江苏省赣榆高级中学2025-2026学年第一学期高二年级12月学情检测数学试题

2025~2026学年第一学期高二年级12月学情检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ）． A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 4．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 5．在平面直角坐标系中，椭圆的左､右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴交于点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 6．已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线外一点，点P是直线上一点，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 7．正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2027个数是（    ） A．3997 B．4003 C．4008 D．4010 【答案】C 【分析】根据题意将染色的所有数字进行分组，找出每组数字的最后一个数与组数和该组数的数字个数的关系，找出第组最后一个数在红色子数列中所处的位数，即可求得结果. 【详解】根据染色规律可将染色的所有数字分组，规律如下： 第一组：1                                    共1个数； 第二组：2，4，6                              共3个数； 第三组：7，9，11，16，15                     共5个数； 第四组：16，18，20，22，24，26，28           共7个数； 第五组：29，31，33，35，37，39，41，43，45   共9个数； …… 由此规律可知，第组最后一个数是组数与该组的数字个数的乘积为，且该数在组成的红色子数列中是第个数， 易知，当时，即第45组最后一个数是与数字2027接近， 此时，红色子数列中第个数为， 所以再往后数2个计数即为第2027个数，该数为4008. 故选：C 8．函数满足：，，且，则（    ）． A．1225 B．1275 C．2550 D．4950 【答案】A 【分析】利用递推式依次求得、、，最后令，，得到，应用累加法求得，最后应用分组求和及等差数列的前n项和公式求结果. 【详解】令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，，则，可得， 当时，则 ， 显然也满足上式， 所以，故. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 10．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．数列中最大 D．数列中最小 【答案】BCD 11．椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为上一点，则下列说法正确的是（　　） A．的最大值为2 B．椭圆上存在点，使得 C．过圆上一点向椭圆作切线，切点为、，则 D．过圆上一点作圆的切线，交椭圆于两点，则面积的取值范围是 【答案】ACD 【分析】A项，利用基本不等式可得；B项，设，由数量积坐标运算化简可得；C项，先对切线斜率不存在时分析，再设点斜式直线方程，联立椭圆方程，结合得到关于的方程，由韦达定理得斜率之积为即可；D项，按斜率是否存在讨论，利用弦长公式及韦达定理得到的函数表达式，求解函数值域进而由面积公式可得范围. 【详解】A选项，由椭圆，可知， 则，， 则， 可得，当且仅当时取等号， 即当点位于短轴端点时，取最大值，故A正确； B选项，设椭圆上任一点，又，， 则，可得， 则， 故不存在点，使得，故B错误； C选项，设，则， ①当时，则， 可知椭圆的两条切线恰好垂直，即；    ②当时，则椭圆的两条切线都存在斜率， 可设过点的椭圆切线方程为， 联立，消得， 由直线与椭圆相切， ， 化简得，则此关于的方程有两根，设为， 则， 由即为两切线的斜率，所以， 综合①②可知，，故C正确；    D选项，当切线的斜率不存在时，切线方程为， 联立，解得，故此时；    当切线的斜率存在时，设直线的方程为， 由圆的圆心，半径， 则由直线与圆相切可得， 圆心到直线的距离，即， 联立，消得， 由，化简得， 由韦达定理得，. 则 ， 由得代入上式可得 ， 设，， 则 ，由，可得， 当，即时，最大，最大值为； 当，即时，最小，最小值为； 综上所述，的范围为. 又由， 故面积的取值范围为，故D正确；    故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等比数列的前n项和为，若，，则 ． 【答案】 13．已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线方程与曲线具有两个公共点，联立方程进行求解. 【详解】直线过点，， 联立方程 则 ， 即，故， 根据图象的交点，可得， 故. 故答案为：. 14．已知双曲线，其左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义及三角形的面积公式，求得.代入双曲线的方程，并由得点P在以O为圆心，c为半径的圆上，联立双曲线和圆的方程，即可求得点P的坐标，从而得到直线的方程，与双曲线方程联立，可求得，利用中点坐标公式求得点M的坐标，进而求得直线的斜率. 【详解】如图： 由题可知， 化简得，即. 因为，所以，所以， 所以双曲线， 设点，则点P在以O为圆心，c为半径的圆上， 所以点P的坐标满足， 解得，即. 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. 当点在第一象限时， 联立，得， 所以或， 所以.所以， 所以直线的斜率为. 根据双曲线的对称性，可得当点在第四象限时，直线的斜率为. 直线的斜率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为……………………………………………………5 （2）过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知……………………………………………7 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， ………………………………9 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． ………………………………13 16．已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． 【详解】（1）由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即；…………………………4 （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时；…………………………6 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或.…………………………9 （3）由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故，……………………12 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为．…………………………15 17．已知数列的首项为1，前项和为，且满足. (1)求； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 因为，所以，所以数列是首项为的常数列，…………………………5 所以，所以当时，. ………………8 当时，也符合上式.所以.………………………9 （2）由（1）得，，…………………………11 所以………………15 18．已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过前n项和的差与已知条件相除，推得是等差数列，求出后利用（）得到通项公式. （2）将恒成立问题转化为恒成立，构造数列，分析其单调性找到最大值，确定的取值范围. （3）先化简的表达式，再利用错位相减法（乘以公比后与原和式相减）计算数列的前项和. 【详解】（1）在数列中，①， 又因为②，， 所以，得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以．…………………………3 当时，， 当时，，也满足上式，…………………………4 所以数列的通项公式为．…………………………5 （2）由（1）知，． 因为对于任意，恒成立，所以恒成立． 设，则， 当时，，； 当，时，， 所以，…………………………8 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为．…………………………10 （3）由（1）知， 所以．…………………………12 所以．③ ．④ ，得 ． 所以．…………………………17 19．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知双曲线与椭圆是“姊妹”圆锥曲线，分别为和的离心率，. (1)求椭圆的方程； (2)试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称； (3)若，是椭圆上的两动点（两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）已知双曲线，结合“姊妹”圆锥曲线的定义，可设出椭圆方程，再根据，即可求出，即可得到椭圆方程； （2）设出椭圆上的两点，以及的中点，利用点差法，结合直线的斜率，可以得到，再结合点在上，可求得，再利用点在椭圆内，即可求得的范围； （3）设出直线以及两点，根据可得，点在直线上，可得，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，代入前式，可得，再表示出，再根据是定值，即可求出对应的. 【详解】（1）已知双曲线，由“姊妹”圆锥曲线的定义，可设椭圆的方程为， 则，整理得，解得， ∴椭圆的方程为.…………………………3 （2） 设椭圆上，两点关于直线对称， 设的中点为，则. 因为点在椭圆上，所以，两式相减得， 又因为，所以即，所以，…………………………5 又因为点在直线上，所以，即，所以. 因为点在椭圆内部，所以， 得，即. 所以的取值范围为.…………………………8 （3） 结论：存在非零常数，使时，的面积为定值. 设存在这样的常数，使时，为定值. 设直线的方程为，且直线与的交点坐标分别为，， ，，， . 联立，得， 由韦达定理，可得，，…………………………10 ， 即，因此.…………………………12 ∵点到直线的距离为， ， ， .………14 要使得的面积为定值，只需，得， 即，解得， 此时，即，…………………………16 故存在非零常数，使得时，的面积为定值1. ……………17 试卷第16页，共17页 试卷第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年第一学期高二年级12月学情检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.抛物线y=4x2的焦点到其准线的距离为() 1 B.4 C. 1 D.1 8 【答案】C 2.若方程 =1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是() 16-m'm+9 A.(-9,16) B. 【答案】C 3.已知直线-3x+4y-3=0与直线6x+y-14=0平行，则它们之间的距离是(). A.1 B.2 C.2 D.4 【答案】B 4.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-L,0),B(,0),(m>0).若圆C上存在点P, 使得∠APB=90°，则m的最小值为() A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】D 了.在平面直角坐标系xO中，椭圆C,+扩1a心b>0的左，右焦点分别为R,A,过 耳，且垂直于x轴的直线与C交于P,Q两点，Q与y轴交于点R,FQ⊥PR,则C的离心 率为() A.3 B. C.2 D. 5 3 2 【答案】A 6.已知Sn,Tn分别为等差数列{a},b}的前n项和， S-2n+2 T7n-5 设点A是直线BC外 一点，点P是直线BC上一点，满足亚-C=马++凸正，则2的值为() b 试卷第1页，共17页 4 A.1 15 C. 11 11 【答案】A 7.正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色.先染1；再染3个偶 数2,4,6：再染6后面最邻近的5个连续奇数7,9,11,13,15；再染15后面最邻近的 7个连续偶数16,18,20,22,24,26,28：再染此后最邻近的9个连续奇数29,31，， 45;按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1,2,4,6,7,9,11,13,15,16，， 则在这个红色子数列中，由1开始的第2027个数是() A.3997 B.4003 C.4008 D.4010 【答案】c 【分析】根据题意将染色的所有数字进行分组，找出每组数字的最后一个数与组数和该组数 的数字个数的关系，找出第组最后一个数在红色子数列中所处的位数，即可求得结果. 【详解】根据染色规律可将染色的所有数字分组，规律如下： 第一组：1 共1个数： 第二组：2,4,6 共3个数： 第三组：7,9,11,16,15 共5个数： 第四组：16,18,20,22,24,26,28 共7个数： 第五组：29,31,33,35,37,39,41,43,45共9个数： 由此规律可知，第n组最后一个数是组数n与该组的数字个数2-1的乘积为n(2n-1),且该 数在组成的红色子数列中是第1+3+5+…+2n-1=n2个数， 易知，当n=45时，即第45组最后一个数是452=2025与数字2027接近， 此时，红色子数列中第2025个数为45×(2×45-1)=4005， 所以再往后数2个计数即为第2027个数，该数为4008. 故选：C 8.函数f(x)满足：x,y∈Z,f(x+y)=f(x)+f()+2y+1,且f(-2)=1,则 -w-( A.1225 B.1275 C.2550 D.4950 【答案】A 试卷第2页，共17页 【分析】利用递推式依次求得f(0)=-1、f(-1)=-1、f(1)=1,最后令x=,y=1,neN, 得到f(n+1)-f(n)=21+2,应用累加法求得f(m=n2+n-1,最后应用分组求和及等差数 列的前n项和公式求结果 【详解】令x=y=0,则f(0)=2f(0)+1,可得f(0)=-1, 令x=y=-1,则f(2)=2f(-1)+3,可得f(-1)=-1, 令x=1,y=-1,则f(0)=f0)+f(-1)-1,可得f(1)=1, 令x=n,y=1,neN,则f(n+1)=f(m+f()+2n+1,可得f(n+1)-f(m)=2+2, 当n≥2时f(nm)-f(n-1)=2n,则 f(n)=f(m)-f(-1)+…+f(3)-f(2)+f(2)-f(1)+f(1) =2+20n-0++2×3+2×2+1=2xm0+D-1=r+n-1, 2 显然f(1)=1也满足上式， 所以f0mr=n-1.故立[/m-]-50x50+D50-125. 50 2=1 2 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列结论中正确的有() A. 、π sin- B.(x=x 3 C.(og,x)=1 n3 D.(2)=2*h2 【答案】CD 10.己知等差数列{a}的前n项和为Sa,且S2o25>0,S2o26<0,则() A.d>0 B.a1o12>0 C.数列{S}中So13最大 D.数列a}中ao最小 【答案】BCD 试卷第3页，共17页 C十广=1的左、石焦点分别为R、乃，0为坐标原点，P为C上三 列说法正确的是() A.PPF的最大值为2 B.椭圆上存在点P,使得PF·PE,<0 C.过圆x2+y2=3上一点2向椭圆作切线，切点为M、N,则OM⊥ON D.过圆r+y=名上一点作圆的切线L,1交椭圆c于AB两点，则△4OB面积的取值 范围是 22 3’2 【答案】ACD 【分析】A项，利用基本不等式可得；B项，设P(x,),由数量积坐标运算化简可得；C 项，先对切线斜率不存在时分析，再设点斜式直线方程，联立椭圆方程，结合△=0得到关 于k的方程(2m2-4)k2-4k+2n2-2=0,由韦达定理得斜率之积为0即可；D项，按斜 率是否存在讨论，利用弦长公式及韦达定理得到AB的函数表达式，求解函数值域进而由面 积公式可得范围， 【详解)A选项，由椭圆C:+y=1,可知a心=2,6=1， 2 则2a=2√2，c=√a2-b=1, 则PR+|PF=2W≥2PPE,, 可得PPs2,当且仅当Pr=P=√2时取等号， 即当点P位于短轴端点时，PPF取最大值2，故A正确： B选项，设椭圆上任一点P(x,y),又(-1,0)，F1,0), 则号+分1，可得对=1兰 则P四P丽=(1-，-y)1-3少)=-1+g=-1+1-号50， 22 故不存在点P,使得PE·PE,<0,故B错误； C选项，设2(m,n),则m2+n2=3, 试卷第4页，共17页 ①当m=±√2时，则2=1， 可知椭圆的两条切线恰好垂直，即OM⊥QN; ②当m≠±√2时，则椭圆的两条切线都存在斜率， 可设过点2的椭圆切线方程为y=k(x-m)+n, [y=k(x-m)+n 联立 2+广=1 ，消y得(1+2k2)x2+4k(n-)x+2(k2m2-2m+r2-1)=0, 由直线与椭圆相切， .△=16k2(n-am'-81+2K)(km2-2kam+n2-1)=0, 化简得(m2-2)k2-2nk+-1=0,则此关于k的方程有两根，设为k,k2, 贴器子1 由k,k,即为两切线的斜率，所以OM⊥ON, 综合①②可知，OM⊥OW,故C正确： A D选项，当切线I的斜率不存在时，切线方程为x:±6 x=tV6 联立 x2 3,解得y=士6 故此时AB=26 +y2=1 2 试卷第5页，共17页 ⊙ 当切线l的斜率存在时，设直线的方程为y=x+m,A(x,+m,B(x2,,+) 由圆+y=子的圆心o0,0,半径r=6 2 3 则由直线1与圆x+上=相切可得， 3 圆心O到直线的距离d= +23,即3=2+2k2 联立少=在+m 2+2y=2消y得(1+2k2)r2+4x+2m2-2=0, 由△=16k22-4(1+2k2)(2m2-2)>0,化简得m2<1+2k2, 由韦达定理得x+,=一4加 1+2e,55=2m32 1+2k2 则AB=V1+kV(s-x,)=V1+kVs+x)子-4x 4km 2 =V1+k 4× 21m2-2 1+2k2 1+2k2 =V1+k2. V16k2+8-8m22V5 M+k2.2k2+1-m2, 1+2k2 1+2k2 由3加2=2+2k2得m2=2+)代入上式可得 3 V+R2k+1-2+k) 3 61+2.1+4k2 1+2k2 设t=1+2k≥1,2=1 2， 3 t 试卷第6页，共17页 23 当行即=主是时，hd最大爱大值为5 2 当}1，即-0时，A最小，最小值为2 3 综上所述，AB到的范围为 又由SAOB 2 2√2 故△AOB面积的取值范围为 3’2 故D正确： 0 B 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等比数列{a}的前n项和为Sn,若S=4,S=12,则S2=」 【答案】60 B.已知直线x三y-与曲线c:三4y有两个公共点。则”的取值范围 是 【答案】 【分析】根据直线方程与曲线C具有两个公共点，联立方程进行求解. 【详0】直发过方(Q),-号可20 试卷第7页，共17页 联立方程 94F x= x=m(y-3) 则(4m2+3)y2-24m2y+36m2-12=0 △=(-24m2）'-436m2-12)(4m2+3)>0, 即m<,放m< 5 根据图象的交点，可得m≤0， 故5 5 <m≤0 -2 故答案为： 15 5,0 已知双曲线c: =1，其左右焦点分别为月，R,P为双曲线右支上一点，PR与 y2 14. 2 双曲线左支交于点O,P2中点为M.若∠耳P耳，=90°，△FP耳，内切圆半径为2a,则直线OM 的斜率为 【答案】±32 【分析】根据双曲线的定义及三角形的面积公式，求得c=5α.代入双曲线的方程，并由 ∠FPE=90°得点P在以O为圆心，c为半径的圆上，联立双曲线和圆的方程，即可求得点 P的坐标，从而得到直线PF的方程，与双曲线方程联立，可求得Q 29 2a a, 2 25 利用 中点坐标公式求得点M的坐标，进而求得直线OM的斜率. 【详解】如图： 试卷第8页，共17页 M F 0 F PR-PE =2a IPR+PE=4c s月网却啊网22d a2+b2=c2 化简得5a2+4c-c2=0,即(5a-c)(a+c)=0. 因为a>0,c>0,所以c=5a,所以b2=c2-a2=24a2, 所以双曲线C:y a24a 1, 设点P(x,y)(x>O),则点P在以O为圆心，c为半径的圆上， x2 y2 =1 所以点P的坐标满足 d 24a2 2+y2=25a2 1 |x=5a 解得 即P 24 竖+ y=士 24 a 所以直线P耳的斜率为7 3 5a+5a 4 所以直线PR的方程为y=±x+5a 4 当点P在第一象限时， y=3(x+a) 联立〈 x2 v2 ，得(25x+29a)15.x-21a)=0, a 24a21 试卷第9页，共17页 7 29 x= 所以 24 或 25 2 y= y 25 所以 2972 3 .所以M 96 2 25 、25 25 9 所以直线OM的斜率为k 250-32 3 250 96 根据双曲线的对称性，可得当点P在第四象限时，直线OM的斜率为k= -=-32 3 25a 直线OM的斜率为±32 故答案为：±32 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线1：x+2y+7=0相切，过点B(-2,0)的动直线1与圆 A相交于M,N (1)求圆A的方程： (2)当MW=2W19时，求直线1的方程. 【答案】(1)(x+1)2+(y-2)2=20 (2)3x-4y+6=0或x=-2 【详解】(1)易知A(-1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r, 所以r--1×1+2x2+71-25 V12+22 则圆A方程为(x+1)2+(y-2)2=20… …5 (2)过A做AO LMN,由垂径定理可知∠MQA=90°，且Mg=√19， 在Rt△ALMQ中由勾股定理易知 o=M-IMg =20-(19) =17 当动直线1斜率不存在时，设直线1的方程为x=-2, 试卷第10页，共17页2025~2026学年第一学期高二年级12月学情检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.抛物线y=4x2的焦点到其准线的距离为() 1 A.16 B. D.1 8 2.若方程 =1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数的取值范围是() 16-mm+9 7 A.(-9,16) B. D.2+ 3.已知直线-3x+4y-3=0与直线6x+w-14=0平行，则它们之间的距离是（). A.1 B.2 C. D.4 4.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-,0),B(L,0),(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°， 则的最小值为() A.7 B.6 C.5 D.4 5在平面直角坐标系0巾，畅圆C号+若-(a~b~的左，右焦点分别为5，R,过天且套直于 x轴的直线与C交于P,Q两点，2与y轴交于点R,F2⊥PR,则C的离心率为() A.3 3 B.2 2 C. D.⑤ 5 S-2n+2 6.已知S,工分别为等差数列a,私的前加项和，产=升5，设点A是直线8C外一点，点P 是直线BC上一点，满足币-C=++a丽，则2的值为() b C.5 11 7.正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色.先染1；再染3个偶数2,4,6； 再染6后面最邻近的5个连续奇数7,9,11,13,15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16,18,20， 22,24,26,28；再染此后最邻近的9个连续奇数29,31，，45；按此规则一直染下去，得到一红色 子数列：1,2,4,6,7,9,11,13,15,16，，则在这个红色子数列中，由1开始的第2027个 数是() A.3997 B.4003 C.4008 D.4010 高二年级数学试题第1页（共4页） 8.函数f(o满足：x,∈Z,fx+川=f(+f)+2gy+1,且f(-2)=L,则[f()-]=()。 A.1225 B.1275 C.2550 D.4950 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列结论中正确的有() A.sin- B. (x)=x 3 3 1 C.(1og3x)= x In3 D.(2)=2ln2 10.已知等差数列{a}的前n项和为Sa,且S2o25>0,S2o26<0，则() A.d>0 B.4o2>0 C.数列{S}中So13最大 D.数列a.}中4o最小 1·椭圆℃)+y=1的左、右焦点分别为、乃，0为坐标原点，P为C上一点，则下列说法正确的 是() A.P卧PF的最大值为2 B.椭圆上存在点P,使得PF·PE<0 C.过圆x2+y2=3上一点2向椭圆作切线，切点为M、N,则OM⊥QN D.过圆2+y=乙上一点作圆的切线1,1交椭圆C于A,B两点，则△4OB面积的取值范围是 22 3 32 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等比数列{a}的前n项和为S,若S,=4,S。=12,则S2= 3。已知直线：=m0y-3)与曲线Cx三4-少有两个公共点，则m的取值范围是 14.已加双面找℃器1，其左右焦点分别为瓦、只，P为双角线有支上点，P听与双曲线左支 交于点OP2中点为M.若∠FPF,=90°，△FPF,内切圆半径为2a,则直线OM的斜率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 高二年级数学试题第2页（共4页） 己知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线1：x+2y+7=0相切，过点B(-2,0)的动直线1与圆A相交于M,N (1)求圆A的方程： (2)当MW=2W19时，求直线1的方程. 16.(本小题15分) 已知直线1：x-2y+3=0,l2:2x+3y-8=0. (1)求经过点M(1,4)且与直线1，垂直的直线方程： (2)求经过直线马与'的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程 (3)若直线：c-y+2+4k=0(k∈R)交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点，设 △AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线1的方程 17.(本小题15分) 己知数列{an}的首项为1，前n项和为Sa，且满足nSn+1=(n+2)Sn (1)求4.； (2)求数列 1 的前n项和T aa2) 18.(本小题17分) 已知在正项数列{a}中，a=1且VS+√S-=a.(n22,neN),其中Sn为数列{a,}的前n项和. 高二年级数学试题第3页（共4页） (1)求数列{a}的通项公式： (2)若对于任意n∈N+,2”·入≥Sn恒成立，求实数元的取值范围： (3)设c.=(-1)”a(W21,求数列{cn}的前n项和T. 19.(本小题17分) 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲 线已双自线尽等若=1与稀圆C是统袜国维情统，日，民分别为8C的离心学，8 15 4 (1)求椭圆C的方程： (2)试确定m的取值范围，使得椭圆C上有两个不同的点关于直线y=4x+对称； (3)若A,B是椭圆C上的两动点(A,B两点不关于x轴对称)，O为坐标原点，OA,OB的斜率分别为k,飞， 问是否存在非零常数1，使得k·k,=元时，△AOB的面积s为定值？若存在，求出1的值：若不存在， 请说明理由. 高二年级数学试题第4页（共4页） 2025~2026学年第一学期高二年级12月学情检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A． B． C． D．1 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ）． A．1 B．2 C． D．4 4．已知圆和两点，，．若圆上存在点，使得，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．在平面直角坐标系中，椭圆的左､右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴交于点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线外一点，点P是直线上一点，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2027个数是（    ） A．3997 B．4003 C．4008 D．4010 8．函数满足：，，且，则（    ）． A．1225 B．1275 C．2550 D．4950 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．数列中最大 D．数列中最小 11．椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为上一点，则下列说法正确的是（　　） A．的最大值为2 B．椭圆上存在点，使得 C．过圆上一点向椭圆作切线，切点为、，则 D．过圆上一点作圆的切线，交椭圆于两点，则面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等比数列的前n项和为，若，，则 ． 13．已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是 ． 14．已知双曲线，其左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题13分 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 16．本小题15分 已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 17．本小题15分 已知数列的首项为1，前项和为，且满足. (1)求； (2)求数列的前项和. 18．本小题17分 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，求数列的前n项和． 19．本小题17分 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知双曲线与椭圆是“姊妹”圆锥曲线，分别为和的离心率，. (1)求椭圆的方程； (2)试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称； (3)若，是椭圆上的两动点（两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 高二年级数学试题 第2页（共4页） 高二年级数学试题 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.con或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2025~2026学年度第一学期学业水平质量监测 数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 回3回 (正面上，切勿贴出虚线方框 正确填涂 缺考标记 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 13 14 囚▣■ 解答题 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) ■ ■ 17.(15分) I ■ 囚■囚 18.(17分) 囚■囚 ▣ 19.(17分)