（寒假讲义-复习篇）专题01 有理数的概念及运算（二十二大重点考点练+优选题拔尖练 共61题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册精编培优讲练

专题01 有理数的概念及运算 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 重点知识梳理 2 知识点一：有理数的定义与分类 2 知识点二：数轴 3 知识点三：数轴上的点与有理数的关系 3 知识点三：利用数轴比较两数大小 3 知识点四：利用绝对值比较大小 4 知识点五：数轴上两点之间的距离 4 知识点六：有理数的混合运算 5 重点考点讲练 5 考点一：带“非”字的有理数 5 考点二：利用数轴比较有理数的大小 6 考点三：数轴上两点之间的距离 8 考点四：数轴上点的平移（动点问题） 10 考点五：数轴上整点覆盖问题 12 考点六：数轴上的规律探究 13 考点七：化简多重符号 15 考点八：相反数的应用 17 考点九：绝对值的几何意义 18 考点十：求一个数的绝对值 20 考点十一：绝对值非负性 22 考点十二：有理数大小比较的实际应用 24 考点十三：有理数四则混合运算 26 考点十三：有理数四则混合运算的实际应用 28 考点十四：根据点在数轴的位置判断式子的正负 29 考点十五：数轴上的翻折 30 考点十六：有理数的乘方运算与逆运算 32 考点十七：乘方运算的符号规律 34 考点十八：程序流程图与有理数计算 36 考点十九：算 “24” 点 37 考点二十：含乘方的有理数混合运算 38 考点二十一：科学记数法表 41 考点二十二：近似数 42 拔尖冲刺练习 43 知识点一：有理数的定义与分类 1. 有理数的定义 整数和分数统称为有理数. 对于分数的识别有两个误区： (1)不是所有的小数都能化成分数，如无限不循环小数就不能化成分数； (2)有些数形似分数，但不是分数，如就不是分数. 2. 有理数的分类 (1)按有理数的定义分类 (2)按性质分类 3. 有理数分类的三原则 (1)分类不重复：所分的各类应当互不包含. 例如，有理数分为非负有理数、0和非正有理数，就违反了这一原则. (2)分类无遗漏：所分各类之“和”必须是原来的全部. 例如，将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0 . (3)标准要统一：必须按同一分类标准进行分类. 例如，将有理数分为正有理数、0 和负分数，分类标准就不统一. 知识点二：数轴 1. 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 2. 画数轴的步骤 (1)画直线，取原点：画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，这个点称为原点. (2)标正方向： 规定直线上从原点向右为正方向(画箭头表示)，向左为负方向. (3)选取单位长度，标数：取适当长度(如1 cm)为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3， … 从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1 ，－2 ，－3，… 知识点三：数轴上的点与有理数的关系 1.对应关系 2.数在数轴上的表示 示例 (＞0)和－在数轴上的表示 －是负数，对应的点在原点的左边； 是正数，对应的点在原点的右边 数轴是数与图形结合的桥梁，是初步感受“数形结合”的载体. 知识点三：利用数轴比较两数大小 1. 法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 2. 有理数，b的大小关系 不完整的数轴上的A，B两点分别表示有理数，b，如图2.2-4所示，点A，B的位置关系有三种 结论：对于有理数，b，下列三种关系有且只有一种成立：＞b，＝b，＜b. 3. 有理数大小关系的传递性 有理数，b，c的对应点在不完整的数轴上的位置如图2.2-5 所示： 结论：对于有理数，b，c， 如图2.2-5 ①，如果＞b，且b＞c，那么＞c； 如图2.2-5 ②，如果＜b，且b＜c，那么＜c. 特别提醒：利用数轴比较两个有理数的大小，关键有两步：一是在数轴上标点表示数；二是观察表示数的点在数轴上的位置. 知识点四：利用绝对值比较大小 1. 两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小. 即：当＞0，b＞0时，若||＞|b|，则＞b； 当＜0，b＜0时，若||＞|b|，则＜b. 2. 比较数的大小的法则 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 知识点五：数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离　数轴上，点A，B分别表示数，b，则A，B两点之间的距离为线段AB的长度，即AB＝|－b|. 示图：(如图2.4–1) 知识点六：有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算的顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，按照从左至右的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，一般按小括号、中括号、大括号依次进行. 2. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到). 通常把这六种基本的代数运算分为三级：加与减是第一级运算；乘与除是第二级运算；乘方与开方是第三级运算. 3. 有理数的混合运算，除了运用运算法则外，还要灵活运用运算律，从而简化计算. 考点一：带“非”字的有理数 【例】（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填在相应的大括号里： 正有理数集合：{___________…}； 非负数集合：{___________…}； 整数集合：{___________…}； 正分数集合：{___________…}． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．先化简多重符号，再根据有理数的分类填写即可． 【完整解答】解： 正有理数集合：； 非负数集合：； 整数集合：； 正分数集合：． 【变式】（25-26七年级上·四川南充·期中）把下列各数分类 6，，，，，0，，，， (1)整数：{ …}； (2)分数：{ …}； (3)非负整数：{ …}； (4)有理数：{ …}． 【答案】(1)6，，0； (2)，，，，，； (3)6，0； (4)6，，，，，0，，，． 【思路引导】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据非负整数的定义作答即可； （4）根据有理数的定义作答即可． 【完整解答】（1）解：整数：{6，，0…}； 故答案为：6，，0； （2）解：分数：{，，，，，…}； 故答案为：，，，，，； （3）解：非负整数：{6，0…}； 故答案为：6，0； （4）解：有理数：{6，，，，，0，，，…}． 故答案为：6，，，，，0，，，． 考点二：利用数轴比较有理数的大小 【例】（25-26七年级上·贵州毕节·期中）在数轴上标出表示下列各数的点． ，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的集合内． 负数集合{                   } 整数集合{                   } 非负整数集合{                   } 【答案】(1)见解析； (2)，；，，；， 【思路引导】本题考查了有理数的分类，化简绝对值，有理数的乘方，有理数的大小比较，在数轴上表示有理数； （1）先化简多重符号，绝对值，有理数的乘方，根据有理数在数轴上对应的点，然后根据数轴即可比较大小； （2）根据负数、整数、非负整数的定义分类即可； 【完整解答】（1）解：，，， 在数轴上表示： 用“”把下列各数连接： （2）负数集合{，，…… } 整数集合{，，，……} 非负整数集合{ ，，……} 故答案为：，；，，；，． 【变式】（24-25七年级上·吉林·期末）下表有四张卡片，卡片正面分别写有四个数字，背面分别写有四个字母． 正面 背面 (1)在数轴上表示出卡片正面的数： (2)将正面的数由小到大排列后，翻转到背面，则背面字母组成的单词是______． 【答案】(1)在数轴上表示出卡片正面的数见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了有理数的化简、数轴表示及有理数的大小比较，熟练掌握有理数的相关运算与数轴的对应关系是解题的关键． （1）先化简正面的数，再在数轴上找到对应位置标注． （2）先将化简后的数从小到大排序，再对应背面字母组成单词． 【完整解答】（1）解：， ， ， 在数轴上表示出卡片正面的数如下： （2）解：将数从小到大排列：， 对应背面字母： 对应，对应，对应，对应，组成单词：， 故答案为：． 考点三：数轴上两点之间的距离 【例】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【思路引导】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【完整解答】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 【变式】．（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)点 (2) 【思路引导】本题考查了实数与数轴，准确识图，判断出，两个数之间的距离小于3是解题的关键． （1）根据已知条件结合数轴判断出，两个数之间的距离小于3，依据，即可判断原点的位置． （2）由，结合，即可解得，再由代入计算即可． 【完整解答】（1）解：， 两个数之间的距离小于3， ， 原点不在两个数之间，也不在两个数的左边， 即该数轴的原点是点； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ． 考点四：数轴上点的平移（动点问题） 【例】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式的一次项系数，b是绝对值最小的整数，单项式的次数为c． (1) ______， ______， ______； (2)点A 与点 B 之间的距离为_____； (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动．t分钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则______， ______（用含t的代数式表示）； (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)；0；6 (2) (3)； (4)的值不随着时间t的变化而改变，其值为 【思路引导】本题考查了多项式和单项式的概念，实数与数轴的关系，数轴中的动点问题，列代数式，整式的化简等，熟练掌握整式的相关概念，求得a、b、ｃ的值是解题的关键． （1）根据多项式与单项式的概念即可求出答案； （2）根据两点间的距离公式计算即可； （3）根据A、B、C三点运动的方向即可求出答案； （4）将（3）问中的与的表达式代入即可判断． 【完整解答】（1）解：由题意可知：，，， 故答案为：；0；6； （2）解：点A 与点 B 之间的距离为； 故答案为：； （3）解：由于点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动， ∴t分钟后，， 由于点C以每秒1个单位长度的速度向右运动， ∴t分钟后，； 故答案为：；； （4）解：的值不随着时间t的变化而改变，理由如下： 所以的值不随着时间t的变化而改变，其值为． 【变式】（25-26七年级上·福建泉州·月考）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】A 【思路引导】本题考查数轴上的动点问题，整式加减中的无关型问题，先求出点表示的数，根据点的移动规则，求出移动后点表示的数，分点在点右侧和左侧，两种情况进行讨论求解即可． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为5， ∴运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当点在点右侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 当点在点左侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 综上：或； 故选A． 考点五：数轴上整点覆盖问题 【例】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可． 【完整解答】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间， ∴盖住的整数是， ∴所盖住的整数的和为： ． 故选：C． 【变式】（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【完整解答】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 考点六：数轴上的规律探究 【例】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【完整解答】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 【变式】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是 ． 【答案】或/1112或1115 【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题．根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【完整解答】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 考点七：化简多重符号 【例】（25-26七年级上·湖南邵阳·月考）计算 (1) (2) (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)1 【思路引导】（1）先写成省略加号的和式，再将同号的先相加即可； （2）先化去多重符号、求出绝对值，再计算加减； （3）先将除法转化为乘法，再用分配律计算； （4）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减． 【完整解答】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【考点剖析】本题考查了化简多重符号，有理数的加减混合运算，有理数四则混合运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【变式】（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【思路引导】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【完整解答】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 考点八：相反数的应用 【例】（25-26七年级上·福建泉州·期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有_______；（将正确选项的序号填写在横线上．①；②；③ (2)某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取时，代数式的值为多少？ (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______． 【答案】(1)①③；②； (2) (3) 【思路引导】此题主要考查代数式求值，涉及新定义，解题的关键是理解“偶代数式”、 “奇代数式”的定义并运用． （1）根据定义即可判定； （2）根据“偶代数式”和“奇代数式”的定义即可得到答案； （3）先证明是“奇代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0，再证明是“偶代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和是，即可得到对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和． 【完整解答】（1）解：∵，，， ∴“偶代数式”有①③，“奇代数式”有② 故答案为：①③；②； （2）∵当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”， ∴某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，当x取时，代数式的值为； （3）∵ ∴是“奇代数式”， ∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0， ∵， ∴是“偶代数式” ∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，九个整式的值之和是， ∴对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是， 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【完整解答】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 考点九：绝对值的几何意义 【例】（25-26七年级上·重庆开州·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求 ； （2）的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，分成、、三种情况分别讨论即可． 【完整解答】解：（1）∵表示，所对应的点之间的距离， ∴， 故答案为：． （2）可以看作对应的点到和对应的点的距离之和， 当时，则，， ∴ ∵， ∴； 当时，则，， ∴； 当时，则，， ∴， ∵， ∴； ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式】（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【思路引导】本题考查了代数式、数轴和绝对值，运用数轴的性质和绝对值的性质是关键．①③根据数轴列代数式，进行加减判断即可；②④根据绝对值判断即可． 【完整解答】解：设相邻两点间的距离为． 若，则， ， ， 解得：． ． 故①说法正确； 若， 数的绝对值从到先大后小， 原点在中点的右边，中点的左边． 故②的说法不符合题意； 设对应，则对应，对应， 若， 即 点是原点． 故③说法正确； 若原点在，之间并且临近点时，有． 故④的说法不符合题意． 综上，正确的说法有①③． 故选：B． 考点十：求一个数的绝对值 【例】（25-26七年级上·重庆綦江·期末）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4．    (1) 　 　， 　 　． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，0，，的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)2，； (2)，，； (3)见解析， 【思路引导】本题考查有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． （1）根据点M表示的数即可求出a，再求出b即可； （2）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （3）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【完整解答】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4， ∴，， 故答案为：2，； （2）解：大于的所有负整数是，，； （3）解：，， 在数轴表示为：      则． 【变式】（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，0，． 【答案】图见解析， 【思路引导】本题考查了利用数轴比较数的大小，先化简各数，再表示在数轴上，再结合数轴上右边的数总是大于左边的数即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【完整解答】解：，, 在数轴上表示下列各数如图： ， 由数轴可得：． 考点十一：绝对值非负性 【例】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； (4)． 【思路引导】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键． （）根据绝对值的定义结合由数轴得出的符号即可得； （）根据数轴上两点间的距离公式即可得； （）设点表示的数为，则，，根据题意得，然后求出的值即可； （）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可． 【完整解答】（1）解：∵，，且由数轴可知，， ∴，； （2）解：， ∴，两点相距个单位长度； （3）解：设点表示的数为， ∴，， ∵点到点的距离是点到点的距离的， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或； （4）解： ， 所以操作次后，点表示的数为． 【变式】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，数轴上点表示数，点表示数，且、满足． (1)______，______； (2)线段在直线上运动，且点在点的右边，长为个单位长度，、分别是、的中点，判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果有变化，请说明理由； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，点运动多少秒时，、两点相距个单位长度？ 【答案】(1)， (2)的长度不发生变化， (3)点运动秒或秒时，、两点相距个单位长度 【思路引导】本题主要考查数轴上两点距离、偶次幂及绝对值的非负性、整式加减的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据偶次幂及绝对值的非负性可进行求解； （2）由题意可设表示的数为，则表示的数为，则有表示的数为，表示的数为，然后问题可求解； （3）设点运动秒时，、两点相距个单位长度，根据题意得，表示的数为，表示的数为，进而根据题意可列方程进行求解． 【完整解答】（1）解：， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：的长度不发生变化，理由如下： 设表示的数为，则表示的数为， 表示的数为，表示的数为，、分别是、的中点， 表示的数为，表示的数为， ； 的长度不发生变化，其值为11； （3）解：设点运动秒时，、两点相距个单位长度， 根据题意得，表示的数为，表示的数为， ， 即或， 解得或， 点运动秒或秒时，、两点相距个单位长度． 考点十二：有理数大小比较的实际应用 【例】（25-26七年级上·陕西西安·期中）景德镇陶瓷的造型丰富多变，从日常生活用品到陈设艺术品，都有其独特的韵味．同时，陶瓷上的装饰也极具艺术价值，如青花、五彩、粉彩等，使得每件陶瓷都成为了一件艺术品．某工厂计划每天生产50个景德镇陶瓷花瓶，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某一周的生产情况（增产记为正，减产记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减量 (1)产量最多的一天是星期_________； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个花瓶？ (3)该工厂实行每周计件工资制，每生产一个花瓶可得20元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖励6元；少生产一个扣3元，则该工厂的工人这周的工资总额是多少？ 【答案】(1)四 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产20个花瓶 (3)该工厂的工人这周的工资总额是7260元 【思路引导】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，有理数加法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）比较每天的增减量，即可求解； （2）根据题意可知产量最多的一天是星期四，产量最少的一天是星期五，据此列式求解即可； （3）求出这7天的总产量，再计算出总额以及超额完成的奖励，二者求和即可得到答案． 【完整解答】（1）解：∵ ∴产量最多的一天是星期四 故答案为：四； （2）（个）， 故产量最多的一天比产量最少的一天多生产20个花瓶； （3）总增减量是：（个）， 实际总产量是：（个）， 工资总额：（元）． 故该工厂的工人这周的工资总额是7260元． 【变式】（25-26七年级上·全国·期中）下表记录了四个地区的最低海拔，其中海拔最低的地区是（   ） 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 A．死海 B．吐鲁番 C．乌鲁木齐 D．青岛 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，通过比较四个地区海拔数值的大小，找出最小值，即可确定海拔最低的地区，掌握相关知识是解题的关键． 【完整解答】解：∵ ， ∴ 海拔最低的地区是死海， 故选：A． 考点十三：有理数四则混合运算 【例】（25-26七年级上·山西太原·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算规则，核心是遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序． （）遵循“先括号，再乘除，后加减”的运算顺序，先计算括号内的减法得出结果，再进行：乘法运算，最后将两个结果相加，得到最终答案； （）按照“先乘方，再乘除，后加减”的运算规则，先计算乘方项，再分别完成乘法和除法运算，最后依次进行加减运算，逐步推导得出结果． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】（25-26七年级上·全国·假期作业）在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“”；． 如： ． 解答下列问题： (1)计算：的值； (2)在，，，0，，，，，，这10个数中，任意取三个不同的数作为a，b，c的值，进行“”运算，求在所有计算的结果中的最大值． 【答案】(1) (2)计算结果的最大值为 【思路引导】本题主要考查了新定义运算、绝对值的化简与有理数的运算，熟练掌握新运算法则的分类讨论是解题的关键． （1）按照新运算法则，代入数值计算绝对值与代数和，再求平均值． （2）分两种情况讨论新运算的表达式，分别求出两种情况的最大值，再比较得最终结果． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：当 时，， ∵， ∴当时，此时最大值为 ； 当 时，， ∵， ∴当，时，最大值． ∵ ， ∴的最大值为 ． 考点十三：有理数四则混合运算的实际应用 【例】（25-26七年级上·陕西安康·期末）数学课上，某小组调查了组内6位组员的身高，并以165厘米为标准身高，记录6位组员身高如下表（超过165厘米记为“”，不足165厘米记为“”）： 组员 1 2 3 4 5 6 与标准身高的差值/厘米 (1)这6位组员中最高的是________号组员，最高的组员比最低的组员高________厘米． (2)根据以上数据，求这6位组员的平均身高． 【答案】(1)2；19 (2)166厘米 【思路引导】本题主要考查了比较有理数的大小，以及运用有理数的加法解决实际问题，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键． （1）将6位组员的身高比较大小，即可找到最大值和最小值，再求出最大值与最小值的差即可； （2）用165加上这6位组员身高与选定的身高标准的差的平均值，即可得到这6位组员的平均身高． 【完整解答】（1）解：， 这6位组员中最高的是2号组员，最矮的是5号组员， ∴最高的组员比最低的组员高 （厘米）． 故答案为：2，19； （2）解： （厘米）． 答：这6位组员的平均身高是166厘米． 【变式】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）使用无人机防治农作物病虫害，能精准施药，减少农药用量，既省时省力，还能提高防治效果．某村农田承包大户张叔叔在一片南北走向的农田上进行无人机喷洒农药作业，无人机从这片农田上的某基地出发，若规定向北为正，向南为负，作业时的飞行里程（单位：）如下： (1)无人机完成上述作业后在该基地的哪一侧？距离该基地多少千米？ (2)已知无人机平均每千米耗电度，则本次无人机进行喷洒农药作业时共耗电多少度？ 【答案】(1)无人机在该基地的南侧，距离该基地1千米 (2)度 【思路引导】本题主要考查了正负数的应用，有理数加法的应用，有理数四则混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把所给的飞行里程相加，若结果为正，则无人机在该基地的北侧，若为负，则无人机在该基地的南侧，若为0，则无人机回到该基地，无人机与基地的距离为计算的结果的绝对值； （2）把所给的飞行里程的绝对值相加求出飞行的总路程，再乘以每千米的耗电量即可得到答案． 【完整解答】（1）解： 千米， 答：无人机完成上述作业后在该基地的南侧，距离该基地1千米； （2）解： 度， 答：本次无人机进行喷洒农药作业时共耗电度． 考点十四：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例】（25-26七年级上·云南文山·期末）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了利用数轴判断式子的正负，有理数的乘法，有理数的加法，由数轴可得：，，且，从而得出，，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【完整解答】解：由数轴可得：，，且，故B错误； ∴，，故AC错误，D正确； 故选：D． 【变式】（25-26七年级上·重庆潼南·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了点在数轴上的位置来判断式子的正负，先根据数轴上字母的位置，以及得到，，从而得出，，，进而得出结果 【完整解答】解：如图，， ，， ，，，， 故选：D 考点十五：数轴上的翻折 【例】（25-26七年级上·广东汕头·期末）如图，数轴上有点、、，点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点的右侧且到点的距离为，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了数轴上的点表示的数．先根据两点间的距离公式求出点的对应点表示的数，再利用中点公式求出点表示的数即可解答． 【完整解答】解：设点表示的数为，点对折后的落点为， 点、表示的数分别是，，点落在点的右侧且到点的距离为， 点落在的位置表示的数为， 点表示的数为， ， ， 解得， 点表示的数是， 故选：． 【变式】（25-26七年级上·广东汕头·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】（1）7；（2）①，；②、 【思路引导】本题考查数轴上的折叠问题，解题的关键是确定对折中心点： （1）根据左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，得到对折中心点为原点，即可得出结果； （2）①根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，求出对折中心点，进而求出对折后与6表示的点重合的点表示的数即可；②根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，进行求解即可． 【完整解答】解：（1）∵左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， ∴对折中心点为原点， ∴表示的点与7表示的点重合； （2）①由题意，对折中心点为， ； 故对折后6表示的点与数表示的点重合； ②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为， 因为对折中心点所表示的数为2的点，，； 所以、两点表示的数分别为：、． 考点十六：有理数的乘方运算与逆运算 【例】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）若，为有理数，且，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2024 【答案】B 【思路引导】本题考查非负数的性质，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键． 直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质，求出a和b的值，再代入计算即可得出答案． 【完整解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式】（25-26七年级上·辽宁大连·月考）数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查有理数的乘方逆运算，掌握乘方逆运算法则、分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算即可； （2）逆用运算法则列一元一次方程求解； （3）根据题意分三种情况进行讨论即可． 【完整解答】（1）解：根据题意得 ； ； 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ∴ ， 解得； （3）解：根据题意得，可分为三种情况， 当指数相等，且底数不为0时，即，且。 ∴ 解得， ∵， ∴符合题意， 当底数为时，即 解得， 此时指数为， 式子为，符合条件； 当底数为时，且指数差为偶数，即，且是偶数， ∴ 解得， 计算指数差： ， 此时，符合条件， ∴x的值． 考点十七：乘方运算的符号规律 【例】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【答案】(1)相等 (2) (3)5 【思路引导】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 【完整解答】（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 【变式】（25-26七年级上·吉林长春·月考）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 【答案】(1)正或0，平方 (2)170 (3) 【思路引导】本题为新定义运算问题，考查了有理数的混合运算，平方的非负性等知识，归纳出符号*的运算法则是解题关键． （1）根据提供的7个计算题，从符号和绝对值两方面进行归纳即可求解； （2）根据（1）结论先计算，再计算即可求解； （3）根据（1）结论得到，即可得到，从而求出 【完整解答】（1）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为正或0，并把这两个数的平方相加． 故答案为：正或0，平方； （2）解：； （3）解：因为， 所以， 所以， 所以． 考点十八：程序流程图与有理数计算 5【例】（25-26七年级上·贵州黔西·月考）据相关资料记载，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．将得到的数反复进行上述运算，经过有限次运算后，必得到1，这就是“冰雹猜想”．例如数5，按照这种规则，进行五次运算后，第一次得到1，即．若数a经过六次运算后，第一次得到1，则数a的值是 ． 【答案】64或10 【思路引导】本题考查了新定义和数的规律的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据冰雹猜想的运算规则，采用倒推法从第六次运算后第一次得到1开始，逐步向前推导，求出所有可能的初始值． 【完整解答】设第6次运算后得到1．由于1是由2除以2得到，因此第5次运算后得到的数为2， 第5次运算后得到2，是由4除以2得到，因此第4次运算后得到的数为4， 第4次运算后得到4，若由1乘3加1得到，但1在第六次才第一次出现，因此之前不能出现1，故只能由8除以2得到，因此第3次运算后得到的数为8， 第3次运算后得到8，是由16除以2得到，因此第2次运算后得到的数为16． 第2次运算后得到16，可能由32除以2得到，或由5乘3加1得到， 若第1次运算后得到的数为32，进而若为偶数且，得；若为奇数且，不为整数，故； 若第1次运算后得到的数为5，进而若为偶数且，得；若为奇数且，不为整数，故； 因此数的值为64或10， 故答案为：64或10． 【变式】（25-26七年级上·四川达州·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取则： 若，则第2025次“F”运算的结果是 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了有理数的相关运算以及找规律，理解题意，找出相应的规律是解题的关键．根据题目表述，逐一进行计算，找到规律即可得出结果． 【完整解答】解：若，则第1次“F”运算的结果是； 第2次“F”运算的结果是； 第3次“F”运算的结果是； 第4次“F”运算的结果是； 第5次“F”运算的结果是； 第6次“F”运算的结果是； …， 发现规律为：从第4次开始，进入1，4的循环，周期为2． ， 对应周期内第二个结果，即4， 故答案为：4． 考点十九：算 “24” 点 【例】（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【完整解答】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了“24点”． 先求出抽到的数据，再根据“24点”计算即可． 【完整解答】解：∵红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，A代表1，抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3， ∴抽到的数据是1，，2，3， 则一种方法为：． 故答案为：． 考点二十：含乘方的有理数混合运算 【例】（25-26七年级上·山东济南·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则． （1）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开计算即可； （2）先计算乘方，再计算括号里的加法，再计算乘除法，最后计算加减即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减混合运算进行计算； （2）先计算括号内的，然后计算乘法，再计算加减即可求解； （3）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （4）先化简绝对值，再计算加减，即可求解． 【完整解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 考点二十一：科学记数法表 【例】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克．按我国14亿人口，每年365天，每人每天两餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，那么一年大约能节约大米多少千克？如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币多少元？（结果用科学记数法表示） 【答案】一年大约能节约大米千克，如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币元 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较大的数，我国有14亿人口，即人；每年365天，每人每天两餐，每人每餐节约1粒大米，则一年节约大米的总粒数为：（粒），已知500粒大米约重10克，先将总粒数换算为克：（克），因为1千克克，所以换算为千克：（千克），已知大米单价为5元/千克，总重量为千克，则总钱数为：（元）． 【完整解答】解：（粒）， （克）， 因为1千克克， 所以（千克）， 则总钱数为：（元）． 答：一年大约能节约大米千克，如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币元． 【变式】（25-26七年级上·山东临沂·期末）在如下结论中：①的底数是3；②若有理数互为相反数，，那么；③万用科学记数法表示为；④与一样大；⑤式子的最大值是2．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的乘方，相反数的定义，科学记数法，绝对值的定义． 根据有理数的乘方，相反数的定义，科学记数法，绝对值的定义逐一判断五个结论即可． 【完整解答】解：①的底数是3，正确； ②与互为相反数且，则，，正确； ③万，正确； ④，，，错误； ⑤，，无最大值，错误； ∴正确结论有3个． 故选：B． 考点二十二：近似数 【例】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）学校体育场的跑道形状如示意图所示，由两段直道与两段半圆形的弯道组成，体育场跑道示意图的比例尺为，每段直道长度为21cm，半圆形弯道的直径为18.5cm，该体育场实际跑道长度约为 m（注：取的值为3.14，最后结果保留整数）． 【答案】 【思路引导】本题考查了求不规则图形的周长，比例尺，近似数等知识﹒根据跑道长度等于直道长度加上两个半圆形弯道长度，结合比例尺列出算式，进行计算，最后进行单位换算并取近似值即可求解﹒ 【完整解答】解： ﹒ 故答案为：400 【变式】（25-26七年级上·山东日照·期中）对于下列说法：①有理数可以分为整数、正分数、负分数和0；②立方等于本身的数是；③如果，那么；④四舍五入得到的近似数0.983，它的精确度是精确到千位；⑤单项式的次数是5．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数分类、有理数的乘方运算、有理数的大小比较、近似数精确度及单项式次数，根据相关知识点逐一进行判断即可． 【完整解答】解：有理数可以分为整数和分数，整数包括0，故①错误； 立方等于本身的数是0和；故②错误； ，不能得到，比如时，，但；故③错误； 四舍五入得到的近似数0.983，它的精确度是精确到千分位；故④错误； 单项式的次数是；故⑤错误； 故选A． 1．（25-26七年级上·山东德州·期末）数轴上表示数的点与表示的点的距离为，可以表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据数轴上两点距离公式，点与点的距离表示为，且该距离为． 【完整解答】解：∵ 点与点的距离为， ∴可以表示为． 故选：． 2．（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，若点A，C表示的数互为相反数，则点B表示的数的相反数是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查数轴上点的距离，相反数的定义，根据数轴上点的距离求出点表示的数是解题的关键． 首先根据图可知点A，C之间的距离为6，再结合点A，C表示的数互为相反数，点A在点C的左侧即可得到点A表示的数为，点C表示的数为，再根据点B，C之间的距离为2即可求出点B表示的数为，进而即可求出点B表示的数的相反数． 【完整解答】解：由图可知，点A，C之间的距离为6，点B，C之间的距离为2， ∵点A，C表示的数互为相反数，点A在点C的左侧， ∴点A表示的数为，点C表示的数为， ∴点B表示的数为， ∴点B表示的数的相反数是， 故选：D． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查科学记数法与近似数，需将数字精确到百万位并用科学记数法表示，其中科学记数法的形式为，且系数a满足，然后问题可求解． 【完整解答】解：∵百万位为，46200000精确到百万位需看十万位（），十万位数字为， ∴舍去，得46000000， ∴， 故选D． 4．（25-26七年级上·北京顺义·期末）数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据点在数轴的位置判断式子的正负，相反数的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据与互为相反数，与互为相反数，再结合表示数，的点的位置，可分别表示出数，的点的位置，然后从左到右依次写下来，并用小于号连接即可． 【完整解答】解：如图， 由数轴可知， 故选：D． 5．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）已知，，且，则的值等于（   ） A．9或 B．7或 C．3或 D．1或 【答案】C 【思路引导】本题考查了绝对值的意义，有理数的运算． 根据绝对值的意义，有理数的乘方的定义分别求出，的值，然后结合进行分类讨论即可求解． 【完整解答】解：∵，， ∴，， 由， 则 ，， ∴； ，， ∴； 故选：C． 6．（25-26七年级上·北京通州·期末）如果用符号表示两数中的较大者，用符号表示两数中的较小者，那么的值为 ；的值为 ． 【答案】 2 【思路引导】本题主要考查有理数比较大小，有理数的加减运算，根据新运算定义，表示a与b中的较大者，表示a与b中的较小者，通过比较有理数大小并计算得出结果． 【完整解答】解：， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：①；②． 7．（25-26七年级上·北京通州·期末）在数轴上，点A表示的数是，点C与点A之间的距离是4，如果点表示的数互为相反数，那么点B表示的数是 ． 【答案】5或 【思路引导】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点间距离，相反数定义，先根据点A表示的数是，点C与点A之间的距离是4，求出点C表示的数为或，再根据相反数定义，求出结果即可． 【完整解答】解：∵点A表示的数是，点C与点A之间的距离是4， ∴点C表示的数为或， ∵点表示的数互为相反数， ∴点B表示的数为5或． 故答案为：5或． 8．（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了数轴上的规律，根据从与数轴上表示的点重合的数字起，每个单位长度即为一个周期，计算到数轴上表示的点经过了多少个周期，根据余数判断此时圆周上重合的数字． 【完整解答】解：如图所示，每个单位长度即为一个周期， ∵数字的点与数轴上表示的点重合， ∴数字的点与数轴上表示的点重合， ∵， ∴为从数字0和数轴上表示的点重合起，第个周期后的第一个数， 即． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·山东青岛·期末）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和x，则x的值是 ． 【答案】4.4 【思路引导】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离是解题的关键．由题意知，，计算求解即可． 【完整解答】解：坐标轴上的和分别与尺子的和对应， 所以坐标轴上的单位长度是， 由题意知，， 故答案为：4.4． 10．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示 的点重合． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【完整解答】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·湖北随州·期末）在数轴上表示下列各数，并把它们按照从小到大的顺序排列：，，，． 【答案】见解析，． 【思路引导】本题考查了数轴上表示数，利用数轴比较数的大小，化简多重符号，化简绝对值，先对各数进行化简，然后在数轴上表示出来，最后根据数轴特点即可比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】解：，， 在数轴上表示如图， 根据数轴特点可知，． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． （1）先去绝对值、乘方运算，再计算加法运算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期末）“滴滴司机”沈师傅某天下午在一条南北向的马路上营运，如果规定向南为正，向北为负，沈师傅连续接送5位乘客的行程（单位：千米）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地，计算说明沈师傅能回到出发点吗？若不能，在何处？ (2)若汽车每千米耗油升，则沈师傅接送完这5位乘客共耗油多少升？ (3)若“滴滴”收费标准为：起步价为8元，起步行程为3千米以内（包括3千米），超过的部分每千米2元，请问沈师傅接送完这5位乘客一共收入多少车费？ 【答案】(1)沈师傅不能回到出发点，在离出发点正南方向4千米处 (2)沈师傅接送完这5位乘客共耗油8升 (3)沈师傅接送完这5位乘客一共收入52元车费 【思路引导】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的混合运算，绝对值的应用，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． （1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）根据绝对值的实际意义列式计算即可； （3）根据题意及绝对值的实际意义列式计算即可． 【完整解答】（1）解：（千米）， 则沈师傅没有回到出发点，在离出发点正南方向4千米处； （2）解：∵ ∴ （升）， 即沈师傅接送完这5位乘客共耗油8升； （3）解： （元）， 即沈师傅接送完这5位乘客一共收入52元车费． 14．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图所示，数轴上有四个点，相邻两点之间的距离均为（为正整数），点表示的数为． (1)若，则表示原点的是点_____，点表示的数是_____； (2)若点表示的数是，求的值． 【答案】(1)，； (2)的值为． 【思路引导】本题考查了有理数的运算，数轴上点之间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据点表示的数和的值，根据在点左侧即可求出点表示的数，进而求得原点的位置； （）根据的长度即可求出的值． 【完整解答】（1）解：∵点表示的数为，， ∴点表示的数是：，， ∴表示原点的是点，点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：∵点表示的数为，点表示的数是， ∴， ∴， ∴的值为． 15．（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则 ， ． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值． 【答案】(1)10，18； (2)的值不会随着时间t的变化而改变，为； (3)当，15时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位 【思路引导】本题综合考查了列代数式，整式的加减，非负数的性质，数轴，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可求得b、c； （2）根据数轴表示数的意义，用含有t的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）设点P运动的路程为y，根据题意得：当时，，此时点P表示的数为，当时，，此时点P表示的数为，设点Q运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点Q表示的数为，当时，，此时点Q表示的数为，当时，，此时点Q表示的数为，分情况讨论求解即可． 【完整解答】（1）解：已知， ， ， ． 故答案为：10，18； （2）解：由（1）可知，， 设运动时间为t秒， 则， ， ∴的值不会随着时间t的变化而改变，为； （3）解：由（1）可知，，，， ， 设点P运动的路程为y， 当时，，此时点P表示的数为， 当时，，此时点P表示的数为， 设点Q运动的路程为， 当时，，此时点Q表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位， 即， 情况1：，，， 则，即， ∴或， 解得，（舍去）； 情况2：，，， 则，即， 解得或， 即（符合），（舍去）； 情况3：，，， 则，即， 解得或， 即（舍去），（舍去）； 情况4：，，， 则，即， ∴或，即（舍去），（符合）， 综上，当，15时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数的概念及运算 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 重点知识梳理 2 知识点一：有理数的定义与分类 2 知识点二：数轴 3 知识点三：数轴上的点与有理数的关系 3 知识点三：利用数轴比较两数大小 3 知识点四：利用绝对值比较大小 4 知识点五：数轴上两点之间的距离 4 知识点六：有理数的混合运算 5 重点考点讲练 5 考点一：带“非”字的有理数 5 考点二：利用数轴比较有理数的大小 5 考点三：数轴上两点之间的距离 6 考点四：数轴上点的平移（动点问题） 7 考点五：数轴上整点覆盖问题 8 考点六：数轴上的规律探究 8 考点七：化简多重符号 9 考点八：相反数的应用 9 考点九：绝对值的几何意义 10 考点十：求一个数的绝对值 10 考点十一：绝对值非负性 11 考点十二：有理数大小比较的实际应用 12 考点十三：有理数四则混合运算 13 考点十三：有理数四则混合运算的实际应用 14 考点十四：根据点在数轴的位置判断式子的正负 15 考点十五：数轴上的翻折 15 考点十六：有理数的乘方运算与逆运算 16 考点十七：乘方运算的符号规律 16 考点十八：程序流程图与有理数计算 17 考点十九：算 “24” 点 17 考点二十：含乘方的有理数混合运算 18 考点二十一：科学记数法表 18 考点二十二：近似数 19 拔尖冲刺练习 19 知识点一：有理数的定义与分类 1. 有理数的定义 整数和分数统称为有理数. 对于分数的识别有两个误区： (1)不是所有的小数都能化成分数，如无限不循环小数就不能化成分数； (2)有些数形似分数，但不是分数，如就不是分数. 2. 有理数的分类 (1)按有理数的定义分类 (2)按性质分类 3. 有理数分类的三原则 (1)分类不重复：所分的各类应当互不包含. 例如，有理数分为非负有理数、0和非正有理数，就违反了这一原则. (2)分类无遗漏：所分各类之“和”必须是原来的全部. 例如，将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0 . (3)标准要统一：必须按同一分类标准进行分类. 例如，将有理数分为正有理数、0 和负分数，分类标准就不统一. 知识点二：数轴 1. 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 2. 画数轴的步骤 (1)画直线，取原点：画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，这个点称为原点. (2)标正方向： 规定直线上从原点向右为正方向(画箭头表示)，向左为负方向. (3)选取单位长度，标数：取适当长度(如1 cm)为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3， … 从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1 ，－2 ，－3，… 知识点三：数轴上的点与有理数的关系 1.对应关系 2.数在数轴上的表示 示例 (＞0)和－在数轴上的表示 －是负数，对应的点在原点的左边； 是正数，对应的点在原点的右边 数轴是数与图形结合的桥梁，是初步感受“数形结合”的载体. 知识点三：利用数轴比较两数大小 1. 法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 2. 有理数，b的大小关系 不完整的数轴上的A，B两点分别表示有理数，b，如图2.2-4所示，点A，B的位置关系有三种 结论：对于有理数，b，下列三种关系有且只有一种成立：＞b，＝b，＜b. 3. 有理数大小关系的传递性 有理数，b，c的对应点在不完整的数轴上的位置如图2.2-5 所示： 结论：对于有理数，b，c， 如图2.2-5 ①，如果＞b，且b＞c，那么＞c； 如图2.2-5 ②，如果＜b，且b＜c，那么＜c. 特别提醒：利用数轴比较两个有理数的大小，关键有两步：一是在数轴上标点表示数；二是观察表示数的点在数轴上的位置. 知识点四：利用绝对值比较大小 1. 两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小. 即：当＞0，b＞0时，若||＞|b|，则＞b； 当＜0，b＜0时，若||＞|b|，则＜b. 2. 比较数的大小的法则 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 知识点五：数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离　数轴上，点A，B分别表示数，b，则A，B两点之间的距离为线段AB的长度，即AB＝|－b|. 示图：(如图2.4–1) 知识点六：有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算的顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，按照从左至右的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，一般按小括号、中括号、大括号依次进行. 2. 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到). 通常把这六种基本的代数运算分为三级：加与减是第一级运算；乘与除是第二级运算；乘方与开方是第三级运算. 3. 有理数的混合运算，除了运用运算法则外，还要灵活运用运算律，从而简化计算. 考点一：带“非”字的有理数 【例】（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填在相应的大括号里： 正有理数集合：{___________}； 非负数集合：{___________}； 整数集合：{___________}； 正分数集合：{___________}． 【变式】（25-26七年级上·四川南充·期中）把下列各数分类 6，，，，，0，，，， (1)整数：{ }； (2)分数：{ }； (3)非负整数：{ }； (4)有理数：{ }； 考点二：利用数轴比较有理数的大小 【例】（25-26七年级上·贵州毕节·期中）在数轴上标出表示下列各数的点． ，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的集合内． 负数集合{                   } 整数集合{                   } 非负整数集合{                   } 【变式】（24-25七年级上·吉林·期末）下表有四张卡片，卡片正面分别写有四个数字，背面分别写有四个字母． 正面 背面 (1)在数轴上表示出卡片正面的数： (2)将正面的数由小到大排列后，翻转到背面，则背面字母组成的单词是______． 考点三：数轴上两点之间的距离 【例】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【变式】．（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 考点四：数轴上点的平移（动点问题） 【例】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式的一次项系数，b是绝对值最小的整数，单项式的次数为c． (1) ______， ______， ______； (2)点A 与点 B 之间的距离为_____； (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点C以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动．t分钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则______， ______（用含t的代数式表示）； (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 【变式】（25-26七年级上·福建泉州·月考）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 考点五：数轴上整点覆盖问题 【例】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点六：数轴上的规律探究 【例】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【变式】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是 ． 考点七：化简多重符号 【例】（25-26七年级上·湖南邵阳·月考）计算 (1) (2) (3) ； (4)． 【变式】（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 考点八：相反数的应用 【例】（25-26七年级上·福建泉州·期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有_______；（将正确选项的序号填写在横线上．①；②；③ (2)某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取时，代数式的值为多少？ (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______． 【变式】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 考点九：绝对值的几何意义 【例】（25-26七年级上·重庆开州·期末）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求 ； （2）的最小值是 ． 【变式】（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上顺次有，，，，，六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点，，对应的数分别为，，，下列说法：①若，则；②若，则原点在，之间；③若，则是原点；④若原点在，之间，则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 考点十：求一个数的绝对值 【例】（25-26七年级上·重庆綦江·期末）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为4．    (1) 　 　， 　 　． (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，0，，的点，并用“”连接起来． 【变式】（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期末）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“”连接起来： ，，，0，． 考点十一：绝对值非负性 【例】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【变式】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，数轴上点表示数，点表示数，且、满足． (1)______，______； (2)线段在直线上运动，且点在点的右边，长为个单位长度，、分别是、的中点，判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果有变化，请说明理由； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，点运动多少秒时，、两点相距个单位长度？ 考点十二：有理数大小比较的实际应用 【例】（25-26七年级上·陕西西安·期中）景德镇陶瓷的造型丰富多变，从日常生活用品到陈设艺术品，都有其独特的韵味．同时，陶瓷上的装饰也极具艺术价值，如青花、五彩、粉彩等，使得每件陶瓷都成为了一件艺术品．某工厂计划每天生产50个景德镇陶瓷花瓶，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某一周的生产情况（增产记为正，减产记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减量 (1)产量最多的一天是星期_________； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个花瓶？ (3)该工厂实行每周计件工资制，每生产一个花瓶可得20元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖励6元；少生产一个扣3元，则该工厂的工人这周的工资总额是多少？ 【变式】（25-26七年级上·全国·期中）下表记录了四个地区的最低海拔，其中海拔最低的地区是（   ） 死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛 A．死海 B．吐鲁番 C．乌鲁木齐 D．青岛 考点十三：有理数四则混合运算 【例】（25-26七年级上·山西太原·期末）计算： (1) ； (2)． 【变式】（25-26七年级上·全国·假期作业）在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“”；． 如： ． 解答下列问题： (1)计算：的值； (2)在，，，0，，，，，，这10个数中，任意取三个不同的数作为a，b，c的值，进行“”运算，求在所有计算的结果中的最大值． 考点十三：有理数四则混合运算的实际应用 【例】（25-26七年级上·陕西安康·期末）数学课上，某小组调查了组内6位组员的身高，并以165厘米为标准身高，记录6位组员身高如下表（超过165厘米记为“”，不足165厘米记为“”）： 组员 1 2 3 4 5 6 与标准身高的差值/厘米 (1)这6位组员中最高的是________号组员，最高的组员比最低的组员高________厘米． (2)根据以上数据，求这6位组员的平均身高． 【变式】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）使用无人机防治农作物病虫害，能精准施药，减少农药用量，既省时省力，还能提高防治效果．某村农田承包大户张叔叔在一片南北走向的农田上进行无人机喷洒农药作业，无人机从这片农田上的某基地出发，若规定向北为正，向南为负，作业时的飞行里程（单位：）如下： (1)无人机完成上述作业后在该基地的哪一侧？距离该基地多少千米？ (2)已知无人机平均每千米耗电度，则本次无人机进行喷洒农药作业时共耗电多少度？ 考点十四：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例】（25-26七年级上·云南文山·期末）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·重庆潼南·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 考点十五：数轴上的翻折 【例】（25-26七年级上·广东汕头·期末）如图，数轴上有点、、，点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点的右侧且到点的距离为，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式】（25-26七年级上·广东汕头·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 考点十六：有理数的乘方运算与逆运算 【例】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）若，为有理数，且，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2024 【变式】（25-26七年级上·辽宁大连·月考）数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 考点十七：乘方运算的符号规律 【例】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【变式】（25-26七年级上·吉林长春·月考）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 考点十八：程序流程图与有理数计算 5【例】（25-26七年级上·贵州黔西·月考）据相关资料记载，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．将得到的数反复进行上述运算，经过有限次运算后，必得到1，这就是“冰雹猜想”．例如数5，按照这种规则，进行五次运算后，第一次得到1，即．若数a经过六次运算后，第一次得到1，则数a的值是 ． 【变式】（25-26七年级上·四川达州·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取则： 若，则第2025次“F”运算的结果是 ． 考点十九：算 “24” 点 【例】（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【变式】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法： ． 考点二十：含乘方的有理数混合运算 【例】（25-26七年级上·山东济南·期末）计算 (1) ； (2)． 【变式】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）计算： (1) (2) (2) (4) 考点二十一：科学记数法表 【例】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克．按我国14亿人口，每年365天，每人每天两餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，那么一年大约能节约大米多少千克？如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币多少元？（结果用科学记数法表示） 【变式】（25-26七年级上·山东临沂·期末）在如下结论中：①的底数是3；②若有理数互为相反数，，那么；③万用科学记数法表示为；④与一样大；⑤式子的最大值是2．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点二十二：近似数 【例】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）学校体育场的跑道形状如示意图所示，由两段直道与两段半圆形的弯道组成，体育场跑道示意图的比例尺为，每段直道长度为21cm，半圆形弯道的直径为18.5cm，该体育场实际跑道长度约为 m（注：取的值为3.14，最后结果保留整数）． 【变式】（25-26七年级上·山东日照·期中）对于下列说法：①有理数可以分为整数、正分数、负分数和0；②立方等于本身的数是；③如果，那么；④四舍五入得到的近似数0.983，它的精确度是精确到千位；⑤单项式的次数是5．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（25-26七年级上·山东德州·期末）数轴上表示数的点与表示的点的距离为，可以表示为（    ）． A． B． C． D． 2．（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，若点A，C表示的数互为相反数，则点B表示的数的相反数是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·北京顺义·期末）数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（  ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）已知，，且，则的值等于（   ） A．9或 B．7或 C．3或 D．1或 6．（25-26七年级上·北京通州·期末）如果用符号表示两数中的较大者，用符号表示两数中的较小者，那么的值为 ；的值为 ． 7．（25-26七年级上·北京通州·期末）在数轴上，点A表示的数是，点C与点A之间的距离是4，如果点表示的数互为相反数，那么点B表示的数是 ． 8．（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是 ． 9．（25-26七年级上·山东青岛·期末）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和x，则x的值是 ． 10．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示 的点重合． 11．（25-26七年级上·湖北随州·期末）在数轴上表示下列各数，并把它们按照从小到大的顺序排列：，，，． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 13．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期末）“滴滴司机”沈师傅某天下午在一条南北向的马路上营运，如果规定向南为正，向北为负，沈师傅连续接送5位乘客的行程（单位：千米）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地，计算说明沈师傅能回到出发点吗？若不能，在何处？ (2)若汽车每千米耗油升，则沈师傅接送完这5位乘客共耗油多少升？ (3)若“滴滴”收费标准为：起步价为8元，起步行程为3千米以内（包括3千米），超过的部分每千米2元，请问沈师傅接送完这5位乘客一共收入多少车费？ 14．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图所示，数轴上有四个点，相邻两点之间的距离均为（为正整数），点表示的数为． (1)若，则表示原点的是点_____，点表示的数是_____； (2)若点表示的数是，求的值． 15．（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则 ， ． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $