第03讲 相似三角形及其应用（4命题点+10题型+3突破）（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章三角形 第03讲相似三角形及其应用 目录(Ctrl并单击鼠标可跟踪链接) 01 考情剖析命题前瞻。 2 02知识导航网络构建， 3 03考点解析知识通关. 0.4 04命题洞悉·题型预测. 。●。●。。。。。。●0●000●●0●00060000000006●●00000●●00e00e00●0●●。●。。0。。0。 18 命题点一比例线段 题型01比例的性质 题型02成比例线段与黄金分割 命题点二平行线分线段成比例 题型01由平行判断成比例的线段 题型02由平行截线求相关线段的长或比值 命题点三相似三角形的判定与性质 题型01相似三角形的判定 题型02相似三角形的判定与性质综合 题型03相似三角形的性质应用 题型04相似三角形的实际应用 命题点四位似 题型01位似图形 题型02坐标系与位似图形 05·重难突破·思维进阶难， 67 突破一相似三角形中的A字模型 突破二相似三角形中的8字模型 突破三相似三角形中的一线三等角模型 06优题精选练能提分.… 86 基础巩固一能力提升→全国新趋势 -01- 考情剖析·命题前瞻 考点 2023~2025年 课标要求 1/147 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 比例线段的 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术 2025年第22题 相关概念及 上的实例了解黄金分割. 2024年第22题 2.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比 性质 2023年第8题 例. 1.通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比。 2024年 2.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边 相似三角形 第 成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似. 的判定与性 10、14题 了解相似三角形判定定理的证明. 2023年第22题 质 3.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比： 面积比等于相似比的平方. 4.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 1.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 位似 2.在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一 2025年第16题 个顶点为原点（删除：有条边在横坐标轴上）)分别扩大或缩小相同倍数 时所对应的图形与原图形是位似的 2026安徽中考相似三角形将以模型为载体，以综合为方向，以应用为落点，重点考查 命题预测 模型识别、推理计算、综合应用能力 2/147 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -02- 知识导航·网络构建 定义 对应边的比相等，对应角相等的两个图形 性质 对应边、对应中线对应角平分线、对应高线对 应周张的比等于相似比：面积之比等于相似比的平方 相似形 0相似比：相似多边形对应边的比 ②成比例线段 有关概念 ®比例的基本性质 ④黄金分割 ①两角对应相等的两三角形相似 ②两边对应成比例，夹角相等的两三角形相似 相似三角形的判定 ③三边对应成比例的两三角形相似 4 平行于二角形一边的直线和其他两边（或两边延长线） 似三角形 相交所构成的二角形与原三角形相似 0对应角相等，对应边成比例 ②对应高线、中线、角平分线的比等于相似比 及其应 相似三角形的性质 ®周长之比等于租似比 ④面积之比等于相似比的平方 遇等积，化比例， 横找竖找定相似： 等积式或比例式基本解题思路口决 不相似，莫要急， 等线等比来代替 遇等比，改等积， 引用射影和圆幂 平行线，转比例，两端各自找联系 两个图形是相似形 构成位似图形满足的条件 每对对应点所在的直线都经过同点 ①两个位似图形一定相似，且对应角相等 位似图形 ②位似图形的对应线段平行目成比例 性质 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比 等于位似比 ④位似图形对应点的连线（或诞长线都交于一点 3/147 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -03- 考点解析·知识通关 考点一平行线分线段成比例 知识·核心梳理 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 AB DE AB 如图，当AD/BE/ICF时，可得 BC BC EF'AC AC 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对 应线段成比例， 如图，DE/BC, AD=一’ 有D AD BD EC AB AB AC B ，也可以说 AD AB DB AE AC EC DE EF AEAE 答案： DF'DF'EC'AC' 真题·实战精练 1.(2023安徽中考真题)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F,连接DE并延 长，交边BC于点M,交边AB的延长线于点G.若AF=2,FB=1,则MG=() B A.25 &.5 2 C.5+1 D.0 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD是正方形，AF=2,FB=1, .AD=BC=AB=AF+FG=2+I=3,AD∥CB,AD⊥AB,CB⊥AB, EF⊥AB, .AD∥EF∥BC 4/147 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE AF EM FB =2,△ADEn△CME' AD DE CM EM 2， 网cw- 3 Γ2 MB=3-CM=2 :BC∥AD, .△GMBAGDA, ..BG MB21 AG DA32 ..BG=AB=3, 在 中，MG=VMB2+BG *336 Rt△BGM 故选：B。 2.(2024安徽中考真题)如图1，口ABCD的对角线AC与BD交于点O,点M,N分别在边AD,BC上， 且AM=CN,点E,F分别是BD与AN,CM的交点. 图1 图2 图3 (1)求证：OE=OF: (2)连接BM交AC于点H,连接HE,HF. (i)如图2，若HE∥AB,求证：HF∥AD: AC (i)如图3，若。ABCD为菱形，且MD=2AM'∠EHF=60,求BD的值. 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,OA=OC, AM∥CN, 又，AM=CN, ∴四边形AMCV是平行四边形， 5/147 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AN∥CM, .·.∠OAE=∠OCF 在△AOE与△COF中， ∠OAE=∠OCF O=OC ∠AOE=∠COF :△AOE≌ACOF(ASA. ∴OE=OF (2)(i).HE∥AB OH OE OA OB 又OB=OD.OE=OF, OH OF 0A0D' ,'∠HOF=∠AOD. .△HOF∽△AOD ∴.∠OHF=∠OAD, .HF∥AD (ⅱ)·ABCD是菱形， .AC⊥BD, 又OE=OF,∠EHF=60°， .∠EHO=∠FHO=30°， ..0H=30E, :AM∥BC.MD=2AM, .△AHM∽aCHB, AH AM 1 HC-BC-3 即HC=3AH, ∴.OA+AH=3(0A-OH, ..0A=20H, .BN /AD,MD=2AM,AM=CN, .△BNE∽△DAE, 6/147 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE BN 2 EDAD3' 即3BE=2ED, ..3(OB-OE)=2OB+OE ..OB=50E 故1C=04_20H 2×V30E_23 BD OB 5OE 50E 5 3.(2025安徽中考真题)已知点A在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AM的垂直平分线， 连接AE,A'B 图1 图2 图3 (1)如图1，若BA'的延长线经过点D,AE=1,求AB的长： (2)如图2，点F是A4的延长线与CD的交点，连接CA' ①求证：∠CAF=45°： ②如图3，设AF,BE相交于点G,连接CG,DG,DA',若CG=CB,判断△ADG的形状，并说明理 由. 【详解】(1)解：，四边形ABCD是正方形，BA'的延长线经过点D, ∠ADB=45°，AD=AB,∠DAB=90°， 由垂直平分线的性质知，A'E=AE,BA'=BA, 又BE=BE, ,△EA'B≌△EAB, .∠EA'B=∠EAB=90° 又∠ADB=45°， ∴，△A'DE是等腰直角三角形， ..A'E=AE=1, ∴DE=√2A'E=√2， ∴AB=AD=AE+DE=1+√2 (2)解：①证明：由题意知，BA=BA'=BC, ∴.∠BAA=∠BAA,∠BCA'=∠BAC. 71147 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .,∠AA'C=∠AA'B+∠CA'B 卡)180°-∠ABA0+5180°∠CBA0 =180P-)∠AB4+∠CBA利 2 =180°-45° =135°， .∠CA'F=180°-∠AA'C=45°. ②解：△ADG是等腰直角三角形. 理由如下： M W B (方法一)作CN⊥BG交BG于点M,交AB于点N. .CG=CB, M为BG的中点. 又AA'⊥BE, :.CN∥AF, BN BM=1, ·AN-GM N是AB的中点， MN是a4BG的中位线，BN=)AB. :∠ABE=90°-∠CBG=∠BCN,∠BAE=∠CBN=90°，且AB=BC, ∴△ABE≌△BCN, .4E-BN-24B=AD 2 即E为AD的中点. 又AG=GA, .EGI A'D, ,∠DA'G=∠EGA=90° 8/147 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可证△ADA'≌△BAG, ..A'D=AG=A'G “△A'DG是等腰直角三角形， (方法二)设∠ABG=0,则∠CBG=90°-0. .CG=CB, .∠CGB=∠CBG=90°-0， .∠BCG=180°-2∠CBG=20, 又：△EA'B≌△EAB, .∠ABG=∠ABG=O, ∴.∠CBA'=90°-20. BA'=BA=BC, .∠BCA'=∠BAC ∴.2∠BCA=180°-∠CBA'=90°+20， ∠BCA=45°+0」 ·∠GCA'=∠BCA-∠BCG=45°-0. .∠DCA=90°-∠BCA=45°-0=∠GCA, 又A'C=A'C,CG=CB=CD, ,△A'CG≌AACD GA'=DA',∠CAD=∠CA'G」 由①知∠CAG=180°-∠CAF=135°， ,∠DAG=360°-2∠CAG=90° 又GA=DA', ∴△ADG为等腰直角三角形。 考点二相似三角形的判定与性质 知识·核心梳理 性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比； (3)相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于 判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2) 成比例的两个三角形相似： 9/147 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)两边成比例且 相等的两个三角形相似； (4) 分别相等的两个三角形相似 答案：相似比，相似比的平方，三边，夹角，两角 真题·实战精练 1.(2024安徽：中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=2,BD是边AC上的高. 点E,F分别在边AB,BC上（不与端点重合），且DE⊥DF.设AE=x,四边形DEBF的面积为y,则 y关于x的函数图象为() 16 B. 4 5 4 x 16 16 4 x 【答案】A 【详解】解：过点E作EH⊥AC于点H,如下图： ∠ABC=90°，AB=4,BC=2, ∴AC=VAB2+BC2=25, :BD是边AC上的高. 40-Bc-34CD, :∠BAC=∠CAB,∠ABC=∠ADB=90°， 10/147 第四章 三角形 第03讲 相似三角形及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 比例线段 题型01 比例的性质 题型02 成比例线段与黄金分割 命题点二 平行线分线段成比例 题型01 由平行判断成比例的线段 题型02 由平行截线求相关线段的长或比值 命题点三 相似三角形的判定与性质 题型01 相似三角形的判定 题型02 相似三角形的判定与性质综合 题型03 相似三角形的性质应用 题型04 相似三角形的实际应用 命题点四 位似 题型01位似图形 题型02 坐标系与位似图形 05·重难突破·思维进阶难 28 突破一 相似三角形中的A字模型 突破二 相似三角形中的8字模型 突破三 相似三角形中的一线三等角模型 06·优题精选·练能提分 33 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2023~2025年 课标要求 比例线段的相关概念及性质 2025年第22题 2024年第22题 2023年第8题 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 2.掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 相似三角形的判定与性质 2024年第10、14题 2023年第22题 1.通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比. 2.了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似.了解相似三角形判定定理的证明. 3.了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方. 4.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 位似 2025年第16题 1.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 2.在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点(删除:有条边在横坐标轴上))分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的 命题预测 2026 安徽中考相似三角形将以模型为载体，以综合为方向，以应用为落点，重点考查模型识别、推理计算、综合应用能力 考点一 平行线分线段成比例 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图,当AD//BE//CF 时，可得 ， 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 如图，DE//BC，有 ， ， ，也可以说 1．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 2．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 3．（2025·安徽·中考真题）已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． (1)如图1，若的延长线经过点D，，求的长； (2)如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由． 考点二 相似三角形的判定与性质 性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例; (2)相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比; (3)相似三角形周长的比等于 ，相似三角形面积的比等于 判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2) 成比例的两个三角形相似; (3)两边成比例且 相等的两个三角形相似; (4) 分别相等的两个三角形相似 1．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 3．（2023·安徽·中考真题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．    (1)如图1，求的大小； (2)已知点和边上的点满足． （ⅰ）如图2，连接，求证：； （ⅱ）如图3，连接，若，求的值． 考点三 位似 基本图形 性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比; (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于一点; (3)位似图形对应边 (或在同一条直线上); (4)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为 与相似的区别 位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形 作图步骤 确定位似中心;确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点;描出新图形 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 命题点一 比例线段 1.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例。 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成. 2.比例中项：当比的内项相等时，即或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项. 3.比例的基本性质： （1） （abcd≠0） （2）如果 （3）如果， 那么. 4.黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 【注意】1） (叫做黄金分割值). 简记为： 2）一条线段的黄金分割点有两个. ►题型01比例的性质 【典例1】（2025·安徽亳州·一模）已知，则 ． 【典例2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，且，那么k的值是（   ） A．2 B． C．2或0 D．2或 【变式1】（2025·安徽马鞍山·一模）若，则代数式的值是 ． 【变式2】（2024·安徽滁州·模拟预测）若，则 ． 【变式3】（2024·安徽合肥·一模）已知，且，求的值． ►题型02成比例线段与黄金分割 【典例1】（2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且，，，那么d的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【典例2】（2025·安徽亳州·一模）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为cm，则它的长为（   ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【变式2】（2025·安徽·一模）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，即已知为2米，则的长为米，它介于整数和之间，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（2024·安徽合肥·三模）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 命题点二 平行线分线段成比例 「解题口诀」 1. 看见平行想比例，对应线段别搞反 2. 上下比上下，全段比全段 3. 平行出相似，相似出比例 4. 作平行线，构造 “A”“X” 型 通用解题步骤 1. 找平行：题目里只要有平行，优先想平行线分线段成比例。 2. 标线段：把已知长度、未知 x 标在图上。 3. 写比例式： 1. 上∶下 = 上∶下 2. 上∶全 = 上∶全 3. 左∶右 = 左∶右 4. 解方程：一元一次方程直接算。 ►题型01 由平行判断成比例的线段 【典例】（2025·安徽六安·三模）在中，边上的中线与边上的高相交于点D．已知，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽安庆·一模） 在中，点D是边上的中点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法不正确的是（    ） A．，则四边形是菱形 B．，则四边形是菱形 C．，则四边形是矩形 D．，则四边形是矩形 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）在中，对角线与交于点O，点E在上，点F在上，连接．下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（2024·安徽宣城·三模）如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． ►题型02 由平行截线求相关线段的长或比值 【典例】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，延长至点使得，点是的中点，连接并延长交于点，求的值． 【变式1】（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【变式2】（2025·安徽亳州·一模）如图，，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【变式3】（2025·安徽芜湖·三模）在平行四边形中，E、F两点分别在和边上，，连接和，分别交于G，H两点． (1)如图1，若平行四边形为菱形． ①求证：． ②若，求的长． (2) 如图2，分别记的面积为，求证：． (3) 命题点三 相似三角形的判定与性质 「解题步骤口诀」 一找角，二找边，平行直角优先见。 对应顶点要写对，比例线段不乱变。 求周长用相似比，求面积平方先算。 ►题型01 相似三角形的判定 【典例1】（24-25九年级上·安徽亳州·月考）如图，已知，补充下列条件仍不能判断与相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 【典例2】（2025·安徽滁州·一模）如图，是半的直径，，点，分别在半径和弦上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【变式1】（2024·安徽合肥·二模）如图，是的直径，C是上一点，与相切于点C，交的延长线于点D，于点E． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 【变式2】（2024·安徽·模拟预测）如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． (1)如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． (2)将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【变式3】（24-25九年级下·安徽·月考）在中，，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，，使． (1)如图1，若点在线段上，，求证； (2)如图2，若点在线段上，，求的长； (3)如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点F，，，求的值． ►题型02 相似三角形的判定与性质综合 【典例1】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，矩形，，，则长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽亳州·一模）如图，在7×4网格中，点A，B，C，D是格点（网格线的交点），连接，，过点D作交于点P，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽亳州·一模）如图，在中，点D，E分别是边的中点，连接，线段与交于点F，连接，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽·一模）在四边形中，，，点在边上，连接，，交于点． (1)若，如图1．求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接交于点，若点是的中点． ①求证：； ②若，，，求，的长． ►题型03 相似三角形的性质应用 【典例1】（2025·安徽合肥·三模）如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【典例2】（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若． (1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式） (2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标． 【典例3】（2025·安徽合肥·三模）如图网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均在格点上，利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹．） (1)画出关于对称的； (2)在边上找一点D，在边上找一点E，使得，且相似比为． 【变式1】（2025·安徽合肥·二模）如图，已知，中，，，点D在上，且，点E为外一点，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽滁州·二模）如图，在正方形中，，点E为中点，点F，G分别在边上（不与端点重合），且．设（），，则y关于x的函数图象为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽滁州·三模）已知，和的周长分别为和，且，，求和的长． 【变式4】（2025·安徽宣城·一模）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C按顺时针方向旋转得到，请画出． (2)请画一个格点，使，且． (3)将线段向右平移得到线段，使四边形的面积为4，在网格中作出四边形． ►题型04 相似三角形的实际应用 【典例】（2025·安徽亳州·模拟预测）跨学科题  物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽合肥·一模）如图1，用一个带有小孔的板遮挡在屏幕与物之间，屏幕上就会形成物的倒像，我们把这样的现象叫小孔成像．图2是小孔成像原理的示意图，已知，光线交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·安徽合肥·一模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图1），解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图2）：物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2023·安徽宿州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为 ． 命题点四 位似 位似作图步骤 1. 定中心：明确位似中心 O（原点 / 给定点）。 2. 连关键点：连接 O 与原图所有关键点（顶点）并延长。 3. 按 k 取点：在射线上按位似比 k 截取对应点（同向 / 反向）。 4. 顺次连线：连接对应点，得位似图形 5. 速记口诀（安徽中考专用） 6. 位似中心找交点，对应连线必共点。 7. 原点位似乘 k 值，同侧同号异侧反。 8. 中心若在任意点，平移缩放再计算。 9. 网格作图按格数，同向延长反向穿 ►题型01 位似图形 【典例】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)_______；_______ ； (2)以点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为：； (3)在网格中找到点，使得，并写出点的坐标_________． 【变式1】（2025·安徽亳州·一模）如图，是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知顶点在网格线的交点上． (1)以点A为位似中心，利用网格画出的位似图形，使与的相似比为2； (2)将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，画出． 【变式2】（2025·安徽六安·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点网格线的交点上． (1)以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出，连接，，判定的形状． (2)计算的面积． 【变式3】（2025·安徽·模拟预测）如图，顶点均在方格的格点上，按要求作图求解题． (1)作关于y轴对称的图形； (2)在第一象限内，作出关于原点的位似图形，位似比为； (3)作出边上的高交于H． 【变式4】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点． (1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段放大为原来的2倍，得到线段（点A，B的对应点分别为，），画出线段； (2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段； (3)连接，在上作一点Q使得．（利用网格无刻度直尺作图） ►题型02 坐标系与位似图形 【典例1】（2025·安徽·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，利用无刻度尺按要求作图． (1)在第一象限内，作关于原点O的位似图形，相似比为； (2)将绕原点顺时针旋转，得，画出； (3)在（2）操作中，的弧长为 ． 【典例2】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． (1)在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） (2)与的相似比是 ； (3)将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 【变式1】（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)以为位似中心，在第四象限内将放大2倍得到； (3)在轴上选一点，使，并写出点的坐标． 【变式2】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)把向左平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，请在图中画出； (2)以点O为位似中心在第三象限内画出的位似图形，使得与的位似比为； (3)连接，请用无刻度的直尺在线段上确定一点，使得． 【变式3】（2025·安徽合肥·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，已知． (1)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (2)以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为． (3)在轴上找一点，使得，并直接写出点的坐标． 【变式4】（2025·安徽滁州·二模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点(网格的交点)上，建立如图所示的平面直角坐标系．以原点为位似中心，将放大，使变换后得到的与对应边的比为，且点的对应点在第一象限． (1)请在网格内画出． (2)点的坐标为______，点的坐标为______． (3)______． 突破一 相似三角形中的A字模型 【典例】（2025·安徽铜陵·二模）如图1，在矩形中，M为中点，延长交的延长线于点E，连接，与交于点F． (1)求证：； (2)如图2，将矩形改成正方形，，其他条件不变， ①求证，并求出的值； ②如图3，在的延长线上取点P，使得，延长与的延长线交于点Q，连接，，求证：平分． 【变式1】（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）如图，是半圆的直径，点为圆心，点，均在半圆上，连接，．过点作半圆的切线交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，，，求的长． 【变式3】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，抛物线与轴相交于点、，对称轴是直线，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最小值； (3)点是直线上方抛物线上一点，连接交于点，若，如图2，求点的坐标． 突破二 相似三角形中的8字模型 【典例】（2025·安徽合肥·三模）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，． (1)求证：． (2)G为中点，交于点O，，垂足为H． ①求证：； ②求证：． 【变式1】（2025·安徽六安·三模）如图，现有两张大小不同的正方形纸片和，它们的顶点A重合，连接并延长，交于点H． （1） ； （2）连接，若，，则的长为 ． 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）如图矩形中，将边绕点A旋转，使点D落在边的E点上，连接；F为中点，连接． (1)， ①求的长； ②求． (2)若恰好平分，延长交于M，求的值． 突破三 相似三角形中的一线三等角模型 【典例】（2025·安徽淮南·二模）在矩形中，为对角线上一点（），连接，过点作交的延长线于点，交于点，设． (1)如图1，已知． （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）求证：． (2)如图2，若，，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）（）已知中，，是过点的一条直线，且点，在的同侧，交延长线于点，交于点． ①若，如图，证明：； ②若，如图，请写出线段之间的数量关系，并证明； （）若，直线绕点旋转到图位置时，其余条件不变，请直接写出之间的数量关系．（不需要说明理由） 【变式2】（（2025·安徽·模拟预测）如图，在边长为3的正方形中，点E是边上的点，且，过点E作的垂线交的外角平分线于点F，交边于点M；连接交边于点N，延长线交延长线于点G． (1)求的长； (2)求的长； (3)求值． 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·一模）如图，，若，，则与的相似比为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，F是所在直线上的点，若，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．4 3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，中，作交边于点D，使，若，，则的长为（　　） A． B．5 C． D．6 4．（2025·安徽安庆·二模）如图，在中，，，，平分，，垂足为，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·一模）如图，已知直线被一组平行线所截，交点分别为和，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽滁州·三模）在中，，点为上任意一点．下列命题为真命题的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，且点为的黄金分割点，则平分 D．若平分，则 7．（2025·安徽滁州·三模）如图，在正方形中，，延长至点E，且，连接，点F沿着（不与端点A，E重合）的路径运动，到达E点运动结束．每秒运动的长度为1，设点F的运动时间为x，的面积为y，则y关于x的函数图象为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是（ ）． A．8 B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知，则 ． 10．（2024·安徽合肥·一模）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为 （保留根号）．    11．（2023·安徽安庆·二模）如图，在中，平分，交于点，若，，则为 ．    三、解答题 12．（2025·安徽·一模）如图，在每个边长为1个单位长度的小正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向左平移6个单位长度，再向下平移3个单位得到，请画出． (2)请在给定网格中画一个格点，使，且相似比不为1（画出一个即可）． (3)的度数是_________． 13．（2025·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，点都在网格线的格点上，点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在O点同侧将放大为原来的2倍，得到，画出；（点A的对应点为D，点B的对应点为E） (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________； (3)请仅用无刻度的直尺，在线段上找一点． 14．（2025·安徽滁州·二模）如图1，为的外接圆，的平分线交于点D，交于点E，连接 (1)若，，求的长． (2)如图2，当为直径时，若，，求的长． 1．（2025·安徽滁州·三模）如图，在四边形中，，，点P，Q分别为上的两动点，先将四边形沿折叠，使点B的对应点为点，再沿折叠，使点C的对应点恰好落在上，连接． （1）的度数为 ． （2）当时，连接．若 ，则 2．（2025·安徽芜湖·三模）如图，直线与双曲线交于点，与轴、轴分别交于点，，且． （1）的值是 ； （2）直线与直线交于点，与双曲线交于点若是直角三角形，则的值是 ． 3．（2024·安徽·二模）如图，点D是等边边上一点，将等边折叠，使点C与点D重合，折痕为（点E，F分别在边，上）． （1）当时， ； （2）连接，当时， ． 4．（2025·安徽滁州·三模）如图，在菱形中，点E，F 分别是上任意的点(不与端点重合)，，连接与相交于点G，连接与相交于点H． (1)求证∶； (2)求证∶平分； (3)若，求的值． 5．（2025·安徽安庆·三模）点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，连接交于点． (1)如图1，延长交D于点G，若，，求的长． (2)如图2，． ①证明：； ②证明：． 6．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，将绕顶点A逆时针旋转到的位置，连接，，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)求证：F是线段的中点． 7．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 8．（2024·安徽·模拟预测）如图1（注：与图完全相同），二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)设该抛物线的顶点为，求的面积（请在图中探索）； (3)若点，同时从A点出发，都以每秒个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当，运动到秒时，沿所在的直线翻折，点恰好落在抛物线上点处，请直接判定此时四边形的形状，并求出点坐标（请在图中探索）． 9．（2024·安徽·模拟预测）已知在中，于点D，点E为上一动点，连接，过点C作． (1)如图，当点F在上时，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)如图，点F在外，连接，若，求的值． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，中，边上的中线与的平分线交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求． 11．（2024·安徽·模拟预测）四边形的两条对角线相交于点O，，点E在边上，连接交于点F． (1)如图（1），若． ①求证：；②求证：． (2)如图（2），若，求的长． 12．（2025·安徽亳州·一模）综合与探究：数学兴趣小组学习了特殊四边形的判定与性质后，对多边形中的相似三角形进行了研究． 【初步感知】如图1，点是正方形的边上一动点，过点作交于点．求证：； 【类比探究】如图2，点是矩形的边上一动点，连接交对角线于点，若线段是线段和的比例中项，求证：； 【拓展提升】如图3，的对角线相交于点，过点作交边的延长线于点，若，求线段的最小值． 13．（2025·安徽滁州·三模）如图1，在矩形中，M为中点，延长交的延长线于点E，连接，与交于点F． (1)求证：； (2)如图2，将矩形改成正方形，，其他条件不变， （ⅰ）求证：，并求出的值； （ⅱ）如图3，在的延长线上取点P，延长与的延长线交于点Q，连接，，求证：平分． 14．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中P为对角线上一动点，过P点作交于于点E，作交于点F，连接、．    (1)若， ①求证：平分； ②求证： (2) 已知， 且P为的中点， 求矩形的周长． 一、单选题 1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2025·广东·中考真题）如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 9．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ． 10．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 11．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为 ． 三、解答题 12．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 13．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． (1)求证：平分； (2)证明：； (3)若射线与相切于点A，，，求的值． 14．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $