5.1 方程 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

5.1 方程 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册 核心知识点 一、基础概念 方程的定义 定义：含有未知数的等式叫作方程。例如。 两要素： 必须是等式（用等号连接）； 必须含有未知数（如x、y）。 区分： 等式不一定是方程，方程一定是等式。 方程中的未知数可用任意字母表示（如a、b）。 一元一次方程 定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是 1，分母不含未知数的整式方程。例如： 标准形式：。 判断方法： 三要素：①只含一个未知数；②未知数次数为 1；③分母不含未知数。 易错点：需化简后判断，如，仍为一元一次方程。 二、核心概念 方程的解 定义：使方程左右两边相等的未知数的值。例如：的解。 检验方法：将未知数的值代入方程，验证左右两边是否相等。 例：检验。 等式的性质 性质 1（对称性）：若a = b，则b = a（等式两边可交换位置）。 性质 2（传递性）：若a = b且b = c，则a = c（多步等式推导依据）。 基本性质： 性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即若。 性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。即若。 应用：解方程的核心依据，如： 专项练习 一、选择题 1．下列变形中，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2． 已知a=2b， c=a， 那么a+b+c等于（　　） A．4b B．5b C．6b D．7b 3．用式子表示“比x的3倍小5的数等于x的4倍”为（　　） A．3x﹣5＝4x B．5﹣3x＝4x C． x﹣5＝4x D．3x﹣5＝ x 4．如果代数式 与 的值互为相反数，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．解方程系数化为1得，，变形的依据是根据等式的（　　）. A．基本性质1 B．基本性质2 C．基本性质3 D．基本性质4 6．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（　　） A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲ 二、填空题 7．与互为相反数，则的值为　 　. 8．根据条件“比的一半大3的数等于的7倍”中的数量关系列出方程为　 　． 9．如果 ，那么 　 　，这样做的依据是　 　． 10．将方程 移项得 ，你认为“移项”的依据是　 　． 11．在等式 的两边同时减去一个多项式可以得到等式 ，则这个多项式是　 　． 12．飞机在两城中飞行，顺风需要小时，逆风需要小时，风速为千米/时设飞机无风时速度为千米/时，则可得方程　 　 ． 三、解答题 13．是否可以由方程10x+3=5x﹣7经过变形得到方程4x=﹣8？若能，请说明是怎样变形的，依据是什么？若不能，请说明理由． 14．老师在黑板上写了一个等式：（a+3）x=4（a+3）．王聪说x=4，刘敏说不一定，当x≠4时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 15．已知m=n，下列等式成立吗? 根据是什么? （1）m+5=n+5； （2）-2m=-2n； （3） （4）m-n=0。 16．已知，小明发现在该等式中，当时，可以得到.请根据小明的发现，解答下列问题： （1）　 　，　 　. （2）求的值； （3）求的值. 17．已知a，b，c三种物体如图所示摆放. 回答下列问题： （1）a，b，c三种物体就单个而言哪个最重? （2）若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c? 18．小周学习《5.2等式的基本性质》后，对等式5m-2=3m-2进行变形，得出“5=3”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗? 小周同学的具体过程如下框所示： 将等式5m-2=3m-2变形 得5m=3m（第1步） ∴5=3（第2步） （1）哪一步等式变形产生错误? （2）请你分析产生错误的原因. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A中，若，则，原变形正确，所以A不符合题意； B中，若，，则，原变形错误，所以B符合题意； C中，若，则，原变形正确，所以C不符合题意； D中，若，则，原变形正确，所以D不符合题意. 故选：B． 【分析】本题考查了等式的性质，再等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立，据此逐项分析作答，即可的答案． 2．【答案】B 【解析】【解答】a=2b， c=a， a+b+c=2b+b+2b， =5b， 故答案为：B. 【分析】根据 a=2b， c=a 代入代数式化简即可求解. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵比x的3倍小5的数是3x﹣5，x的4倍的数是4x， ∴3x﹣5＝4x. 故答案为：A. 【分析】比x的3倍小5的数可表示为3x-5，x的4倍可表示为4x，根据两者相等可列出方程. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意，得 ， 解得： ， 故答案为：D． 【分析】根据互为相反数的两数相加等于0，列方程，再计算求解即可。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得解方程2x = -4的过程中，为了将未知数x的系数化为1，需要对等式两边同时除以2， ∴这个变形是根据等式的基本性质2进行的， 故答案为：B 【分析】根据等式的基本性质1是等式的两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式的基本性质2是等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，进而即可判断。 6．【答案】A 【解析】【解答】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c， 由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②， ∴得， ∴， ∴， 由②得，，即 ∴ ∴，故A不正确，B正确， ，故C，D正确， 故答案为：A ． 【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，得到，，然后代入a+b整理即可． 7．【答案】 【解析】【解答】与互为相反数， ， 解得：. 故答案为：. 【分析】由相反数的意义可得，解出x值即可. 8．【答案】 【解析】【解答】解：依题意得：， 故答案为：． 【分析】根据题目中语言叙述列方程即可． 9．【答案】；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立 【解析】【解答】解： ，那么 故答案为 ， 是根据等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立． 【分析】根据等式的性质，将x的系数化为一，即可得到答案。 10．【答案】等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等 【解析】【解答】移项的依据是：等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等． 【分析】根据等式的性质判断即可。 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴等式两边同时减去 得： ， ∴等式 的两边同时减去一个多项式 可以得到等式 ， 故答案为： ． 【分析】根据等式的性质和整式的加减进行计算即可。 12．【答案】 【解析】【解答】解： 设飞机在无风时的飞行速度为x千米/时，则顺风飞行的速度为（x+45）千米/时，逆风飞行的速度为 （x-45）千米/时，根据题意得： 4（x+45）=4.5（x-45）． 故答案为：4（x+45）=4.5（x-45）. 【分析】 根据顺风速度=无风速度+风速，逆风速度=无风速度-风速，先表示出飞机顺风飞行的速度和逆风飞行的速度，然后根据路程=速度×时间公式表示路程，利用路程相等列方程． 13．【答案】解：能，10x+3=5x﹣7方程两边同时减5x得：5x+3=﹣7．（等式性质1）方程两边同时减3得：5x=﹣10．（等式性质1）方程两边同时乘以得：4x=﹣8．（等式性质2） 【解析】【分析】可先将方程变形为5x=﹣10，然后方程两边同时乘以即可变形为4x=﹣8． 14．【答案】解：他俩的说法正确， 当a+3=0时，x为任意实数， 当a+3≠0时，x=4． 【解析】【分析】利用等式的基本性质分别得出答案． 15．【答案】（1）解：根据等式性质1，等式两边同时加上同一个数（此处为5），等式仍成立。 ∴成立。 （2）解：根据等式性质2，等式两边同时乘以同一个数（此处为-2），等式仍成立。 ∴成立。 （3）解：等式两边同时除以3应得，但题目中右边为负号，与等式性质不符。 ∴不成立。 （4）解：由，移项得，符合等式性质。 ∴成立。 【解析】【分析】（1）根据等式的基本性质，等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除非零数）后等式仍成立，据此分析即可； （2）根据等式的基本性质，等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除非零数）后等式仍成立，据此分析即可；， （3）根据等式的基本性质，等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除非零数）后等式仍成立，据此分析即可； （4）根据等式的基本性质，等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除非零数）后等式仍成立，据此分析即可. 16．【答案】（1）0；1 （2）解：当时，可以得到 = （3）解： 【解析】【解答】解：（1）当x=-1时，-a+b-c+d=0； 当x=0时，可得d=1； 故答案为：0；1. 【分析】（1）根据等式的性质和题中的发现，分别将x=-1和0代入等式，即可求得； （2）根据代数式前面的系数的规律，可将x=2代入即可直接求得代数式的值； （3）分析所求代数式的系数，发现刚好一 一等于等于8a+4b+2c+d和-a+b-c+d的系数之和，所以所求代数式的值就等于8a+4b+2c+d和-a+b-c+d代数式的值之和. 17．【答案】（1）解：由图可得：3a=4b，3b=4c ∴3a=4b，等式两边同时除以3，得a=43b， 3b=4c，等式两边同时除以4，得34b=c. ∵43b＞b＞34b ∴a＞b﹥c ∴ a，b，c三种物体就单个而言a最重. （2）解：∵3a=4b，3b=4c ∴b=34a，b=43c ∴34a=43c ∴9a=16c ∴若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c、要使天平平衡，天平一边至少放9个物体a，天平另一边至少放16个物体c 【解析】【分析】（1）运用等式性质2，可得a=43b，34b=c.运用等式性质4：如果 a=b，b=c，那么 a=c.(传递性)，可得a＞b﹥c.即得答案； （2）运用等式性质2，可得b=34a，b=43c；运用等式性质4，可得9a=16c.即可以得出答案. 18．【答案】（1）解：第2步 （2）解：由第一步可得5m=3m 两边同除m，根据等式的性质2可得，等式两边同除不为0的数，等式仍然成立，但本题并未说明m≠0，故错误 【解析】【分析】（1）根据等式的性质2可得，等式两边同除不为0的数，等式仍然成立，以及m的取值可得结果； （2）根据等式的性质2可得，等式两边同除不为0的数，等式仍然成立，根据本题中m的范围可得结果 学科网（北京）股份有限公司 $$