精品解析：内蒙古包头市2026届高三年级第一学期期末教学质量检测数学试题

2025—2026学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷 数学 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分、考试时间120分钟. 2.做选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4：考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 4或9 5. 已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（ ） A. 64 B. 128 C. -64 D. -128 6. 已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则为最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则（ ） A B. 1 C. D. 8. 一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，则（ ） A. B. C D. 10. 函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 向左平移个单位后是偶函数 C. 的对称轴为 D. 的单调减区间为 11. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A 公差 B. C. D. 数列的前31项和为272 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分、 12. 下面是按从小到大顺序排列的两组数据： 甲：1，3，，10，13，15，19，22，27，30；乙：2，5，7，，20，30. 若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则_____. 13. 已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. 14. 已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点，且轴，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解观看某场“蒙超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“蒙超”赛事与性别有关； （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“蒙超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望. 附：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数，其导函数为． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有三个不同的极值点，，，求实数a的取值范围． 17. 如图所示，在三棱柱中，，且满足平面平面. （1）证明：； （2）设点是棱上一点，当直线与平面所成角最大时，求的值. 18. 已知中，角的对边分别是，且. （1）若，求； （2）若且B为钝角. （i）若，求的面积. （ii）若D为线段上一点，且满足，求的值. 19. 设经过点的椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，双曲线的离心率为，若. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点. ①点是椭圆上位于直线右侧的点，设点到直线的距离的最大值为，求的最小值； ②设线段的垂直平分线与轴交于点，与直线交于点，请判断四点、、、是否在同一个圆上，如果是请给出证明，如果不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷 数学 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分、考试时间120分钟. 2.做选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4：考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A、B，根据并集的定义求解． 【详解】可化为， 解得，所以， 而，所以． 故选：A． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用诱导公式得到，进而利用二倍角公式进行求解. 【详解】，故. 故选：D 3. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出投影向量的坐标，结合向量的模长公式可得答案. 【详解】由题意可知在方向上的投影向量为 ， 故在方向上投影向量的模为. 故选：C. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 4或9 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，根据点在上，表示出，再根据焦半径公式得到方程，解得即可. 【详解】抛物线的准线方程为，又点在上， 所以，即， 因为，所以，解得或. 故选：D 5. 已知随机变量且，则展开式中各项系数之和（ ） A. 64 B. 128 C. -64 D. -128 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，求出参数值，再根据赋值法求出二项式展开式的系数之和，判断结果即可. 【详解】由可知正态曲线对称轴为， 因为， 所以，解得， 可得二项式为， 令，则， 所以展开式中各项系数之和为. 故选：B. 6. 已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则为最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数所过的定点，从而可求得，的关系，再由基本不等式中“1”的整体代换结合基本不等式即可得解 【详解】因为函数（且），所以当，即，， 所以函数（且）的图象恒过定点， 所以直线为，即，所以， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用是奇函数，可得，再用赋值法可求，，，然后结合是偶函数，可求出参数，即可求值. 【详解】由是奇函数可知：， 再令得：， 又因为当时，，所以， 再令得：，又因为是偶函数，所以， 即可得，又因为，所以， 再令得：，所以， 又因为当时，，所以， 即当时，，则， 故选：A. 8. 一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件得到递推关系，进而推得是等比数列，逐项分析即可. 【详解】因为正方体棱长为，所以内切球的半径（内切球直径等于正方体棱长）, 对于球：球与正方体的三个面相切，故其球心坐标为； 球与球相切，两球心距离为，该距离等于， 由此得到递推关系：， 整理得， 所以是首项，公比的等比数列. 对于A：，A正确； 对于B：以上已证明，B正确； 对于C：等比数列前项和，因为， 所以，所以，C错误； 对于D：球的体积，， 因为是首项为，公比为的等比数列， 所以 所以，D正确； 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别求出和，即可判断A，求出，即可判断B；求出，并求出它的模，即可判断C；分别求出和，即可判断D. 【详解】因为，，所以， ，所以，故A正确； 因为，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 因为，， 所以， ， 所以，故D错误. 故选：AC 10. 函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 向左平移个单位后是偶函数 C. 的对称轴为 D. 的单调减区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据由图像最值、周期和所过的点依次求出得到函数解析式，再根据三角函数性质逐项分析计算即可求解判断. 【详解】由函数图像可知，函数最大值为，所以， 函数最小正周期为， 所以，又，所以， 由图可得，所以， 解得，因为，所以， 所以，A正确； 函数向左平移个单位后得到函数的图象，该函数为奇函数，B错误； 令，解得， 所以的对称轴为，C正确； 令，解得 所以的单调减区间为，D正确； 故选：ACD. 11. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A 公差 B. C. D. 数列的前31项和为272 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题干中的等式，解得，利用等差数列的公差计算公式，可得其正误；对于B，利用等差数列的通项公式，可得其正误；对于C，根据数列的增减性，可得其正误；对于D，根据等差数列求和公式，结合分组求和，可得答案. 【详解】对于A：，所以，所以，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，所以， 进而数列的前31项和 ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分、 12. 下面是按从小到大顺序排列的两组数据： 甲：1，3，，10，13，15，19，22，27，30；乙：2，5，7，，20，30. 若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据百分位数和中位数定义即可列出式子计算求解. 【详解】因为，甲组数据的第百分位数为第三个数和第四个数的平均数，即, 乙组数据的中位数为，根据题意得，解得：， 故答案为： 13. 已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为3和5，则该圆台的侧面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的侧面公式即可求得其侧面积. 【详解】由于圆台的下底面半径为5，故下底面圆周为外接球的大圆， 如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为， 则圆台的高， 则圆台的母线长为， 所以可得圆台的侧面积为. 故答案为：. 14. 已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点，且轴，则双曲线的离心率为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设直线与圆相切于点，连接，求得，再设，求得，在直角中，由，得出方程，进而求得双曲线的离心率. 【详解】如图所示，设圆心为，直线与圆相切于点，连接， 又由双曲线的焦点，半径，则， 由，可得， 所以， 因为轴，且，设，则， 又因为，解得， 在直角中，可得， 因为，整理得，即，解得或， 又因为，所以，即双曲线的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解观看某场“蒙超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“蒙超”赛事与性别有关； （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“蒙超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望. 附：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）关注“蒙超”赛事与性别有关 （2）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的概念，计算，判断假设是否成立即可； （2）根据超几何分布的概念和性质，计算分布列，进而求出期望. 【小问1详解】 零假设：关注“蒙超”赛事与性别无关， 经过计算. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以能认为关注“蒙超”赛事与性别有关. 【小问2详解】 由分层抽样知抽取男性市民4人，女性市民2人， X的取值为0，1，2， ， ， ， 0 1 2 所以. 16. 已知函数，其导函数为． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有三个不同的极值点，，，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算法则，结合导数的几何意义进行求解即可； （2）根据导数的运算法则，结合函数极值点的定义、构造函数法、数形结合思想进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，化为一般式为 ； 【小问2详解】 ， 显然函数的定义域为全体正实数. ， 令，得，或， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 且当时，，当时，， 函数图象如下图所示： 因为函数有三个不同的极值点，，， 所以函数与直线有两个不同的交点，且这两个交点的横坐标不能是， 所以由数形结合思想可得， 实数a的取值范围为 17. 如图所示，在三棱柱中，，且满足平面平面. （1）证明：； （2）设点是棱上一点，当直线与平面所成的角最大时，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直，再利用余弦定理和勾股定理来证明，再证明线面垂直，从而问题得证； （2）利用空间向量法，引入变量，来表示相关向量的坐标，再求线面角的正弦值，借助二次函数求出最值，则问题即可求解. 【小问1详解】 证明：如图，设点是的中点，连接. 由于，故. 又平面平面平面，平面平面， 故平面. 而平面，故，即， 在中，， 所以. 又，故，所以，即， 结合平面， 可得平面，又平面，因此. 又，故. 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，所以以为坐标原点建立如图空间直角坐标系. 于是， 点棱上一点，设， 所以， ， 设向量是平面的一个法向量，则 ，令，则， 所以， 设直线与平面所成的角为， ， 所以当时，达到最大，直线与平面所成的角最大， 故. 18. 已知中，角的对边分别是，且. （1）若，求； （2）若且B为钝角. （i）若，求的面积. （ii）若D为线段上一点，且满足，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）已知的角度，从而得到，结合三角公式，将方程的未知量只保留，从而得解； （2）（i）先将方程化简为，代入，利用是钝角的条件将方程只保留未知量，解得三角形的三个角度，结合正弦定理和三角形面积公式求解； （ii）设，在和中使用正弦定理，将用含的式子表达，然后结合，最后用角平分线定理求解. 【小问1详解】 时，， 即， 由辅助角公式，， 结合可得，， 则，结合，可得 【小问2详解】 （i）， 整理可得， 即， 由可知， 代入上式可得，， 即， 由题知，可知， 则，得到， 故，解得， 由正弦定理，，则， 由面积公式可知； （ii）设， 在中，由正弦定理，， 中，由正弦定理，， 两式相乘可得， 由题干可得， 则， 则，则（负值舍去）， 由于，只可能，得到， 即是的平分线， 根据角平分线定理结合正弦定理， 19. 设经过点的椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，双曲线的离心率为，若. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点. ①点是椭圆上位于直线右侧的点，设点到直线的距离的最大值为，求的最小值； ②设线段的垂直平分线与轴交于点，与直线交于点，请判断四点、、、是否在同一个圆上，如果是请给出证明，如果不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得出的值，可得出的值，可得出，再将点的坐标代入椭圆的方程，可求出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）①分析可知当在处的切线与直线平行时，取到最大值，设椭圆在点处的切线为，将该切线方程与椭圆的方程联立，由可得出，根据点在直线的右侧可得出的取值范围，再利用点到直线的距离公式可求出的最小值； ②设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中垂线方程，可求出点、的坐标，计算出，，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意知，又，所以，即，从而， 由点在椭圆上，则，可得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①经过分析可知当在处的切线与直线平行时，取到最大值. 设椭圆在点处的切线为， 联立得， 所以，可得. 又因为点在线段的右侧，则. 所以点到直线的距离为. 则. 即，当且仅当时等号成立，故的最小值为. ②设、，联立得， 所以， 由韦达定理可得，， 则. 所以线段的中点为，则中垂线的方程为， 令得，则为， 令得，则为. 所以 由在椭圆上可得，则. 又，所以，即. 所以，同理得，即和. 所以点、、、四点共圆且以为直径. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $