第10讲 二次函数的图象与性质（讲义）-备战2026年浙江中考数学一轮复习

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数的图象与性质，覆盖定义、三种表达式、图象性质及平移等中考核心考点，知识清单系统梳理概念与关系，考点精析通过真题案例分考点突破，配合巩固训练实现“基础梳理-方法指导-真题演练”的系统复习。 亮点在于以核心素养为导向，如通过顶点式求解析式（例1.3）培养模型意识，结合增减性比较函数值（例2.2）发展推理能力。分层设计例题与练习，适配不同学生需求，教师可依托真题案例精准把握中考动向，帮助学生高效构建知识体系，提升应考能力。

备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第三单元 函数 第10讲 二次函数的图象与性质 ( 课标要求 ) 1.理解二次函数的意义，掌握二次函数的表达式，熟练应用待定系数法求二次函数的表达式； 2.会画二次函数的图象，掌握二次函数的性质 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．二次函数的定义： 一般地，形如 (其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数． 2．二次函数的三种表达式： (1)一般式： (a，b，c是常数，a≠0)． (2)顶点式： (a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是 ． (3)交点式： (a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线 ． 3．二次函数的图象与性质： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口 ，这时当x≤－时，y随x的增大而 ；当x≥－时，y随x的增大而 ；当x＝－时，y有最 值 ．当a＜0时，抛物线开口 ，这时当x≤－时，y随x的增大而 ；当x≥－时，y随x的增大而 ；当x＝－时，y有最 值 ．该抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ． 4．二次函数的图象的平移： 平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减． ( 考点精析 ) ■考点一　二次函数的概念与表达式► 【例1.1】（2024•秦都区校级一模）下列函数中，y关于x的二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1） C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2 【例1.2】（2024•旺苍县一模）已知是二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【例1.3】（2025•凉州区一模）一条抛物线的顶点坐标为（2，1），且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为 　 ． 【例1.4】（2025•城关区校级模拟）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ ■考点二　二次函数的图象与性质► 【例2.1】（2024•陕西）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【例2.2】（2025•娄底三模）若二次函数y＝ax2﹣3ax+c（a＞0）的图象经过点A（0，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【例2.3】（2025•淮安）若x2﹣3x+1+y＝0，则2x+y的最大值是　　 ． 【例2.4】（2025•浙江模拟）设二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣k）+b（a，m，k，b是常数，a≠0），则（　　） A．若y有最大值，则最大值必大于0 B．若y有最大值，则最大值必小于0 C．若y有最小值，则最小值必大于0 D．若y有最小值，则最小值可能等于0 【例2.5】（2025•亳州模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+3． （1）若该抛物线的对称轴为直线x＝1，求其顶点坐标； （2）已知该抛物线的对称轴位于y轴右侧． ①当0≤x≤3时，y的最小值为﹣1，求m的值； ②若M（t﹣2，a），N（4，b），P（t，a）都是该抛物线上的点，且a＜b＜3，求t的取值范围． ■考点三　二次函数的图象与系数的关系► 【例3.1】（2025•惠州模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的是　 　 ． 【例3.2】（2025•通州区一模）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣6ax+5a． （1）若x＝2时，y＝﹣3，求该函数的解析式； （2）当a＞0，2≤x≤6时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； （3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是该函数图象上的两点，且对于x1＝a+3，4≤x2≤6，都有y1≥y2，求a的取值范围． ■考点四　二次函数的图象变换► 【例4.1】（2025•道里区一模）抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3 【例4.2】（2024•丽水一模）已知二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4x+2m﹣8的图象经过原点，它可以由抛物线y＝ax2（a≠0）平移得到，则a的值是 　2　 ． 【例4.3】（2025•秦淮区一模）已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）的图象经过点（6，5）． （1）求m的值； （2）当2≤x≤6时，求y的取值范围； （3）将该函数的图象沿着x轴向右平移得到一个新函数的图象，当2≤x≤6时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． ( 巩固训练 ) 1．（2024•平山县校级模拟）下列函数中不是二次函数的有（　　） A．y＝（x﹣1）2 B． C．y＝3x2+2x﹣1 D．y＝（x+1）2﹣x2 2．（2025•杭州模拟）二次函数y＝2（x+1）2﹣7的最小值是（　　） A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．7 3．（2025•桐城市二模）对于抛物线y＝﹣5（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3） C．对称轴为直线x＝1 D．当x＝3时，y＞0 4．（2025•泗洪县一模）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•汕尾一模）二次函数y＝x2+2x+3的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＞﹣1时，y2＞y1＞0 B．当﹣3＜t＜﹣1时，y1＞y2＞0 C．当﹣5＜t＜﹣3时，y2＜y1＜0 D．当t＜﹣5时，y1＜y2＜0 6．（2025•浙江模拟）已知正比例函数y＝kx（k＞0）与二次函数y＝x2﹣3的图象相交于A，B两点．若A，B两点的横坐标分别为p，q，则p•q的值为（　　） A．﹣3 B． C．3 D． 7．（2025•广州）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 8．（2026•西安一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线，且经过点（0，2），给出以下结论：①abc＜0；②当x＞3时，y随x的增大而减小；③当y＞2时，x＜0或x＞3；④2a﹣c＞0；⑤若二次函数经过点（﹣1，﹣2），则其图象必经过点（4，﹣2）．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 9．（2025•普陀区三模）已知二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象经过原点，那么m＝ 　 　 ． 10．（2025•福建模拟）把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 ． 11．（2025•盐城）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围是　 　 ． 12．（2025•驻马店三模）若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，m），B（3，m），C（4，n），则c和n的大小关系是 ． 13．（2025•凉州区三模）已知二次函数y＝x2﹣3x﹣4，当﹣1≤x≤m时，无论m取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则m的取值范围是 　 ． 14．（2025•泸县一模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）根据图象，求当﹣2＜x＜2时，y的取值范围． 15．（2025•浙江一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点． （1）求c的值及a，b满足的关系式； （2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值； （3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围． 16．（2025•七星区校级二模）对于二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a﹣3（a＞0）． （1）若二次函数的图象经过了（2，﹣5），（1，﹣4），（﹣1，﹣6）三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当x≥m时，该函数的最小值是﹣3，求m的值． （2）若二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q），求当p＜q时，n的取值范围． 17．（2025•东城区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3． （1）若a＝1，求该抛物线的顶点坐标； （2）已知点A（2a﹣1，y1），B（a，y2），C（a+2，y3）在抛物线上，若（y1﹣y3）（y3﹣y2）＜0，求a的取值范围． 18．（2025•威海三模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值． （3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 19．（2025•宁波模拟）二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）． （1）求a的值． （2）当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值减去最小值的差为d1，当﹣2≤x≤m+1时，该函数的最大值减去最小值的差为d2． ①若d1＝9，求m的取值范围； ②是否存在d1＞d2？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第三单元 函数 第10讲 二次函数的图象与性质 ( 课标要求 ) 1.理解二次函数的意义，掌握二次函数的表达式，熟练应用待定系数法求二次函数的表达式； 2.会画二次函数的图象，掌握二次函数的性质 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．二次函数的定义： 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数． 2．二次函数的三种表达式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线 x＝． 3．二次函数的图象与性质： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口向上，这时当x≤－时，y随x的增大而减小；当x≥－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y有最小值．当a＜0时，抛物线开口向下，这时当x≤－时，y随x的增大而增大；当x≥－时，y随x的增大而减小；当x＝－时，y有最大值．该抛物线的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是． 4．二次函数的图象的平移： 平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减． ( 考点精析 ) ■考点一　二次函数的概念与表达式► 【例1.1】（2024•秦都区校级一模）下列函数中，y关于x的二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1） C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2 【思路点拨】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论． 【解析】解：A、当a＝0时，y＝bx+c不是二次函数； B、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x是二次函数； C、y＝不是二次函数； D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1为一次函数． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键． 【例1.2】（2024•旺苍县一模）已知是二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【思路点拨】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【解析】解：由是二次函数，得 ， 解得m＝1， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数． 【例1.3】（2025•凉州区一模）一条抛物线的顶点坐标为（2，1），且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为 y＝﹣3（x﹣2）2+1（答案不唯一）　 ． 【思路点拨】根据二次函数的顶点式，结合开口方向求解即可． 【解析】解：该二次函数的表达式可以为y＝﹣3（x﹣2）2+1， 故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2+1（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的顶点式． 【例1.4】（2025•城关区校级模拟）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【思路点拨】①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【解析】解：①，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意； ②y＝2π×5x＝10πx，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； ③y＝（x﹣80）（100﹣2x）＝100x﹣2x2﹣8000+160x＝﹣2x2+260x﹣8000，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键． ■考点二　二次函数的图象与性质► 【例2.1】（2024•陕西）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0，函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，选项D错误；y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，函数图象的对称轴为x＝m，对应的函数值为﹣1，因此选项A、B错误，选项C正确． 【解析】解：当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0， 函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，故选项D错误； y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1， 函数图象的对称轴为x＝m，因为m＞1，所以选项A错误； 当x＝m时，函数值为y＝﹣1，因此选项B错误，选项C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，关键在于掌握二次函数图象的特征． 【例2.2】（2025•娄底三模）若二次函数y＝ax2﹣3ax+c（a＞0）的图象经过点A（0，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【思路点拨】根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上；根据二次函数离对称轴越远，函数值越大即可求解． 【解析】解：由题意得，抛物线对称轴为直线， 由条件可知抛物线开口向上，有最小值，且离对称轴越远，函数值越大， ∵点A（0，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），， ∴y3＜y1＜y2， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质．熟练掌握该知识点是关键． 【例2.3】（2025•淮安）若x2﹣3x+1+y＝0，则2x+y的最大值是　　 ． 【思路点拨】根据x2﹣3x+1+y＝0，得到y＝﹣x2+3x﹣1，整体代入代数式，将代数式转化为关于x的二次函数，求最值即可． 【解析】解：由条件可得y＝﹣x2+3x﹣1， ∴； ∴当时，2x+y有最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数求最值，熟练掌握该知识点是关键． 【例2.4】（2025•浙江模拟）设二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣k）+b（a，m，k，b是常数，a≠0），则（　　） A．若y有最大值，则最大值必大于0 B．若y有最大值，则最大值必小于0 C．若y有最小值，则最小值必大于0 D．若y有最小值，则最小值可能等于0 【思路点拨】依据题意，该二次函数可化为顶点式为y＝a（x﹣）2﹣﹣am2+akm+b，又当a＞0时，函数开口向上，有最小值．最小值可能为0，取决于常数项的值；当a＜0时，函数开口向下，有最大值．最大值可能大于、小于或等于0，取决于常数项的值， 从而可以判断得解． 【解析】解：由题意，该二次函数可化为顶点式为y＝a（x﹣）2﹣﹣am2+akm+b， 又∵当a＞0时，函数开口向上，有最小值．最小值可能为0，取决于常数项的值；当a＜0时，函数开口向下，有最大值．最大值可能大于、小于或等于0，取决于常数项的值， ∴只有选项D正确，即若函数有最小值，则最小值可能等于0． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握能灵活运用二次函数的性质是关键． 【例2.5】（2025•亳州模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+3． （1）若该抛物线的对称轴为直线x＝1，求其顶点坐标； （2）已知该抛物线的对称轴位于y轴右侧． ①当0≤x≤3时，y的最小值为﹣1，求m的值； ②若M（t﹣2，a），N（4，b），P（t，a）都是该抛物线上的点，且a＜b＜3，求t的取值范围． 【思路点拨】（1）根据抛物线的对称轴求解m＝1，进一步可得顶点坐标； （2）①如图，该抛物线的对称轴位于y轴右侧，可得，当0＜m＜3时，顶点G的纵坐标最小，当m≥3时，当x＝3时，yG最小，再进一步求解即可； ②由题意可得a＝（t﹣2）2﹣2（t﹣2）m+3，a＝t2﹣2mt+3，b＝16﹣8m+3＝19﹣8m，抛物线的对称轴为直线，a＝t2﹣2t（t﹣1）+3＝﹣t2+2t+3，由a＜b＜3，可得：t＞3，﹣t2+2t+3＜27﹣8t，整理得：t2﹣10t+24＞0，设w＝t2﹣10t+24，如图，再进一步求解即可． 【解析】解：（1）∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线y＝x2﹣2mx+3， ∴， 解得：m＝1， ∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，2）． （2）①如图，该抛物线的对称轴位于y轴右侧， ∴， 当0＜m＜3时，顶点G的纵坐标最小， ∴， 解得：m＝2（m＝﹣2舍去）； 当m≥3时， 当x＝3时，yG最小， ∴yG＝9﹣6m+3＝﹣1， 解得：，不符合题意，舍去， 综上：当0≤x≤3时，y的最小值为﹣1，m的值为2； ②∵M（t﹣2，a），N（4，b），P（t，a）都是抛物线y＝x2﹣2mx+3上的点， ∴a＝（t﹣2）2﹣2（t﹣2）m+3，b＝16﹣8m+3＝19﹣8m，a＝t2﹣2mt+3， ∴对称轴为直线， ∴a＝t2﹣2t（t﹣1）+3＝﹣t2+2t+3， ∵m＞0，即t﹣1＞0， 解得：t＞1， ∵a＜b＜3， ∴19﹣8m＜3， 解得：m＞2，即t﹣1＞2， 解得：t＞3， ∴b＝19﹣8m＝19﹣8（t﹣1）＝27﹣8t， ∵a＜b＜3， ∴﹣t2+2t+3＜27﹣8t， 整理得：t2﹣10t+24＞0， 设w＝t2﹣10t+24，如图， 当w＝t2﹣10t+24＝0时， 解得：t＝4或t＝6， ∴当t2﹣10t+24＞0时，t＜4或t＞6， ∵t＞3， ∴t的取值范围为：3＜t＜4或t＞6． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质的应用； ■考点三　二次函数的图象与系数的关系► 【例3.1】（2025•惠州模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的是　①④　 ． 【思路点拨】根据二次函数的对称性与增减性等进行判断即可． 【解析】解：①由图象可知，x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此①正确； ②由图象可知，x＝﹣1时，y＝a+b+c＝0，因此②错误； ③由图象可知，函数图象与x轴有2个交点，因此b2﹣4ac＞0，因此③错误； ④∵对称轴为直线x＝1，B（﹣1，0）， ∴A（﹣3，0）， ∴y＞0时，﹣1＜x＜3， ∴④正确， 故答案为①④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌二次函数图象性质是解题的关键． 【例3.2】（2025•通州区一模）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣6ax+5a． （1）若x＝2时，y＝﹣3，求该函数的解析式； （2）当a＞0，2≤x≤6时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； （3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是该函数图象上的两点，且对于x1＝a+3，4≤x2≤6，都有y1≥y2，求a的取值范围． 【思路点拨】（1）把x＝2，y＝﹣3，分别代入y＝ax2﹣6ax+5a，得出a＝1，即可作答． （2）先整理y＝a（x﹣3）2﹣4a，故图象的对称轴为直线x＝3，结合a＞0，2≤x≤6．故当x＝3时，y最小＝﹣4a，当x＝6时，y最大＝5a，列式5a﹣（﹣4a）＝18，即可作答． （3）进行分类讨论，即①若a＞0，则函数图象开口向上．②若a＜0，则函数图象开口向下，再结合二次函数的图象性质，进行分析列式，即可作答． 【解析】解：（1）∵y＝ax2﹣6ax+5a， 当x＝2时，y＝﹣3， ∴4a﹣12a+5a＝﹣3， ∴a＝1． ∴该函数的解析式为y＝x2﹣6x+5． （2）配方得y＝ax2﹣6ax+5a＝a（x﹣3）2﹣4a， ∴图象的对称轴为直线x＝3． 由条件可知当x＝3时，y最小＝﹣4a， ∵|6﹣3|＝3＞|2﹣3|， ∴当x＝6时，y＝a（6﹣3）2﹣4a＝9a﹣4a＝5a， ∴y最大＝5a． ∴5a﹣（﹣4a）＝18． ∴a＝2； （3）①若a＞0，则函数图象开口向上． 又∵对称轴为直线x＝3， ∴当x＞3时，y随x的增大而增大． ∵x1＝a+3＞3， ∴点A在对称轴的右侧． 又∵对于x1＝a+3，4≤x2≤6，都有y1≥y2， ∴a+3≥6， ∴a≥3． ②若a＜0，则函数图象开口向下， ∵x1＝a+3＜3， ∴点A在对称轴的左侧． ∵对称轴为直线x＝3， ∴当x＝2或x＝4时函数值相等． 由条件可知2≤a+3＜3， ∴﹣1≤a＜0． 综上：a≥3或﹣1≤a＜0． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ■考点四　二次函数的图象变换► 【例4.1】（2025•道里区一模）抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3 【思路点拨】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解析】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2； 由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+3． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 【例4.2】（2024•丽水一模）已知二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4x+2m﹣8的图象经过原点，它可以由抛物线y＝ax2（a≠0）平移得到，则a的值是 　2　 ． 【思路点拨】把原点坐标代入二次函数解析式求出m的值，然后根据抛物线平移不改变二次项的系数的值，即可求得a＝2． 【解析】解：∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4x+2m﹣8的图象经过原点， ∴2m﹣8＝0， 解得m＝4， ∴m﹣2＝2， ∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4x+2m﹣8的图象由抛物线y＝ax2（a≠0）平移得到， ∴a＝m﹣2＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线平移不改变二次项的系数的值是解题的关键． 【例4.3】（2025•秦淮区一模）已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）的图象经过点（6，5）． （1）求m的值； （2）当2≤x≤6时，求y的取值范围； （3）将该函数的图象沿着x轴向右平移得到一个新函数的图象，当2≤x≤6时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 【思路点拨】（1）依据题意，由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）的图象经过点（6，5），可得5＝5×（6﹣m），进而计算可以得解； （2）依据题意，由（1）可得二次函数为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，从而当x＝3时，y取最小值为﹣4，结合当x＝2时，y＝﹣3；当x＝6时，y＝5，进而可以判断得解； （3）依据题意，由二次函数为y＝（x﹣3）2﹣4，从而可设向右平移后得到的新函数为y＝（x﹣3﹣m）2﹣4（m＞0），故新抛物线的对称轴是直线x＝3+m，进而分当2≤3+m≤6时和当3+m＞6时两种情形讨论计算可以得解． 【解析】解：（1）由题意，∵二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）的图象经过点（6，5）， ∴5＝5×（6﹣m）． ∴m＝5． （2）由（1）可得二次函数为y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴当x＝3时，y取最小值为﹣4． 又∵当x＝2时，y＝﹣3；当x＝6时，y＝5， ∴当2≤x≤6时，﹣4≤y≤5． （3）由题意，∵二次函数为y＝（x﹣3）2﹣4， ∴可设向右平移后得到的新函数为y＝（x﹣3﹣m）2﹣4（m＞0）． ∴新抛物线的对称轴是直线x＝3+m． ①当2≤3+m≤6时，即0＜m≤3， 又∵若当x＝2时，y＝（2﹣3﹣m）2﹣4＝12，则m＝3或m＝﹣5（不合题意，舍去）； 若当x＝6时，y＝（6﹣3﹣m）2﹣4＝12，则m＝7（不合题意，舍去）或m＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴m＝3． ②当3+m＞6时，即m＞3， ∵当x＜3+m时，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，y＝（2﹣3﹣m）2﹣4＝12，则m＝3或m＝﹣5，均不合题意，舍去． 综上，m＝3． 答：平移的距离为3． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． ( 巩固训练 ) 1．（2024•平山县校级模拟）下列函数中不是二次函数的有（　　） A．y＝（x﹣1）2 B． C．y＝3x2+2x﹣1 D．y＝（x+1）2﹣x2 【思路点拨】根据二次函数的定义逐一判断即可． 【解析】解：A．y＝（x﹣1）2是二次函数，不符合题意； B．是二次函数，不符合题意； C．y＝3x2+2x﹣1是二次函数，不符合题意； D．y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1是一次函数，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义：“形如y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），y＝a（x﹣h）2（a≠0）的函数是二次函数． 2．（2025•杭州模拟）二次函数y＝2（x+1）2﹣7的最小值是（　　） A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．7 【思路点拨】根据抛物线解析式得出开口方向，即可求解． 【解析】解：∵a＝2＞0，开口向上， ∴当x＝﹣1时，二次函数y＝2（x+1）2﹣7有最小值为﹣7， 故答案为：A． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，正确记忆相关知识点是解题就关键． 3．（2025•桐城市二模）对于抛物线y＝﹣5（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3） C．对称轴为直线x＝1 D．当x＝3时，y＞0 【思路点拨】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【解析】解：A、∵﹣5＜0， ∴抛物线的开口向下，本选项错误， B、抛物线的顶点为（1，3），本选项错误， C、抛物线的对称轴为直线x＝1，本选项正确， D、把x＝3代入y＝﹣5（x﹣1）2+3，解得：y＝﹣17＜0，本选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论． 4．（2025•泗洪县一模）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【解析】解：A、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选项不符合题意； B、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，ab＞0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab＜0，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，对称轴位于y轴左侧，则ab＞0，故选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2025•汕尾一模）二次函数y＝x2+2x+3的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＞﹣1时，y2＞y1＞0 B．当﹣3＜t＜﹣1时，y1＞y2＞0 C．当﹣5＜t＜﹣3时，y2＜y1＜0 D．当t＜﹣5时，y1＜y2＜0 【思路点拨】根据解析式可得对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口向上，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，函数有最小值2，然后根据图象和性质判断即可． 【解析】解：∵二次函数为y＝x2+2x+3， ∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1， 又∵抛物线开口向上， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＝﹣1时，函数有最小值1﹣2+3＝2， 当t＞﹣1时，﹣1＜t＜t+4， ∴y2＞y1＞2＞0，故选项A符合题意； 当﹣3＜t＜﹣1时，1＜t+4＜3， ∴y2＞y1＞0，故选项D不符合题意； 当﹣5＜t＜﹣3时，﹣1＜t+4＜1， ∴y1＞y2＞0，故选项C不符合题意； 当t＜﹣5时，t＜t+4＜﹣1， ∴y1＞y2＞0，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键． 6．（2025•浙江模拟）已知正比例函数y＝kx（k＞0）与二次函数y＝x2﹣3的图象相交于A，B两点．若A，B两点的横坐标分别为p，q，则p•q的值为（　　） A．﹣3 B． C．3 D． 【思路点拨】联立得到x2﹣kx﹣3＝0，由题意得p，q是方程x2﹣kx﹣3＝0两个根，利用根与系数的关系求解即可． 【解析】解：联立整理得x2﹣kx﹣3＝0， 由条件可知p，q是方程x2﹣kx﹣3＝0两个根， ∴p•q＝﹣3， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握以上知识点是关键． 7．（2025•广州）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 【思路点拨】抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）开口向上，顶点为（1，﹣a），与x轴交于（0，0）和（2，0），分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【解析】解：∵y＝ax2﹣2ax（a＞0）， ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把x＝1代入y＝ax2﹣2ax得y＝a﹣2a＝﹣a， ∴顶点为（1，﹣a）， ∵两点A（x1，y1）．B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）， ∴当x1＜0目y1•y2＜0时，y1＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方）， 故y2＜0， 此时0＜x2＜2，故A选项的结论正确； 当x1＜x2＜1时，抛物线在x＜1时递减， 故x2越大，y2越小， 即y1＞y2，故C选项的结论错误； 当x1＜0且y1•y2＞0时，y2＞0， 此时x2应满足x2＜0或x2＞2，故B选项的结论错误； 当x1＞x2＞1时，抛物线在x＞1时递增， 故x1越大，y1越大， 即y1＞y2，故D选项的结论错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 8．（2026•西安一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线，且经过点（0，2），给出以下结论：①abc＜0；②当x＞3时，y随x的增大而减小；③当y＞2时，x＜0或x＞3；④2a﹣c＞0；⑤若二次函数经过点（﹣1，﹣2），则其图象必经过点（4，﹣2）．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．④⑤ C．①②⑤ D．②③④ 【思路点拨】根据函数图象可以判断a，b，c的符号，再根据二次函数的对称轴，结合函数的性质逐项判断即可． 【解析】解：由函数图象可知，a＜0，c＞0，﹣＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ∵对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当x＞时，y随x的增大而减小， ∴当x＞3时，y随x的增大而减小，故②正确； ∵二次函数图象经过点（0，2），对称轴为直线， ∴点（0，2）关于对称轴的对称点为（3，2）， ∴当y＞2时，0＜x＜3，故③错误； ∵﹣＝， ∴b＝﹣3a， 由图象可知，a+b+c＞0， ∴﹣2a+c＞0， ∴2a﹣c＜0，故④错误； ∵对称轴为直线， ∴二次函数经过点（﹣1，﹣2），则其图象必经过点（4，﹣2），故⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数的性质和数形结合的能力． 9．（2025•普陀区三模）已知二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象经过原点，那么m＝ 　﹣4　 ． 【思路点拨】将（0，0）代入解析式求解． 【解析】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象经过原点， ∴0＝（0﹣2）2+m， 解得m＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 10．（2025•福建模拟）把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 y＝（x+1）2+4　 ． 【思路点拨】依据题意，根据抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，即可判断得解． 【解析】解：由题意，抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， ∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1+3＝（x+1）2+4． 故答案为：y＝（x+1）2+4． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 11．（2025•盐城）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围是　﹣4≤y≤5　 ． 【思路点拨】根据自变量的取值范围利用二次函数的性质确定函数值的取值范围即可． 【解析】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵当x＝1时，y＝﹣4， 当x＝4时，y＝（x﹣1）2﹣4＝5， ∴当0≤x≤4时，函数y的取值范围是﹣4≤y≤5， 故答案为：﹣4≤y≤5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是能够确定二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标并能确定其增减性，难度中等． 12．（2025•驻马店三模）若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，m），B（3，m），C（4，n），则c和n的大小关系是c＜n ． 【思路点拨】利用二次函数的性质确定抛物线的对称轴，抛物线开口向上，离对称轴较远的点的纵坐标较大． 【解析】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，m），B（3，m），且两点的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上， 抛物线上两点（0，c）和C（4，n），到对称轴的距离分别为1﹣0＝1，4﹣1＝3，1＜3， ∴c＜n， 故答案为：c＜n． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴等知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质． 13．（2025•凉州区三模）已知二次函数y＝x2﹣3x﹣4，当﹣1≤x≤m时，无论m取何值，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则m的取值范围是 　≤m≤4　 ． 【思路点拨】分三种情况讨论：①当﹣1≤x＜时，x＝﹣1，y有最大值0，x＝m，y有最小值m2﹣3m﹣4；②当≤m≤4时，x＝时，y有最小值﹣，x＝﹣1，y有最大值0；③当m＞4时，x＝，y有最小值﹣，x＝m，y有最大值m2﹣3m﹣4；即可得到答案． 【解析】解：∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣， ∴抛物线的对称轴为直线x＝， ①当﹣1≤x＜时，x＝﹣1，y有最大值0，x＝m，y有最小值m2﹣3m﹣4， ∴0﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+3m+4，此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化； ②当≤m≤4时，x＝时，y有最小值﹣，x＝﹣1，y有最大值0， ∴0﹣（﹣）＝，此时二次函数的最大值与最小值的差是一个定值； ③当m＞4时，x＝，y有最小值﹣，x＝m，y有最大值m2﹣3m﹣4， ∴此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化； 综上所述：≤m≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值． 故答案为：≤m≤4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合与分类讨论的思想解题是解此题的关键． 14．（2025•泸县一模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3． （1）用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）根据图象，求当﹣2＜x＜2时，y的取值范围． 【思路点拨】（1）利用配方法把一般式配成顶点式即可； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后用描点法画出二次函数图象； （3）分别计算出自变量为﹣2和2对应的函数值，由于x＝1时，y有最大值4，从而可确定当﹣2＜x＜2时y的取值范围为﹣5＜x≤4． 【解析】解；（1）y＝﹣x2+2x+3 ＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3 ＝﹣（x﹣1）2+4； （2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）， 如图， （3）∵当x＝﹣2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5， 当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝3， 而x＝1时，y有最大值，最大值为4， ∴当﹣2＜x＜2时，y的取值范围为﹣5＜x≤4． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式：熟练掌握用一般式、顶点式或交点式表示二次函数是解决问题的关键．也考查了二次函数的图象与性质． 15．（2025•浙江一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点． （1）求c的值及a，b满足的关系式； （2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值； （3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围． 【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用两点是纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴，再利用（1）的结论即可求解； （3）利用分类讨论的方法分a＞0和a＜0两种情况，结合图象列出不等式，解不等式即可求解． 【解析】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）， ∴c＝4； ∵抛物线y＝ax2+bx+c经过B（2，0）， ∴4a+2b+c＝0． ∴4a+2b＝﹣4． ∴a，b满足的关系式为：2a+b＝﹣2； （2）∵抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1． ∴﹣＝﹣1． ∴b＝2a． ∴b+b＝﹣2． ∴b＝﹣1． （3）∵2a+b＝﹣2，c＝4， ∴抛物线解析式为y＝ax2+（﹣2﹣2a）x+4＝0． ∴抛物线的对称轴为：x＝﹣＝． 当a＞0时， ∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少， ∴抛物线的对称轴经过点B或在点B的右侧． ∴≥2． ∴0＜a≤1． 当a＜0时， ∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少， ∴抛物线的对称轴经过点A或在点A的左侧． ∴≤0． ∴﹣1≤a＜0． 综上，若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，a的取值范围为0＜a≤1或﹣1≤a＜0． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．（2025•七星区校级二模）对于二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a﹣3（a＞0）． （1）若二次函数的图象经过了（2，﹣5），（1，﹣4），（﹣1，﹣6）三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当x≥m时，该函数的最小值是﹣3，求m的值． （2）若二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q），求当p＜q时，n的取值范围． 【思路点拨】（1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可； ②因为a＝1，则函数y＝x2﹣2x﹣3，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线x＝1，与y轴交于点（0，﹣3），则点（0，﹣3）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣3），根据二次函数增减性即可求得当x≥2时，该函数的最小值是﹣3． （2）由p＜q，得到p﹣q＝﹣6an﹣3a＝﹣3a（2n+1）＜0，因为a＞0，所以2n+1＞0，解得n＞﹣0.5． 【解析】解：（1）①当x＝2时，y＝4a﹣4a﹣3＝﹣3≠﹣5，不合题意，舍去； 当x＝1时，a﹣2a﹣3＝﹣4，所以a＝1，符合合题意， 这时二次函数的表达式是y＝x2﹣2x﹣3； 当x＝﹣1时，3a﹣3＝﹣6，所以a＝﹣1＜0，不合题意，舍去； ∴二次函数的图象应经过（1，﹣4）； ②∵a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣3， ∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，与y轴交于点（0，﹣3）， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，点（0，﹣3）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣3）， ∵当x≥m时，该函数的最小值是﹣3， ∴m＝2； （2）二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q）， ∴p＝an2﹣2an﹣3，q＝a（n+3）2﹣2a（n+3）﹣3， ∵p＜q， ∴p﹣q＝﹣6an﹣3a＝﹣3a（2n+1）＜0， ∵a＞0， ∴2n+1＞0即n＞﹣0.5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 17．（2025•东城区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3． （1）若a＝1，求该抛物线的顶点坐标； （2）已知点A（2a﹣1，y1），B（a，y2），C（a+2，y3）在抛物线上，若（y1﹣y3）（y3﹣y2）＜0，求a的取值范围． 【思路点拨】（1）把解析式化成顶点式即可求解； （2）根据题意可知：B（a，y2）为抛物线的顶点，分两种情况讨论：a＞0时，函数有最小值y2，则y3﹣y2＞0，因为（y1﹣y3）（y3﹣y2）＜0，则y1﹣y3＜0，即y1＜y3，得出|2a﹣1﹣a|＜|a+2﹣a|，解得﹣0＜a＜3，当a＜0时，函数有最大值y2，则y3﹣y2＜0，由（y1﹣y3）（y3﹣y2）＜0，得出y1＞y3，即可得出|2a﹣1﹣a|＜|a+2﹣a|，解得﹣1＜a＜0． 【解析】解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣2x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）； （2）∵抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3对称轴为直线x＝﹣＝a， ∴当a＞0时，抛物线开口向上，函数有最小值y2， ∴y3﹣y2＞0， ∵（y1﹣y3）（y3﹣y2）＜0， ∴y1﹣y3＜0，即y1＜y3， ∴|2a﹣1﹣a|＜|a+2﹣a|， 解得﹣1＜a＜3且a≠1， ∴0＜a＜3且a≠1； 当a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值y2， ∴y3﹣y2＜0， ∵（y1﹣y3）（y3﹣y2）＜0， ∴y1﹣y3＞0，即y1＞y3， ∴|2a﹣1﹣a|＜|a+2﹣a|， 解得﹣1＜a＜3， ∴﹣1＜a＜0， ∴a的取值范围是﹣1＜a＜3且a≠0和1． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 18．（2025•威海三模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值． （3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 【思路点拨】（1）依据题意，由二次函数为y＝ax2﹣2ax+4，从而可得对称轴是直线x＝﹣＝1，进而可以得解； （2）依据题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4，由无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，又令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4，结合x1＜x2，可得x1＝0，x2＝2，进而代入计算可以得解； （3）依据题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，故当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，故可分①当t≤1时、②当t﹣1＜1＜t时和③当t﹣1≥1时，进而可以判断得解． 【解析】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝ax2﹣2ax+4， ∴对称轴是直线x＝﹣＝1． （2）由题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4， ∵无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点， ∴令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4． 又∵x1＜x2， ∴x1＝0，x2＝2． ∴x1+2x2＝0+2×2＝4． （3）由题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3． ∴当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大；抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ①当t≤1时，当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最小值，y＝t2﹣2t+4， ∴t2﹣4t+7﹣（t2﹣2t+4）＝2． ∴t＝． ②当t﹣1＜1＜t时，即1＜t＜2． ∴当x＝1时，y取最小值为3． 又当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7或当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4， ∴t2﹣4t+7﹣3＝2或t2﹣2t+4﹣3＝2． ∴t＝2±（不合题意，舍去）或t＝1（不合题意，舍去）． ③当t﹣1≥1时，即t≥2时，当x＝t﹣1时，y取最小值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4， ∴t2﹣2t+4﹣（t2﹣4t+7）＝2． ∴t＝． 综上，t＝或t＝． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活二次函数的性质是关键． 19．（2025•宁波模拟）二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）． （1）求a的值． （2）当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值减去最小值的差为d1，当﹣2≤x≤m+1时，该函数的最大值减去最小值的差为d2． ①若d1＝9，求m的取值范围； ②是否存在d1＞d2？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）利用待定系数法，将（0，﹣3）代入函数解析式即可求出a； （2）根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可； ②分类讨论，求出不同m的取值范围对应的d1、d2即可比较即可． 【解析】解：（1）二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）． 将x＝0，y＝﹣3代入函数解析式可得： ﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得a＝1； （2）①y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）的开口方向向上，对称轴为直线x＝1，根据函数的性质可得： 抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵﹣2≤x≤2， ∴当x＝1时，y最小，y最小＝1﹣2﹣3＝﹣4； 当x＝﹣2时，y最大，y＝4+4﹣3＝5． ∴当m＝1时，﹣2≤x≤1时，函数y＝a（x+1）（x﹣3）的最大值4和最小值﹣5的差为d1＝4﹣（﹣5）＝9． 当x＝4时，y＝42﹣2×4﹣3＝5． ∴当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，且﹣4≤y≤5， 此时，d1的值保持不变，始终等于9， ∴m的取值范围是1≤m≤4， ②设x＝m时的函数值为y1，x＝m+1时的函数值为y2， I．当﹣2≤m≤0时，即﹣2≤m≤m+1≤1，则必有y1＞y2≥﹣4， 对应的最大值都是5．对应的最小值分别为y1，y2， 此时d1＝5﹣y1；d2＝5﹣y2， ∴d1＜d2 II．当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，则必有y1＞﹣4，y2＞﹣4， 对应的最大值都是5．当﹣2≤m≤0时的最小值为y1＞﹣4，当﹣2≤x≤m+1时的最小值为﹣4， 此时d1＝5﹣y1；d2＝5﹣（﹣4）＝9， ∴d1＜d2； III．当1≤m≤3时，必有﹣4≤y1＜y2≤5， 对应的最大值都是5．对应的最小值都是﹣4． 此时d1＝d2＝9； IV．当3＜m≤4时，必有0＜y1≤5＜y2， 最小值都是﹣4．当﹣2≤m≤0时的最大值为5，当﹣2≤x≤m+1时的最大值为y2， 此时d1＝5﹣（﹣4）＝9；d2＝y2﹣（﹣4）＞9， ∴d1＜d2， V．当m＞4时，必有y1＜y2，对应的最小值都是﹣4．对应的最大值分别为y1，y2， 此时d1＝y1+4；d2＝y2+4， ∴d1＜d2， 综上所述，不存在d1＞d2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $