专题01 数列求和的4种方法（专项训练）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

专题01 数列求和的4种方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、倒序相加法求和 1 题型二、错位相减法求和 2 题型三、裂项相消法求和 5 题型四、分组（并项）法求和 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、倒序相加法求和 1．（2024高三·上海·专题练习）已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 2．设数列的通项公式为，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为 . 3．（2023·上海宝山·一模）已知函数，正项等比数列满足，则 4.（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 5．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 6.已知各项为正数的数列的首项是1，满足：，数列的前项项和是． (1)判断数列单调性，并说明理由； (2)求数列的通项公式； (3)表示正整数的各个数位上的数字之和，如，求的值． 题型二、错位相减法求和 7．（22-23高三下·上海杨浦·月考）已知集合，集合，定义为中元素的最大值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 ． 8．（24-25高二上·上海·单元测试）已知数列，，点在曲线上，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)已知数列满足，记为数列的前n项和，求． 9．（23-24高二下·上海·期末）6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率． (1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求． 10．（24-25高三上·上海宝山·月考）记数列的前项和为，已知，数列是首项为2，公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 11．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列的前项和为，且. (1)证明: 为等比数列 (2)求数列的通项公式 (3)求数列的前 项和 12．（24-25高二上·上海·月考）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)记，是否存在实数，使得对任意的正整数，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 13．（24-25高二上·上海·开学考试）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)记，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 14．（24-25高一下·上海·期末）已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，是其前项和，用直接写出的表达式； (3)设数列满足，，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值. 15．（24-25高一下·上海·月考）已知数列和满足，，，成立 (1)求：和的通项公式 (2)设，，求证：. (3)令，求：数列的前项和的通项公式，并直接写出数列的最大值、最小值，并指出分别是第几项. 题型三、裂项相消法求和 16．（24-25高一下·上海·期末）已知数列为正整数，则 ． 17．（25-26高一上·上海·期末）设集合有 个真子集. 18．（24-25高二下·上海·月考）已知数列的前n项和满足，n为正整数． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前200项和． 19．（25-26高二上·上海·期末）已知数列满足：，． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 20．（25-26高二上·上海·期末）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 21．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，证明：. 22．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 23．（24-25高一下·上海金山·期末）记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 24．（25-26高二上·上海奉贤·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求正整数的最小值； (3)记，其中且.若是严格增数列，求的取值范围. 题型四、分组（并项）法求和 25．（25-26高二上·上海·期末）已知函数，． (1)若函数是偶函数，求实数的值． (2)若，将方程的所有正数解从小到大排列，构成数列，其前项和为，求的值． 26．（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及数列的前项和. 27．（2026高三·上海·专题练习）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和. 28．（25-26高二上·上海·月考）已知数列的前项和为，且满足（，）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 29．（25-26高一上·上海·期末）已知数列是等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及的最小值. 30．（25-26高二上·上海浦东新·月考）在个数码构成一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为．例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此数列3，2，1的逆序数为，则记． (1)计算； (2)已知数列的通项公式是，求数列的逆序数； (3)计算数列的逆序数． 31．（25-26高二上·上海·期中）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 32．（25-26高三上·上海·月考）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且 (1)求； (2)求数列的前项和； (3)记，求的最值. 一、填空题 1．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知正项数列的前项和满足（为正整数）.记，若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 2．（23-24高三下·上海浦东新·开学考试）已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，则下列说法正确的是 ． ①第10个1出现在第46项； ②该数列的前55项的和是1012； ③存在连续六项之和是3的倍数； ④满足前项之和为2的整数幂，且的最小整数的值为440 3．（23-24高三下·上海浦东新·月考）已知数列满足：对任意，都有，， 设数列的前项和为，若，则的最大值为 ． 4．（23-24高二下·上海青浦·月考）将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为 . 5．（22-23高三上·上海浦东新·月考）对任意，函数满足，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则 . 6．（24-25高二上·上海·期末）不断地抛掷一枚硬币，若连续出现2次正面向上，则甲获胜，游戏结束；若累计出现4次正面向上，且未出现连续2次正面向上，则乙获胜，游戏结束；若连续2次正面向上和累计4次正面向上同时发生了，则甲乙平局，游戏结束.在没有发生平局的条件下，乙获胜的概率为 . 7．（2025·上海崇明·一模）设．数列满足下列条件：，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是 ． 二、解答题 8．（23-24高二上·上海·期末）已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； (3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 9．（23-24高二上·上海·期末）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：，即（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）.记第行所有的项的和为. (1)求； (2)试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式； (3)设，求. 10．（23-24高二下·上海·期中）已知等比数列的前项和为，，且成等差数列. (1)求； (2)设，是数列的前项和，求； (3)设，是的前项的积，求证：（为正整数）. 11．（23-24高二下·上海·月考）已知数列满足：①；②当时，；③当时，，记数列的前项和为. (1)求的值； (2)若，求的最小值； (3)求证:的充要条件是. 12．（24-25高二下·上海·单元测试）题图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，…，依次生长，直到永远． (1)求第3阶段“黄金数学草”的高度； (2)求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米） (3)该“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米） 13．（25-26高二上·上海·月考）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，求证：. 14．（22-23高二上·上海宝山·月考）已知数列满足：①（）；②当（）时，；当（）时，.记数列的前项和为. (1)求满足条件的所有，，的值； (2)若，求的最小值； (3)求证：的充要条件是（）. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列求和的4种方法 目录 A题型建模・专项突破 题型一、倒序相加法求和 1 题型二、错位相减法求和 5 题型三、裂项相消法求和 14 题型四、分组（并项）法求和 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、倒序相加法求和 1．（2024高三·上海·专题练习）已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】等比数列满足，则， 函数， ， 所以， 所以． 故选：A． 2．设数列的通项公式为，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为 . 【答案】 【详解】∵， 又， ∴， ∴， ∴. 故答案为： 3．（2023·上海宝山·一模）已知函数，正项等比数列满足，则 【答案】 【详解】函数，可看成向左平移1个单位，向上平移1个单位得到, 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以， 因为正项等比数列满足，所以， 所以， 所以， ①， ②， 则①②相加得： 即， 所以. 故答案为：. 4.（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 5．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 6.已知各项为正数的数列的首项是1，满足：，数列的前项项和是． (1)判断数列单调性，并说明理由； (2)求数列的通项公式； (3)表示正整数的各个数位上的数字之和，如，求的值． 【详解】（1）是严格减数列，理由如下： 由各项为正数，，即，即 所以是严格减数列. （2）把变为， 平方得， 即，所以是公差为4的等差数列， ，即， 即， 又，所以. （3）由（2）得，则，即， 设， 即， 倒序得， 按上述倒序且“错位对齐”的方法相加，， 依次下去，上下两行对应项之和都是19，把上述的两行对应项相加， 得，于是， 即． 题型二、错位相减法求和 7．（22-23高三下·上海杨浦·月考）已知集合，集合，定义为中元素的最大值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 ． 【答案】9217 【详解】由题意，的可能取值为1，2，3，，10， 根据子集定义，共有个1，个2，个3，，个10， ， 则， 两式相减得：， ． 故答案为：9217． 8．（24-25高二上·上海·单元测试）已知数列，，点在曲线上，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)已知数列满足，记为数列的前n项和，求． 【详解】（1）由点在曲线上，得，由，得， 则， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）得，于是， 则， 因此， 两式相减得， 即， 所以． 9．（23-24高二下·上海·期末）6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率． (1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求． 【详解】（1）解：根据题意，随机变量的取值为， 可得， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 所以期望为. （2）解：因为这人的合计得分恰为分， 则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件， 所以， 设，则， 两式相减得， 所以，即. 10．（24-25高三上·上海宝山·月考）记数列的前项和为，已知，数列是首项为2，公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）由数列是首项为2，公差为1的等差数列， 则，① 当时，，则； 当时，，② 则①②得，， 则，则， 又， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列， 所以，则. （2）， 则 ， 设， 则， 所以 ， 所以，则. 11．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列的前项和为，且. (1)证明: 为等比数列 (2)求数列的通项公式 (3)求数列的前 项和 【详解】（1）由题意可得，即， 两边同时除以可得， 又， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得， 当时，， 化简可得， 当时，代入也成立， 所以. （3）因为， 则， ， 两式作差可得， 所以. 12．（24-25高二上·上海·月考）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)记，是否存在实数，使得对任意的正整数，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【详解】（1）为等差数列，为等比数列. 设公差为，公比为， 由，，， 可得，即， 又，解得， 可得，； （2）由（1）知， 设， ， 以上两式相减，得， 所以， 即数列的前项和为； （3）由题设可得，要使对任意的正整数，恒有， 即，即恒成立. 当为奇数时，恒成立， 而，故且； 当为偶数时，恒成立， 而，故且， 综上，存在实数，使得对任意的正整数，恒有. 13．（24-25高二上·上海·开学考试）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)记，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得，则， 由，得，解得，则， 所以或， 综上，数列的通项公式为，数列的通项公式为或. （2）时，， 所以， 于是， 两式相减得： ， 因此； 时，， 所以， 于是， 两式相减得： ， 因此. （3）时，，所以无意义，固只能， ， 所以，而，所以， 所以对于任意的正整数，有，所以， 因此不存在正整数，使得. 14．（24-25高一下·上海·期末）已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，是其前项和，用直接写出的表达式； (3)设数列满足，，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则， 解得，所以，. （2）设，则， ， 因为为正整数，所以能被4整除，所以为偶数， 即公共项为，. （3）因为，所以，所以； 又，所以， ， ， 两式相减可得 . ， . 因为，所以； 所以， 时，令， 则， 即为递增数列，所以，解得， 故的最小值为. 15．（24-25高一下·上海·月考）已知数列和满足，，，成立 (1)求：和的通项公式 (2)设，，求证：. (3)令，求：数列的前项和的通项公式，并直接写出数列的最大值、最小值，并指出分别是第几项. 【详解】（1），， 两式相加得，，即， 是首项为，公比为的等比数列， ，① 两式相减得，，即， 是首项为，公差为的等差数列， ，② 联立①②可得，； （2），， ， ， ， ， 两式相减得， ， ， ，，，得证； （3）， 当是偶数时， ， 是偶数，，， ， ， 当是奇数时， ， 是奇数，，， ， ， 数列的最大值为，是第一项；最小值为，是第二项； 且数列的前项和的通项公式为. 题型三、裂项相消法求和 16．（24-25高一下·上海·期末）已知数列为正整数，则 ． 【答案】 【详解】由题设， 所以. 故答案为： 17．（25-26高一上·上海·期末）设集合有 个真子集. 【答案】 【详解】易知，由题意可知： ， 所以， 易知以2026为周期，且对称轴为， 则的取值结果可以在中研究， 当时，， 当时，， 当取时， 的取值关于一一对称，即有1012个取值结果， 所以的取值结果共1014个，即A中含有1014个元素，其真子集个数为个. 故答案为：. 18．（24-25高二下·上海·月考）已知数列的前n项和满足，n为正整数． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前200项和． 【详解】（1）当时，， 当时，满足上式， 所以. （2）由于， 所以数列前200项和为 . 19．（25-26高二上·上海·期末）已知数列满足：，． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【详解】（1）由题意可知， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 则； （2）由上可知的前n项和为 . 20．（25-26高二上·上海·期末）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为， 变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为. 21．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，证明：. 【详解】（1）由，两边取倒数，可得， 即有数列是首项，公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，可得，故. （2）由， 可得 22．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 【详解】（1）证明:由题意得， ∴， 又，解得， ∴， ∴ 数列是首项为3，公比为3的等比数列； （2）由（1）得：， 故， 所以， 令数列的前项和为， 则， 计算得， 综上：数列的前项和为. 23．（24-25高一下·上海金山·期末）记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【详解】（1）由已知，，即， 解得（舍）或， . （2）由（1）得，， ， 24．（25-26高二上·上海奉贤·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求正整数的最小值； (3)记，其中且.若是严格增数列，求的取值范围. 【详解】（1）∵，∴当时，， 又满足上式，所以. （2）∵， ∴， ∴，解得，∴， 即正整数的最小值为17. （3）因为是严格增数列，所以对任意正整数，有恒成立， 即恒成立， 其中且，所以， 化简得到恒成立， 在，时严格减， 所以，当时，取到最大值为3， 所以. 题型四、分组（并项）法求和 25．（25-26高二上·上海·期末）已知函数，． (1)若函数是偶函数，求实数的值． (2)若，将方程的所有正数解从小到大排列，构成数列，其前项和为，求的值． 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，，整理可得，所以， 因为，所以. （2）由得， 解得， 从小到大排列为：，所以， . 26．（25-26高二上·上海·期中）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及数列的前项和. 【详解】（1）因为，即， 又，即，又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得， 所以， 所以 . 27．（2026高三·上海·专题练习）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和. 【详解】（1）因为数列为等比数列，且， 所以. 又因为，所以， 又，则， 故等差数列的通项公式为. （2）因为，， 所以， 而. 因为在数列前30项内，不在数列前30项内， 即为的前30项，其集合为 则数列前30项和为：=1203. 28．（25-26高二上·上海·月考）已知数列的前项和为，且满足（，）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 【详解】（1）由，得. 所以当时，. 又，不满足. 所以. （2）令，则. 所以当时，，所以当时，数列是等差数列. 所以. 又 ， 所以数列的前100项和为. 29．（25-26高一上·上海·期末）已知数列是等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以， 所以， 所以数列的通项公式为 （2）由（1）可知， 所以 ， 因为是递增数列，且， 令，所以， 当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，最小值为 30．（25-26高二上·上海浦东新·月考）在个数码构成一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为．例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此数列3，2，1的逆序数为，则记． (1)计算； (2)已知数列的通项公式是，求数列的逆序数； (3)计算数列的逆序数． 【详解】（1）. （2）由，数列严格单调递减，即， 所以数列的逆序数. （3）数列的通项公式， 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 当为奇数时，逆序数 ； 当为偶数时，逆序数 ， 所以. 31．