精品解析：河北承德市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“”的否定为命题“”. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式可求出，求函数的值域可得到，再根据集合的交集运算即可求出答案. 【详解】不等式可化为，解得， 故， 函数的值域为， 故， 所以. 故选：D. 3. 下列既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用初等函数的单调性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数，可得的定义域为， 所以函数是非奇非偶函数，所以A不符合题意； 对于B，函数，可得函数的图像关于对称， 所以函数是非奇非偶函数，所以B不符合题意； 对于C，由函数，可得，所以函数为偶函数， 当时，可得， 根据指数函数的性质，可得在为单调递减函数，所以C符合题意； 对于D，当时，可得， 此时函数在为单调递增函数，所以D不符合题意. 故选：C. 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，， 即，故函数的零点在区间内. 故选：A. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数的运算性质可得出，，，结合指数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，，则，，且，所以， 所以. 故选：B. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 7. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出分段函数的值域，由题意得，解不等式即可求出答案. 【详解】当时，， 令， 函数在上单调递增， 则， 即当时，函数的值域为； 当时，，，， 即当时，函数的值域为， 所以的值域为， 若存在实数，使得成立， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的且，均有．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得在上单调递增，由不等式即可求解. 【详解】令，得，所以； 再令，得，所以， 所以为上的奇函数， 设，且，则，得， 所以，所以，所以， 所以在上单调递增， 又因为，所以在上单调递增， 又为上的奇函数，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得，即， 解得：，所以的取值范围是. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】利用充分条件，必要条件的定义结合每个选项的条件逐项判断即可. 【详解】对于A，若，满足，但无意义，所以“”不是“”的充分条件； 若，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，由，可得，所以， 所以“”是“”的充分条件， 当时，满足，但， 所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，由，可得，所以， 所以“”是“”的充分条件， 取，但，此时， 所以“”吧是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，若，则， 所以“”不是“”的充分条件， 若，则， 所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：BD. 10. 若正实数、满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值是 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A选项；将与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，可判断B选项；利用二次函数的最值可判断C选项；分析得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】因为正实数、满足， 对于A选项，由基本不等式可得，整理可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对； 对于D选项，因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即的最小值为，D对. 故选：ACD. 11. 取整函数又称“高斯函数”，表示不超过的最大整数（例如）．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间与上均为减函数 B. 的值域是 C. 方程的所有实根为0，1 D. 当关于的方程有2个实根时，实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，当时，；当时，，结合选项，利用指数函数的图像与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，当时，可得，则， 由指数函数的性质，可得在上为单调递减函数； 当时，可得，则， 由指数函数的性质，可得在上也为单调递减函数， 所以函数在和上均为减函数，所以A正确； 对于B，当时，，可得， 当时，，可得， 当时，，， 综上可得，的值域为，所以B正确； 对于C，当时，令，解得， 当时，，解得， 当时，， 所以方程的所有实数根为，所以C错误； 对于D，由方程，即，则，可得， 令， 当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 要使得方程有2个实根时，即和的图像有两个公共点， 作出函数的图像，如图所示， 结合图像，可得实数的取值范围是，所以D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数的单调递增区间是__________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得出关于的等式，解出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出该函数的单调递增区间. 【详解】因为函数为幂函数，则，可得，所以， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：（或）. 13. 函数的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质得，令，的最小值即为函数的最小值. 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. 14. 若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为是方程的两个实数根，令，得到有两个不同的正实数根，结合二次函数的图像与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数在上为单调递增函数， 要使得在上的值域为，则满足 ， 所以是方程的两个实数根， 又由，可得， 令，则，则方程有两个不同的正实数根， 则满足 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式求出集合A，再由补集定义和交集定义即可计算求解； （2）先由并集结果得到，接着分和两种情况进行分析即可计算求解. 【小问1详解】 因为， 所以，所以或， 当时，， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，即，符合条件； 当时，要使，则有，不等式组无解， 综上，实数的取值范围是． 16. 已知函数的定义域为，且是奇函数． （1）求实数的值，并判断的单调性； （2）求不等式的解集． 【答案】（1），在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可得出关于的等式，即可解出的值，化简函数的解析式，可判断出该函数的单调性； （2）将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为是奇函数，所以，即， 整理得恒成立， 所以，即恒成立，所以． 所以，则在上单调递减． 证明如下： 任取、，且，则， 所以， 即，故在上单调递减． 【小问2详解】 因为是奇函数， 所以，即． 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即所求不等式的解集为． 17. 某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． （1）求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） （2）当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况分别求出利润（万元）关于产量x（千台）的函数关系式，即得答案； （2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案. 【小问1详解】 当时，， 当时，， ∴售出该款机器人所获利润关于的函数关系式为 【小问2详解】 当时，， ∴当时，． 当时，， 当且仅当，即时，． ， ∴当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元． 18. 已知函数． （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若函数在上有零点，求实数的取值范围； （3）若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，证明如下： 设，且，则 ， ， 即在上单调递增． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先判断在上单调递增，再用定义法证明； （2）由题意知函数有零点等价于在上有解，分类讨论求得的值域即可； （3）由题意可得原不等式等价于对任意的，都有，进而构造函数，进而求解可得实数的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数在上有零点，等价于在上有解． 当时，， 当时，， 若，则，当且仅当时取等号，， 若，则，当且仅当时取等号，． 综上，可得，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 由（2）知，的值域为， 所以对任意的，都有等价于 对任意的，都有，即恒成立． 设，则是关于的一次函数， 于是有，即，也即， 解得或或， 故实数的取值范围为． 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若函数存在零点，求实数的取值范围； （3）设函数，若与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数为，结合基本不等式，即可求解； （2）化简函数为，转化为方程有解，设，根据在上单调递减函数，求得的取值范围，即可求解； （3）根据题意，转化为只有一个解，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 又因为是增函数，所以的最小值为． 【小问2详解】 解：由题可知， 当时，存在零点等价于关于的方程有解， 设， 可得在上单调递减函数， 因为，所以， 又因为当时，， 所以的取值范围是，所以实数的取值范围是． 【小问3详解】 解：由与的图象只有一个公共点等价于只有一个解， 即只有一个解， 整理得． 令，则，即（*）． 原问题等价于关于的方程（*）只有一个正根． ①当，即时，方程（*）的解为，不满足，舍去； ②当，即时，，由根与系数的关系知， 故方程（*）有一正一负两根，又因为，故舍去负根，满足题意； ③当，即时，由根与系数的关系知， 因为方程（*）只有一个正根， 所以且对称轴，解得． 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的且，均有．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 10. 若正实数、满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值是 D. 的最小值为 11. 取整函数又称“高斯函数”，表示不超过的最大整数（例如）．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间与上均为减函数 B. 的值域是 C. 方程的所有实根为0，1 D. 当关于的方程有2个实根时，实数的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数的单调递增区间是__________． 13. 函数的最小值为__________． 14. 若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数的定义域为，且是奇函数． （1）求实数的值，并判断的单调性； （2）求不等式的解集． 17. 某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． （1）求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） （2）当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 18. 已知函数． （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若函数在上有零点，求实数的取值范围； （3）若对任意的，都有，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）求的最小值； （2）若函数存在零点，求实数的取值范围； （3）设函数，若与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $