内蒙古包头市2025-2026学年度第一学期高三年级期末教学质量检测数学试卷

2025一2026学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.c2.A3.C4.D5.B6.C7.D8.D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.BC 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.313.16V5π14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.解：(1)零假设H。关注“蒙超”赛事与性别无关， 经过计算X.30x25x75-50x150_10≈25.714>10.828. .4分 125×175×75×225 7 根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断Ho不成立，所以关注“蒙超” 赛事与性别有关 .5分 (2)由分层抽样知抽取男性市民4人，女性市民2人， 6分 X的取值为0,1,2， P(X=0) c9c41 c205 P(X=1)= c123 cg205 P(X=2)= C 11分 X 0 1 2 3 1 5 5 所以E(X)=0×+1×2+2×是=1. 13分 5 5 16.解：()当a=1时，f()=e-x+3x,则f0)=e0-1, f(x)=ex-x2+3,则f(0)=e0+3=4, 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=4x+1.5分 2由题意f国=ae-+3则h()=a+1nx=些 -x+Inx(x>0), 则h0)=eg-2-1+--ae 2 x2 7分 由题得h(x)有三个不同的极值点，等价于h(x)=0有三个不同的正根 令x-e-2=0得(x-1)(ae*-x)=0,解得x=1或a=。年 x 9分 令g(x)=(x>0),则g(x)= 令g(x)==0解得x=1, -1- 当0<x<1时，g(x)>0,函数g(x)在(0,1)上单调递增， 当x>1时，g'(x)<0,函数g(x)在(1，+∞)上单调递减， 则函数g(x)的最大值为g(1)= 12分 当x→0或x→+∞时，g(x)→0， 所以当0<a<时，a=有两个不同的正根， 即实数a的取值范围为(0，) 15分 17.(1)证明：如图1，设点D是AB的中点，连接CD,B1D. 由于BC=AB=AC=2,故AB⊥CD 又平面ABC⊥平面ABB1A1,CDC平面ABC, 平面ABC∩平面ABB1A1=AB, 故CD⊥平面ABB1A .2分 而B1DC平面ABB1A1,故CD⊥B1D,即∠B,DC=90°， 图1 在△BCB,中，B,C2=BC2+BB-2BC·BB1·cos∠CBB1=4+4-2·2·2·=6, 所以B,D=VB1C2-CD2=V3 又BB1=2,BD=1,故BB=B1D2+BD2,所以∠BDB1=90°，即AB1B1D,5分 由AB⊥CD,B,DnCD=D,B,D,CDC平面B,CD,可得AB⊥平面BCD, 又B,Cc平面B,CD,因此AB⊥B,C. 又AB/∥A1B1,故AB1⊥B,C. 7分 (2)解：由(1)知B,D、CD、AB两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图2空间直角 坐标系。 于是A(0,1,0),B(0,-1,0),C(V3,0,0),B1(0,0V3 8分 点M是棱BB1上一点，设BM=BB1=(0,1,V3, 所以CM=CB+BM=(-3,-1,0)+(0,1,3 =(-3,-1+λ，V3), AC=(3,-1,0),AA=BB1=(0,1,V3), 设向量元=(x,y,z)是平面ACC1A1的一个法向量， 则：aCx-y=0.令x=2,则y=Vg,2-王， 元.AA=y+V3z=01 所以元=(1,3，-1) 11分 图2 设直线CM与平面ACC1A所成的角为8， sine Icos<n CM>I= 5+V3.(-1+)-32 2V5 V5·3+(-1+02+32 V5.V42-21+4 13分 所以当1=时，sin8取到最大，直线CM与平面ACC,A所成的角最大， 故器号 15分 2、 18解：(a因为器-盒-，V2sn8cosc-oAsin=/co:Binc--in, sin(A-B)=v2sin(C-B). 2分 当B=g时，sin(4-9)=V2sin(G-A）=V2cosA 所以号snA-号cosA=V2c0sA号snA-号。 COSA, 4分 tanA=3,则sinA=o 10 5分 2)①：C=asin(g-2B)=V2sin(G-B 则nG-（G-)-asn（G-.受B<元晋写8s-君 sin(（G-B)<0,cos(G-B)=,晋-B=-号则B=g 8分 A-“品=品则c==3+6 S&ABC=×2×(32+V同.62=3+2VE 10分 ②设AD=1AB,1∈[0,1]，则CD=(1-)CA+CB, cD2=(1-02b2+12a2+2a(1-)ab·7=(1-02b2+2a2+(1-0ab ·ab=2(1-1)2b2+222a2+2(1-0ab →2(1-2)2b2+212a2+[2(1-)-1]ab=0 2(1-0282+22+2a1-)-19=0 13分 6+2 8===2+3， ·2(7+43(1-)2+2λ2+(2+V3(21-22-1)=0 整理得(4V3+6)2-(8V3+14)1+4V3+7=0,16分 入=8=3， 83+12 常=品高2+ 17分 19.解：(1)由题意知e2=V反，又e1e2=1,所以e1=竖即后=竖从而号=号 由点1，）的椭圆6茶+长=10a>b>0)上，则好+衣=1，可得a2=2,b2=1, 所以椭圆的标准方程为号+y2=1. 4分 (2)①经过分析当在P处的切线与直线AB平行时，d取到最大值， -3- (x=my+t 设在P处的切线为x=my+t,联立 +y2=1得2+m22+2mty+(2-2)=0, x 4=4m2t2-4(2+m2)(t2-2)=0 可得t2=m2+2≥2.又P在AB的右侧，则t≥√2. 6分 ∴点P到AB的距离最大值为d=- 1+m2 败-二=1-1=6a-或 1+m2t2-1t+1 即d≥(N2-)=V反-1.当且仅当m=0时等号成立，故d的最小值为2-1.…9分 x=my+1 ②设A(x1,y),B(x2,y2),联立 +严=1得2+m2y2+2my-1=0, -2m 1 六y1+y2=2+m,y1y2=2+m,X1+2=2+m… 11分 aAB中点为（品 则AB中垂线QM为x=-点y+点 令y=0得x=则M为(，0) 令x=2得y品-2m=,则0为么， -2m3-3m 2+m2 13分 m丽=(-）小-2,4+》 =x好-2m2+5, 20刘+++婴 2+m2y1 -2-2好-2m%+0+2m+好+ 2m2+5 2 2m3+3m 2+m2y1 :2-片-2年m为2* 2m2m2+3 2m 1 =-片-2+m+ 2+m2 =-2a[2+m2)y+2my1-1小.… 15分 由A(x1,y)在椭圆上可得兰+=1，则x好+2y=2. 又x1=my1+1,所以(my1+1)2+2y1=2,即(2+m2)y+2my1-1=0. :MA.QA=0,同理得ME.QB=0.即AM⊥AQ和BM⊥BQ 所以点A,M,B,Q四点共圆且以MQ为直径. 17分 -4试卷类型：A 铬密女启用前 2025一2026学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷 数 学 注意事项： 1.考生容卷前，务必将自已的姓名、座位号写在答题卡上。将条形码粘贴在规定区城。 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.做选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂思。如倍 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效。 4:考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合A=1x1x2-2x-3<0},B={x11x1<2},则AUB= A.（-1,2) B.（-2,2) C.(-2,3) D.(-1,3) 2.已知in(受-)=子，则co2a= A合 B.-子 C.- D骨 3.已知向量a=(3,-1),b=(2,1),则a在b方向上的投影向量的模为 A号 B. c.5 D.5 4.若抛物线y=2px(p>0)的焦点为R,点A(,6)在抛物线上且1AF1=号，则p是 A.2 B.4 C.9 D.4或9 5.已知随机变量X~N(1,c2)且P(X≤-2)=P(X≥2a-2),则(a-1)?展开式中各项系 数之和为 A.64 B.128 C.-64 D.-128 数学试卷.第1页（共4页） 6.已知函数y=log.(x+2)-3(a>0且a*1)的图象恒进定点A,卷点A在直线 m+心+1=0上，其中mm>0,则片+异为最小值为 A.6 B.2√6 C.7.+26 D.7+6 7、已知函数f八x)的定义域为RJ(x)是偶函数且八x+1)是奇函数，当xe[1,2]时， fx)=log(x+b)(a>0且a≠1).若f八0)+/(3)=-1，则/八)= A多 B.2 c.1 D 8.一个棱长为2的正方体内有一个内切球0，若球02与正方体的三个面和球0，相切，球0， 与正方体的三个面和球02相切，依次类推，球0.1与正方体的三个面和球0，相切 (n∈W),设球0，的半径为R,体积为V,则下列结论不正确的是 A.R2=2-√3 B:数列{R}为等比数列 C%+%+%++h<0+江D.R+R+R++R>+E 15 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.设名=2+，4=1-2i,则 A.31-名=1+i B.I名11÷|x2.I C.|+21=√o D.名名=径 10.函数f孔x)=Asin(x+p)(A>0,w>0,1p|<m)图象如图所示，下列说法正确的是 Af八x)=sin(4x-牙） B八x)向左平移登个单位后是偶函数 C人)的对称轴为x-贸+算（ke2) D)的单波区间为受+空，费+受1(ke2习 数学试卷第2页（共4页） 11.已知等差数列1a,的前n项和为S,且a6=3,aa=2a,-15,则 A.公差d=2 B.a=15-2n C.5,≤S, D.数列1(-1)··S.I的前31项和为272 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分、 12.下面是按从小到大顺序排列的两组数据： 甲：1,3，a,10、13,15,19,22,27、30; 乙：2,5,7.b,20、30. 若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则b-a=_ 13.已知某圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为 3和5，则该圆台的侧面积为 4已知双曲线琴-卡=1(a>0.6>0)的焦点为R(-6,0),E(e,0)(e>0),者过且斜 率为正的直线与圆+(y-)=牙相切，与双曲线在第一象限交于点P,且PR,1轴， 则双曲线的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 为了解观看某场“蒙超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查 他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 (1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为关注“蒙超”赛事与性别有关； (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6 名市民参加“蒙超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中 女性人数为X,求X的分布列和期望 n(ad-be)2 附X=7a+bC+到&0+eb+西n=a+6+c+d 0.01 0.005 0:001 Xa 6.635 7.879 10.828 数学试卷第3页（共4页） 116.(15分) 已知函数)=ac-+3x(aeR,其导函数为f(). (1)当a=1时，求曲线y=(x)在点(0J(0))处的切线方程； (2)若函数()='()-3+x有三个不同的极值点，求实数a的取值范围。 名 17.(15分) 如图所示，在三楼柱ABC-A1B,C1中，BB,=BC=AC=AB=2, 09LCBB,=子，且满足平面ABC1平面AB,A (1)证明：A1B1⊥B1C; (2)设点M是棱BB,上一点，当直线CM与平面ACC,A1所 成的角最大时求器的值， 18.(17分) 已知△ABC中，角A、B:C的对边分别是a、b、c,且tanB= √2sinc-simd √2cosC-co3A (1)若B=牙，求inA: (2)若C=牙且B为饨角. ①若a=2,求△ABC的面积； ②喏D为线段AB上一点且满足CA·CB=2CD,求品的值， 19.(17分) 设经过点1，号的箱圈五号+卡=1(a>6>0)的左右焦点分别为瓜、，离公率 y2 为e1,双曲线2-=n(n≠0)的腐心率为e2,若g1·e2=1. (1)求椭圆E的方程； (2)直线x=my+1与椭圆E交于，B两点. ①点P是椭圆上位于直线AB右侧的点，设点P到直线AB的距离的最大值为d,求d 的最小值； ②设线段AB的垂直平分线与x轴交于点M,与直线=2交于点Q,请判断四点A, M,B,Q是否在同一个圆上，如果是请给出证明，如果不是，请说明理由 数学试卷第4页（共4页）