（25-26高二上·上海·期中）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 【详解】（1）设等差数列公差为， 由题意， 所以， 所以； （2）当时， ， 当时， ， 综上； （3）由题意：公比， 所以， 则， 记， 所以 . 32．（25-26高三上·上海·月考）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且 (1)求； (2)求数列的前项和； (3)记，求的最值. 【详解】（1）因为方程的两个根为：， 又为方程的两个根且， 当时，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以． （2）由（1）知数列中的相邻两项必为： 中的一个表达式， 所以数列的前项和中有项满足通项公式， 有项满足通项公式， 所以 . （3）因为， 所以由有： ， 所以， 当时， ， 同时， ， 综上所述， ， 所以的最大值为，最小值为. 一、填空题 1．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知正项数列的前项和满足（为正整数）.记，若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为是正项数列，所以，即， 当得，当得， 经检验符合上式，所以. 所以. 设函数， 当时， ； 同理可得，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 即，其中， 由函数的值域为R知，当时，， 所以，即，解得； 当时，， 所以，即，解得， 综上，实数k的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的难点是将函数转化为分段函数，利用函数的值域确定关于k的不等式即可求解，其中涉及到极限思想以及数列的求通项公式和求和知识点，平时练习都要熟练应用. 2．（23-24高三下·上海浦东新·开学考试）已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，则下列说法正确的是 ． ①第10个1出现在第46项； ②该数列的前55项的和是1012； ③存在连续六项之和是3的倍数； ④满足前项之和为2的整数幂，且的最小整数的值为440 【详解】将数列排成行的形式 1， 1，2， 1，2，4， 1，2，4，8， 第行为：，则第行和为， 前行共有个数，前行的和为， 对于命题①，第10个1出现在第项，故①正确； 对于命题②，因为，所以数列的前55项的和是，故②错误； 对于命题③，因为，是3的倍数，所以存在连续六项之和是3的倍数，故③正确； 对于命题④，设前项由前行和第行前项组成，则. 前项和为，若前n项和为2的整数幂，则有，即. 因为，所以当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以满足前n项之和为2的整数幂，且的最小整数n的值为440，故④正确. 故答案为：①③④ 3．（23-24高三下·上海浦东新·月考）已知数列满足：对任意，都有，， 设数列的前项和为，若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】若，则，得，若，与矛盾，只能取． 注意到一个可行的数列为0，，1，，2，，3，…下面证明该数列使达到最大： 为此，我们证明：当为奇数时，， 假设存在某正奇数使，则分为两种可能： ①若，则，； 同时，按原数列要求，，，故. 注意到该数列显然为整数数列，故当为奇数时，不存在整数能位于该区间,因此矛盾． ②若，则，，与矛盾； 综上，原假设不成立，故当为奇数时，. 而已经找到的数列0，，1，，2，，3， …中等号全部成立，故的最大值为． 4．（23-24高二下·上海青浦·月考）将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为 . 【答案】/ 【详解】当时，，所以； 当时，，所以. 所以，数列的前2024项的和为： . 故答案为： 5．（22-23高三上·上海浦东新·月考）对任意，函数满足，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则 . 【答案】 【详解】，， ， 展开为，， 即，． 即， ， 化为． 数列{}是周期为2的数列． 数列{}的前15项和为， ． 又， 解得，． ∴，． 由0，，解得． 0，，解得， 又， 令数列的前项和为，则当为奇数时，，取极限得； 则当为偶数时，，取极限得； 若数列的前项和的极限存在，则，， 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·期末）不断地抛掷一枚硬币，若连续出现2次正面向上，则甲获胜，游戏结束；若累计出现4次正面向上，且未出现连续2次正面向上，则乙获胜，游戏结束；若连续2次正面向上和累计4次正面向上同时发生了，则甲乙平局，游戏结束.在没有发生平局的条件下，乙获胜的概率为 . 【答案】 【详解】设事件“乙获胜”，“平局”，则“没有发生平局”， 记“正面向上”为“”；“反面向上”为“”. ①不断地抛掷一枚硬币，先求事件的概率. 假设抛掷硬币次， 则事件即抛掷最后两次依次为“”，前次中恰3次“”且互不相邻，其余次都为 “0”， 即从个“0”形成的空中选出3个插入个“1”，故共种方法， 由题意知，， 故若不断地抛掷一枚硬币，则， 设， 由， 设， 则，记， 所以 ， 因为，所以. 故“乙获胜”的概率； ②不断地抛掷一枚硬币，求事件即“平局”的概率. 假设抛掷硬币次， 则事件即最后三次依次为“”，前次中恰次“”且互不相邻，其余次都为“0”， 即从个“0”形成的空中选出个插入个“1”，故共种方法， 由题意知，， 故若不断地抛掷一枚硬币，则， 设， 由， 设， 则，记， 所以 ， 因为，所以. 故“平局”的概率； 由条件概率公式可得， 所以在没有发生平局的条件下，乙获胜的概率为. 故答案为：. 7．（2025·上海崇明·一模）设．数列满足下列条件：，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是 ． 【答案】 【详解】数列满足下列条件：， 则数列为非递减数列， 设数列中分别有个， 对任意的，都存在使得，其中互不相等， 对于数列中，由于，所以， 对于数列中，同理可得， 对于数列中，由于， 所以， 对于数列中，由于， 所以， 对于数列中，由于， 所以， 若数列的前20项和要最大，则， 所以数列的前20项和为. 故答案为： 二、解答题 8．（23-24高二上·上海·期末）已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； (3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 【详解】（1）设的公比为，的公差为， 因为且，所以，， 解得，， 所以，； （2），， 因为数列是正偶数构成的等差数列，数列除首项外，其余项都是的倍数， 所以数列的前50项和； （3）因为，， 所以 ， 由得， 即对任意的都成立， 因为，，等号取不到， 当时，，当时，， 所以正数的取值范围是. 9．（23-24高二上·上海·期末）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：，即（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）.记第行所有的项的和为. (1)求； (2)试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式； (3)设，求. 【详解】（1）根据数表所给数据相加求解 . （2）由题意得，第行共有项. 因为从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出， 可得，即 等式两边同时除以，得. 所以数列为首项为1，公差为1的等差数列， 可得，即 （3）， 所以 ， 所以. 10．（23-24高二下·上海·期中）已知等比数列的前项和为，，且成等差数列. (1)求； (2)设，是数列的前项和，求； (3)设，是的前项的积，求证：（为正整数）. 【详解】（1）由题意得，所以， 所以，所以， 所以，因为， 所以； （2）由（1）得， 所以 （3）由（1）得，则， 所以， 欲证：，即证：， 令，， 则，即在递减， 所以，即在恒成立， 故（当且仅当时取等号）， 所以，， 即. 11．（23-24高二下·上海·月考）已知数列满足：①；②当时，；③当时，，记数列的前项和为. (1)求的值； (2)若，求的最小值； (3)求证:的充要条件是. 【详解】（1）依题意可得，，且是自然数，； 又，所以，，且，都是自然数，或； 因为，所以，，且， 或． （2）由题意可得：，当时， ，由于， 所以或， ，， ，， 又， 所以； （3）必要性：若， 则：① ② ①②得：③ 由于或或，且或， 只有当同时成立时，等式③才成立， ； 充分性：若，由于 所以， 即，，，…，，又， 所以对任意的，都有…（I）， 另一方面，由， 所以对任意的，都有…（II）， ， 由于. 12．（24-25高二下·上海·单元测试）题图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成，…，依次生长，直到永远． (1)求第3阶段“黄金数学草”的高度； (2)求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米） (3)该“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米） 【详解】（1）依题意，第一阶段生长的长度为1，高度为1； 第二阶段生长的长度为，生长的高度为， 第三阶段生长的长度为，生长的高度为， 故第3阶段“黄金数学草”的高度为：； （2）设第阶段“黄金数学草”生长的长度为，依题意组成以1为首项，为公比的等比数列， 则第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和为， 因是首项为1，公比为2的等比数列，故数列是一个首项为1，公比为的等比数列， 于是, 故第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和约为米. （3）设第阶段“黄金数学草”生长的高度为，此时“数学黄金草”的总高度为. 依题意知，当是奇数时，，当为偶数时，， 即,则， 当为偶数时，因， 则, 当为奇数时，因， 则. 即该“黄金数学草”最终能长米高. 13．（25-26高二上·上海·月考）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，求证：. 【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为， 变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， （2）由（1）， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为； （3）当时，，又， 所以， 要证明 只需证明， 只需证明， 只需证明，由（2）可得， 只需证明， 只需证明， 只需证明 只需证明 设，，则 则函数在上单调递减，所以当时，， 又，所以，故， 所以 所以． 14．（22-23高二上·上海宝山·月考）已知数列满足：①（）；②当（）时，；当（）时，.记数列的前项和为. (1)求满足条件的所有，，的值； (2)若，求的最小值； (3)求证：的充要条件是（）. 【详解】（1）因，，且是自然数，； ，，且都是自然数；或； ，，且，或． （2）由题意可得：，当时， ，由于， 所以或， ，， ，， 又， ，；到；到；到；到，一共五组数，目前，可将其调整成，此时受到刚才个数调整过的关系，可从调整到1，此时由于本次调整，可继续选取调成，按此步骤调整18个数减小即可，所以. （3）必要性：若， 则：① ② ①②得：③ 由于或或，且或 只有当同时成立时，等式③才成立， ； 充分性：若，由于 所以， 即，，，…，，又 所以对任意的，都有…（I） 另一方面，由， 所以对任意的，都有…（II） ， 由于. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $