求出a、b值，进而即可求解； （2）由二次函数解析式可得C（0，﹣3），进而得到，即得S△PAC＝6，再利用待定系数法可得直线AC的解析式为，设，则，可得，即得到，求出m的值即可求解； （3）设直线AM交y轴于D，可证△AOD≌△AOC（ASA），得到OD＝OC＝3，得到D（0，3），即得直线AD解析式为，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解． 【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣4，0），B（1，0）， ∴， 解得， ∴； （2）由（1）得抛物线的解析式为， 把x＝0代入，得y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∵A（﹣4，0），B（1，0）， ∴AB＝1﹣（﹣4）＝5， ∴， ∵， ∴， 设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（﹣4，0）和C（0，﹣3）代入得， ， 解得， ∴直线AC的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得m1＝m2＝﹣2， ∴； （3）如图，设直线AM交y轴于D， ∵， ∴△AOD≌△AOC（ASA）， ∴OD＝OC＝3， ∴D（0，3）， 同理可得直线AD的解析式为， 由， 解得或， ∵点M是直线AC上方的抛物线上一动点， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． ( 巩固训练 ) 1．（2025•梅州二模）对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0，y随x的增大而减小 B．当x＝1时，y有最大值﹣3 C．图象的顶点（﹣1，﹣3） D．图象与x轴有两个交点 【思路点拨】把二次函数化为顶点式y＝﹣（x﹣1）2﹣3，根据顶点式即可对各选项进行判断． 【解析】解：把二次函数化为顶点式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3，根据顶点式即可对各选项进行判断如下： ∴顶点坐标为（1，﹣3），开口向下，对称轴为x＝1，当x＞1时y随x的增大而减小，故A选项错误； 当x＝1时，y有最大值﹣3，与x轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．（2025•黄石模拟）若函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0 【思路点拨】由于k的值不确定，则需分k≠0和k＝0讨论．二次函数与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实根，即根的判别式≥0． 【解析】解：当k≠0时，由二次函数与x轴有交点，可得 kx2﹣6x+3＝0有实根． 即b2﹣4ac＝36﹣12k≥0， 解不等式，得k≤3． 当k＝0时，函数是一次函数，与x轴交于（，0），满足题意． 所以k的取值范围为：k≤3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，培养对知识点的记忆、理解、应用能力． 3．（2025•兰考县一模）如表中列出的是一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值： x … ﹣2 0 1 4 … y … 18 6 3 6 … 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的图象开口向下 B．当x＞1，y的值随x值的增大而增大 C．这个函数的最小值是3 D．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根 【思路点拨】将（0，6），（1，3），（4，6）代入y＝ax2+bx+c，得，解方程组即可求出a、b、c的值，进而得出二次函数解析式，然后由二次函数的图象与系数的关系即可判断选项A；由y＝ax2+bx+c的图象与性质即可判断选项B；把y＝ax2+bx+c化成顶点式，然后求其最值，即可判断选项C；对于一元二次方程x2﹣4x+6＝0，先求出Δ＝﹣8，然后根据一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系即可判断选项D；综上，即可得出答案． 【解析】解：将（0，6），（1，3），（4，6）分别代入y＝ax2+bx+c，得： ， 解得：， ∴y＝x2﹣4x+6， ∵a＝1＞0， ∴该函数图象开口向上， 故A错误，不符合题意； ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴当x＞2时，y随x的增大而增大， 故B错误，不符合题意； ∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2， ∴该函数的最小值是2， 故C错误，不符合题意； 对于一元二次方程x2﹣4x+6＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×6＝16﹣24＝﹣8＜0， ∴一元二次方程x2﹣4x+6＝0没有实数根， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，y＝ax2+bx+c的图象与性质及一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键． 4．（2025•河西区模拟）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式为s＝60t﹣1.5t2（0≤t≤20）．有下列结论：①滑行的时间为2s时，滑行的距离是114m； ②飞机停下前最后10s内滑行的距离是450m；③飞机着陆后滑行了600m才停下来． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】根据二次函数的解析式求得其对称轴即可得出飞机滑行所需时间为20秒及滑行距离为600m，再求出前10秒飞机滑行的距离即可． 【解析】解：当t＝2时，s＝60×2﹣1.5×4＝114，即滑行的时间为2s时，滑行的距离是114m，故①正确； ∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣（t﹣20）2+600，﹣＜0，抛物线开口向下， ∴当t＝20时，s有最大值，此时s＝600， ∴飞机从落地到停下来共需20秒，滑行距离为600m，故③正确； 飞机前10秒滑行的距离为：s1＝60×10﹣1.5×102＝450（米）， ∴飞机停下前最后10秒滑行的距离为：600﹣450＝150（米），故②错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键． 5．（2025•泉州模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（2，c）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，x1﹣x2＜0，x1+x2＞2，则下列判断正确的是（　　） A．不存在实数a，使得y1﹣y2＞0 B．存在实数a，使得a（y1﹣y2）＞0 C．无论非零实数a为何值，都有y1﹣y2＞0 D．无论非零实数a为何值，都有a（y1﹣y2）＜0 【思路点拨】先利用抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）和C点坐标得到抛物线对称轴为直线x＝1，再利用已知条件得到1﹣x1﹣1＜x2﹣1，所以点A到直线x＝1的距离小于点B到直线x＝1的距离，根据二次函数的性质，当a＞0时，y1＜y2；当a＜0时，y1＞y2，然后对各选项进行判断． 【解析】解：∵当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）， ∵抛物线经过C（2，c）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵x1﹣x2＜0，x1+x2＞2， ∴1﹣x1＜x2﹣1， ∴点A到直线x＝1的距离小于点B到直线x＝1的距离， 当a＞0时，y1＜y2；所以A选项不符合题意； 当a＜0时，y1＞y2，所以C选项不符合题意； ∴a（y1﹣y2）＜0，所以B选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：熟练掌握抛物线的性质、确定抛物线的对称轴和判断点A、B到对称轴的距离的大小是解决问题的关键． 6．（2025•威海一模）如图，抛物线y＝﹣x2+px+m与x轴交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），抛物线y＝﹣x2+px+n与x轴交点的横坐标为x3，x4（x3＜x4）．已知0＜m＜n，则下列结论正确的是（　　） A．x3＜x4＜x1＜x2 B．x3＜x1＜x2＜x4 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x1＜x3＜x4＜x2 【思路点拨】根据二次函数的性质，结合一元二次方程的根的分布，即可得出结论． 【解析】解：由题意可知，抛物线y＝﹣x2+px+m与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），抛物线y＝﹣x2+px+m与直线y＝m﹣n的交点坐标为（x3，m﹣n），（x4，m﹣n）， ∵0＜m＜n， ∴m﹣n＜0， ∴直线y＝m﹣n与y轴交于负半轴， 如图所示， 观察图象可知，x3＜x1＜x2＜x4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握其性质并能准确画出图象是解决此题的关键． 7．（2025•红桥区二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AB是墙，且AB的长不超过21m，E，F分别为边AB，CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF，FC上分别留出两个宽为1m的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是43m，有下列结论： ①AD的长可以是10m； ②当矩形菜园ABCD的面积为150m2时，BC的长为5m； ③当矩形菜园ABCD的面积最大时，BC的长为8m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】由题意可得 AD＝EF＝BC，AB＝CD，即得3AD+CD＝45，可得3AD≥45﹣21，得到AD≥8，即可判断①； 设AD＝BC＝EF＝xm，则CD＝AB＝43﹣3x+2＝45﹣3x，可得S矩形ABCD＝AD•CD＝x（45﹣3x），利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【解析】解：①：四边形ABCD是矩形，EF分别为边AB，CD的中点， ∴AD＝EF＝BC，AB＝CD， ∵篱笆的长度是43m， ∴AD+BC+EF+CD﹣2＝43， ∴3AD+CD＝45， ∵AB的长不超过21m， ∴3AD≥45﹣21， ∴AD≥8， ∴AD的长可以是10m，故①正确； ②设AD＝BC＝EF＝xm，则CD＝AB＝43﹣3x+2＝45﹣3x， ∴S矩形ABCD＝AD•CD＝x（45﹣3x）， 当x（45﹣3x）＝150时，解得x1＝5，x2＝10， ∵AD≥8， ∴x＝10， ∴BC的长为10m，故②错误； ③， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵AD＝x≥8， ∴当x＝8，即BC的长为8m时，矩形菜园ABCD的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握以上性质是解题的关键． 8．（2024•田阳区二模）如图，抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝3相交于点A、B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（1，0） D．（3，0） 【思路点拨】把直线y＝3代入抛物线解析式得到A，B点的坐标，根据两点之间线段最短，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，则与x轴的交点即为点P的坐标． 【解析】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为点P． 当y＝3时代入到抛物线解析式得： x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝3或x＝﹣1． 则由图可知点A（﹣1，3），点B（3，3）， ∴B′（3，﹣3）． 设直线AB′的解析式为：y＝kx+b． 代入A，B′求得：y＝， 则该直线与x轴的交点为：当y＝0时，x＝1． ∴点P（1，0）． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，交点坐标的求法，也灵活地考查了两点之间线段最短，难度中等． 9．（2025•嘉峪关校级二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，2）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 　﹣3＜x＜0　 ． 【思路点拨】根据二次函数与不等式的关系解答即可． 【解析】解：由图象可知，当﹣3＜x＜0时，抛物线位于直线上方， ∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是：﹣3＜x＜0， 故答案为：﹣3＜x＜0． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m的交点坐标是解题关键． 10．（2025•苏州一模）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的图象以点A（1，m），B（3，m），C（0，﹣m），其中m为常数，且m≠0，则方程ax2+bx﹣2c＝0的解为 　2　 ． 【思路点拨】列出方程组求出a、b、c的值，则方程ax2+bx﹣2c＝0为﹣mx2++2m＝0，即可求解． 【解析】解：由题意得：， 解得：， 则方程ax2+bx﹣2c＝0为﹣mx2++2m＝0， 解得：x＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的求解是解题的关键． 11．（2025•即墨区校级二模）2023年杭州亚运会举办期间，亚运会吉祥物深受广大人民的喜爱．某特许零售店某款亚运会吉祥物的销售日益火爆，每个吉祥物进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每降低1元，每天的销量增加20个．现商家决定降价销售．设销售单价为x（40＜x＜44）元，商家每天销售吉祥物获得的利润为w元，则w关于x的函数关系式为w＝﹣20x2+1980x﹣47200　 ． 【思路点拨】设每天销售量为y个，销售单价为x元（40＜x＜44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，根据题意列出函数关系式即可求解． 【解析】解：设每天销售量为y个，销售单价为x元（40＜x＜44），商家每天销售纪念品获得的利润w元， 根据题意得y＝300+20（44﹣x）＝﹣20x+1180， 则w＝（x﹣40）（﹣20x+1180）＝﹣20x2+1980x﹣47200， 故答案为：w＝﹣20x2+1980x﹣47200． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 12．（2025•敦化市一模）某圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y＝﹣+6，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为 　10　 m． 【思路点拨】根据已知易得：N点的坐标为（5，6）和M点的坐标为（﹣5，6），然后进行计算即可解答． 【解析】解：由二次函数y＝﹣（x﹣5）2+6的图象可知， 当x＝5时，y＝6， 故N点的坐标为（5，6）； ∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴M点的坐标为（﹣5，6）， ∴MN之间的距离＝5﹣（﹣5）＝5+5＝10（m）． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．（2025•肇州县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，如图所示，其对称轴是直线x＝1，分析下列结论：①3a+c＞0；②（a+c）2＜b2；③a+3b+9c＞0；④若﹣1＜x＜2，则ax2+bx+c＞0；⑤a2m2+abm≤a（a+b）其中正确的结论有 　②③　 （填序号）． 【思路点拨】利用对称轴方程得到b＝﹣2a，再利用x＝﹣1时，a﹣b+c＜0得到3a+c＜0，则可对①进行判断；利用x＝﹣1时，a﹣b+c＜0；x＝1时，a+b+c＞0得到（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，则可对②进行判断；利用x＝时得到a+b+c＞0，可对③进行判断；利用抛物线与x轴的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间则可对④进行判断；利用x＝1时，y有最大值得到am2+bm+c≤a+b+c，然后利用a＜0可对⑤进行判断． 【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a， ∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以①错误； ∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0， ∴（a+c）2﹣b2＜0，所以②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间， ∴0＜x＜2，ax2+bx+c＞0，所以②错误； ∵x＝时，y＞0，即a+b+c＞0， ∴a+3b+9c＞0，所以③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间， ∴0＜x＜2，ax2+bx+c＞0，所以④错误； ∵x＝1时，y有最大值， ∴am2+bm+c≤a+b+c， 而a＜0， ∴a2m2+abm≥a2+ab，所以⑤错误． 答案为：②③． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 14．（2025•青羊区模拟）已知一次函数：y1＝ax+a，二次函数：，当﹣3＜x＜﹣1时，y1＞y2恒成立，则a的取值范围是　﹣2≤a＜0或0＜a≤2　 ． 【思路点拨】先根据函数的解析式求出函数图象的必过点，再根据数形结合思想列出不等式列不等式组求解． 【解析】解：∵y1＝ax+a＝a（x+1），＝a（x+1）（x+3）+2x+2， ∴y1经过点（﹣1，0），y2经过点（﹣1，0）（﹣3，﹣4）， 当ax+a＝a（x+1）（x+3）+2x+2时，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣2， ∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0），（﹣﹣2，﹣2﹣a）， 当a＞0时，﹣﹣2≤﹣3， ∴0＜a≤2； 当a＜0时，﹣﹣2＜﹣1时，不符合题意； 当﹣﹣2≥﹣1时，﹣2＜a＜0； 综上所述：﹣2＜a＜0或0＜a≤2． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，掌握函数的性质及数形结合思想是解题的关键． 15．（2025•潍坊一模）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ （3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 【思路点拨】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）用图象法即可解答． 【解析】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740， ∴y＝﹣10x+740（44≤x≤52）， （2）w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890， ∵﹣10＜0， ∴当x＜57时，w随x的增大而增大， ∵44≤x≤52， ∴当x＝52时，w有最大值，最大值为w＝﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640元， ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元； （3）∵利润不低于2250元， 且44≤x≤52，w随x增大而增大， 由﹣10（x﹣57）2+2890＝2250得x＝65或x＝49， ∴49≤x≤52． ∴纪念品的销售单价x的范围是49≤x≤52． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，熟知最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答是关键． 16．（2025•山东一模）已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（a为常数）． （1）若抛物线与x轴正半轴的交点落在抛物线上，求a的值； （2）已知抛物线可由抛物线绕点P旋转180°得到，求点P的坐标； （3）若在﹣4≤x≤0的范围内，始终存在|y1﹣y2|≤4，求a的取值范围（直接写出答案）． 【思路点拨】（1）把y＝0代入，解出x1＝﹣2，x2＝2，即可得出抛物线与x轴正半轴的交点为（2，0），再代入，即可求出a的值； （2）由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称，抛物线与抛物线4开口大小相同，开口方向不同，进而可得出a的值，再根据中点坐标公式即可求出点P的坐标； （3）根据题意可知，|（1﹣a）x2﹣x﹣4|≤4，分别求出当x＝0时和x＝﹣4时，y1﹣y2的值，然后解绝对值方程即可得出答案． 【解析】解：（1）把y＝0代入， 解得：x1＝﹣2，x2＝2， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为（2，0）， 把（2，0）代入得：4a+2＝0， 解得：； （2）由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称， ∴抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同， ∴a＝﹣1，， ∵，抛物线顶点坐标为，的顶点坐标为（0，﹣4）， ∴点P的坐标为，即； （3）在﹣4≤x≤0的范围内，始终存在|y1﹣y2|≤4， 即|（1﹣a）x2﹣x﹣4|≤4， ∴﹣4≤（1﹣a）x2﹣x﹣4≤4， ∴0≤（1﹣a）x2﹣x≤8， 令y3＝（1﹣a）x2﹣x， 对称轴为直线x＝，与x轴的交点为（0，0），（，0）， 当1﹣a＜0时，抛物线开口向下， 若＜﹣4，即a＜， ∴16（1﹣a）+4≤8， 解得：a＞， ∴1＜a＜； 若≥﹣4，即a≥， ∴， 解得：≤a≤， ∴≤a≤； 当1﹣a＞0时，即a＜1时，抛物线开口向上， ∴16（1﹣a）+4≤8， 解得：a≥， ∴≤a＜1； 当a＝1时，y3＝﹣x，符合题意； 综上所述，≤a≤． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴交点坐标，二次函数的几何变换，以及解绝对值方程等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 17．（2025•昆山市模拟）某网络经销商购进了一批以马拉松为主题的文创用品进行销售，该文创用品的进价为每件28元，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． （1）每件文创用品的利润为 　（x﹣30）　 元/件，每天销售数量y＝ 　（﹣2x+160）　 件（不要求写自变量的取值范围）； （2）设经销商每天的利润为W元，求销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ （3）营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文创用品的销售单价高于成本且不超过45元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文创用品的利润至少为37元；请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据每件的销售价格﹣成本﹣销售一件需缴纳网络平台管理费2元得出每件文创用品的利润；根据图象用待定系数法求出y与x的关系式； （2）根据每天的利润＝每件的利润×销售量列出函数解析式，再由函数的性质求最值； （3）分别求出A，B两种方案的利润，比较即可． 【解析】解：（1）∵销售单价x元/件，进价为每件28元，销售一件需缴纳网络平台管理费2元， ∴每件文创用品的利润为：x﹣28﹣2＝（x﹣30）元； ∵每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系， ∴设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把（30，100），（50，60）代入解析式得：， 解得， ∴y＝﹣2x+160， 故答案为：（x﹣30），（﹣2x+160）； （2）根据题意得：W＝（x﹣30）（﹣2x+160） ＝﹣2x2+220x﹣4800 ＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵﹣2＜0， ∴当x＝55时，W最大，最大值为1250， ∴销售单价为55元时，每天获利最大，最大利润是1250元； （3）方案A的最大利润更高．理由： 方案A：30＜x≤45， 由（2）可知，当x＝45时，W取得最大值，最大值＝﹣2×（45﹣55）2+1250＝﹣200+1250＝1050（元）； 方案B：由题意知：， 解得67≤x≤75， 由（2）知，当x＝67时，W最大，最大值为﹣2×（67﹣55）2+1250＝﹣288+1250＝962（元）， ∵1050＞962， ∴方案A的最大利润更高． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的应用，关键是求出函数解析式． 18．（2025•杭州一模）已知抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点． ①若k＝1，求a的值． ②点C（x3，y3）在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2＝y3时，0≤x3≤1，求a的取值范围． 【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论； ②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到x3＝﹣﹣x2，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系求得x2，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解析】解：∵抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）的顶点在x轴上， ∴Δ＝42﹣4a×3＝0， ∴a＝． ∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+4x+3； （2）①若k＝1，则y＝x， ∵A（﹣，y1）为直线y＝x（k≠0）与抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）的交点， ∴， ∴． ∴若k＝1，a的值为． ②抛物线y＝ax2+4x+3的对称轴为直线x＝﹣， ∵B（x2，y2），C（x3，y3）两点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，y2＝y3， ∴B，C两点关于对称轴直线x＝﹣对称， ∴， ∴x3＝﹣﹣x2． ∵直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点， ∴， ∴x1，x2是方程ax2+（4﹣k）x+3＝0（a＞0）的两个根， ∴， ∵x1＝﹣， ∴x2＝﹣3． ∴x3＝+3， ∵0≤x3≤1， ∴0≤﹣+3≤1， ∵a＞0， ∴≤2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的对称轴，顶点坐标，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．（2025•德州一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时， ①求b，c的值； ②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 【思路点拨】（1）①由待定系数法求出函数表达式，即可求解； ②当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，即可求解；当t＞﹣1时，同理可解； （2）x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝﹣b，3x2+x2＝﹣b，则x2＝﹣b，即（﹣b）2+b•（﹣b）+c＝0，即可求解． 【解析】（1）解：①当x1＝2，则抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，0），且b+c＝﹣6， 则，解得： 即b、c的值分别为2、﹣8； ②y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； 当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小， 当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8， 则﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝4， 方程无解； 当﹣1＜t≤0时，当x＝﹣1时，y的最小值为﹣9，当x＝﹣2时，y的最大值为﹣8， 则y最大﹣y最小＝﹣8﹣（﹣9）＝1≠4，不符合题意； 当t＞0时，y的最小值为﹣9，y的最大值为t2+2t﹣8， 则t2+2t﹣8﹣（﹣9）＝4， 解得：t＝﹣3（舍去）或1； （2）证明：∵x1＝3x2，且x1≠x2， ∴3x2≠x2， ∴x2≠0， ∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣b， ∴3x2+x2＝﹣b， ∴x2＝﹣b， ∴（﹣b）2+b•（﹣b）+c＝0， ∴c＝b2， ∴b﹣c＝b﹣b2＝﹣（b﹣4）2+3≤3， ∴． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $