第10讲 二次函数的图象与性质（综合检测）-备战2026年浙江中考数学一轮复习

备战2026年浙江中考数学一轮复习·综合检测 第三单元 函数 第10讲 二次函数的图象与性质 一．选择题 1．（2025•金湖县一模）将二次函数y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果正确的是（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2+1 【思路点拨】利用配方法整理即可得解． 【解析】解：y＝x2﹣4x+3 ＝（x2﹣4x+4）+3﹣4， ＝（x﹣2）2﹣1， 即y＝（x﹣2）2﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键． 2．（2025•攀枝花）关于抛物线y＝﹣x2+6x﹣7，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2） 【思路点拨】先将题目中的解析式化为顶点式，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解析】解：∵抛物线y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2， ∴该函数图象开口向下，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线x＝3，故选项B错误，不符合题意； 与y轴的交点坐标为（0，﹣7），故选项C错误，不符合题意； 顶点坐标为（3，2），故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．（2024•包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2 【思路点拨】根据配方法先化为顶点式，再根据上加下减的原则得出解析式即可． 【解析】解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1． 将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝（x+1）2﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 4．（2025•武侯区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与因变量y的几组对应值如表： x … ﹣2 0 1 3 4 … y … 8 0 ﹣1 3 8 … 则下列说法正确的是（　　） A．顶点坐标为（0，0） B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象的对称轴是直线x＝1 D．图象经过第一、二、三象限 【思路点拨】根据所给表格，得出抛物线的顶点坐标，再结合待定系数法求出其函数解析式，对所给选项依次进行判断即可． 【解析】解：由所给表格可知， 当x＝﹣2和x＝4时，函数值y＝8， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1， 所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）． 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1， 将（0，0）代入函数解析式得， a﹣1＝0， 解得a＝1， 所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1． 因为抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）， 所以A选项不符合题意． 因为当x＞1时，y随x的增大而增大， 所以B选项不符合题意． 因为抛物线的对称轴为直线x＝1， 所以C选项符合题意． 因为抛物线经过第一、二、四象限， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象及二次函数的性质，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（2025•武汉模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b的图象相比较看是否一致． 【解析】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 6．（2023•杭州）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（　　） A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a 【思路点拨】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可． 【解析】解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0， ∴x1＝m，x2＝m+k， ∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0）， ∴二次函数的对称轴是：直线， ∵a＞0， ∴y有最小值， 当时，y最小， 即， 当k＝2时，函数y的最小值为； 当k＝4时，函数y的最小值为， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键． 7．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（　　） A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④ 【思路点拨】命题④②③可以同时成立，由此即可判断． 【解析】解：假设抛物线的对称轴为直线x＝1， 则﹣＝1， 解得a＝﹣2， ∵函数的图象经过点（3，0）， ∴3a+b+9＝0， 解得b＝﹣3， 故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝3或x＝﹣1， 故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）， 函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧； 故命题②③④都是正确，①错误， 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法． 8．（2025•舟山三模）二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象上有A（a，y1），B（4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当0＜a＜2时，y1＞y2 B．当a＞2时，y1＜y2 C．当a＜0时，y1＜y2 D．当a＞4时，y1＜y2 【思路点拨】得到抛物线的对称轴为直线x＝2，然后比较点A、点B离直线x＝2的距离的大小，再根据二次函数的性质判断即可． 【解析】解：∵y＝ax2﹣4ax+3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2， ∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象上有A（a，y1），B（4，y2）两点， ∴B（4，y2）到对称轴的距离为2， A、当0＜a＜2时，抛物线开口向上，A（a，y1）到对称轴的距离小于2，则y1＜y2，故此选项错误； B、当a＞2时，抛物线开口向上，若a＝6时，A（a，y1）到对称轴的距离大于B（4，y2）到对称轴的距离，则y1＞y2，故此选项错误； C、当a＜0时，抛物线开口向下，A（a，y1）到对称轴的距离大于2，则y1＜y2，故此选项正确； D、当a＞4时，抛物线开口向上，A（a，y1）到对称轴的距离大于2，则y1＞y2，故此选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 9．（2025•碑林区校级一模）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3，当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　） A． B．1 C．1或﹣2 D．或 【思路点拨】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x＝1时，y＝9，即可求出a． 【解析】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量）， ∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1， ∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0， ∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9， ∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9， ∴3a2+3a﹣6＝0， ∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10．（2025•济南）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根； ②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小； ③； ④4a﹣2b+c＞0； ⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【思路点拨】结合题意画出函数图象，结合函数图象一一判断即可得出答案． 【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n）， 且经过（1，0），（0，m）两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴a＜0，抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（﹣3，0）， 图象如下所示： 令y＝n﹣1，即把y＝n向下平移一个单位， 再结合函数图象可知ax2+bx+c＝n﹣1（a≠0）有两个不相等的实数根， 故ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确，符合题意； ∵抛物线与x轴的交点为：（1，0）和（﹣3，0）， ∴二次函数为y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a， ∴m＝﹣3a， ∵3＜m＜4， ∴3＜﹣3a＜4， 解得，故③正确，符合题意， 结合函数图象可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故④正确，符合题意， ∵， ∴b＝2a， ∴（t+1）（at﹣a+b）＝（t+1）（at﹣a+2a） ＝a（t+1）（t+1） ＝a（t+1）2， ∵a＜0，（t+1）2≥0， ∴a（t+1）2≤0， 即故⑤正确，符合题意， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 二．填空题 11．（2025•任城区模拟）若是关于x的二次函数，则m的值为　2　 ． 【思路点拨】二次函数的一般形式：y＝ax2+bx+c（a≠0）根据二次函数的定义，函数中必须存在二次项，且二次项系数不能为零．因此，需要满足指数条件 m2﹣2＝2 且系数条件 m+2≠0． 【解析】解：由条件可知 x 的最高次项为二次，即 m2﹣2＝2． 解方程 m2﹣2＝2，得 m2＝4，所以 m＝2 或 m＝﹣2． 又∵m+2≠0， ∴m＝﹣2 舍去． ∴m＝2． 当 m＝2 时，函数为 y＝4x2+2x+3，满足二次函数定义． 【点评】本题考了二次函数的定义，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2025•旺苍县模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值如表所示．x在某一范围内，y随x的增大而增大，写出一段符合条件的x的取值范围x≥﹣1　 ． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 … y … 3 ﹣3 ﹣5 3 13 … 【思路点拨】根据表格得到二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，即可作答． 【解析】解：∵当x＝﹣3时，y＝3，当x＝1时，y＝3， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵x＝﹣1时，y＝﹣5为最小值， ∴二次函数图象开口向上， ∴当x≥﹣1时，y随x的增大而增大， ∴当y随x的增大而增大，x的取值范围为x≥﹣1， 故答案为：x≥﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，根据表格得到二次函数的增减性是解题关键． 13．（2025•祥云县模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），且经过点（﹣2，y1），（﹣3，y2），试比较y1和y2的大小：y1　＜　 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【思路点拨】由a＞0可得抛物线开口方向，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解． 【解析】解：∵y＝ax2﹣2ax+c（a＞0） ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵|﹣3﹣1|＞|﹣2﹣1| ∴（﹣2，y1）离对称轴较近， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系． 14．（2025•昌江区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2关于x轴对称的图象经过点（1，4），则a的值为　2　 ． 【思路点拨】由题意可知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象经过点（1，﹣4），再将（1，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣2求解即可． 【解析】解：因为点（1，4）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣4）， 则点（1，﹣4）在函数y＝ax2﹣2ax﹣2的图象上， 所以a﹣2a﹣2＝﹣4， 解得a＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 15．（2025•广州）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为　1或﹣　 ． 【思路点拨】先求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线y＝x+2中进行计算，即可解答． 【解析】解：y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3 ＝x2﹣6mx+9m2﹣9m2+6m2+5m+3 ＝（x﹣3m）2﹣3m2+5m+3， ∴抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点为（3m，﹣3m2+5m+3）， 把（3m，﹣3m2+5m+3）代入y＝x+2中得： ﹣3m2+5m+3＝3m+2， 整理得：3m2﹣2m﹣1＝0， 解得：m1＝1，m2＝﹣， 故答案为：m的值为1或﹣， 故答案为：1或﹣． 【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．（2025•余姚市一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0），点M（t+2，y1），N（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则t的取值范围为t＞﹣　 ． 【思路点拨】先将A（3，0）代入二次函数解析式中，求得c＝﹣3a，由此确定a符号，确定二次函数的开口方向和对称轴，再利用作差法找到t的取值范围． 【解析】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A（3，0）， 代入可得0＝9a﹣6a+c， ∴c＝﹣3a， ∵c＞0， ∴a＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为 x＝﹣＝1， 点 M（t+2，y）和 N（t+3，y） 在抛物线上，且y1＞y2， ∴y1﹣y2＝a（t+2）2﹣2a（t+2）+c﹣[a（t+3）2﹣2a（t+3）+c] ＝a（﹣2t﹣3）， ∵y1＞y2， ∴a（﹣2t﹣3）＞0， ∵a＜0， ∴﹣2t﹣3＜0， 解得：t＞﹣． 故答案为：t＞﹣． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，能熟练运用二次函数的性质是解题的关键． 三．解答题 17．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【思路点拨】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标； （2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案． 【解析】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5， ∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）； （2）如图： ∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2）， ∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1． 【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式． 18．（2025•连云港）已知二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点． 【思路点拨】（1）由二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，知函数的最小值小于2a2列式计算即可； （2）根据图象与x轴有交点，Δ≥0，列式计算即可； （3）根据当x＝0时，，即可证明． 【解析】（1）解：∵二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3中，1＞0， ∴二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点， ∴函数的最小值小于2a2， 则， 即2a2﹣4a+2＜2a2， 解得； （2）解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴Δ＝4（a+1）2﹣4×1×（3a2﹣2a+3）＝﹣8a2+16a﹣8＝﹣8（a﹣1）2≥0， ∴8（a﹣1）2≤0， 又∵8（a﹣1）2≥0， ∴8（a﹣1）2＝0， 解得a＝1； （3）证明：∵当x＝0时，， ∴二次函数的图象不经过原点． 【点评】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，以及二次函数图象的性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 19．（2025•南京模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（﹣1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【思路点拨】（1）依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，可得抛物线为直线x＝﹣＝﹣，可得b的值，再由图象经过点A（﹣2，5），求出c的值，进而可以得解； （2）依据题意，由点B（﹣1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（﹣1﹣m，9），结合（﹣1﹣m，9）在y＝x2+x+3图象上，可得9＝（﹣1﹣m）2+（﹣1﹣m）+3，进而计算可以得解； （3）根据n＜﹣、﹣≤n≤1和n＞1进行分类讨论，即可计算得解． 【解析】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣， ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2+x+c． 又图象经过点A（﹣2，5）， ∴4﹣2+c＝5． ∴c＝3． ∴抛物线为y＝x2+x+3． （2）由题意，∵点B（﹣1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0）， ∴平移后的点为（﹣1﹣m，9）． 又∵（﹣1﹣m，9）恰好落在y＝x2+x+3的图象上， ∴9＝（﹣1﹣m）2+（﹣1﹣m）+3． ∴m＝2或m＝﹣3（舍去）． ∴m＝2． （3）由题意，当n时， 在﹣2≤x≤n中，x＝﹣2时，y有最大值为（﹣2）2﹣2+3＝5，当x＝n时，y有最小值为n2+n+3， ∴最大值与最小值的差为5﹣（n2+n+3）＝， 解得n1＝n2＝﹣，不符合题意，舍去． 当﹣≤n≤1时， 在﹣2≤x≤n中，x＝﹣2时，y有最大值为（﹣2）2﹣2+3＝5，当x＝﹣时，y有最小值为（﹣）2﹣+3＝， ∴最大值与最小值的差为5﹣＝，符合题意． 当n＞1时， 在﹣2≤x≤n中，x＝n时，y有最大值为n2+n+3，当x＝﹣时，y有最小值为（﹣）2﹣+3＝， ∴最大值与最小值的差为n2+n+3﹣ ＝， 解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为﹣≤n≤1． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 20．（2025•滨州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，﹣3）在抛物线y＝x2﹣mx﹣m上． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）点N（a，b）在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围； （3）把直线y＝x向下平移n（n＞0）个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【思路点拨】（1）依据题意，由点M（2，﹣3）在抛物线y＝x2﹣mx﹣m上，则﹣3＝4﹣m×2﹣m，可得m＝3，从而y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，进而可以判断得解； （2）依据题意，由点N（a，b）在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，则﹣4＜a＜4，结合y＝（x﹣1）2﹣4，从而可以判断得解； （3）依据题意，由直线y＝x向下平移n（n＞0）个单位长度，则平移后直线为y＝x﹣n，然后在平面直角坐标系中作出二次函数y＝x2﹣2x﹣3与直线为y＝x﹣n的图象，结合当y＝x﹣n过点（0，﹣3）时，n＝3，而当y＝x﹣n与y＝x2﹣2x﹣3相切时，可得n＝，进而结合函数的图象可以判断得解． 【解析】解：（1）∵点M（2，﹣3）在抛物线y＝x2﹣mx﹣m上， ∴﹣3＝4﹣m×2﹣m． ∴m＝3． ∴y＝x2﹣×3x﹣3，即y＝x2﹣2x﹣3． ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4． ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （2）由题意，∵点N（a，b）在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4， ∴﹣4＜a＜4． 又∵y＝（x﹣1）2﹣4， ∴当x＝﹣4时，y＝21；当x＝1时，y取最小值为﹣4；当x＝4时，y＝5． ∴﹣4≤b＜21． （3）∵直线y＝x向下平移n（n＞0）个单位长度， ∴平移后直线为y＝x﹣n． 在平面直角坐标系中作出二次函数y＝x2﹣2x﹣3与直线为y＝x﹣n的图象． 当y＝x﹣n过点（0，﹣3）时，则﹣3＝0﹣n， ∴n＝3． 当y＝x﹣n与y＝x2﹣2x﹣3相切时， ∴方程x2﹣2x﹣3＝x﹣n有两个相等的实数根，即方程x2﹣3x﹣3+n＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝9﹣4（﹣3+n）＝0． ∴n＝． 又∵直线y＝x向下平移n（n＞0）个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限， ∴结合图象可得，3＜n＜． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数图象与几何变换、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 21．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c． （1）当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围； （2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 【思路点拨】（1）先把解析式进行配方，再求顶点； （2）根据函数的增减性求解； （3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解． 【解析】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时， ∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7， ∴顶点坐标为（2，7）． ②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7）， ∴当 x＝2 时，y有最大值7， ∵2﹣（﹣1）＞3﹣2， ∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2， ∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7． （2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3， ∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧， ∴b＞0， ∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2， ∴c＝2， 又∵， ∴b＝±2， ∵b＞0， ∴b＝2． ∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2． 【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 22．（2025•新昌县一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时， ①求b，c的值； ②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 【思路点拨】（1）①由待定系数法求出函数表达式，即可求解； ②当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，即可求解；当t＞﹣1时，同理可解； （2）x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝﹣b，3x2+x2＝﹣b，则x2＝﹣b，即（﹣b）2+b•（﹣b）+c＝0，即可求解． 【解析】（1）解：①当x1＝2，则抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，0），且b+c＝﹣6， 则，解得： 即b、c的值分别为2、﹣8； ②y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； 当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小， 当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8， 则﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝4， 方程无解； 当﹣1＜t≤0时，当x＝﹣1时，y的最小值为﹣9，当x＝﹣2时，y的最大值为﹣8， 则y最大﹣y最小＝﹣8﹣（﹣9）＝1≠4，不符合题意； 当t＞0时，y的最小值为﹣9，y的最大值为t2+2t﹣8， 则t2+2t﹣8﹣（﹣9）＝4， 解得：t＝﹣3（舍去）或1； （2）证明：∵x1＝3x2，且x1≠x2， ∴3x2≠x2， ∴x2≠0， ∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣b， ∴3x2+x2＝﹣b， ∴x2＝﹣b， ∴（﹣b）2+b•（﹣b）+c＝0， ∴c＝b2， ∴b﹣c＝b﹣b2＝﹣（b﹣4）2+3≤3， ∴． 【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·综合检测 第三单元 函数 第10讲 二次函数的图象与性质 一．选择题 1．（2025•金湖县一模）将二次函数y＝x2﹣4x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果正确的是（　　） A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2+1 2．（2025•攀枝花）关于抛物线y＝﹣x2+6x﹣7，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2） 3．（2024•包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　） A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2 4．（2025•武侯区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与因变量y的几组对应值如表： x … ﹣2 0 1 3 4 … y … 8 0 ﹣1 3 8 … 则下列说法正确的是（　　） A．顶点坐标为（0，0） B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象的对称轴是直线x＝1 D．图象经过第一、二、三象限 5．（2025•武汉模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 6．（2023•杭州）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（　　） A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a 7．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（　　） A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④ 8．（2025•舟山三模）二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象上有A（a，y1），B（4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当0＜a＜2时，y1＞y2 B．当a＞2时，y1＜y2 C．当a＜0时，y1＜y2 D．当a＞4时，y1＜y2 9．（2025•碑林区校级一模）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3，当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　） A． B．1 C．1或﹣2 D．或 10．（2025•济南）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（﹣1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根； ②当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小； ③； ④4a﹣2b+c＞0； ⑤对于任意实数t，总有（t+1）（at﹣a+b）≤0． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二．填空题 11．（2025•任城区模拟）若是关于x的二次函数，则m的值为　 　 ． 12．（2025•旺苍县模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值如表所示．x在某一范围内，y随x的增大而增大，写出一段符合条件的x的取值范围　 　 ． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 … y … 3 ﹣3 ﹣5 3 13 … 13．（2025•祥云县模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），且经过点（﹣2，y1），（﹣3，y2），试比较y1和y2的大小：y1　 　 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 14．（2025•昌江区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2关于x轴对称的图象经过点（1，4），则a的值为　 　 ． 15．（2025•广州）若抛物线y＝x2﹣6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y＝x+2上，则m的值为　 　 ． 16．（2025•余姚市一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0），点M（t+2，y1），N（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则t的取值范围为　 　 ． 三．解答题 17．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围． 18．（2025•连云港）已知二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点． 19．（2025•南京模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（﹣1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 20．（2025•滨州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，﹣3）在抛物线y＝x2﹣mx﹣m上． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）点N（a，b）在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围； （3）把直线y＝x向下平移n（n＞0）个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 21．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c． （1）当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围； （2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 22．（2025•新昌县一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时， ①求b，c的值； ②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $