精品解析：山东潍坊市2025-2026学年高一上学期学业质量监测数学试题

高一上学期学业质量监测 数学试题 2026.2 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 某同学收集并整理了某市2026年1月11日至18日每日最高气温（单位：℃）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则1月11日至18日最高气温的75%分位数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：利用随机数表法从中抽取个问题回答.若从下列随机数表第行第个数字开始，每次从左向右选取两个数字，则选出的第个问题编号为（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零实数a，b，则“”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的大致图象是（） A. B. C. D. 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A. B. M与Q互斥 C. D. M与N相互独立 11. 波恩哈德·黎曼是德国杰出的数学家，他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，解析式为，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的图象为轴对称图形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 把一个体积为的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成27个体积为的小正方体，从中任取一块，则取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率为______. 14. 已知，，若函数恰有三个零点，且最大零点为n，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）当时，求，； （2）若“”是“”的充分条件，求m的取值范围. 16. 已知函数 （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）若存在实数x，使不等式成立，求a的取值范围. 17. 某校举办校园趣味知识竞赛，学生成绩均在内（单位：分），随机抽取名学生的成绩，整理后按，，，，分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）若规定成绩前的学生获奖，估计获奖最低分数线； （2）若从样本成绩在与两个分数段内的学生中，按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选2人，求这2人中恰有1人成绩落在内的概率； （3）已知落在的样本平均数是，方差是8，落在的样本平均数是，方差是4，求这两组数据合并后的样本平均数和方差. 18. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求a，b； （2）若，且在区间上有两个零点，求a的取值范围； （3）若函数的图象关于直线对称，求的最小值. 19. 给出如下定义：设函数的定义域为，函数的定义域为，若对于任意的，恰好存在n个不同的实数，，，…，，使得，，其中，则称为的“n重覆盖函数”. （1）已知函数，，判断是否为的“2重覆盖函数”，并说明理由； （2）已知函数，，若是的“3重覆盖函数”，求m的取值范围； （3）定义表示不超过x的最大整数，如，，，记函数，，，若为的“2026重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期学业质量监测 数学试题 2026.2 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出集合，再利用集合交集的运算进行计算，判断选项即可. 【详解】由，则， 又因为集合， 故. 故选：C 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐项利用函数的性质判断单调性即可. 【详解】A.，在区间上随的增大而减小，故函数在此区间上单调递减； B.，函数对称轴为，即在区间上函数先减后增； C.，由指数函数性质可得：底数，函数在区间上单调递增； D.，由对数函数性质可得：底数，函数在区间上单调递增. 故选：A 3. 某同学收集并整理了某市2026年1月11日至18日每日最高气温（单位：℃）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则1月11日至18日最高气温的75%分位数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【详解】由题意，将数据按从小到大的顺序排列后，第6个数为10，第7个数为12， 故这组数据的75%分位数为. 故选：D 4. 某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：利用随机数表法从中抽取个问题回答.若从下列随机数表第行第个数字开始，每次从左向右选取两个数字，则选出的第个问题编号为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机数表法的读数规则结合题意求出需选取符合条件的5个数字即可得解. 【详解】由题可知依次选取符合条件的5个数字为：. 所以选出的第个问题编号为11. 故答案为：B 5. 已知非零实数a，b，则“”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例判断充分性，必要性，即可得出结果. 【详解】当时，举反例，取，则，此时，不满足因此充分性不成立. 当时，取，则，不满足因此必要性不成立. 综上，是的既不充分也不必要条件. 故选：D 6. 函数的大致图象是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性判断，再结合指数函数及幂函数的性质可得结果. 【详解】由函数，定义域为R，， 所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故D错误； 又因为，所以，故C错误； 又因为时，的值增长比的增长要快得多，所以，故A正确，B错误. 故选：A 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件将，进而得，再用基本不等式可得最小值. 【详解】由，，，所以 当且仅当时等号成立，即，再代入，得. 所以当时的最小值为. 故选：B 8. 已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析函数的单调性与对称性：函数关于对称，在上递减，上递增，自变量离越远，函数值越大.再分别估算对应自变量的值，比较其与的距离，从而判断函数值大小. 【详解】函数关于 对称，在上单调递减，在上单调递增，即越大，越大. ，而是一个接近于0的正数，所以 是一个接近于1的数， ，即. 因为 是一个略大于1的数，所以是一个远小于1的正数； ，所以， 所以 结合的单调性，得：. 即， 故选： C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】已知，根据不等式的基本性质、作差法、举反例法，逐一验证各选项. 【详解】选项A：当时，，此时不成立，故A错误. 选项B：对，根据不等式性质可得，故B正确. 选项C：已知，则，又， 根据不等式性质可得：，即，则，故C正确. 选项D： 由，得，， 所以，即，因此，故D正确. 故选：. 10. 已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A. B. M与Q互斥 C. D. M与N相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件概率的计算公式，依次计算、判断互斥性、计算、验证独立性，逐一判定选项正误. 【详解】每次取红球概率为，取白球概率为. 第二次取球与第一次无关，每次摸到白球的概率均为，因此，A正确. 第一次摸到红球且第二次摸到红球，和可以同时发生，不互斥，B错误. 因为. ，，=， 所以，C正确. ，，满足，因此与相互独立，D正确. 故选：. 11. 波恩哈德·黎曼是德国杰出的数学家，他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，解析式为，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的图象为轴对称图形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，按函数解析式分段验证即可；对于B项，据自变量的取值分类讨论即可判断；对于C项，可举例说明命题错误；对于D项，可据函数解析式确定函数的对称轴即可. 【详解】对于A项，当（为正整数，为既约真分数）时，，为既约真分数， 所以，所以成立； 当和无理数时，， 所以，综上可知，故A正确； 对于B项，当时，（为正整数，为既约真分数）， 所以，， 因为，所以，所以； 当或无理数时，或无理数， 所以，，所以； 同理当或无理数时，结论同上； 当时，， 所以，，所以； 当或无理数时，或无理数， 所以，或，所以. 综上可知，故B正确； 对于C项，当时，，所以也是不等式的解，故C错误； 对于D项，设，则， 当（为正整数，为既约真分数）时，仍为既约真分数， 所以，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当为无理数时，也为无理数，所以. 综上可知，对任意，， 所以的图象关于对称，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，求出的值，再计算的值. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为： 13. 把一个体积为的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成27个体积为的小正方体，从中任取一块，则取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等可能事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，27个体积为的小正方体中，只有两面涂有红漆的小正方体共12个， 所以取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率. 故答案为： 14. 已知，，若函数恰有三个零点，且最大零点为n，则______. 【答案】112 【解析】 【分析】先求证的函数图象关于对称，再根据求解即可. 【详解】因为， 所以的函数图象关于对称， 因为函数恰有三个零点，且最大零点为n， 则的三个零点从小到大依次为，，， 则，则，得， 则. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）当时，求，； （2）若“”是“”的充分条件，求m的取值范围. 【答案】（1）， 或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，当时，再根据补集、并集定义求，； （2）根据充分条件的定义可得集合是集合的子集，由此可构造不等式组求得结果. 【小问1详解】 由题意知 或，所以 当时， 所以 或 或 【小问2详解】 由“”是“”的充分条件， 得 因为 则有 解得 即， 所以m的取值范围为. 16. 已知函数 （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）若存在实数x，使不等式成立，求a的取值范围. 【答案】（1） 函数为奇函数，理由如下： 因为的定义域为R，关于原点对称， 因为 所以函数为奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义证明即可； （2）先利用函数的单调性定义证明函数在R上单调递增，进而可由推得在R上有解，结合二次函数的图象即可求得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，是R上任意两个不相等的实数，且，则 因为在R上单调递增，所以， 又因为，，所以， 即函数在R上单调递增， 因为存在实数x使不等式成立，所以有解 即在R上有解，则，即， 所以a的取值范围为. 17. 某校举办校园趣味知识竞赛，学生成绩均在内（单位：分），随机抽取名学生的成绩，整理后按，，，，分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）若规定成绩前的学生获奖，估计获奖最低分数线； （2）若从样本成绩在与两个分数段内的学生中，按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选2人，求这2人中恰有1人成绩落在内的概率； （3）已知落在的样本平均数是，方差是8，落在的样本平均数是，方差是4，求这两组数据合并后的样本平均数和方差. 【答案】（1）分 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算可得最低分数线； （2）先确定两层的比例，进而确定各层所抽取的人数，再用古典概型的公式计算可得； （3）先计算合并后的平均数，再根据方差的定义计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，，解得， 由图知，在内的频率为，在内的频率为， 所以获奖学生最低分数线落在内，不妨设为x，则， 解得，所以估计获奖学生的最低分数线为分. 【小问2详解】 由图可知，在与内的频率之比是， 根据分层抽样的方法可知，在内抽取4人，记为a，b，c，d，在内抽取1人，记为e， 从这5人中选取2人，则该试验的样本空间为 ，共包含 10个样本点. 记事件A表示“这2人中恰有1人的成绩落在内”， 则，则A包含的样本点个数为4，所以. 故这2人中恰有1人成绩落在内的概率. 【小问3详解】 样本数据在内的频数为， 在内的频数为， ，. 故这两组数据合并后的样本平均数，方差. 18. 已知函数 （1）若不等式的解集为，求a，b； （2）若，且在区间上有两个零点，求a的取值范围； （3）若函数的图象关于直线对称，求的最小值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集结合韦达定理计算求解参数； （2）根据二次函数零点分布列式计算求解参数； （3）根据对称性得出，进而得出，，再构造二次函数结合单调性求解最值. 【小问1详解】 由题意得，，即，， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 要使函数在上有两个零点，则需满足 ，即 解得 所以a的取值范围是. 【小问3详解】 由题意知， 因为，且的图象关于对称， 所以， 所以 解得，， 所以 设 则转化为函数，， 因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以的最小值为. 19. 给出如下定义：设函数的定义域为，函数的定义域为，若对于任意的，恰好存在n个不同的实数，，，…，，使得，，其中，则称为的“n重覆盖函数”. （1）已知函数，，判断是否为的“2重覆盖函数”，并说明理由； （2）已知函数，，若是的“3重覆盖函数”，求m的取值范围； （3）定义表示不超过x的最大整数，如，，，记函数，，，若为的“2026重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 【答案】（1）不是，理由如下： 因为在R上为增函数， 所以的值域为， 因为的值域为 当时，，而， 所以不是的“2重覆盖函数”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求值域，再分析的值域，根据 “恰好 2 解” 判断是否满足定义； （2）先求分段函数的值域，再分别分析两段的单调性与解的个数，根据 “恰好 3 解” 建立不等式，求解参数m的取值范围； （3）先求出，设，，则，令，，再做出函数的图象，数形结合解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，为增函数，所以， 当时，为减函数，所以， 所以，时，， 当时，，由二次函数性质得，， 所以，对于，， 使得， 因为当时，， 对于，不存在，使得， 所以要使为的“3重覆盖函数”， 只需，在上有唯一解， 因为，， 所以，即， 解得， 所以m的取值范围是. 【小问3详解】 因为， 因为，所以， 所以，， 所以， 设，，则，令，， 因为为的“2026重覆盖函数”， 所以为的“2026重覆盖函数”， 即，在有2026个根， 作出函数的大致图象（部分），如下图， 要使得在有2026个根， 则，解得 所以正实数a的取值范围是. 【点睛】本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于定义域内任意实数，直线与函数的图象有个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $