第4章 数列（单元测试·提升卷）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．在等比数列中，，则 ． 2．首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为 . 3．已知数列满足，则所有项的和为 ． 4．在等差数列中，，是数列的前项和，若，则的取值范围是 5．设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 ． 6．已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为，若，则q的取值范围为 . 7．设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 8．已知无穷数列满足：存在正整数T，使得对一切正整数成立，则称是周期为T的周期数列．若数列为周期数列，且为正整数)，则该数列的前项和为 9．记等差数列的前项和分别为．若，则 ． 10．若等差数列 的前n 项和为 ，且满足 > 0， < 0 ，对任意正整数n ，都有，则 的值为 . 11．设双曲线 的右焦点为F， 点是其右上方一段 上的点，线段的长度为(k=1，2，3，……，n).若数列 n成等差数列且公差 则n最大取值为 . 12．给定数列，定义上的加密算法:当为奇数时，将中各个奇数项的值均增加，各个偶数项的值均减去1；当为偶数时，将中各个偶数项的值均增加，各个奇数项的值均减去，并记新得到的数列为.设数列，数列，则数列的所有项的和为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 14．设数列满足，则（    ） A． B． C． D．3 15．设为等比数列，设和分别为的前项和与前项积，则下列命题正确的是：（    ） A．若，则为递增数列 B．若，则为递增数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 16．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足．现有如下命题：①；②存在正整数，当时，都有．下列判断正确的是（    ）. A．①②均为真命题 B．①②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 18．（14分）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 19．（14分）兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等．现将体积为的面条经过第一次拉伸成长为的圆柱形面条，再经过第二次对折拉伸成长为的面条，……，以此类推，若每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计． (1)求第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径； (2)若小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过，求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求? 20．（18分）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的最大项； (3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 21．（18分）若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·能力提升·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 6 3. 0 4. 5. 6. 7. 8. 0 9. 10. 2022 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B B D A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）设数列的公差为， ∵，∴ ∴， ∴.……（7分） （2）由（1）得， ∴， ∴数列是以4为首项，4为公比的等比数列， ∴.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）证明:由题意得， ∴， 又，解得， ∴， ∴ 数列是首项为3，公比为3的等比数列；……（7分） （2）由（1）得：， 故， 所以， 令数列的前项和为， 则， 计算得， 综上：数列的前项和为.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）设第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径分别为， ； ； 所以第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径；……（7分） （2）由题意得经过次对折拉伸之后面条的数量成等比数列， 经过次对折拉伸之后面条的长度为， 设拉伸次后面条的截面半径为，由面团体积为可得， 又直径， ， 又是单调递增函数，且当时，，当时，， 故至少经过7次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求．……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）解：数列的前项和为，且对任意正整数，都有， 当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，.……（6分） （2）解：因为， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，所以，， 所以，， 由可得，此时，数列单调递增，即， 由可得，即， 由可得，此时，数列单调递减，即， 所以，数列中的最大项为.……（12分） （3）解：因为 ， 所以， ， 因为对任意的正整数，不等式恒成立，则. 因此，实数的取值范围是.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 由数列是数列的“隔数列”， 则，且， 所以且，即，所以或， 所以或；……（6分） （2）设的公比为， 因为数列是数列的“隔数列”， 即数列是数列的“隔数列”， 所以或， 解得或，即或， 所以或， 所以整数的值为.……（12分） （3）因为是的“隔数列”， 所以与都是严格增数列， 由是严格增数，可知对一切正整数恒成立， 又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立， 所以且， 这时因为对于一切大于等于的整数恒成立， 故必有， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，所以，即， 所以的取值范围为.……（18分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．在等比数列中，，则 ． 【答案】 【详解】因为数列为等比数列，且， 可得，即， 所以. 故答案为：. 2．首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为 . 【答案】6 【详解】因为无穷等比数列的首项为，公比为， 因此其前项和为， 所以的各项的和为. 故答案为： 3．已知数列满足，则所有项的和为 ． 【答案】0 【详解】当时，其所有项的和为，且 故所有项的和为. 故答案为：0 4．在等差数列中，，是数列的前项和，若，则的取值范围是 【答案】 【详解】由题意知，所以， 可得，解得. 故答案为：. 5．设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 ． 【答案】 【详解】当时，， 当时，，满足上式， ∴. 故答案为：. 6．已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为，若，则q的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为等比数列的首项为1，公比为q， 且， 所以， 所以，故q的取值范围为. 故答案为： 7．设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】在数列中，对任意正整数，，都有，对，取， 则有，因此数列是首项，公比的等比数列， 则，而恒成立，于是， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 8．已知无穷数列满足：存在正整数T，使得对一切正整数成立，则称是周期为T的周期数列．若数列为周期数列，且为正整数)，则该数列的前项和为 【答案】0 【详解】对任意时,, 所以, 等号当且仅当时成立. 因此当时，必有..., 则数列不是周期数列,与已知矛盾. 而数列为周期数列, 所以必有,因此; 所以该数列的前项和为0. 故答案为：0. 9．记等差数列的前项和分别为．若，则 ． 【答案】 【详解】设， 则． 故，则,且． 故， 则． 故答案为：． 10．若等差数列 的前n 项和为 ，且满足 > 0， < 0 ，对任意正整数n ，都有，则 的值为 . 【答案】2022 【详解】因为，，所以，即， 则， 又，则， 又因为，且， 所以等差数列单调递减， 则 所以对于任意的正整数，都有， 则. 故答案为： 11．设双曲线 的右焦点为F， 点是其右上方一段 上的点，线段的长度为(k=1，2，3，……，n).若数列 n成等差数列且公差 则n最大取值为 . 【答案】 【详解】由题意可得，，则， 则双曲线的右准线为， 设点的坐标为，则点到右准线的距离为， 由双曲线的第二定义可得， 所以， 因为的长度为，且数列成等差数列，且， 所以， 因为，，且， 则， 则取最大值时，， 所以，解得， 因为，所以满足条件的最大整数. 故答案为： 12．给定数列，定义上的加密算法:当为奇数时，将中各个奇数项的值均增加，各个偶数项的值均减去1；当为偶数时，将中各个偶数项的值均增加，各个奇数项的值均减去，并记新得到的数列为.设数列，数列，则数列的所有项的和为 . 【答案】 【详解】设为数列的所有项的和， 因为，为偶数，为奇数， 所以对于偶数项， ， 所以 所以， 上述式子相加可得， 即 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 14．设数列满足，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】, 所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 故选：B. 15．设为等比数列，设和分别为的前项和与前项积，则下列命题正确的是：（    ） A．若，则为递增数列 B．若，则为递增数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 【答案】D 【详解】对于A． ， 故取，，可满足条件， 但，，，，，此时不是递增数列，A错误； 对于B，， 取，，此时，满足条件， 但，，与为递增数列矛盾，B错误； 对于C，取，，则，此时， 所以为递增数列，但，C错误； 对于D，由题意可得 ，故对任意的正整数恒成立， 故，，所以， 若，令可得， 所以当取大于的正整数时，矛盾， 当时，满足条件， 所以， 所以，故，D正确； 故选：D． 16．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足．现有如下命题：①；②存在正整数，当时，都有．下列判断正确的是（    ）. A．①②均为真命题 B．①②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【详解】对于①，由，得，而，则， 于是，即， 而，解得，①是真命题； 对于②，数列的各项均为正数，当时，， 则数列严格递增，且， 由，得， 于是， 则，而，则，， 解得，，因此，， 由，得， 取，当时，，， 所以存在正整数，当时，都有，②是真命题. 故选：A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 【详解】（1）设数列的公差为， ∵，∴ ∴， ∴.……（7分） （2）由（1）得， ∴， ∴数列是以4为首项，4为公比的等比数列， ∴.……（14分） 18．（14分）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 【详解】（1）证明:由题意得， ∴， 又，解得， ∴， ∴ 数列是首项为3，公比为3的等比数列；……（7分） （2）由（1）得：， 故， 所以， 令数列的前项和为， 则， 计算得， 综上：数列的前项和为.……（14分） 19．（14分）兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等．现将体积为的面条经过第一次拉伸成长为的圆柱形面条，再经过第二次对折拉伸成长为的面条，……，以此类推，若每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计． (1)求第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径； (2)若小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过，求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求? 【详解】（1）设第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径分别为， ； ； 所以第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径；……（7分） （2）由题意得经过次对折拉伸之后面条的数量成等比数列， 经过次对折拉伸之后面条的长度为， 设拉伸次后面条的截面半径为，由面团体积为可得， 又直径， ， 又是单调递增函数，且当时，，当时，， 故至少经过7次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求．……（14分） 20．（18分）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的最大项； (3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）解：数列的前项和为，且对任意正整数，都有， 当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，.……（6分） （2）解：因为， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，所以，， 所以，， 由可得，此时，数列单调递增，即， 由可得，即， 由可得，此时，数列单调递减，即， 所以，数列中的最大项为.……（12分） （3）解：因为 ， 所以， ， 因为对任意的正整数，不等式恒成立，则. 因此，实数的取值范围是.……（18分） 21．（18分）若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 由数列是数列的“隔数列”， 则，且， 所以且，即，所以或， 所以或；……（6分） （2）设的公比为， 因为数列是数列的“隔数列”， 即数列是数列的“隔数列”， 所以或， 解得或，即或， 所以或， 所以整数的值为.……（12分） （3）因为是的“隔数列”， 所以与都是严格增数列， 由是严格增数，可知对一切正整数恒成立， 又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立， 所以且， 这时因为对于一切大于等于的整数恒成立， 故必有， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，所以，即， 所以的取值范围为.……（18分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．在等比数列中，，则 ． 2．首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为 . 3．已知数列满足，则所有项的和为 ． 4．在等差数列中，，是数列的前项和，若，则的取值范围是 5．设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 ． 6．已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为，若，则q的取值范围为 . 7．设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 8．已知无穷数列满足：存在正整数T，使得对一切正整数成立，则称是周期为T的周期数列．若数列为周期数列，且为正整数)，则该数列的前项和为 9．记等差数列的前项和分别为．若，则 ． 10．若等差数列 的前n 项和为 ，且满足 > 0， < 0 ，对任意正整数n ，都有，则 的值为 . 11．设双曲线 的右焦点为F， 点是其右上方一段 上的点，线段的长度为(k=1，2，3，……，n).若数列 n成等差数列且公差 则n最大取值为 . 12．给定数列，定义上的加密算法:当为奇数时，将中各个奇数项的值均增加，各个偶数项的值均减去1；当为偶数时，将中各个偶数项的值均增加，各个奇数项的值均减去，并记新得到的数列为.设数列，数列，则数列的所有项的和为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 14．设数列满足，则（    ） A． B． C． D．3 15．设为等比数列，设和分别为的前项和与前项积，则下列命题正确的是：（    ） A．若，则为递增数列 B．若，则为递增数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 16．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足．现有如下命题：①；②存在正整数，当时，都有．下列判断正确的是（    ）. A．①②均为真命题 B．①②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 18．（14分）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 19．（14分）兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等．现将体积为的面条经过第一次拉伸成长为的圆柱形面条，再经过第二次对折拉伸成长为的面条，……，以此类推，若每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计． (1)求第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径； (2)若小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过，求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求? 20．（18分）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的最大项； (3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 21．（18分）若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $