5.3 实际问题与一元一次方程 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

5.3 实际问题与一元一次方程 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册 核心知识点 一、核心知识框架 1. 一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数为 1，等号两边均为整式的方程。形如。 2. 列方程解应用题的六步流程 审：理解题意，区分已知量与未知量； 设：设未知数（直接设元或间接设元）； 列：根据等量关系列出方程； 解：解方程求出未知数的值； 验：检验解是否满足方程和实际意义； 答：写出答案（含单位）。 二、常见实际问题类型及模型 （一）行程问题 基本公式：路程 = 速度 × 时间。 相遇问题：两者路程之和等于总路程，即。 追及问题：两者路程之差等于初始距离，即。 顺流 / 逆流问题： 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度； 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度。 （二）工程问题 基本公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间。 合作模型：总工作量 = 各部分工作量之和，通常设总工作量为 1。 若甲单独完成需a天，乙单独完成需b天，则合作效率为。 （三）利润问题 核心公式： 利润 = 售价 - 进价； 利润率 ； 售价 = 标价 × 折扣（如打x折即标价 ×； 售价 = 进价 ×(1 + 利润率)。 盈亏判断：利润为正表示盈利，为负表示亏损。 （四）方案选择问题 临界值法：令两种方案费用相等，求出变量值（如通话时间、购买数量），再比较不同区间的费用。 例：A 方案月租 30 元 + 0.3 元 / 分钟，B 方案无月租 + 0.4 元 / 分钟， 直接比较法：根据变量范围判断最优方案。 （五）配套问题 等量关系：配套物品的数量比例固定。 例：1 个螺栓配 2 个螺母，若生产x个螺栓，则需生产2x个螺母。 （六）数字与日历问题 数字问题： 两位数 = 十位数字 ×10 + 个位数字； 三位数 = 百位数字 ×100 + 十位数字 ×10 + 个位数字。 日历规律： 横行相邻数差 1，竖列相邻数差 7； 日历中一竖列 3 个数的和必为 3 的倍数。 （七）其他典型问题 鸡兔同笼问题：通过设未知数表示头数和脚数，建立方程组。 分段计费问题：如水费、电费分阶段计算，需分段列方程。 古代数学问题：结合历史背景，提炼数学模型（如《九章算术》中的 “盈不足” 问题）。 三、关键解题策略 1. 设未知数的技巧 直接设元：求什么设什么（如求人数、时间）。 间接设元：通过中间量建立关系（如求总路程，先设速度）。 辅助设元：引入临时变量简化方程（如设总工作量为 1）。 2. 寻找等量关系的方法 列表法：整理已知量与未知量的对应关系。 图示法：用线段图、流程图表示数量关系（如行程问题中的相遇过程）。 公式法：直接套用公式（如利润公式、工程公式）。 3. 检验解的合理性 代入原方程：验证解是否满足方程。 实际意义检验：确保解为非负数、整数（如人数、天数），且符合题意（如售价不能低于成本）。 四、易错点与注意事项 单位统一：解题前需将时间、速度等单位统一（如将分钟化为小时）。 括号与符号：去括号时注意符号变化，移项时改变符号。 忽略实际限制：如人数、物品数量必须为自然数，利润不能为负数。 方案选择遗漏临界值：需明确不同区间的最优方案，避免只关注方程解。 五、典型例题（附思路） 例 1：行程问题 甲、乙两人相距 30km，甲速度 6km/h，乙速度 4km/h，相向而行几小时相遇？ 思路：相遇时路程和为 30km，设时间为x小时，。 例 2：利润问题 某商品进价 200 元，标价 300 元，打几折可获利 5%？ 思路： 例 3：方案选择 某商场 A 方案满 100 返 30，B 方案全场 8 折。购买标价 150 元的商品，哪种更优惠？ 思路：A 方案实际花费元，B 方案花费元，费用相同；若标价 160 元，A 方案花费元，B 更优。 专项练习 一、选择题 1．某小组分若干本书，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本，共有图书（　　） A．34本 B．22本 C．24本 D．32本 2．今年学校运动会参加的人数是m人，比去年增加10%，那么去年运动会参加的人数为（　　）人． A．（1+10%）m B．（1-10%）m C． D． 3．某公司出售，两种商品，降价提价，都售得万元，在这两笔交易中，该公司总盈亏情况是（　　） A．亏损 B．盈利 C．不亏不赚 D．与有关 4．某种商品进价为200元，标价400元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，则该商店应打（　　） A．9折 B．8折 C．7折 D．6折 5．两年前，李叔叔在银行存了一笔两年的定期存款，年利率是 .到期后取出，得到本金和利息总共21100元.设李叔叔存入的本金为 元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数(表中阴影部分仅作“H”型框的示例) ．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（　　） A．63 B．98 C．105 D．168 7．在足球比赛的前11场比赛中，某队仅负一场共积22分，按比赛规则，胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分，则该队共胜（　　）场 A．4 B．5 C．6 D．7 8．某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费；超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费．小明家六月份的水费是平均每吨1.25元，那么小明家六月份应缴水费（　　） A．20元 B．24元 C．30元 D．36元 二、填空题 9．用一根80cm长的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10 cm，则围成的长方形的面积为　 　cm2。 10．七年级三班发一批新作业本，若每人发4本，则剩余12本；若每人发5本，则少 18本.根据以上信息，可知该班有　 　名学生. 11．张师傅晚上出门散步，出门时6点多一点，他看到手表上的分针与时针的较小夹角恰好为120°，回来时接近7点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针的较小夹角再次成120°，则张师傅此次散步的时间是　 　分钟. 12．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管丙，单独打开甲管6小时可注满水池；单独打开乙管8小时可注满水池；单独打开丙管12小时可将满池水排空．若先将甲、乙两管同时打开2小时，再打开丙管，则打开丙管　 　小时后水池被注满． 13．一商店在某一时间以每件a元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，若卖出这两件衣服商店共亏损10元，则a的值为　 　． 14．某班共有54名同学，其中会打篮球的有36人，会打排球的人数比会打篮球的多4人.另外，这两种球都不会打的人数是都会打的人数的 还少1人，则既会打篮球又会打排球的有　 　人. 15．有两种消费券：A券，满60元减20元；B券，满90元减30元。即一次购物大于等于60元、90 元，付款时分别减20 元、30元。小敏有一张 A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款。若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是　 　元。 16．某木材加工厂制作桌子的车间有14名工人，每名工人每小时可以加工10张桌面或30条桌腿。1张桌面需要配4条桌腿，为使每小时加工的桌面和桌腿刚好配套，该车间应安排　 　名工人加工桌腿。 三、解答题 17．陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元.”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了.” （1）王老师为什么说陈老师搞错了?试用方程的知识给予解释. （2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10的整数，笔记本的单价可能为多少元? 18．为增强居民节约用水意识，深圳市在 2011年开始对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表： 一户居民一个月用水量记为x 立方米 水费单价（单位：元/立方米） x≤22 a 超出22立方米的部分 a+1.1 某户居民4月份用水10立方米时，缴纳水费23元. （1）求a 的值. （2）若该户民民5月份所缴水费为71元，求该户居民5月份的用水量. 19．某车间为提高生产总量，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是新调入工人人数的倍多人． （1）求调整后车间共有多少名工人； （2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产个螺栓或个螺母，个螺栓需要个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 20．随着科技的发展，人工智能已经席卷多个行业.某商场销售甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高20%，乙型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高30%，甲型号智能扫地机器人每台的进价比乙型号智能扫地机器人每台的进价高100元，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比乙型号智能扫地机器人每台的实际售价高70元，求甲型号智能扫地机器人和乙型号智能扫地机器人每台的进价分别是多少. 21．在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． （1）第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ （2）在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值． 22．将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… 　 　 　 　 　 （1）若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为　 　． （2）设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ （3）方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：设有x人，由题意， 6x+4=8x-2， 解得，x=3， ∴图书有3×6+4=22本. 故答案为：B. 【分析】本题设一个中间未知数有x人，根据题意可得到图书总数的两个不同代数式6x+4和8x-2，根据图书数量一样列方程即可. 2．【答案】C 【解析】【解答】设去年运动会参加的人数为x人，根据题意得： x（1+10%）=m 解得：x= ． 故答案为：C． 【分析】设去年运动会参加的人数为x人，根据今年参加的人数是m人，比去年增加10%，列出代数式，进行求解即可． 3．【答案】A 【解析】【解答】解：设A商品原价为x元，设B商品原价为y元， 根据题意可得：x（1-20%）=a，y（1+25%）=a， 解得：x=1.25a，y=0.8a， ∵2a-（1.25a+0.8a）=-0.05a<0， ∴在这两笔交易中，该公司亏损了， 故答案为：A. 【分析】先分别求出A、B商品的原价，再求解即可. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：设该商店应打x折，根据题意得： ， 解得：， 答：该商店应打7折． 故答案为：C 【分析】本题考查一元一次方程的应用．该商店应打x折，根据“保证利润率为”，据此可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出答案. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意得： x+2×2.75%x=21100； 故答案为：C． 【分析】根据“利息=本金×利率×时间”（利率和时间应对应），列出方程，即可得出结论． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：设自上而下的第一行的第一个数是x，依次为x+2；x+7，x+8，x+9；x+14，x+16，代数式的和为：x+(x+2)+(x+7)+(x+8)+(x+9)+(x+14)+(x+16)=7x+56=7(x+8)， 当7(x+8)=63时， 解得：x=1，x+16=17，成立，故选项A不符合题意； 当7(x+8)=98时， 解得：x=6，x+16=22，成立，故选项B不符合题意； 当7(x+8)=140时， 解得：x=12，x+16=28，成立，故选项C不符合题意； 当7(x+8)=168时， 解得：x=16，x+16=32＞31，不成立，故选项D符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据日历表的特点，同行依次加1，同列依次加7，列出代数式，合并同类项后，结合选项判断即可． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：设胜x场，则平11-1-x=（10-x）场，由题意， 3x+(10-x)=22， 解得，x=6. 故答案为：C. 【分析】本题是积分问题，有两个等量关系：1、总积分=胜场积分+平场积分+负场积分；2、比赛总场数=胜场数+平场数+负场数，根据这两个等量关系列方程求解. 8．【答案】C 【解析】【解答】 设小明家六月用水x吨， 由题意得：1.2×20+1.5×（x-20）=1.25x， 解得：x=24， ∴1.25x=30． 故选：C． 【分析】设小明家六月用水x吨，根据“小明家六月份的水费是平均每吨1.25元”列出方程求得小明家六月用水量，并求出小明家六月份应缴水费 . 9．【答案】375 【解析】【解答】解：设围成的长方形的长为xcm，则宽为(x-10)cm，由题意， 得2(x+x-10)=80 解得x=25， ∴围成长方形的面积为：25(x-10)=25×(25-10)=375cm2. 故答案为：375. 【分析】此题告知了长方形的周长，设围成的长方形的长为xcm，用含x的式子表示出该长方形的宽，然后根据长方形周长计算公式列出方程，求出x的值，进而再根据长方形面积计算公式列式计算即可. 10．【答案】30 【解析】【解答】解：设该班x名学生， 4x+12=5x-18， 解得，x=30， 即该班30名学生. 故答案为：30. 【分析】设该班x名学生，根据题意列出一元一次方程，解方程即可. 11．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：分钟每分钟走6°，时针每分钟走 设张师傅此次散步的时间是x分钟， 依题意得：6x-0.5x=120×2， 解得：x=， ∴张师傅此次散步的时间是分钟． 故答案为：． 【分析】设张师傅此次散步的时间是x分钟，根据分针比时针多走了2个120°，即可列出方程 6x-0.5x=120×2，解方程即可． 12．【答案】 【解析】【解答】解：设打开丙管小时后，水池被注满，由题意，得： ， 解得：； 答：打开丙管小时后水池被注满． 故答案为：2. 【分析】设打开丙管小时后，水池被注满；根据工作总量等于工作效率乘以工作时间确定每个管道的进出水效率 ，进而根据各劳动分量之和等于总量，列出方程进行求解即可． 13．【答案】75 【解析】【解答】解：设盈利衣服的进价为x元， 由题意得x(1+25％)=a， 解得x= 设亏损衣服的进价为y元， 由题意得y(1-25％)=a， 解得y= ∵商店卖出这两件衣服，共亏损10元， ∴+-10=2a， 解得a=75. 故答案为：75. 【分析】设盈利衣服的进价为x元，设亏损衣服的进价为y元，分别根据进价×（1+利率）=售价建立方程可求出两件衣服的进价，再根据总进价-亏的钱数=总售价，结合商店卖出这两件衣服，共亏损10元，列出方程，求解即可. 14．【答案】28 【解析】【解答】解： ∵会打篮球的有36人，会打排球的人数比会打篮球的多4人，∴会打排球的有40人. 设既会打篮球又会打排球的有x人，则只会打篮球的有（36-x）人，只会打排球的有（40-x）人，会打篮球或排球的有36+40-x=（76-x）人，两种球都不会打的有54-（76-x）=（x-22）人. ∵这两种球都不会打的人数是都会打的人数的 还少1人， 解得x=28. 故答案为：28. 【分析】先根据条件求出会打排球的有人数，通过设既会打篮球又会打排球的有x人，分别表示出只会打篮球和只会打排球的人数，继而可推出会打篮球或排球的人数及两种球都不会打的人数，再通过条件“ 两种球都不会打的人数是都会打的人数的 还少1人 ”，即可列出等式进行求解。 15．【答案】85或100 【解析】【解答】解：设所购商品的标价是x元， 分两种情况讨论：①若所购商品的标价小于90元， 则 解得： ②若所购商品的标价大于 90元， 则 解得： 综上所述，所购商品的标价是85元或100元， 故答案为：85或100. 【分析】设所购商品的标价是x元，分两种情况讨论：①若所购商品的标价小于90元，②若所购商品的标价大于 90元，分别根据题意列出方程计算即可. 16．【答案】8 【解析】【解答】设该车间应安排m名工人加工桌腿，则安排（14-m）名工人加工桌面， 根据题意可得：， 解之，得：m=8 所以该车间应安排8名工人加工桌腿， 故答案为：8 【分析】设该车间应安排m名工人加工桌腿，则安排（14-m）名工人加工桌面，根据1张桌面需要配4条桌腿列方程，解之加工桌腿的人数。 17．【答案】（1）解：设单价为8元的书为x本，则单价元的书买了本， 由8x+12(105-x)=1500-418， 解得x=44.5(不合题意)， 因书本数量必须是整数，所以陈老师肯定搞错了. （2）解：设单价为8元的书为y本，笔记本的单价为a元（且为整数 ）， 则8y+12(105-y)=1500-418-a， 即178+a=4y，178+a应被4整除，且1≤a<10， ，故需是的倍数， 结合，或 ， 所以或（元） 答： 笔记本的单价可能为2元或6元. 【解析】【分析】（1）设未知数表示两种书的数量，根据“总花费 = 领款 - 余款”列方程，通过解的非整数性判断错误. （2）引入笔记本单价，重新列方程并化简，根据“书本数量为整数”推导需被整除，结合的范围枚举求解. 18．【答案】（1）解：已知4月用水立方米（ ），水费元，根据“水费 = 用水量×单价”，列方程： 解得 . 即： （2）解：设5月用水量为立方米. 因元元，故 ， 水费分两部分：立方米内费用（ ）和超出部分费用（ ）， 可列方程： 解得： . 答： 该户居民5月份的用水量 28立方米. 【解析】【分析】（1）利用“时，水费 = 用水量×”，结合4月用水及水费数据，直接列方程求. （2）先判断5月用水量是否超过立方米（通过比较立方米水费与实际水费 ），再分“立方米内”和“超出部分”列方程求解. 19．【答案】（1）解：设调入名工人，根据题意得：， 解得：， ∴调入名工人， ∴（名）， 答：调整后车间共有名工人； （2）解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ∴， 解得：， ∴（名）， 答：名工人生产螺栓，名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 【解析】【分析】（1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的倍多人”即可列出方程，进而即可求解； （2）设名工人生产螺栓，根据个螺栓需要个螺母”即可列出方程，进而解方程即可求解。 （1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得：， ∴调入名工人， ∴（名）， 答：调整后车间共有名工人； （2）设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， ∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ∴， 解得：， ∴（名）， 答：名工人生产螺栓，名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 20．【答案】解：设乙型号智能扫地机器人每台的进价为x元，则甲型号智能扫地机器人每台的进价为(x+100)元. 根据题意，可得(1+20%)(x+100)-(1+30%)x=70， 解得x=500， 所以x+100=500+100=600. 答：甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元. 【解析】【分析】本题利用一元一次方程解决实际问题的题目，关键在于根据题目中给出的甲、乙两种智能扫地机器人进价和售价的关系来建立方程求解。 设出未知数，乙型号智能扫地机器人每台的进价为x元，因为甲型号智能扫地机器人每台的进价比乙型号高100元，所以甲型号智能扫地机器人每台的进价为(x + 100)元，分析售价并建立方程：(1+20%)(x+100)-(1+30%)x=70，再对方程求解即可。 21．【答案】（1）解：设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，由题意得： 解得：； ∴绿龟玩偶的单价为60元； 答：购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元 （2）解：由（1）及题意得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，则有： 解得： 【解析】【分析】(1)设第一次购买时，绿龟玩偶的单价是x元，则绿龟挂件的单价是 元，根据采购20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件共花费1400元列得方程，解得x的值解题； (2)根据题意并结合 (1)中结果易得第二次购买时，绿龟玩偶的单价是 元，则绿龟挂件的单价是 )元，购买玩偶的个数为20个，购买挂件的个数为 (个)，根据总费用为1400元列方程解出a的值即可. 22．【答案】（1）153 （2）解：∵， ∴方框中的9个数是方框正中心的数的9倍 （3）解：设方框正中心数为， 由题意，得， ∴， ∵第1行最后一个数是， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， …， ∴第n行最后一个数是， ∴第61行最后一个数是， ∴370落在第62行，第4列 【解析】【解答】（1）解：； 故答案为：153； 【分析】（1）根据方框中的数值求和即可； （2） 设方框正中心数为， 表示其它8个数，然后相加得到结果即可； （3）根据和为 3330 列方程，求出x值即可解题 学科网（北京）股份有限公司 $$