（寒假讲义-复习篇）专题03 整式的加减（十五大重点考点练+优选题拔尖练 共45题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册精编培优讲练

专题03 整式的加减 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 重点知识梳理 2 知识点一：整式 2 知识点二：同类项的概念 2 知识点三：去括号法则 2 知识点四：整式的加法和减法 3 重点考点讲练 3 考点一：写出满足某些特征的单项式 3 考点二：单项式规律题 4 考点三：多项式的项、项数或次数 4 考点四：多项式系数、指数中字母求值 5 考点五：将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 5 考点六：整式的判断 5 考点七：已知同类项求指数中字母或代数式的值 6 考点八：合并同类项 6 考点九：去括号 7 考点十：添括号 8 考点十一：整式的加减运算 9 考点十二：整式的加减中的化简求值 9 考点十三：整式加减中的无关型问题四 10 考点十四：整式加减的应用 11 考点十五：带有字母的绝对值化简问题 12 拔尖冲刺练习 12 知识点一：整式 单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图： 【技巧点拨】 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点二：同类项的概念 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 【技巧点拨】 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 【技巧点拨】 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点三：去括号法则 1． 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 【技巧点拨】 （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2． 添括号法则： （1） 添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2） 添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点四：整式的加法和减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【技巧点拨】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： 要合并到不能再合并为止； 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； 不能出现带分数． 考点一：写出满足某些特征的单项式 【例】观察下列单项式：． (1)请你写出第个，第个单项式． (2)第个单项式的系数是多少？ (3)第个单项式的次数是多少？ (4)根据上面的归纳，请写出第个单项式． 【变式】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 考点二：单项式规律题 【例】（25-26七年级上·全国·期末）按一定规律排列的一组数依次为：，，，，，按此规律排列下去，这组数中的第个数是 ．（，为正整数） 【变式】（25-26七年级上·四川乐山·期末）一组按规律排列的式子，，，，……其中第6个式子是 ，第个式子是 （为正整数）． 考点三：多项式的项、项数或次数 【例】（25-26七年级上·四川乐山·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．不是代数式 B．表示负数 C．单项式的次数是4 D．多项式是二次三项式 【变式】（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知在数轴上，点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1)填空： __________，__________，__________． (2)将数轴折叠，使得点A与点C重合，点B与点D重合，则点D表示的数是多少？ (3)若点A，B，C分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度和每秒4个单位长度的速度同时沿数轴的负方向匀速运动，请判断的值是否为定值．若是，请求出相应的定值；若不是，请说明理由． 考点四：多项式系数、指数中字母求值 【例】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为 ． 【变式】（25-26七年级上·河南驻马店·月考）已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为 ． 考点五：将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例】（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是三次三项式 B．多项式是按的升幂排列 C．的系数是 D．近似数和相同 【变式】（25-26七年级上·吉林松原·期中）已知多项式是关于x的四次四项式． (1)求a、b的值； (2)将该多项式按x的降幂重新排列． 考点六：整式的判断 【例】（25-26七年级上·重庆合川·期末）下列说法正确的有（   ）个 ①单项式x的系数和次数都是0； ②的次数是11； ③多项式是由1，，三项组成； ④在，，中整式有2个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列说法错误的是（　　） A．单项式的系数是，次数是6 B．单项式的系数是1，次数是2 C．多项式的项数是3，次数是3 D．都是整式 考点七：已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例】（25-26七年级上·河南·期末）若单项式与的和是单项式，则 ． 【变式】（25-26七年级上·全国·月考）若多项式不含三次项和一次项，请你确定m，n的值，并求出的值． 考点八：合并同类项 【例】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）计算 (1) (2) 31．（25-26七年级上·广东深圳·月考）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如上图是苏科版教材七年级上册数学教材的部分内容． (1)【问题解决】根据上述方法，请把和各看成一个整体，对下列各式进行化简，直接写出结果： ①____________________； ②___________________________． (2)【简单应用】 ①已知，则______； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】 已知，求整式的值． 考点九：去括号 【例】（25-26七年级上·四川遂宁·月考）计算与化简： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式】（25-26七年级上·山西临汾·期末）阅读理解：我们把只含有一个字母，且字母的指数都是1，系数之和为0，常数项之和也为0的两个整式称为互为零和整式．例如：整式与整式，它们都只含一个字母x，x的指数都是1，且系数，常数项，因此这两个整式互为零和整式．根据以上定义，解答下列问题： (1)下列各组整式中，互为零和整式的是____________． A．与 B．与 C．与 D．与 (2)若整式与整式互为零和整式，求的值． (3)现有两个互为零和整式M和N，其中；先化简整式M，再根据零和整式的定义直接写出整式N． 考点十：添括号 【例】（25-26七年级上·湖北孝感·月考）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，化简的结果是_____． (2)已知，求的值． 【变式】（25-26七年级上·江西南昌·月考）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称为“相伴方程”．例如：方程与方程互为“相伴方程”． (1)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，则___________； (2)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，求的值． 考点十一：整式的加减运算 【例】（25-26七年级上·河南安阳·期末）（）化简：； （）先化简，再求值：，其中，． 【变式】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 考点十二：整式的加减中的化简求值 【例】（25-26七年级上·山东聊城·期末）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)化简求值：，其中，． 【变式】（25-26七年级上·河南安阳·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛，如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为9，则代数式的值为______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为10，则代数式的值为______； （2）当时，代数式的值为11，当时，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 考点十三：整式加减中的无关型问题四 【例】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出与的值，但可以将看作一个整体，其值即为，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则__________； (2)若，求的值； (3)设多项式，若的结果与的取值无关，求的值． 【变式】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知：． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 考点十四：整式加减的应用 【例】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，公园有一块长为米，宽为米的长方形土地（一边靠墙），现将三边留出宽都是米的小路，余下部分设计成长方形花圃，用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． (1)花圃的宽为_____米，花圃的长为_____米（用含，的式子表示）； (2)求篱笆的总长度（用含，的式子表示，结果需化简）； (3)若篱笆的单价为60元/米，当，时篱笆的总造价是多少元？ 4【变式】（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图，长方形的长为，宽为． (1)根据图中的数据，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，，求阴影部分的面积． 考点十五：带有字母的绝对值化简问题 【例】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，数轴上的点A，B，C，D，E对应的数分别为a，b，c，d，e，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等． (1)填空：______0，______0，______0（填“”“”或“”）； (2)化简：； (3)若，，则的值是______． 【变式】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）有理数a在数轴上的位置如图所示，则的值为（    ） A． B． C． D．1 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是0 B．单项式的次数是5 C．多项式的常数项为1 D．多项式的次数是7 3．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）下面是正正同学完成的判断题，他做对的题数是（    ） ①30250（精确到百位）．（√） ②与互为相反数．（×） ③倒数等于本身的数有1和．（√） ④单项式的系数是，次数是2．（√） ⑤多项式是三次三项式，常数项是1．（×） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26七年级上·山东济南·期末）若关于的代数式（为常数）的值与字母的取值无关，则代数式的值为（   ） A．4 B．2 C．0 D． 5．（25-26七年级上·山东德州·期末）如果在数轴上表示a、b、c三个实数的点的位置如图所示，且那么（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·河南周口·期末）化简： ． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若单项式与单项式的和是单项式，则的值是 ． 8．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转第2026次后，点C所对应的数是 ． 9．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）关于x的代数式（a，b为常数），下列说法： ①若，则代数式是关于x的二次三项式； ②若，，则关于x的方程的解为非负数； ③若时，代数式的值为3，则； ④当时，代数式的值为2，当时，代数式的值为 ，则； ⑤若，且当或时，代数式的值相等，则． 其中，一定正确的结论有 （填写序号即可] 10．（25-26七年级上·河北保定·期末）已知，现将x，y，m，n任选两个字母作差，结果记为A，剩下两个字母作差，结果记为B，然后对式子进行去绝对值与去括号运算，称此为“绝差操作”． 例如：，，……，下列说法： ①一定存在两种“绝差操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有6种不同的“绝差操作”； ③所有的“绝差操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是 ． 11．（25-26七年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中． 12．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，其余部分则需要铺设草皮，尺寸如图所示（单位：m）． (1)用含x的代数式表示草皮部分的面积（保留）； (2)当时，草皮部分的面积是多少？（取3） 13．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 14．（25-26七年级上·山东聊城·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，在足球赛事的数据统计中也常能用到． 例如：2025年鲁超联赛中，聊城传奇队获得亚军，我们把“聊城传奇队单场控球率差”看成一个整体，用表示，则某阶段3次控球率差的统计式为，可合并为． 请尝试解决： (1)聊城传奇队单场“实际射正数与对手射正数的差值”(简称“单场射正数差”)记为，某阶段3场比赛的射正数差统计为，合并这个代数式的结果是___________； (2)聊城传奇队统计联赛数据时，定义“进攻效率值”为．若某一阶段球队的进攻效率值恒为，求此时的值； (3)聊城传奇队用表示单场射门次数，表示单场被射门次数，赛事分析中得到两组数据关系：，利用整体思想求代数式的值． 15．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）现在有边长分别为的两种正方形卡片若干（如图1），还有一个长宽分别为13，9的长方形． (1)如图2，将两种正方形卡片各一张放入长方形中，计算出阴影部分的周长，并用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)如图3，将两张边长为的正方形卡片放置在长方形中，用含的代数式表示阴影部分的周长； (3)如图4，将两张边长为的正方形卡片与四张边长为的正方形卡片放置在长方形中，用含的代数式表示阴影部分的周长，并求当时阴影部分的面积． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的加减 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分，适合成绩中上同学使用；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！ 重点知识梳理 2 知识点一：整式 2 知识点二：同类项的概念 2 知识点三：去括号法则 2 知识点四：整式的加法和减法 3 重点考点讲练 3 考点一：写出满足某些特征的单项式 3 考点二：单项式规律题 5 考点三：多项式的项、项数或次数 6 考点四：多项式系数、指数中字母求值 7 考点五：将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 8 考点六：整式的判断 9 考点七：已知同类项求指数中字母或代数式的值 11 考点八：合并同类项 11 考点九：去括号 14 考点十：添括号 16 考点十一：整式的加减运算 17 考点十二：整式的加减中的化简求值 18 考点十三：整式加减中的无关型问题四 20 考点十四：整式加减的应用 22 考点十五：带有字母的绝对值化简问题 23 拔尖冲刺练习 25 知识点一：整式 单项式与多项式统称为整式．它们之间关系如下图： 【技巧点拨】 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 知识点二：同类项的概念 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 【技巧点拨】 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 【技巧点拨】 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 知识点三：去括号法则 1． 去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 【技巧点拨】 （1） 括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2） 括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2． 添括号法则： （1） 添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2） 添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 知识点四：整式的加法和减法 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【技巧点拨】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： 要合并到不能再合并为止； 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； 不能出现带分数． 考点一：写出满足某些特征的单项式 【例】观察下列单项式：． (1)请你写出第个，第个单项式． (2)第个单项式的系数是多少？ (3)第个单项式的次数是多少？ (4)根据上面的归纳，请写出第个单项式． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【思路引导】不难看出系数部分为的指数为以开始的自然数，的指数都是，据此可解答； 结合可解答； 结合可解答； 结合可解答． 【完整解答】（1）， ， ， 第个单项式为：， 第个单项式为：； （2）由可得：第个单项式的系数是：； （3）由可得：第个单项式的次数是：； （4）由可得：第个单项式为：． 【考点剖析】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律． 【变式】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【思路引导】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【完整解答】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 考点二：单项式规律题 【例】（25-26七年级上·全国·期末）按一定规律排列的一组数依次为：，，，，，按此规律排列下去，这组数中的第个数是 ．（，为正整数） 【答案】 【思路引导】本题考查了数字类规律探索，单项式规律题，解题关键是找到变化规律． 先确定分母与序号数的关系，然后确定a的指数与序号数的关系，再确定系数符号与序号数的关系，进而可解答． 【完整解答】解：第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， 第4个数是， … 以此类推，第个数是， 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·四川乐山·期末）一组按规律排列的式子，，，，……其中第6个式子是 ，第个式子是 （为正整数）． 【答案】 【思路引导】本题观察、归纳、抽象出数列规律的能力，关键是会分析题意、找到规律，进行推导得出答案． 观察式子的符号、分子和分母的规律，符号交替变化，分母是2的幂，分子中a和b的指数与序号n相关，即可得出答案． 【完整解答】解：，，，，…… 第6个式子是，第个式子是， 故答案为：，． 考点三：多项式的项、项数或次数 【例】（25-26七年级上·四川乐山·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．不是代数式 B．表示负数 C．单项式的次数是4 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【思路引导】本题考查代数式，单项式和多项式，根据相关定义，逐一进行判断即可． 【完整解答】解：A、是代数式，原说法错误，不符合题意； B、可以表示任何数，原说法错误，不符合题意； C、单项式的次数是3，原说法错误，不符合题意； D、多项式是二次三项式，原说法正确，符合题意； 故选D． 【变式】（25-26七年级上·广东汕头·期末）已知在数轴上，点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1)填空： __________，__________，__________． (2)将数轴折叠，使得点A与点C重合，点B与点D重合，则点D表示的数是多少？ (3)若点A，B，C分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度和每秒4个单位长度的速度同时沿数轴的负方向匀速运动，请判断的值是否为定值．若是，请求出相应的定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；1；9 (2)点D表示的数是5 (3)的值不是定值 【思路引导】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，多项式的系数和次数， 对于（1），根据最小的正整数是1求出b，再根据三次项系数为0，一次项系数为9求出a，c； 对于（2），先求出，再结合点B表示的数解答； 对于（3），先设运动的时间为，再表示点A，B，C表示的数，然后表示出，最后求和即可解答． 【完整解答】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴； ∵多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c， ∴， 解得； 故答案为：； （2）解：因为点A，C表示的数分别为，9， 所以线段的中点表示的数为， 所以线段的中点表示的数也为3． 因为点B表示的数是1， 所以点D表示的数是5； （3）解：的值不是定值． 理由如下： 设运动的时间为，则点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， 所以， 当时，，不是定值； 当时，． 所以不是定值． 考点四：多项式系数、指数中字母求值 【例】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】根据多项式的次数和项数，列出方程求解和的值． 本题考查了多项式的项数和次数，掌握基本概念是解题关键． 【完整解答】解：由题可知次数为3， 则第一项的次数， 解得, 由项数为2，且第一项系数3和第三项系数1均不为零， 故第二项系数， 解得, 因此, 故答案为． 【变式】（25-26七年级上·河南驻马店·月考）已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列问题，多项式系数、指数中字母求值，理解题意得到m，n的关系式是解题的关键． 由多项式为五次四项式且按x降幂排列，最高次项次数为5，可知；再根据各项系数非零，可知；然后根据是按x的降幂排列递减，可知；结合m，n为正整数，求得m，n的值，代入计算即可． 【完整解答】解：∵多项式是按的降幂排列的五次四项式， ∴最高次项的次数为，且， ∴，且，， 又∵m，n为正整数， ∴，， ． 故答案为：1． 考点五：将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例】（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是三次三项式 B．多项式是按的升幂排列 C．的系数是 D．近似数和相同 【答案】A 【思路引导】本题考查了多项式的次数与项数、升幂排列、单项式的系数以及近似数的概念，据此解答即可． 【完整解答】解：A、的最高次项为，次数为，且有三项，是三次三项式，此选项符合题意； B、多项式按的升幂排列应为，原选项顺序错误，此选项不符合题意； C、 的系数是，不是，此选项不符合题意； D、近似数精确到百分位，精确到十分位，二者不相同，此选项不符合题意； 故选：A． 【变式】（25-26七年级上·吉林松原·期中）已知多项式是关于x的四次四项式． (1)求a、b的值； (2)将该多项式按x的降幂重新排列． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了多项式的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）根据多项式的定义可得，，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【完整解答】（1）解：∵多项式是关于x的四次四项式，是六次式， ∴，， ∴，； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 考点六：整式的判断 【例】（25-26七年级上·重庆合川·期末）下列说法正确的有（   ）个 ①单项式x的系数和次数都是0； ②的次数是11； ③多项式是由1，，三项组成； ④在，，中整式有2个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数和项、整式的定义，需逐一判断各说法的正确性． 【完整解答】解：单项式x的系数是1，次数是1，①说法错误； 多项式中，最高次项次数为4，因此该多项式的次数是4，②说法错误； 多项式是由1，，三项组成，③说法错误； 在，，中，，是整式，共2个整式，④说法正确； 故正确的说法有1个， 故选：A． 【变式】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列说法错误的是（　　） A．单项式的系数是，次数是6 B．单项式的系数是1，次数是2 C．多项式的项数是3，次数是3 D．都是整式 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了整式的相关概念：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，多项式中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，单项式和多项式统称为整式．熟练掌握整式的相关概念是解题的关键．选项B中单项式的系数应为，而非1，因此错误． 【完整解答】解： A、单项式的系数为数字部分，次数为字母指数之和2+3+1=6，正确； B、单项式的系数是（常数），次数是2，即系数不是1，故错误； C、多项式的项数为3，最高次项的次数为3，正确； D、（单项式）、3（单项式）、（多项式）、（多项式，分母为常数）均为整式，正确． 故选：B． 考点七：已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例】（25-26七年级上·河南·期末）若单项式与的和是单项式，则 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查同类项，代数式求值．根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项，由此求出 和的值，再代入计算的值． 【完整解答】解：∵ 单项式与的和是单项式， ∴ 这两个单项式是同类项， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式】（25-26七年级上·全国·月考）若多项式不含三次项和一次项，请你确定m，n的值，并求出的值． 【答案】， ， 【思路引导】本题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． 根据不含三次项及一次项可得，，可求出m、n的值，代入所求代数式即可得答案． 【完整解答】解： =， ∵多项式不含三次项及一次项， ∴，， 解得：，， ∴． 考点八：合并同类项 【例】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查含乘方的有理数的混合运算，以及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）先计算乘方和绝对值，然后计算乘除，最后计算加法即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【完整解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 31．（25-26七年级上·广东深圳·月考）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】如上图是苏科版教材七年级上册数学教材的部分内容． (1)【问题解决】根据上述方法，请把和各看成一个整体，对下列各式进行化简，直接写出结果： ①____________________； ②___________________________． (2)【简单应用】 ①已知，则______； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】 已知，求整式的值． 【答案】(1)①；② (2)①1；②24 (3)4 【思路引导】本题考查化简求值，灵活运用各种化简的方法是本题的关键． （1）把看成一个整体直接合并同类项即可； ②把看成一个整体直接合并同类项即可； （2）①将整体代入计算； ②将看成一个整体后化简，并将代入计算； （3）将变为，再将整体代入计算即可． 【完整解答】（1）解：①． 故答案为：； ② ． 故答案为：； （2）解：①∵， ∴ ， 故答案为：1； ②∵， ∴ ； （3）解： ， ∵， ∴原式． 考点九：去括号 【例】（25-26七年级上·四川遂宁·月考）计算与化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，整式的加减运算，掌握好相关的运算法则是解题关键． （1）按照有理数混合运算的法则进行计算即可； （2）按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算即可； （3）按照整式加减运算的法则进行计算即可； （4）按照整式加减运算的法则进行计算即可． 【完整解答】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 【变式】（25-26七年级上·山西临汾·期末）阅读理解：我们把只含有一个字母，且字母的指数都是1，系数之和为0，常数项之和也为0的两个整式称为互为零和整式．例如：整式与整式，它们都只含一个字母x，x的指数都是1，且系数，常数项，因此这两个整式互为零和整式．根据以上定义，解答下列问题： (1)下列各组整式中，互为零和整式的是____________． A．与 B．与 C．与 D．与 (2)若整式与整式互为零和整式，求的值． (3)现有两个互为零和整式M和N，其中；先化简整式M，再根据零和整式的定义直接写出整式N． 【答案】(1)B (2)1 (3)化简为； 【思路引导】本题考查新定义运算，整式加减，理解题意熟练进行运算是解题的关键； （1）根据零和整式定义计算即可； （2）根据题意得，求出a，b即可解答； （3）将M去括号，合并同类项，再根据零和整式定义即可解答． 【完整解答】（1）解：选项A：，不符合题意； 选项B：，，符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，，不符合题意； 故选B． （2）解：与互为零和整式， ， ，， ； （3）解：， 所以 考点十：添括号 【例】（25-26七年级上·湖北孝感·月考）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，化简的结果是_____． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了整式的加减，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． （1）把看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可； （2）把变形，得到，再根据整体代入法进行计算即可． 【完整解答】（1）解：把看成一个整体， 则 ； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 【变式】（25-26七年级上·江西南昌·月考）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称为“相伴方程”．例如：方程与方程互为“相伴方程”． (1)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，则___________； (2)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，求的值． 【答案】(1)6 (2)9 【思路引导】本题为新定义问题，理解新定义是解题关键﹒ （1）根据“相伴方程”定义即可求出； （2）变形为，变形为，根据“相伴方程”定义得到，求出，代入即可求解﹒ 【完整解答】（1）解：∵关于的方程与方程互为“相伴方程”， ∴﹒ 故答案为：6； （2）解：变形为，变形为﹒ ∵关于的方程与方程互为“相伴方程”， ∴， ∴， ∴． 考点十一：整式的加减运算 【例】（25-26七年级上·河南安阳·期末）（）化简：； （）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（）；（）； 【思路引导】本题主要考查整式的加减运算，包括去括号、合并同类项法则，以及代数式的化简求值． （）通过合并同类项，将含的项、含的项分别合并，计算后得到化简结果； （）本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【完整解答】解：（） ． （） ． 当，时，原式． 【变式】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）列式表示出被遮挡的多项式，化简即可； （2）把代入（1）中结果求值即可； 【完整解答】（1）解：被遮挡的多项式 ． （2）解：当时， ． 考点十二：整式的加减中的化简求值 【例】（25-26七年级上·山东聊城·期末）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)化简求值：，其中，． 【答案】(1)37 (2)， 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果； （2）先去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得出结果． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 当，时， 原式 ． 【变式】（25-26七年级上·河南安阳·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛，如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为9，则代数式的值为______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为10，则代数式的值为______； （2）当时，代数式的值为11，当时，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查整式的化简求值，涉及整式运算、整体代入求值等知识，熟练掌握整式运算及整体代入思想是解决问题的关键． （1）读懂题意，利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （2）将代入，得到；再将代入化简求值，整体代入即可得到答案； （3）分析所求代数式与条件之间的关系，化简，代入数值求解即可得到答案． 【完整解答】解：（1） ， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴当时：； （3）∵，， ∴ ． 考点十三：整式加减中的无关型问题四 【例】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）“整体思想”是初中数学一种重要的思想方法，它在代数中应用较为广泛．如已知，求的值．根据已知条件我们虽无法直接求出与的值，但可以将看作一个整体，其值即为，而，将整体代入，即可求得． (1)已知，则__________； (2)若，求的值； (3)设多项式，若的结果与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了代数式求值、整式的化简求值等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键； （1）将所求代数式变形后整体代入即可； （2）将代数式变形后整体代入即可； （3）将化简后，因结果与无关，得出的值，整体代入代数式求值即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：， 将代入，原式 ； （3）解： ， ∵结果与的取值无关， ， ， ． 【变式】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知：． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了整式的加减-化简求值及无关型问题，非负数的性质，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减进行计算即可求解； （2）根据非负数的性质分别求出x、y，代入（1）的化简结果计算即可； （3）先合并关于y的同类项，再根据与y的取值无关列出方程求解即可． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴ ； （3）解：， ∵的值与y的取值无关， ∴， 解得：． 考点十四：整式加减的应用 【例】（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，公园有一块长为米，宽为米的长方形土地（一边靠墙），现将三边留出宽都是米的小路，余下部分设计成长方形花圃，用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． (1)花圃的宽为_____米，花圃的长为_____米（用含，的式子表示）； (2)求篱笆的总长度（用含，的式子表示，结果需化简）； (3)若篱笆的单价为60元/米，当，时篱笆的总造价是多少元？ 【答案】(1)， (2)米 (3)篱笆的总价为2400元 【思路引导】本题考查整式加减的实际应用，列代数式，代数式求值，根据题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）利用图中的信息计算即可； （2）由（1）可得花圃的长和宽，再根据长方形周长公式即可求出篱笆总长度； （3）将，代入（2）中的式子求出篱笆总长度，再乘以篱笆的单价即可求出总价． 【完整解答】（1）解：花圃的宽为米，花圃的长为米； （2）解：依题意篱笆总长米； （3）解：当，时，（米）， （元）． ∴篱笆的总价为2400元． 4【变式】（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图，长方形的长为，宽为． (1)根据图中的数据，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了列代数式和代数式的求值，列出代数式是解决本题的关键； （1）用矩形的面积减去两个三角形的面积即可； （2）把，，代入计算即可． 【完整解答】解：（1）由题意，得； （2）当，时，， ∴阴影部分的面积为． 考点十五：带有字母的绝对值化简问题 【例】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，数轴上的点A，B，C，D，E对应的数分别为a，b，c，d，e，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等． (1)填空：______0，______0，______0（填“”“”或“”）； (2)化简：； (3)若，，则的值是______． 【答案】(1)；； (2) (3) 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值，相反数和有理数的大小比较等知识点，能根据数轴得出是解此题的关键． （1）根据数轴得出，再比较即可； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可； （3）先求出b、e的值，再代入求出即可． 【完整解答】（1）解：从数轴可知：， ， 故答案为：；；； （2）， ； （3）， 互为相反数，则是原点， ，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等， ， ． 【变式】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）有理数a在数轴上的位置如图所示，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【思路引导】本题考查了整式的加减，根据数轴判断式子的符号，根据数轴判断，，进而可得，再化简绝对值，根据整式的加减进行计算即可求解． 【完整解答】解：根据数轴可得， ∴ ∴ ． 故选：A． 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）下列判断：①不是单项式；②是多项式；③0不是单项式；④是整式．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】此题考查了整式、单项式和多项式的定义，根据相关定义进行判断即可． 【完整解答】解：∵ 单项式是数字与字母的积， ∴ 是单项式，故①错误； ∵ 多项式是几个单项式的和， ∴ 是多项式，故②正确； ∵ 0 是数字，为单项式，故③错误； ∵ 整式要求分母中不含字母， ∴ 不是整式，故④错误； 综上，只有②正确， 故选：B． 2．（25-26七年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是0 B．单项式的次数是5 C．多项式的常数项为1 D．多项式的次数是7 【答案】D 【思路引导】本题考查单项式和多项式的概念，包括系数、次数和常数项，需根据定义逐一判断选项． 【完整解答】解：∵单项式的系数是1，不是0， ∴ A错误； ∵单项式的次数是，不是5， ∴ B错误； ∵多项式的常数项是，不是1， ∴ C错误； ∵多项式中，第一项次数为，第二项次数为，第三项是常数项，最高次数为7， ∴ D正确． 故选：D． 3．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）下面是正正同学完成的判断题，他做对的题数是（    ） ①30250（精确到百位）．（√） ②与互为相反数．（×） ③倒数等于本身的数有1和．（√） ④单项式的系数是，次数是2．（√） ⑤多项式是三次三项式，常数项是1．（×） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路引导】本题考查近似数，相反数，倒数，单项式和多项式，准确理解近似数、相反数、倒数、单项式和多项式的定义是关键．逐个判断题目的正误，对比正正的判断，统计做对的题数即可． 【完整解答】解：30250（精确到百位）； ，，故与互为相反数； 倒数等于本身的数有1和； 单项式的系数是，次数是1； 多项式是一次三项式，常数项是1． 故正确答案为：①×；②√；③√；④×；⑤×； 故正正做对了2题； 故选A． 4．（25-26七年级上·山东济南·期末）若关于的代数式（为常数）的值与字母的取值无关，则代数式的值为（   ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，由于代数式的值与x无关，故x的各次项系数均为零，即可求的值，再代值计算即可． 【完整解答】解：∵ ， 又∵ 值与x无关， ∴，且， 解得 ，， ∴． 故选：D． 5．（25-26七年级上·山东德州·期末）如果在数轴上表示a、b、c三个实数的点的位置如图所示，且那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查绝对值的意义，数轴及整式的加减．先由和数轴上a、b、c的位置判断其符号，再根据其与原点的距离判断出绝对值的大小，化简绝对值即可求解． 【完整解答】解：由和数轴可知： ，，，且， ∴， ∴ ， 故选：C． 6．（25-26七年级上·河南周口·期末）化简： ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【完整解答】解： ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）若单项式与单项式的和是单项式，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查合并同类项，同类项概念，代数式求值． 根据两个单项式的和是单项式，说明它们是同类项，进而推出相同字母的指数必须相等，据此建立等式求出的值，再代入式子计算，即可解题． 【完整解答】解：∵单项式与单项式的和是单项式， ∴它们是同类项， ∴且， 解得，， 则． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转第2026次后，点C所对应的数是 ． 【答案】2024 【思路引导】本题考查了整式的规律问题，熟练掌握求整式的规律问题的方法是关键．根据题意，先求出正方形翻转若干次后，点C所对应的数，然后找出规律，从而进行解答即可． 【完整解答】解：由题意得：正方形每翻转4次为一个循环，第一次翻转点C在数轴上的0处，第二次翻转点C仍然在数轴上的0处； 第五次翻转点C在数轴上的4处，第六次翻转点C仍然在数轴上的4处；依此类推： 即翻转1次后，点C所对应的数为0， 翻转2次后，点C所对应的数为0， 翻转5次后，点C所对应的数为， 翻转6次后，点C所对应的数为， 翻转9次后，点C所对应的数为， ， 翻转次后，点C所对应的数为， 翻转次后，点C所对应的数为， ， ， ． 故答案为：2024． 9．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）关于x的代数式（a，b为常数），下列说法： ①若，则代数式是关于x的二次三项式； ②若，，则关于x的方程的解为非负数； ③若时，代数式的值为3，则； ④当时，代数式的值为2，当时，代数式的值为 ，则； ⑤若，且当或时，代数式的值相等，则． 其中，一定正确的结论有 （填写序号即可] 【答案】①②③⑤ 【思路引导】本题考查了代数式的化简求值，多项式的相关概念，解题关键是熟悉代数式化简的基本运算；逐项判断：①由得且，故为二次三项式；②且时方程解为正；③代入得等式成立；④解得；⑤由值相等得，结合得． 【完整解答】解：对于①，若 ，则且，代数式中二次项系数，且有三项，故是关于的二次三项式，正确； 对于②，若且，则方程化为，解得，为非负数，正确； 对于③，当时，代数式值为3，即，整理得，即，故，正确； 对于④，当时，，即；当时，，即；联立方程解得，，故错误； 对于⑤，当或（）时代数值相等，即，故，化简得，因，故；又，即，正确； 故答案为：①②③⑤． 10．（25-26七年级上·河北保定·期末）已知，现将x，y，m，n任选两个字母作差，结果记为A，剩下两个字母作差，结果记为B，然后对式子进行去绝对值与去括号运算，称此为“绝差操作”． 例如：，，……，下列说法： ①一定存在两种“绝差操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有6种不同的“绝差操作”； ③所有的“绝差操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是 ． 【答案】1 【思路引导】本题主要考查了去括号和去绝对值，计算出选取，为和选取，为时的结果即可判断①；计算出所有的结果即可判断②和③． 【完整解答】解：①选取，为时， ； 选取，为时， ， ∴一定存在两种“绝差操作”，使其运算结果相等，故①正确． ②， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵把绝对值中两个字母的位置调换不会影响去绝对值的结果，且不会影响最后的“绝差操作”的结果， ∴当运算结果为时，有种不同的“绝差操作”，故②错误； ③由②可知一共有，，，，，这5种不同运算结果，故③错误； 故答案为：1． 11．（25-26七年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【完整解答】解： ， 当时，原式． 12．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，其余部分则需要铺设草皮，尺寸如图所示（单位：m）． (1)用含x的代数式表示草皮部分的面积（保留）； (2)当时，草皮部分的面积是多少？（取3） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查整式加减的应用及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可知草皮部分的面积，然后进行计算即可； （2）把代入（1）中代数式进行求解即可． 【完整解答】（1）解：由图可知： 草皮部分的面积 ； （2）解：由（1）可知：当时， 草皮部分的面积． 13．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【思路引导】本题考查多项式的定义和有理数的乘方运算，理解题目中的特殊值法是解题关键． （1）代入x的值，计算即可； （2）观察式子可知，每一项的系数均为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可； （3）观察式子可知，当的为奇数时，系数为，为偶数时，系数为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可． 【完整解答】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：取，则； （3）解：取，则． 14．（25-26七年级上·山东聊城·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，在足球赛事的数据统计中也常能用到． 例如：2025年鲁超联赛中，聊城传奇队获得亚军，我们把“聊城传奇队单场控球率差”看成一个整体，用表示，则某阶段3次控球率差的统计式为，可合并为． 请尝试解决： (1)聊城传奇队单场“实际射正数与对手射正数的差值”(简称“单场射正数差”)记为，某阶段3场比赛的射正数差统计为，合并这个代数式的结果是___________； (2)聊城传奇队统计联赛数据时，定义“进攻效率值”为．若某一阶段球队的进攻效率值恒为，求此时的值； (3)聊城传奇队用表示单场射门次数，表示单场被射门次数，赛事分析中得到两组数据关系：，利用整体思想求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了代数式求值． （1）直接将看作整体合并同类项即可； （2）根据题意得到，进而代入计算即可； （3）将化为，进而将代入计算即可． 【完整解答】（1）解： ． 故答案为：； （2）解：∵定义“进攻效率值”为，某一阶段球队的进攻效率值恒为， ∴， ∴ ； （3）解： ． 15．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）现在有边长分别为的两种正方形卡片若干（如图1），还有一个长宽分别为13，9的长方形． (1)如图2，将两种正方形卡片各一张放入长方形中，计算出阴影部分的周长，并用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)如图3，将两张边长为的正方形卡片放置在长方形中，用含的代数式表示阴影部分的周长； (3)如图4，将两张边长为的正方形卡片与四张边长为的正方形卡片放置在长方形中，用含的代数式表示阴影部分的周长，并求当时阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) (3)， 【思路引导】本题考查了图形的拼接，正方形与长方形的性质，通过图形的分割与平移表示出阴影部分的周长和面积是解题的关键． （1）根据正方形的四边相等，通过平移即可得出阴影部分的周长；用长方形的面积去掉两个正方形的面积即可求出阴影部分的面积； （2）阴影部分的图形是长方形，根据长方形的周长公式求解即可； （3）先通过图形的分割与平移可直接表示阴影部分的周长与面积，然后将值代入阴影部分的面积表达式即可求解． 【完整解答】（1）解：根据正方形四边相等，可知阴影部分的周长长方形的周长， 阴影部分的周长； 阴影部分的面积； （2）解：， 阴影部分是两个正方形的重叠部分， ； （3）解：， ， ， 当时， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $