（寒假讲义-复习篇）专题04 一元一次方程的解法与应用（二十大重点考点练+优选题拔尖练 共55题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册精编培优讲练

专题04 一元一次方程的解法与应用 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 重点知识梳理 2 知识点一：列一元一次方程解应用题的一般步骤 2 知识点二：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题 2 重点考点讲练 4 考点一：解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 4 考点二：解一元一次方程（二）-去括号 5 考点三：解一元一次方程（三）-去分母 6 考点四：已知一元一次方程的解，求参数 6 考点五：—元一次方程解的关系 7 考点六：绝对值方程 8 考点七：配套问题（一元一次方程的应用） 8 考点八：工程问题（一元一次方程的应用） 9 考点九：销售盈亏（一元一次方程的应用） 9 考点十：比赛积分（一元一次方程的应用） 11 考点十一：方案选择（一元一次方程的应用） 12 考点十二：数字问题（一元一次方程的应用） 13 考点十三：几何问题（一元一次方程的应用） 14 考点十四：动点问题（一元一次方程的应用） 14 考点十五：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 15 考点十六：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 16 考点十七：行程问题（一元一次方程的应用） 17 考点十八：比例分配（一元一次方程的应用） 18 考点十九：日历问题(一元一次方程的应用） 19 考点二十：古代问题（一元一次方程的应用） 20 拔尖冲刺练习 20 知识点一：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 知识点二：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题 配套问题：配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. （盈亏）销售问题： 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 方案设计问题 1. 借助方程先求出相等的情况。 2. 再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 行程问题 ：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 工程问题：工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 分段计费问题：分段计费问题解题思路 1. 明确分段区间 2.明确不同区间的计费标准 3.分区间讨论计算 和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 日历问题：关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 数字问题 1、多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 2、连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 比例分配问题：比例分配问题解题思路 1.通常设一份为X 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 考点一：解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 【例】（25-26七年级上·安徽六安·期末）已知代数式 (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【变式】（25-26七年级上·湖北孝感·月考）计算或解方程： (1)； (2)； (3)． 考点二：解一元一次方程（二）-去括号 【例】（25-26七年级上·山西晋中·期末）计算与解方程 (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）定义一种新运算：对于任意有理数、，都满足．例如：． (1)求的值； (2)已知，求有理数的值． 考点三：解一元一次方程（三）-去分母 【例】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）解方程： (1)； (2) 【变式】（25-26七年级上·山西太原·期末）计算与解方程 (1) 计算：； (2) 计算：． (3)解方程：． 考点四：已知一元一次方程的解，求参数 【例】（25-26七年级上·云南昆明·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程是“和谐方程”．例如：方程和是“和谐方程”． (1)关于的方程与_____“和谐方程”（填“是”或“不是"）； (2)若关于的方程与是“和谐方程”，求的值． 【变式】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）定义：若一个关于x的一元一次方程的解与另一个关于y的一元一次方程的解满足，则称这两个方程为“五好关联方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以它们是“五好关联方程”． (1)判断方程与方程是否为“五好关联方程”，并说明理由； (2)若方程与方程是“五好关联方程”，求a的值； (3)已知方程与方程是“五好关联方程”，，且m、n均为正数，求m的值． 考点五：—元一次方程解的关系 【例】（25-26七年级上·山东临沂·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和解方程”，求的值． 【变式】（25-26七年级上·重庆铜梁·期中）（1）已知关于的方程与的解相同，求的值； （2）在（1）的条件下，先化简，再求值：． 考点六：绝对值方程 【例】（25-26七年级上·重庆潼南·期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，（为常数），已知． (1)求的值： (2)若，求的值． 【变式】（25-26七年级上·四川南充·期末）对于任意有理数，定义它的“对称差”为：，例如：．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点七：配套问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）某眼镜厂要制作一批眼镜，已知该工厂共有50名工人，其中女工人数比男工人数多10人，并且每个工人平均每天可以制作镜架50个或镜片150片． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天制作的镜架与镜片刚好配套，应安排多少名工人制作镜架？ 【变式】（25-26七年级上·山东济宁·期末）某农产品加工厂有32名工人，每人每小时可包装20盒甲礼盒或30盒乙礼盒，2盒甲礼盒和1盒乙礼盒组成一份农产品礼包，若要求包装的甲礼盒与乙礼盒恰好配套，设安排名工人包装甲礼盒，则以下所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 考点八：工程问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）学校准备利用假期维修操场，如果甲工程队单独进行维修需要8天，乙工程队单独进行维修需要12天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先修2天，然后甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． (1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ (2)乙工程队每天的工程费为12000元，甲工程队每天的工程费比乙多2000元，操场维修完成后，学校需要支付给甲、乙两个工程队共多少钱？ 【变式】（25-26七年级上·山东聊城·期末）为解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了天，这天共掘进米已知甲工程队每天比乙工程队多掘进米． (1)求甲工程队每天掘进多少米？ (2)按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙两个工程队还需联合工作多少天? 考点九：销售盈亏（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·四川成都·期末）某商场经销A，B两种商品，先同时购进A，B 两种商品共100件，恰好总进价为4600元，A种商品每件进价40元，售价60元；B种商品每件售价70元，利润率为．（利润率 ） (1)每件A种商品利润率为 ，B种商品每件进价为 元； (2)该商场购进A种商品多少件? (3)在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分打八折优惠，超过1200元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小张一次性购买A，B商品实际付款981元，其中购买A商品10件，求小张此次购买B商品多少件． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）列方程解应用题 (1)《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出钱，则会多出钱；若每人出钱，则还少钱．合伙人数，物品的价格分别是多少？ (2)某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利，该服装的进价是多少元/件？ 考点十：比赛积分（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·河南安阳·期末）为了增强同学们的环保意识，学校组织了“环保小卫士”回收塑料瓶活动．活动规定：每位同学在一周内需要回收20个塑料瓶作为标准任务．回收数量超过20个的记作正数，不足20个的记作负数．七（2）班有8名同学参加了活动，他们一周回收塑料瓶的数量记录如下： ，，，0，，，，． (1)这8名同学平均每人一周回收了多少个塑料瓶？ (2)学校规定：每回收1个塑料瓶得2分，另外每超出标准任务1个再奖1分（即超额部分每个得3分）．小婷本周共得52分，小婷这周回收了多少个塑料瓶？ 【变式】（25-26七年级上·宁夏固原·期末）12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，原州区某中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．参赛者A答对20道，得分100分；参赛者B答对19道，答错1道，得94分．请回答下列问题： (1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题得______分； (2)参赛学生李明得分为70分，求他答错了几道题？ 考点十一：方案选择（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·山东临沂·期末）为丰富校园生活，学校组织了冬季运动会，并对优秀的运动员进行表彰．学校需要订购甲、乙两种奖品．甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，两家超市都在进行促销活动： 甲超市：买一件甲奖品，赠送一件乙奖品． 乙超市：所有商品奖品均打九折销售． 学校决定购买甲奖品件，乙奖品件（）． (1)用含的代数式分别表示在甲超市和乙超市购买的费用． (2)购买多少件乙奖品时，两家超市的费用一样多？ (3)如果只能选择一家超市购买，应如何选择更省钱？ 【变式】（25-26七年级上·四川南充·月考）公园门票价格规定如下表： 购票张数 张 张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班有40多人，不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？ (2)两班各有多少学生？ (3)如果七年级（3）班也去这个公园游玩，他们全班共去47人，你建议他们如何购票才最省钱？ 考点十二：数字问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·山东聊城·期末）有理数包括整数与分数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数）．那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？ 【方法感悟】化为分数形式， 由于，设① 则② ②－①得，解得，于是得； 同理可得． 【迁移运用】根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） (1)______，______； (2)将化为分数形式，写出推导过程． 【变式】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图是由正奇数排成的数阵： (1)图中“工”字形框中七个数的和是中间数45的______倍 (2)在数阵中任意做一个这样的“工”字形框，（1）中的关系是否仍成立？并写出理由． (3)直接判断用这样的“工”字形框能框出和为2026的七个数吗？请说明理由 考点十三：几何问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·浙江·月考）1925年，数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形．如图，有一个完美长方形被分割成11个大小不同的正方形．其中最小的正方形边长是1，则标注A的正方形的边长为（   ）    A． B． C．2 D．3 【变式】（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽轴截面图，甲槽内水位高度为，乙槽内无水，现将甲槽内的水注入乙槽．如图2，若乙槽内放入高度为的圆柱形铁块，当甲槽内水位高度下降到时，乙槽内水位刚好到达铁块高度；当甲槽内的水全部注入乙槽时，乙槽的水位高度是．若乙槽的底面积是，则铁块的底面积为 ． 考点十四：动点问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，数轴上有两点，，动点从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，线段的长是______；此时线段与线段的数量关系是_____； (2)当时，求的值． 【变式】（2026七年级上·四川南充·专题练习）阅读理解，问题解决 【方法指导】数轴上的动点问题，若是告诉了运动速度，一般设运动时间为t，用含t的式子可以表示出动点位置．在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离用线段的长度表示，有． 问题解决：如图，在数轴上，点A表示，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动时间为t秒． (1)当时，线段的长为______；线段的长为______． (2)当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？ (3)当t为何值时，P、Q两点间的距离． 考点十五：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援， (1)若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？ (2)若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？ 【变式】（25-26七年级上·山东德州·期末）为推进全民健身，某机构推出了“全民捐步公益行”活动：参与者可根据一天中走路的步数，给公益事业捐款． (1)观察如图小亮和小明的对话，请计算每捐步，相当于捐款多少元； (2)某天，小亮和小明二人共同捐款6元，已知小亮的步数比小明的2倍少步，求小亮当天走了多少步？ 考点十六：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·山东临沂·期末）为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）： 阶梯 用电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 不超过200度的电量 0.50 二档 超过200度至420度的部分 0.55 三档 超过420度的部分 0.80 (1)小明家七月份共用电450度，求小明家七月份应缴多少电费？ (2)如果某户居民某月用电度，请用含的整式表示该户居民该月应缴电费． (3)小明家九月份的电费是166元，求该月用电多少度？ 【变式】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）某市居民用水实行阶梯水价，按户计费，具体收费标准如下： ①每户每月用水量不超过时，水费为元/； ②每户每月用水量超过而不超过时，不超过的部分水费为元/，超过的部分水费为元/； ③每户每月用水量超过时，不超过的部分按前两种方式收费，超过的部分水费为元/． (1)设一用户每月用水量为，当时，应缴水费________元；当时，应缴水费________元；当时，应缴水费________元；（用含x的代数式表示，结果要化简） (2)一用户某月份应缴水费40元，求该用户当月用水量； (3)某用户四、五两月共用水，四月用水量不超过，这两月共缴水费85元，求该用户这两个月的用水量． 考点十七：行程问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·江西吉安·期末）小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑． (1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？ (2)如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面处，两人同时同向起跑，经过几秒小强能追上小彬？ 【变式】（25-26七年级上·北京顺义·期末）某新能源汽车满电时车内显示屏显示能行驶，冬季时实际能行驶的里程会折损．某车主冬季从家出发前往一个景区，全程包含高速公路和市区道路，其中高速路段总长度比市区路段总长度多，高速路段总长度与市区路段总长度的比是． (1)求车主从家到该景区的路程； (2)该车主从家出发时汽车满电，返程前在这个景区充电站充电，至少使车内显示屏显示的能行驶的里程增加多少千米，才能保证电量够返回到家． 考点十八：比例分配（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【变式】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 考点十九：日历问题(一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，表中给出的是某平年二月的日历，任意选取“工”形框中的7个数（如阴影部分所示），那么在本月日历中这7个数的和可能是（   ） A．56 B．77 C．90 D．210 【变式】（24-25七年级上·辽宁大连·月考）如图是某月的月历：用去框出日期数，每次同时框出4个数． (1)框出的4个数的和的最大值是_________ ，最小值是_________． (2)用a表示框中的一个数，如图2所示，如果框出的四个数的和是93，求a的值； (3)框出的四个数之和能是105吗？如果能，请求出这四个数；如果不能，请说明理由． 考点二十：古代问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·山东临沂·期末）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，则根据条件所列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·山东聊城·期末）数学兴趣小组研究《孙子算经》中的问题：“今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？”小莹和小亮分别设未知数列方程： 小莹：设总人数为，根据车辆数不变，列出方程 小亮：设总车辆数为，根据总人数不变，列出方程 下列说法正确的是（    ） A．小莹正确，小亮错误 B．小莹错误，小亮正确 C．都正确 D．都不正确 1．《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，依题意列方程得（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值．则关于的方程的解是（    ） x －3 －2 －1 0 1 2 3 3 0 －3 －6 －9 －12 －15 A．3 B．1 C．－1 D．－15 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列各式中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26七年级上·山东青岛·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①绝对值等于本身的数是正数；②几个有理数的积是正数，则负因数的个数一定是偶数；③3条直线相交，有3个交点；④将式子变形，得；⑤圆的面积公式，变量是S，r． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）在解方程时，可以分两种情况讨论：①当时，，原方程可变形为，解得；②当时，，原方程可变形为，解得（舍去）．所以原方程的解为．仿照上面的方法，可得方程的解为（   ） A． B． C．或 D．不存在能使原方程成立的的值 6．（25-26六年级上·上海·月考）当 时，代数式的值与代数式的值互为相反数． 7．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）数a是关于x的方程的解，若，，则的值为 ． 8．（25-26七年级上·安徽六安·期末）对于两个不相等的有理数我们规定符号表示两数中较小的数，例如，则方程的解为 ． 9．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图所示，在长方形中放入8个完全相同的小长方形，若，则图中阴影部分面积之和为 ． 10．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）在4张同样的纸片上各写着一个数，这4个数互不相等，其中最大的数是12．从这4张纸片中，任意抽取一张纸片，记录数后放回，打乱顺序后再任意抽取一张纸片，记录数后放回，计算这两次记录的数的差的绝对值．重复以上操作，每次所得的绝对值都是这4个数中的一个，并且这4个数都能取到．这4张纸片上除12以外的其他3个数是 ． 11． （25-26七年级上·四川成都·月考） （1） 计算：； （2）计算：； （2） 解方程：； （4）解方程：． 12．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，，都是“相伴有理数对”． (1)数对，中，是“相伴有理数对”的有_____________； (2)若是“相伴有理数对”，求的值； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 13．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）辞旧迎新，岁在丙午马年，某若字号年货铺推出两款贺岁礼盒．已知：售出3盒A礼盒与2盒B礼盒，共得1700元；售出2盒A礼盒与3盒B礼盒，共得1800元．一位顾客备下3500元，欲为亲友置办年货，计划同时选购两款礼盒若干盒，恰好用完预算，且两款礼盒均须购买． 根据以上信息，解答下列问题： (1)A礼盒与B礼盒的单价分别是多少元？ (2)请你为这位顾客设计选购方案； (3)若A礼盒每盒成本为200元，B礼盒每盒成本为240元，请选出对店铺利润最高的选购方案，并求出最大利润． 14．（25-26七年级上·江西吉安·期末）我们定义：对于有理数和，若，则称互为“和积友好数”．如：因为，所以和互为“和积友好数”． (1)下列各组数中，互为“和积友好数”的是_____；（填序号） ①和       ②和 (2)若和互为“和积友好数”，求的值； (3)若和互为“和积友好数”，求式子的值． 15．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上有三个点，对应的数分别是a，b，c．满足，点O是中点．动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)则___，_____，_____． (2)若点到点的距离是点到点的距离的2倍，求点对应的数； (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．则点Q运动______________秒时，两点之间的距离为4． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元一次方程的解法与应用 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 重点知识梳理 2 知识点一：列一元一次方程解应用题的一般步骤 2 知识点二：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题 2 重点考点讲练 4 考点一：解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 4 考点二：解一元一次方程（二）-去括号 6 考点三：解一元一次方程（三）-去分母 7 考点四：已知一元一次方程的解，求参数 9 考点五：—元一次方程解的关系 12 考点六：绝对值方程 13 考点七：配套问题（一元一次方程的应用） 14 考点八：工程问题（一元一次方程的应用） 15 考点九：销售盈亏（一元一次方程的应用） 17 考点十：比赛积分（一元一次方程的应用） 19 考点十一：方案选择（一元一次方程的应用） 20 考点十二：数字问题（一元一次方程的应用） 23 考点十三：几何问题（一元一次方程的应用） 25 考点十四：动点问题（一元一次方程的应用） 27 考点十五：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 29 考点十六：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 31 考点十七：行程问题（一元一次方程的应用） 34 考点十八：比例分配（一元一次方程的应用） 35 考点十九：日历问题(一元一次方程的应用） 36 考点二十：古代问题（一元一次方程的应用） 38 拔尖冲刺练习 40 知识点一：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 知识点二：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题 配套问题：配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. （盈亏）销售问题： 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 方案设计问题 1. 借助方程先求出相等的情况。 2. 再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 行程问题 ：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 工程问题：工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 分段计费问题：分段计费问题解题思路 1. 明确分段区间 2.明确不同区间的计费标准 3.分区间讨论计算 和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 日历问题：关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 数字问题 1、多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 2、连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 比例分配问题：比例分配问题解题思路 1.通常设一份为X 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 考点一：解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 【例】（25-26七年级上·安徽六安·期末）已知代数式 (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了整式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用整式的加减法计算即可； （2）合并同类项后根据的值与的取值无关列关于的方程，解方程即可求出答案． 【完整解答】（1）解： ； （2） ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴ 【变式】（25-26七年级上·湖北孝感·月考）计算或解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)-19 (2) (3) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握有理数的运算法则和一元一次方程的解法是解答本题的关键． （1）先化简符号，再算加减； （2）先计算乘方，乘除法，再计算加减法； （3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【完整解答】（1）解：． （2）解：． （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 考点二：解一元一次方程（二）-去括号 【例】（25-26七年级上·山西晋中·期末）计算与解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算与一元一次方程的解法，解题的关键是遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序，以及解方程时去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤． （1）先算括号内的减法，再算乘法，最后算加法； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （3）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1；（4）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1． 【完整解答】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （4）解： 去分母，两边同乘，得, 去括号，得, 移项，得, 合并同类项，得, 系数化为，得. 【变式】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）定义一种新运算：对于任意有理数、，都满足．例如：． (1)求的值； (2)已知，求有理数的值． 【答案】(1) (2)2 【思路引导】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据题意可知，据此计算求解即可； （2）根据新定义，先计算出，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【完整解答】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得． 考点三：解一元一次方程（三）-去分母 【例】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为. (1)利用去括号、移项、合并同类项解方程； (2)利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解方程. 【完整解答】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 【变式】（25-26七年级上·山西太原·期末）计算与解方程 (1)计算：； (2)计算：． (3)解方程：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘除，最后计算加减即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算乘除即可得出结果； （3）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：． 考点四：已知一元一次方程的解，求参数 【例】（25-26七年级上·云南昆明·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程是“和谐方程”．例如：方程和是“和谐方程”． (1)关于的方程与_____“和谐方程”（填“是”或“不是"）； (2)若关于的方程与是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【思路引导】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）求出方程的解，根据“和谐方程”的定义得到方程的解，再代入求解m的值即可． 【完整解答】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； ∵， ∴关于的方程的解和关于的方程的解互为相反数， ∴关于的方程与是“和谐方程”； （2）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵关于的方程与是“和谐方程”，且3的相反数是， ∴是关于的方程的解， ∴， 解得． 【变式】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）定义：若一个关于x的一元一次方程的解与另一个关于y的一元一次方程的解满足，则称这两个方程为“五好关联方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以它们是“五好关联方程”． (1)判断方程与方程是否为“五好关联方程”，并说明理由； (2)若方程与方程是“五好关联方程”，求a的值； (3)已知方程与方程是“五好关联方程”，，且m、n均为正数，求m的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)或 (3) 【思路引导】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用“五好关联方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“五好关联方程”的定义判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“五好关联方程”的定义列出关于a的方程，解答即可; （3）分别求得两个方程的解，利用“五好关联方程” 的定义列出关于m，n的方程，根据得出结果即可． 【完整解答】（1）解：不是“五好关联方程”，理由如下： 方程的解为：， 方程的解为：， ，． ， 不是“五好关联方程”； （2）由得，由得， 由题意：， 或， 或； （3）由得，由得， 由题意：， ， ， ，整理得：． m为正数， 为正数， ，解得：． 考点五：—元一次方程解的关系 【例】（25-26七年级上·山东临沂·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)． 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）先求出两个方程的解，然后根据“和解方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，然后根据“和解方程”的定义列出方程，求出的值即可． 【完整解答】（1）解：方程与方程是“和解方程”，理由如下： 解方程，得， 解方程，得， ， ∴方程与方程是“和解方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得． ∵方程与方程是“和解方程”， ，解得：． 【变式】（25-26七年级上·重庆铜梁·期中）（1）已知关于的方程与的解相同，求的值； （2）在（1）的条件下，先化简，再求值：． 【答案】（1）；（2）， 【思路引导】本题考查了同解方程的定义，整式的加减—化简求值； （1）先求出方程的解，再代入方程中即可求出的值； （2）先去括号，然后合并同类项进行化简，然后代入求值． 【完整解答】解：（1）解方程，得， 把代入方程， 得， 解得； （2）原式 ， 当时， 原式 ． 考点六：绝对值方程 【例】（25-26七年级上·重庆潼南·期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，（为常数），已知． (1)求的值： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，解题的关键是准确利用新运算的定义列式和列方程准确计算． （1）根据新运算定义列式计算求解； （2）根据新运算定义先求得，再将值代入到方程中，求解即可． 【完整解答】（1）解：， ，即， ． （2）解：由（1）可知，， ， 将代入得： ，即， ． 【变式】（25-26七年级上·四川南充·期末）对于任意有理数，定义它的“对称差”为：，例如：．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了解一元一次方程，对新定义的理解能力，分当时和当时两种情况，根据“对称差”的定义讨论求解即可． 【完整解答】∵， 当时，，，与矛盾， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 考点七：配套问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）某眼镜厂要制作一批眼镜，已知该工厂共有50名工人，其中女工人数比男工人数多10人，并且每个工人平均每天可以制作镜架50个或镜片150片． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天制作的镜架与镜片刚好配套，应安排多少名工人制作镜架？ 【答案】(1)该工厂有男工20人，女工30人 (2)应安排30人制作镜架 【思路引导】本题主要考查了列一元一次方程解决配套问题，解题的关键是找准等量关系． （1）设该工厂有男工x人，则有女工人，根据总人数列出方程求解即可； （2）设应安排y人制作镜架，根据生产的镜架和镜片的数量关系，列出方程求解即可． 【完整解答】（1）解：设该工厂有男工x人，则有女工人， 根据题意，得． 解得． 所以． 答：该工厂有男工20人，女工30人； （2）解：设应安排y人制作镜架， 根据题意得， 解得． 答：应安排30人制作镜架． 【变式】（25-26七年级上·山东济宁·期末）某农产品加工厂有32名工人，每人每小时可包装20盒甲礼盒或30盒乙礼盒，2盒甲礼盒和1盒乙礼盒组成一份农产品礼包，若要求包装的甲礼盒与乙礼盒恰好配套，设安排名工人包装甲礼盒，则以下所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了列一元一次方程，理解题意，根据等量关系列出方程是关键；根据配套要求，甲礼盒数量应为乙礼盒数量的2倍，设x人包装甲礼盒，则人包装乙礼盒，列出方程即可． 【完整解答】解：安排x名工人包装甲礼盒，每小时包装甲礼盒盒；安排名工人包装乙礼盒，每小时包装乙礼盒盒； 由题意得：， 即选项A正确． 故选：A． 考点八：工程问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）学校准备利用假期维修操场，如果甲工程队单独进行维修需要8天，乙工程队单独进行维修需要12天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先修2天，然后甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． (1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ (2)乙工程队每天的工程费为12000元，甲工程队每天的工程费比乙多2000元，操场维修完成后，学校需要支付给甲、乙两个工程队共多少钱？ 【答案】(1)甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天 (2)学校共支付给甲、乙两个工程队128000元 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是将工作总量看成单位 “1”，并根据工作时间、工作效率和工作总量的关系来求解， （1）设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要x天，依据题意列出方程求解即可； （2）根据甲乙各自工作时间和每天工程费求出总工程费． 【完整解答】（1）解：设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要天，根据题意，得 ， 解得， 答：甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天． （2）解：乙工程队的工程费为：元， 甲工程队的工程费为：元， 学校需要支付的总费用为：（元）， 答：学校共支付给甲、乙两个工程队128000元． 【变式】（25-26七年级上·山东聊城·期末）为解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了天，这天共掘进米已知甲工程队每天比乙工程队多掘进米． (1)求甲工程队每天掘进多少米？ (2)按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙两个工程队还需联合工作多少天? 【答案】(1)甲工程队每天掘进米 (2)甲、乙两个工程队还需联合工作天 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用． （1）设乙工程队每天掘进米，则甲工程队每天掘进米，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）根据（1）的结论列式计算即可求解． 【完整解答】（1）解：设乙工程队每天掘进米，则甲工程队每天掘进米， 根据题意，得：， 解得：， ． 甲工程队每天掘进米． （2）解： 天 甲、乙两个工程队还需联合工作天． 考点九：销售盈亏（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·四川成都·期末）某商场经销A，B两种商品，先同时购进A，B 两种商品共100件，恰好总进价为4600元，A种商品每件进价40元，售价60元；B种商品每件售价70元，利润率为．（利润率 ） (1)每件A种商品利润率为 ，B种商品每件进价为 元； (2)该商场购进A种商品多少件? (3)在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分打八折优惠，超过1200元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小张一次性购买A，B商品实际付款981元，其中购买A商品10件，求小张此次购买B商品多少件． 【答案】(1)， (2)购进A种商品40件； (3)小张此次购买B商品7件或9件． 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）A种商品的利润率为，B种商品的进价为元； （2）设购进A种商品件，则购进B种商品件，再由总进价是元，列出方程求解即可； （3）设小张购买B商品y件，则总售价为(元)，分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【完整解答】（1）解：根据题意得：每件A种商品利润率为； 种商品每件进价为元， 故答案为：，； （2）解：设购进A种商品件，则购进B种商品件， 由题意得，， 解得：． 即购进A种商品40件； （3）解：设小张购买B商品y件，则总售价为(元)； 根据优惠规则，总售价超过500元，需分两种情况计算实际付款： 当，即时， 实际付款为； 令，解得，符合条件； 当，即时， 实际付款为； 令，解得，符合条件； 故小张此次购买B商品7件或9件． 【变式】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）列方程解应用题 (1)《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出钱，则会多出钱；若每人出钱，则还少钱．合伙人数，物品的价格分别是多少？ (2)某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利，该服装的进价是多少元/件？ 【答案】(1)合伙人数是，物品的价格是钱 (2) 【思路引导】本题考查一元一次方程在实际问题中的应用，根据题意建立等量关系是解题关键． （1）设合伙人数为，以物品价格为等量列方程，求出人数后，代入表达式求出物品价格． （2）设进价为，再以“打折后的售价-进价=进价×20%”列方程，求解得进价． 【完整解答】（1）解：设合伙人数为， 依题意，得， 解方程得：，即合伙人数为， 故物品的价格为：（钱）． 答：合伙人数是，物品的价格是钱． （2）解：设该服装的进价是元， 依题意得：， 解得：． 答：该服装的进价是元/件． 考点十：比赛积分（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·河南安阳·期末）为了增强同学们的环保意识，学校组织了“环保小卫士”回收塑料瓶活动．活动规定：每位同学在一周内需要回收20个塑料瓶作为标准任务．回收数量超过20个的记作正数，不足20个的记作负数．七（2）班有8名同学参加了活动，他们一周回收塑料瓶的数量记录如下： ，，，0，，，，． (1)这8名同学平均每人一周回收了多少个塑料瓶？ (2)学校规定：每回收1个塑料瓶得2分，另外每超出标准任务1个再奖1分（即超额部分每个得3分）．小婷本周共得52分，小婷这周回收了多少个塑料瓶？ 【答案】(1)这8名同学平均每人一周回收22个塑料瓶 (2)小婷这周回收了24个塑料瓶 【思路引导】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算，一元一次方程的应用． （1）用总差值的平均数加上标准数即可； （2）设小婷这周回收了个塑料瓶，可知，根据题意列方程求解即可． 【完整解答】（1）解：， ，， 答：这8名同学平均每人一周回收22个塑料瓶； （2）解：设小婷这周回收了个塑料瓶，因为， 所以， 由题意，得， 解得． 答：小婷这周回收了24个塑料瓶． 【变式】（25-26七年级上·宁夏固原·期末）12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，原州区某中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．参赛者A答对20道，得分100分；参赛者B答对19道，答错1道，得94分．请回答下列问题： (1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题得______分； (2)参赛学生李明得分为70分，求他答错了几道题？ 【答案】(1)5， (2)5 【思路引导】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． （1）根据题干中参赛者的成绩和参赛者的成绩即可求出每答对一道题得分和每答错一道题扣分； （2）设参赛学生李明答对了道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论． 【完整解答】（1）解：由题干中参赛者的成绩可知：每答对一道题得分， 由题干中参赛者的成绩可知：每答错一道题得分， 故答案为：5，． （2）解：设参赛学生李明答对了道题，则答错了道题， 根据题意：， 解得：， 答错了：道， 答：参赛学生李明答错了5道题． 考点十一：方案选择（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·山东临沂·期末）为丰富校园生活，学校组织了冬季运动会，并对优秀的运动员进行表彰．学校需要订购甲、乙两种奖品．甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，两家超市都在进行促销活动： 甲超市：买一件甲奖品，赠送一件乙奖品． 乙超市：所有商品奖品均打九折销售． 学校决定购买甲奖品件，乙奖品件（）． (1)用含的代数式分别表示在甲超市和乙超市购买的费用． (2)购买多少件乙奖品时，两家超市的费用一样多？ (3)如果只能选择一家超市购买，应如何选择更省钱？ 【答案】(1)甲超市的费用为元，乙超市的费用为元； (2)购买件乙奖品时，两家超市的费用一样多； (3)当时，甲超市省钱；当时，两家费用一样；当时，乙超市省钱． 【思路引导】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）根据两家超市的促销规则，分别列出购买件甲奖品和件乙奖品的费用代数式； （2）令两家超市的费用表达式相等，解一元一次方程，求出费用相同时乙奖品的购买数量； （3）分情况讨论，通过比较两个超市费用代数式的大小，解一元一次不等式，得出不同购买数量下更省钱的超市． 【完整解答】（1）解：根据题意，可知甲超市的费用为元， 乙超市的费用为元． 答：甲超市的费用为元，乙超市的费用为元． （2）解：由题意得， 解得． 答：购买件乙奖品时，两家超市的费用一样多． （3）解：当，解得，又因， 可得当，选择甲超市更省钱； 当，解得， 可得当，选择乙超市更省钱； 当，解得， 可得当，选择甲乙超市均可． 答：当时，甲超市省钱；当时，两家费用一样；当时，乙超市省钱． 【变式】（25-26七年级上·四川南充·月考）公园门票价格规定如下表： 购票张数 张 张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班有40多人，不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？ (2)两班各有多少学生？ (3)如果七年级（3）班也去这个公园游玩，他们全班共去47人，你建议他们如何购票才最省钱？ 【答案】(1)可省304元 (2)七（1）班有48人，七（2）班有56人 (3)建议购买51张票 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用． （1）求出联合购票费用，即可求出节省金额； （2）设七（1）班有学生x人，则七（2）班有学生人，可知七（1）班购票费用为元，七（2）班购票费用为元，根据“两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元”列方程求解即可； （3）分别求出购买47张票、购买51张票的费用，进而判断即可． 【完整解答】（1）解：两班联合购票，总人数104人，超过100张，每张票9元， 联合购票费用为（元）， 节省金额为（元）， 答：可省304元； （2）解：设七（1）班有学生x人，则七（2）班有学生人， 由题意得：，则， 根据购票规则，七（1）班购票费用为元，七（2）班购票费用为元， 总费用方程为， 化简得， 解得：， ∴， 答：七（1）班有48人，七（2）班有56人； （3）解：七（3）班47人单独购票， 若购买47张票，费用为（元）， 若购买51张票，费用为（元）， ， 答：建议购买51张票． 考点十二：数字问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·山东聊城·期末）有理数包括整数与分数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数）．那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？ 【方法感悟】化为分数形式， 由于，设① 则② ②－①得，解得，于是得； 同理可得． 【迁移运用】根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） (1)______，______； (2)将化为分数形式，写出推导过程． 【答案】(1)， (2)，推导过程见解析 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用： （1）根据题目例题，即可求得答案； （2）由于，设①，则②，②－①，得． 【完整解答】（1）由于，设①，则②． ②－①，得 ． 解得 ． 所以． ． 同理可得． 所以． 故答案为：， （2）由于，设①，则②． ②－①，得 ． 解得 ． 所以． 【变式】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）如图是由正奇数排成的数阵： (1)图中“工”字形框中七个数的和是中间数45的______倍 (2)在数阵中任意做一个这样的“工”字形框，（1）中的关系是否仍成立？并写出理由． (3)直接判断用这样的“工”字形框能框出和为2026的七个数吗？请说明理由 【答案】(1)7 (2)仍然成立，见解析 (3)不能，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了整式加减的应用，有理数四则混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出算式或方程，准确计算． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列出代数式，求出七个数的和，然后进行判断即可； （3）设中间数为m，根据七个数的和为2026，列出方程，解方程即可． 【完整解答】（1）解：（倍）， 故答案为：． （2）解：仍成立． 设中间数为x，则另六个数为，，，，，， 则七个数的和为：， 故七个数的和是中间数的7倍． （3）解：不能，理由如下： 假设这样的“工”字形框能框出和为2026的七个数， 令中间的数字为m， 则， 解得． 由题意可知m为正整数． ∴用这样的“工”字形框不能框出和为2026的七个数． 考点十三：几何问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·浙江·月考）1925年，数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形．如图，有一个完美长方形被分割成11个大小不同的正方形．其中最小的正方形边长是1，则标注A的正方形的边长为（   ）    A． B． C．2 D．3 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、矩形和正方形的性质等知识点，解答本题的关键是读懂题意，根据题目已知条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设号正方形边长为，根据各个正方形边的和差关系分别表示出其余正方形的边长，再根据长方形的宽相等列出方程，求解即可． 【完整解答】解：如图，设号正方形边长为，   最小的正方形边长是1， 号正方形边长为， 号正方形边长为， 号正方形边长为， 号正方形边长为， 号正方形边长为， 号正方形边长为， 号正方形边长为， 号正方形边长为， 号正方形边长为， 根据题意得， 解得， 则标注A的正方形的边长为． 故选：A． 【变式】（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽轴截面图，甲槽内水位高度为，乙槽内无水，现将甲槽内的水注入乙槽．如图2，若乙槽内放入高度为的圆柱形铁块，当甲槽内水位高度下降到时，乙槽内水位刚好到达铁块高度；当甲槽内的水全部注入乙槽时，乙槽的水位高度是．若乙槽的底面积是，则铁块的底面积为 ． 【答案】8 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，数形结合，根据体积关系列方程． 根据图形得出乙槽水位上升，甲槽水位下降 ，然后根据乙槽的底面积是列式计算即可得出甲槽的底面积；设铁块的底面积为，根据乙槽内水位刚好到达铁块高度时，倒入乙槽中的水等于从甲槽中倒出的水，列出方程，解方程即可； 【完整解答】解：∵当甲槽内水位高度下降到时，乙槽内水位刚好到达铁块高度，当甲槽内的水全部注入乙槽时，乙槽的水位高度是． ∴乙槽水位上升，甲槽水位下降， ∵乙槽的底面积是， ∴甲槽底面积为：； 设铁块的底面积为， 根据题意得：， 解得：， ∴铁块底面积为． 故答案为：8． 考点十四：动点问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，数轴上有两点，，动点从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，线段的长是______；此时线段与线段的数量关系是_____； (2)当时，求的值． 【答案】(1)5， (2)当点在线段上时，；当点在线段延长线上时， 【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，当时，点表示的数为，求出，，即可得出结果； （2）由题意知，运动时间为时，点P所表示的数是，则，再分两种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【完整解答】（1）解：由题意可得：， 当时，点表示的数为， ∴，， 故此时线段与线段的数量关系是， 故答案为：5，． （2）解：由题意知，运动时间为秒时，点P所表示的数是，则． ①当点在线段上时，则， 因为， 所以， 所以． ②当点在线段延长线上时，则， 因为， 所以， 所以， 综上所述，当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，． 【变式】（2026七年级上·四川南充·专题练习）阅读理解，问题解决 【方法指导】数轴上的动点问题，若是告诉了运动速度，一般设运动时间为t，用含t的式子可以表示出动点位置．在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离用线段的长度表示，有． 问题解决：如图，在数轴上，点A表示，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动时间为t秒． (1)当时，线段的长为______；线段的长为______． (2)当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？ (3)当t为何值时，P、Q两点间的距离． 【答案】(1)4；5 (2)当时，、两点相遇，相遇点所对应的数为11； (3)或 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据题意表示出点和点表示的数，进而求出时点和点表示的数，再根据两点距离计算公式即可； （2）根据题意表示出点和点表示的数，然后当、两点相遇时列出方程求解即可； （3）首先表示出的长度，然后根据列方程求解即可． 【完整解答】（1）解：动点从点出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 点表示的数为，点表示的数为 当时，点表示的数为，点表示的数为， ，， 故答案为：4；5； （2）解：动点从点出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，， 解得， 相遇点所对应的数为， 当时，、两点相遇，相遇点所对应的数为11． （3）解：点表示的数为，点表示的数为， ， 当时，则， 或， 解得或． 考点十五：和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援， (1)若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？ (2)若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？ 【答案】(1) 调往甲地34人，调往乙地6人 (2) 调往甲地17人，调往乙地8人，调往丙地15人 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用．正确理解题意是解题的关键． （1）设应该调往甲地人，则调往乙地人，根据要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，列方程求解即可； （2）设应该调往乙地人，则调往丙地人，调往甲地人，根据要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，列方程求解即可． 【完整解答】（1）解：设应该调往甲地人，则调往乙地人， 根据题意，得， 解得， 则（人） 答：调往甲地34人，调往乙地6人； （2）解：设应该调往乙地人，则调往丙地人，调往甲地人， 根据题意，得， 解得， 则（人），（人） 答：调往甲地17人，调往乙地8人，调往丙地15人． 【变式】（25-26七年级上·山东德州·期末）为推进全民健身，某机构推出了“全民捐步公益行”活动：参与者可根据一天中走路的步数，给公益事业捐款． (1)观察如图小亮和小明的对话，请计算每捐步，相当于捐款多少元； (2)某天，小亮和小明二人共同捐款6元，已知小亮的步数比小明的2倍少步，求小亮当天走了多少步？ 【答案】(1)元 (2)步 【思路引导】本题考查了有理数的四则混合运算的应用、一元一次方程的实际应用，关键是通过步数与捐款的数量关系建立等式，解决实际问题． （1）根据两人的对话列算式求解即可． （2）先根据第一问的结果确定每步捐款元，再设小明当天走了步，用含的式子表示小亮的步数；最后根据“两人共同捐款6元”的等量关系，列出一元一次方程，解方程求出后，再计算小亮的步数． 【完整解答】（1）解：根据题意，（元）， 答：每捐步相当于捐款元． （2）解：设小明当天走了步，则小亮走了步． 根据题意，得， 化简得，解得． 因此小亮的步数为步． 答：小亮当天走了步． 考点十六：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·山东临沂·期末）为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）： 阶梯 用电量（单位：度） 电费价格（单位：元/度） 一档 不超过200度的电量 0.50 二档 超过200度至420度的部分 0.55 三档 超过420度的部分 0.80 (1)小明家七月份共用电450度，求小明家七月份应缴多少电费？ (2)如果某户居民某月用电度，请用含的整式表示该户居民该月应缴电费． (3)小明家九月份的电费是166元，求该月用电多少度？ 【答案】(1) 小明家七月份应缴245元电费； (2) 该户居民该月应缴电费元； (3) 该月用电320度． 【思路引导】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、一元一次方程的应用等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据阶梯电价收费标准进行计算即可； （2）根据阶梯电价收费标准进行计算，即可获得答案； （3）首先确定该月用电量在二档，设小明家九月份用电x度，结合题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【完整解答】（1）解： （元）， ∴小明家七月份应缴245元电费； （2）解：根据题意可得，元， ∴该户居民该月应缴电费元； （3）解：当用电200度时，应缴电费（元）； 当用电420度时，应缴电费（元）． ∵， ∴该月用电量在二档， 设小明家九月份用电x度， 则有， 解得． 答：该月用电320度． 【变式】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）某市居民用水实行阶梯水价，按户计费，具体收费标准如下： ①每户每月用水量不超过时，水费为元/； ②每户每月用水量超过而不超过时，不超过的部分水费为元/，超过的部分水费为元/； ③每户每月用水量超过时，不超过的部分按前两种方式收费，超过的部分水费为元/． (1)设一用户每月用水量为，当时，应缴水费________元；当时，应缴水费________元；当时，应缴水费________元；（用含x的代数式表示，结果要化简） (2)一用户某月份应缴水费40元，求该用户当月用水量； (3)某用户四、五两月共用水，四月用水量不超过，这两月共缴水费85元，求该用户这两个月的用水量． 【答案】(1)，， (2)该用户当月用水量 (3)四月用水量，五月用水量 【思路引导】本题主要考查了列代数式，解一元一次方程，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据阶梯收费方式，确定用水量的取值范围，然后列方程求解即可； （3）设五月用水量，则四月用水量为，分情况进行讨论，列方程求解即可． 【完整解答】（1）解：当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 故答案为：，，； （2）解：设该用户当月用水量， 因为，， 所以， 所以， 解这个方程，得， 答：该用户当月用水量； （3）解：设五月用水量，则四月用水量为， 当时， 根据题意，得． 解这个方程，得． ，这种情况不成立． 当时， 根据题意，得． 解这个方程，得． ． 答：四月用水量，五月用水量． 考点十七：行程问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·江西吉安·期末）小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑，小强每秒跑． (1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？ (2)如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面处，两人同时同向起跑，经过几秒小强能追上小彬？ 【答案】(1)秒后两人相遇 (2)秒后小强能追上小彬 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用． (1)设秒后两人相遇，根据两人相遇时两人的路程和为米，可列方程，解方程即可求出所用时间； (2)设秒后小强能追上小彬，根据小彬站在小强前面处，可知当小强追上小彬时，比小彬多跑米，可列方程，解方程即可求出所用时间． 【完整解答】（1）解：设秒后两人相遇， 由题意得：， 解得：， 答：秒后两人相遇； （2）解：设秒后小强能追上小彬， 由题意得：， 解得：， 答：秒后小强能追上小彬． 【变式】（25-26七年级上·北京顺义·期末）某新能源汽车满电时车内显示屏显示能行驶，冬季时实际能行驶的里程会折损．某车主冬季从家出发前往一个景区，全程包含高速公路和市区道路，其中高速路段总长度比市区路段总长度多，高速路段总长度与市区路段总长度的比是． (1)求车主从家到该景区的路程； (2)该车主从家出发时汽车满电，返程前在这个景区充电站充电，至少使车内显示屏显示的能行驶的里程增加多少千米，才能保证电量够返回到家． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题意，设高速路段总长度为千米，则市区路段总长度为千米，再根据“高速路段总长度比市区路段总长度多”列方程即可解答； （2）根据题意，结合（1）中结论，求得实际能行驶所需显示屏显示的能行驶的里程，进而求得到达景区时显示屏显示的能行驶的里程，从而求得答案． 【完整解答】（1）解：设高速路段总长度为千米，则市区路段总长度为千米， 由题意得，， 解得， 则车主从家到该景区的路程为（千米）． 答：车主从家到该景区的路程为240千米． （2）解：由题意可知，实际能行驶所需显示屏显示的能行驶的里程为， 则到达景区时显示屏显示的能行驶的里程为， ∵返程同样需要240千米的实际里程， ∴要使车内显示屏显示的能行驶的里程增加， 答：至少使车内显示屏显示的能行驶的里程增加200千米，才能保证电量够返回到家． 考点十八：比例分配（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【答案】(1)原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人 (2)租用7辆70座客车合算 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人，根据“租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量； （2）利用总租金=每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及70座客车所需总租金，比较后即可得出租用7辆70座客车合算． 【完整解答】（1）解：设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人； （2）解：租用45座客车所需费用为（元）， 租用70座客车所需费用为（元）． ∵， ∴租用7辆70座客车合算． 【变式】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 【答案】从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶 【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题目中的数量关系，设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，列出方程求解． 【完整解答】解：设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，由题意得 ， 解得． 则乙团队抽调的人数为(人)． 答：从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶． 考点十九：日历问题(一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·山东临沂·期末）如图，表中给出的是某平年二月的日历，任意选取“工”形框中的7个数（如阴影部分所示），那么在本月日历中这7个数的和可能是（   ） A．56 B．77 C．90 D．210 【答案】B 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用，找到数字规律列出方程是解题关键．设“工”形框中间数为 ，则7个数分别为 、、、、、、，和为 ，根据二月日历数字范围（所有数），可得 的取值范围，再结合选项判断 【完整解答】解：设“工”形框中间数为 ， “工”形框7个数为 、、、、、、， 7个数的和， 所有数在1到28之间， ，解得 ， ∴， ，，90不是7的倍数， 只有77可能， 故选：B 【变式】（24-25七年级上·辽宁大连·月考）如图是某月的月历：用去框出日期数，每次同时框出4个数． (1)框出的4个数的和的最大值是_________ ，最小值是_________． (2)用a表示框中的一个数，如图2所示，如果框出的四个数的和是93，求a的值； (3)框出的四个数之和能是105吗？如果能，请求出这四个数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)109；25 (2) (3)不能，见解析 【思路引导】关键是根据给出的表和图框的形状，找出所框出的数的规律，再由规律解决问题． （1）当框出的四个数为22，28，29，30时，4个数的和最大；当框出的四个数为1，7，8，9时，4个数的和最小； （2）根据表中的规律得出上面的数比a小7，a左边的数比a小1，a右边的数比a大1；根据框出的四个数之间的关系，得出四个数的和比a的4倍少7，由此求出a； （3）若， 则，此时在框中最左侧，不符合要求． 【完整解答】（1）解：最大值：， 最小值， 故答案为：109；25； （2）解：根据题意得，另外三个数分别为，，， 根据题意得：， 解得； （3）解：不能，理由如下： 若， 则， 因为框中的a不能在日历的最左侧，所以不能． 考点二十：古代问题（一元一次方程的应用） 【例】（25-26七年级上·山东临沂·期末）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，则根据条件所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系 “108只手”即可列出一元一次方程． 【完整解答】解：设哪吒有个，则夜叉有个，即哪吒有手只，夜叉有手只， 由共有108只手可得：． 故选D． 【变式】（25-26七年级上·山东聊城·期末）数学兴趣小组研究《孙子算经》中的问题：“今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？多少辆车？”小莹和小亮分别设未知数列方程： 小莹：设总人数为，根据车辆数不变，列出方程 小亮：设总车辆数为，根据总人数不变，列出方程 下列说法正确的是（    ） A．小莹正确，小亮错误 B．小莹错误，小亮正确 C．都正确 D．都不正确 【答案】C 【思路引导】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意准确列出方程是关键． 小莹和小亮分别设未知数列方程，均正确反映了问题中的等量关系，且方程解一致． 【完整解答】解：小莹设总人数为 ，根据车辆数不变： ∵ 每3人一车，剩余2辆车， ∴ 车辆数为 ; ∵ 每2人一车，剩余9人， ∴ 车辆数为 ; ∴ ． 小亮设总车辆数为 ，根据总人数不变： ∵ 每3人一车，剩余2辆车， ∴ 总人数为 ; ∵ 每2人一车，剩余9人， ∴ 总人数为 ; ∴ ． 解小莹方程： , 两边乘6得 , ∴ ． 解小亮方程： , , ∴ ． 代入验证：人数39，车辆15，均符合条件． ∴ 两人方程均正确． 故选：C 1．《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，依题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，由每人出8钱盈3钱得物价为钱，由每人出7钱不足4钱得物价为钱，根据物价不变列方程即可． 【完整解答】解：设有x人， 由题意得，， 故选：B． 2．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值．则关于的方程的解是（    ） x －3 －2 －1 0 1 2 3 3 0 －3 －6 －9 －12 －15 A．3 B．1 C．－1 D．－15 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义是解题的关键． 先将方程整理为与表格中整式相关的形式，再结合表格数据找到对应的值即可求解． 【完整解答】∵， ∴， 由表格可知，当时，， ∴方程的解为． 故选：C． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列各式中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路引导】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题关键，需根据等式的性质逐项分析判定． 【完整解答】解：A. 则，即，故该选项正确，不符合题意； B. ，且，则，故该选项正确，不符合题意； C. ，则，即，得到或，当时，可为任意实数，不一定等于，故该选项错误，符合题意； D. ，则，即，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26七年级上·山东青岛·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①绝对值等于本身的数是正数；②几个有理数的积是正数，则负因数的个数一定是偶数；③3条直线相交，有3个交点；④将式子变形，得；⑤圆的面积公式，变量是S，r． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值、多个有理数的乘法运算、直线的位置关系、变量与常量和等式的性质，理解题意是解决本题的关键． 逐一判断每个说法的正确性：①绝对值等于本身的数包括0和正数，但0不是正数，故错误；②有理数的积为正时，负因数个数必为偶数，正确；③三条直线相交不一定为3个交点，故错误；④变形后应为，而非，故错误；⑤S和r均为变量，正确． 【完整解答】解：当时，，包括0，但0不是正数，故①错误； 几个有理数的积为正，则负因数个数为偶数，故②正确； 三条直线可能交于一点，交点个数不一定为3，故③错误； ，故④错误； 中，S和r是变量，故⑤正确． 综上所述，正确说法有②和⑤，共2个． 故选B． 5．（25-26七年级上·山东济南·期末）在解方程时，可以分两种情况讨论：①当时，，原方程可变形为，解得；②当时，，原方程可变形为，解得（舍去）．所以原方程的解为．仿照上面的方法，可得方程的解为（   ） A． B． C．或 D．不存在能使原方程成立的的值 【答案】D 【思路引导】本题考查了解绝对值方程，通过分情况讨论绝对值表达式，分别求解并验证是否满足条件，发现所得解均不满足条件，因此方程无解． 【完整解答】解：方程：， 两边同乘6：， 简化：， 移项：， 情况1：当，，代入得： ， ， ， ∵ 不满足， ∴ 舍去； 情况2：当 ，，代入得： ， ， ， ， ∵ 不满足， ∴舍去． ∴ 原方程无解． 故选：D． 6．（25-26六年级上·上海·月考）当 时，代数式的值与代数式的值互为相反数． 【答案】/ 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，相反数的性质；根据相反数的性质：互为相反数的两个数和为零，列方程求解即可得到答案． 【完整解答】解：依题意，得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为1得． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）数a是关于x的方程的解，若，，则的值为 ． 【答案】675 【思路引导】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其定义是解题的关键． 将m和n的表达式代入，化简后得到，再利用方程求解即可． 【完整解答】解：将，代入得： ， 由于数a是关于x的方程的解， 则， 即， ， 故答案为：675． 8．（25-26七年级上·安徽六安·期末）对于两个不相等的有理数我们规定符号表示两数中较小的数，例如，则方程的解为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，先比较和的大小，确定的值，然后解一元一次方程． 【完整解答】解：因为，，， 所以， 因此． 代入方程得． 移项得． 所以． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图所示，在长方形中放入8个完全相同的小长方形，若，则图中阴影部分面积之和为 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设小长方形的长为，则宽为，，根据图示1个小长方形的长个小长方形的宽，列出一元一次方程，解方程再计算即可． 【完整解答】解：设小长方形的长为，则宽为，， 由题意得：， 解得：， ∴，， ∴图中阴影部分面积之和为：． 故答案为：6． 10．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）在4张同样的纸片上各写着一个数，这4个数互不相等，其中最大的数是12．从这4张纸片中，任意抽取一张纸片，记录数后放回，打乱顺序后再任意抽取一张纸片，记录数后放回，计算这两次记录的数的差的绝对值．重复以上操作，每次所得的绝对值都是这4个数中的一个，并且这4个数都能取到．这4张纸片上除12以外的其他3个数是 ． 【答案】0，4，8 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，绝对值方程，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握绝对值意义．根据抽取时可能抽到相同纸片，差的绝对值为0，得出0必须是四个数之一，设四个数为0，a，b，12，其中，，，得出，根据，，得出或，然后再分类讨论即可． 【完整解答】解：由于抽取时可能抽到相同纸片，差的绝对值为0，因此0必须是四个数之一， 设四个数为0，a，b，12，其中，，， ∴，且，， ∴或， 同理或， 当时，， 把代入得：， 由得：， ∴当时，总是等于6， ∵， ∴不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴或， 把代入得： ， 即， 解得：或（舍去）， 把代入得：； 把代入得：， 解得：或（舍去）， 此时， ∴这四个数为12，0，4，8． 故答案为：0，4，8． 11．（25-26七年级上·四川成都·月考）（1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 【答案】（1）5；（2）；（3）；（4） 【思路引导】本题考查有理数的混合运算和解一元一次方程，熟练掌握有理数的混合运算的法则和解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）利用乘法分配律即可求解； （2）先计算乘方，求绝对值，再乘除，最后计算加法运算即可； （3）通过移项，合并同类项，系数化为1等步骤即可求解； （4）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1等步骤即可求解． 【完整解答】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ； （3） 解：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （4） 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 12．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，，都是“相伴有理数对”． (1)数对，中，是“相伴有理数对”的有_____________； (2)若是“相伴有理数对”，求的值； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查有理数的运算，整式加减中的化简求值，解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可； （3）根据是“相伴有理数对”，得到，整体代入法求值即可． 【完整解答】（1）解：对于，，， ∴，故是“相伴有理数对”； 对于，，， ∴，故不是“相伴有理数对”； 故答案为：； （2）解：∵是“相伴有理数对”， 解得：． （3）解：是“相伴有理数对”， ， ． 13．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）辞旧迎新，岁在丙午马年，某若字号年货铺推出两款贺岁礼盒．已知：售出3盒A礼盒与2盒B礼盒，共得1700元；售出2盒A礼盒与3盒B礼盒，共得1800元．一位顾客备下3500元，欲为亲友置办年货，计划同时选购两款礼盒若干盒，恰好用完预算，且两款礼盒均须购买． 根据以上信息，解答下列问题： (1)A礼盒与B礼盒的单价分别是多少元？ (2)请你为这位顾客设计选购方案； (3)若A礼盒每盒成本为200元，B礼盒每盒成本为240元，请选出对店铺利润最高的选购方案，并求出最大利润． 【答案】(1)A礼盒单价300元，B礼盒单价400元 (2)选购方案有三种：①1盒A和8盒B；②5盒A和5盒B；③9盒A和2盒B (3)利润最高的选购方案是1盒A和8盒B，最大利润为1380元 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用及有理数运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A礼盒的单价为x元，由题意得B礼盒的单价为元，然后可列方程，进而求解即可； （2）设购买A礼盒m盒，则由（1）可知：购买A礼盒所需费用为元，然后可得购买B礼盒为盒，进而根据盒数都为整数可进行求解； （3）由（2）分别算出各个方案的利润，然后问题可求解． 【完整解答】（1）解：设A礼盒的单价为x元，由题意得B礼盒的单价为元，则有： ， 解得：， ∴， 答：A礼盒单价300元，B礼盒单价400元． （2）解：设购买A礼盒m盒，则由（1）可知：购买A礼盒所需费用为元， ∴购买B礼盒为盒， ∵盒数为整数，且， ∴当时，则；当时，则；当时，则； 综上所述：购买方案为①1盒A和8盒B；②5盒A和5盒B；③9盒A和2盒B； （3）解：由（2）可知： ①号方案的利润为（元）； ②号方案的利润为（元）； ③号方案的利润为（元）； ∵， ∴利润最高的选购方案是1盒A和8盒B，最大利润为1380元． 14．（25-26七年级上·江西吉安·期末）我们定义：对于有理数和，若，则称互为“和积友好数”．如：因为，所以和互为“和积友好数”． (1)下列各组数中，互为“和积友好数”的是_____；（填序号） ①和       ②和 (2)若和互为“和积友好数”，求的值； (3)若和互为“和积友好数”，求式子的值． 【答案】(1)② (2) (3)8 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，整式的加减，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据新定义，列出算式进行对比即可； （2）根据新定义，列出方程求解即可； （3）先对整式进行化简，然后根据新定义得出，最后代入求值即可． 【完整解答】（1）解：①∵，，且， ∴和不是互为“和积友好数”； ②∵，，且， ∴和是互为“和积友好数”； 故答案为：②； （2）解：根据题意得， 解得； （3）解： 和互为“和积友好数” ． 15．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上有三个点，对应的数分别是a，b，c．满足，点O是中点．动点从出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)则___，_____，_____． (2)若点到点的距离是点到点的距离的2倍，求点对应的数； (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．则点Q运动______________秒时，两点之间的距离为4． 【答案】(1)，， (2)点对应的数为或2 (3)8，16， 【思路引导】本题考查的是绝对值及平方的非负性、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离及一元一次方程的应用， （1）根据绝对值及平方的非负性求出a、b，再得出b、c互为相反数求得c值即可； （2）先求出点表示的数是，再根据两点之间的距离列绝对值方程，再根据绝对值的性质分别即可； （3）设在点开始运动后第秒时，、两点之间的距离为，分三种情况分别求出即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∵点O是中点， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，点表示的数是， 点到点的距离是点到点的距离的2倍， ∴ 即，解得 当时，      当时，； 点对应的数为或2； （3）解：点运动到点的时间为秒，点从点运动到点的时间为秒，点运动到点的时间为秒， 设在点开始运动后第秒时，、两点之间的距离为4， 当点在点的右侧，且点还没追上点，则， 解得8； 当点在点的左侧，且点追上点后，则， 解得，此时点Q到达C处； 当点到达点后返回，且点在点右侧，则， 解得； 综上，当点开始运动后第8，16， 秒时，、两点之间的距离为4． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $