内蒙古包头市2025-2026学年高三上学期期末考试数学模拟试卷

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2025-2026年包头市高三数学上学期期末考试模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的备选答案中，只有一个选项是符合题意的。） 1．设集合，则（　　） A． B．， C．， D．，2， 2已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（　　） A． B． C． D． 4若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 5已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（　　） A． B． C． D． 6设函数是奇函数，若（1），（2），则（4）（　　） A． B．2 C．-2 D． 7．某品牌酒产自陕西省宝鸡市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价800元的该品牌酒，储存年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式为常数）．若储存6年的此种品牌酒整箱的收藏价值为1200元，则此种品牌酒储存12年后整箱的收藏价值为（　　） A．1600元 B．1800元 C．2400元 D．2800元 8．若直线与函数的图象从左至右交于点，，直线与的图象从左至右交于点，，记线段和在轴上的投影长度分别为，，则当变化时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。） 9在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（　　） A． B． C．△的周长为 D．△的面积为 10已知抛物线的焦点为，过的直线与交于、两点，，为坐标原点，则（　　） A．的准线方程为 B． C．的最小值为3 D．△的面积的最小值为4 11．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，为圆锥底面上任意一点，为圆锥外接球的球心，为球面上一点，且，则下列说法正确的是（　　） A．圆锥的侧面积为 B．球的体积为 C．点的轨迹长度为 D．的最大值为6 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．的展开式中项的系数是　　 ． 13 已知是等比数列的前项和，，，则________ 14 某同学进行一项投篮测试，若该同学连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则不通过测试．已知该同学每次投篮的成功率为，则该同学通过测试的概率为____________ 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人） 每日阅读时长分钟 每日阅读时长分钟 专注力达标 170 80 专注力不达标 100 150 （1）记“每日阅读时长分钟”为事件，“专注力达标”为事件，求（A）和（B）； （2）根据的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16在数列中，． （1）求的通项公式． （2）若数列的前项和为，证明：． （3）若，求数列的前项和． 17 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，底面． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 19已知函数． （1）当，求的极值； （2）若，，求的取值范围； （3）若有两个极值点，，求证：． 包头市景泰中学高xxx年级第xxx次月考（xxx）学科试卷 第xxx页（共xxx页） 包头市景泰中学高xxx年级第xxx次月考（xxx）学科试卷 第xxx页（共xxx页） 学科网（北京）股份有限公司 $○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2025-2026年包头市高三数学上学期期末考试模拟试卷解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的备选答案中，只有一个选项是符合题意的。） 1．设集合，则（　　） A． B．， C．， D．，2， 解：集合， 由交集的定义可知，，．故选：． 2已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：由可得， 故对应的点为，位于第三象限．故选：． 3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（　　） A． B． C． D． 解：，，， 所以在上的投影向量为：， 所以，解得．故选：B． 4若双曲线双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（　　） A． B．2 C． D． 解：由双曲线，可知该双曲线的渐近线方程为， 双曲线两条渐近线的夹角为，， ，即， ，即，即，，则．故选：． 5已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（　　） A． B． C． D． 解：由题意，可得为函数的最大值或最小值，， 解得，，又函数的最小正周期满足，且， ，解得，解得，当时，满足题意， ．故选：A． 6设函数是奇函数，若（1），（2），则（4）（　　） A． B．2 C．-2 D． 解：由（2），可得（2）（2）（2），即（4）（2）．可得（2），即（1）（2）， 故（2）（1）（1），因此（4）．故选：． 7．某品牌酒产自陕西省宝鸡市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价800元的该品牌酒，储存年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式为常数）．若储存6年的此种品牌酒整箱的收藏价值为1200元，则此种品牌酒储存12年后整箱的收藏价值为（　　） A．1600元 B．1800元 C．2400元 D．2800元 解：已知一箱原价800元的该品牌酒， 储存年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式为常数）， 若储存6年的此种品牌酒整箱的收藏价值为1200元， 则，得， 当时，， 代入，得．故选：． 8．若直线与函数的图象从左至右交于点，，直线与的图象从左至右交于点，，记线段和在轴上的投影长度分别为，，则当变化时，的最小值为（　　） A． B． C． D． 解：根据题意可得，，，，， 故， 令，，令，当时，， 故．故答案为：． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。） 9在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（　　） A． B． C．△的周长为 D．△的面积为 解：因为，，，所以，由正弦定理可得：， 可得，得，则， 所以，可得△的周长， △的面积为． 由上可知错误，正确．故选：． 10已知抛物线的焦点为，过的直线与交于、两点，，为坐标原点，则（　　） A．的准线方程为 B． C．的最小值为3 D．△的面积的最小值为4 解：根据题意知，的焦点为，准线方程为，因此选项错误； 若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不符合题意， 设为，，、，，联立抛物线和直线可得，化简得， 根的判别式△，因此根据韦达定理可得，，所以，所以，因此选项正确； 分别过、作的准线的垂线，垂足分别为、，则， 当且仅当、、三点共线时等号成立，此时，因此选项正确； 三角形的面积， 当时，△的面积取得最小值2，因此选项错误．故选：． 11．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，为圆锥底面上任意一点，为圆锥外接球的球心，为球面上一点，且，则下列说法正确的是（　　） A．圆锥的侧面积为 B．球的体积为 C．点的轨迹长度为 D．的最大值为6 解：选项，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 圆锥的侧面积为，故选项正确； 选项，圆锥的高，设球的半径为， 由图可知，，，，在△中，， ，， 球的体积为，故选项正确；选项，， ， ， ， 设，则有①， 在△中，， ，，，②， ②代入①，得，解得， ，， 的轨迹是以为球心，为半径的球面与球的交线，且此交线为圆， 设圆的半径为，两个球心与的距离为，球的半径为3， 在△中，， ， ③， 在△中，， ，， ④， ③代入④，得，解得⑤， ⑤代入③，得，解得， 点的轨迹长度为，故选项错误； 选项，为圆锥底面上任意一点，底面圆的圆心为， ，，， 的最大值为，故选项正确．故选：． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．的展开式中项的系数是　　 ． 解：由题意，二项式展开式中项为， 即系数为60．故答案为：60． 13 已知是等比数列的前项和，，，则________ 解：因为是等比数列的前项和且，可知，，，也成等比数列，又因为，，则设公比， 可得，，所以，， 14 某同学进行一项投篮测试，若该同学连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则不通过测试．已知该同学每次投篮的成功率为，则该同学通过测试的概率为____________ 解：用表示投篮失败1次的情况下最终通过的概率，用表示连续失败2次的情况下最终通过的概率， 用表示投篮成功1次的情况下最终通过的概率，用表示连续成功2次的情况下最终通过的概率，用表示连续成功3次的情况下最终通过的概率， 该同学每次成功的概率为， 依题意有，，以及，，， 所以方程组，解得，，， 所以通过概率为， 代入原题数据，得． 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人） 每日阅读时长分钟 每日阅读时长分钟 专注力达标 170 80 专注力不达标 100 150 （1）记“每日阅读时长分钟”为事件，“专注力达标”为事件，求（A）和（B）； （2）根据的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 解：（1）由题可得， 所以，； （2）零假设：中学生的专注力与阅读时长没有关系， 由表中数据可得， 根据的独立性检验，我们推断假设不成立， 所以认为中学生的专注力与阅读时长有关系． 16在数列中，． （1）求的通项公式． （2）若数列的前项和为，证明：． （3）若，求数列的前项和． 解：（1）当时，，得．当时，， ，两式相减得，则． 当时，符合上式，所以． （2）证明：由（1）得， 所以， 故． （3）由（1）得， 则， ， 所以， 所以． 17 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，底面． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 解：（1）因为，所以，，又， 所以，所以， 所以，所以， 又底面，所以，又， 所以平面，又平面，所以； （2）因为底面，平面，所以， 结合（1）可知，，两两垂直． 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，所以， 设平面的法向量为， 则，取，则平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，取， 所以平面与平面夹角的余弦值为，． （3）由（2）知平面的一个法向量， 所以点到平面的距离． 18已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 解：（1）由题意，，解得． 椭圆的方程为； 证明：（2）如图， 要使过点的直线交于点，两点，则的斜率存在且小于0， 设，即，，，，，， 联立，得． △． ，， 直线，取，得； 直线，取，得． ． 的中点为，为定点． 19已知函数． （1）当，求的极值； （2）若，，求的取值范围； （3）若有两个极值点，，求证：． 解：（1）当，，， ，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 的极小值为，无极大值； （2）若，，即， （若，取，则，而，不满足， 由得，即， 记， 则， 当时，，单调递增，，， 当时，时，，单调递减，则， 矛盾， 当时，（1），矛盾， 综上所述，的取值范围为，； （3）证明：若有两个极值点，， 有两个零点，， 令，则方程等价于有两个解， 不妨令，， 记，则，令得，令得， 则在单调递减，单调递增，， 要证， 由在递增，只要证， 令，，则， 则在递减，（1），，即， ，又在递增，，， ，即，． 包头市景泰中学高xxx年级第xxx次月考（xxx）学科试卷 第xxx页（共xxx页） 包头市景泰中学高xxx年级第xxx次月考（xxx）学科试卷 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