专题06 数轴上的动点压轴问题（4大知识点+4大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材人教版

专题06 数轴上的动点压轴问题 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 行程问题 1. 基本表示：动点坐标 = 起点坐标 ± 速度 × 时间 (±由方向决定)。 2. 三大模型： 相遇：两动点路程之和 = 初始距离。 追及：两动点路程之差 = 初始距离（快追慢）。 往返运动：注意速度或方向发生变化的时间节点。 3. 核心方法：根据等量关系（相遇、追及、已知距离）列一元一次方程求解时间。 知识点02 定值问题 1. 代数式表示：用含时间t的式子表示所涉及的线段长度（距离公式）或点坐标。 2. 代数运算：将需要证明的“和、差、倍数”等表达式进行合并、化简。 3. 核心结论：含t的项在运算后相互抵消，结果为常数，与时间t无关。 知识点03 最值问题 1. 距离和最小（“将军饮马”原理）：当动点位于两定点之间时，其到两定点的距离之和最小。 2. 绝对值的几何意义：形如|x-a|+|x-b|的最小值在a ≤ x ≤ b时取得，最小值为|a-b|。 3. 核心思路：将问题转化为求两点之间线段最短或寻找使绝对值取最小值的区间。 知识点04 新定义问题 1. 阅读理解：准确理解新定义的规则、公式或运算（如“倍点”、“伴点”、新的距离计算等）。 2. 模型转化：将新定义转化为用坐标、距离、中点等标准数学语言表达。 3. 分类讨论：根据新定义的要求，对动点的位置、运动方向、时间范围进行周密讨论。 4. 核心能力：现学现用，将陌生问题翻译为熟悉的数轴模型。 通用核心：所有题型都依赖于 ①用字母（t）表示动点坐标和②掌握两点间距离公式（绝对值）这两大基石，结合方程思想、分类讨论思想和数形结合进行分析。 【考点1 数轴上的动点之行程问题】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： 当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ 当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)； (2)当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据数轴上两点之间的距离，计算求解即可； （2）由题意知，运动过程中，P点表示的数为，Q点表示的数为，由点P与点Q相遇，可得，计算求解即可； 由题意可知，之间的距离为分为：当P不超过Q时，当P超过Q时，分别计算求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点A表示的数为6， 则 点B在原点左边， 数轴上点B所表示的数为； 动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点P运动t秒的长度为， P所表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得，解得， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； 当P不超过Q时，则，解得； 当P超过Q时，则，解得； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，设移动时间为秒．如图，若用，，分别表示点与点，点，点之间的距离，试回答以下问题． (1)运动秒时， ， ， ； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示点与点，点，点之间的距离： ， ， ； (3)经过几秒后，点到点，点的距离相等此时点表示的数是多少 (4)如图，当动点从点出发以单位秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位秒速度向左运动，，两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的，使，两点到点的距离相等．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22 (2)，， (3)，表示的数是 (4)存在，秒或秒 【分析】本题主要是考查了数轴上两点间的距离，数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． （1）可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可求得的长度； （2）当点P运动了t秒时，可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可的长度； （3）设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，由（2）知，得到关于t的方程，解方程即可； （4）先求出P、Q两点在不同段的运动时间，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，利用距离相等关系，列出关于t的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向右移动， ∴，， 当时，，，， 故答案为：，，； （2）解：依题意，当点运动了秒时， 则，点表示的数为， ，， 故答案为：；，； （3）解：， ， 即或， 解得：， 点表示的数为； （4）解：点在上的运动时间为秒，在上运动时间为秒，在上运动时间为秒； 点在上运动的时间为秒，在上运动时间为秒，在上运动时间为秒； 当时，点在上，表示的数为，点在上，表示的数是， ， 解得：（不符合题意）； 当时，点在上，表示的数为，点在上，表示的数是， ， 方程无解； 当时，点，都在上，当，两点重合时，它们到的距离相等，表示的数为，表示的数为， ， 解得； 当时，点在上，点在线段上， 此时不存在点，两点到点的距离相等； 当时，在射线上，在射线上，表示的数为，表示的数为， ， 解得， 综上所述，的值为秒或秒． 【变式2】（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，如：数轴上点、点表示的数分别为，且，则两点之间的距离可表示为，若，则两点之间的距离可表示为；线段的中点表示的数为，利用这些规律可以解决许多数学问题． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①两点间的距离__________，线段的中点表示的数为__________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为__________；点表示的数为__________． (2)求当为何值时，两点相遇，并求出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，，并请你直接写出此时的中点表示的数． 【答案】(1)①，；②； (2) (3)当为或时，，此时的中点表示的数分别为和 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）①根据题意解答即可得到答案；②根据题意列出代数式即可； （）当两点相遇时，两点表示的数相等，列方程求解即可； （）秒后，点表示的数，点表示的数为，然后分两种情况求解：①当点在点右侧时；②当点在点左侧时，根据题意列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：①∵点表示的数为，点表示的数为， ∴两点间的距离，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； ②由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：秒后，点表示的数，点表示的数为， ，两点相遇时，， 解得， ∴此时相遇点所表示的数为：； （3）解：秒后，点表示的数，点表示的数为， 分两种情况：①当点在点右侧时，， ∵， ∴， 解得， 此时点表示的数，点表示的数为， ∴此时的中点表示的数为； ②当点在点左侧时，， ∵， ∴， 解得， 此时点表示的数，点表示的数为， ∴此时的中点表示的数为； 综上，当为或时，，此时的中点表示的数分别为和． 【变式3】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）在长方形中，．动点初始位置分别在点和点处，点，点运动速度分别是每秒1个单位长度和每秒2个单位长度；设运动的时间为秒． (1)如图1，若点从点出发，以顺时针方向在长方形上匀速运动，当时， ；当点第一次运动到上，不与两点重合时， （用含t的代数式表示）； (2)如图1，若点、同时从初始位置出发，都以顺时针方向在长方形上匀速运动，当、第一次相遇时，求的值； (3)如图2，若点同时从初始位置出发，点以顺时针方向，点以逆时针方向分别在长方形上作匀速运动，点运动到点停止运动，点运动到点停止运动； ①当为何值时，； ②当两点在运动路线上相距3个单位长度时，直接写出的值． 【答案】(1)4， (2) (3)①或或时，；②当或时，、两点相距的路程为3 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，列出代数式，建立方程求解． （1）当时，点运动的路程为，则点在上，那么根据即可求解； （2）第一次相遇，则点运动的路程减去点运动的路程等于的长，据此列方程求解； （3）①分类讨论，列方程求解，注意点与点重合时，此时点与点重合也符合题意； ②分两种情况讨论：点相遇前，可得方程；相遇后，可得方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴， ∴当时，点运动的路程为 ∴点在上， ∴； 当点第一次运动到上，， 故答案为：4，； （2）解：由题意得，， 解得； （3）解：①点运动到点用时；点运动到点用时； 则当在上时，由得，，解得； 当点在上时，由得，，解得； 当点P运动到点时，则，用时，此时点与点重合，那么，满足， ∴， 综上：或或时，； ②点相遇前，则由题意得，，解得； 相遇后，则由题意得，，解得， 综上：当或时，、两点相距的路程为3． 【考点2 数轴上的动点之定值问题】 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b．其中，式子是关于x的二次三项式， (1)点P为数轴上A点左边一点，且，求点P在数轴上对应的数． (2)在（1）的条件下，若点P、A、B三点在数轴上同时向右运动，点P、A、B的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点P运动的时间为t秒，当时，求t的值． (3)如图（2），点C在数轴上对应的数是1，点A、C的速度分别是3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，当点A向左运动，点C向右运动，试问是否存在一个常数k使得不随运动时间t的改变而改变，若存在，请求出k；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P对应的数为 (2)t=3 (3)当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴动点问题、一元一次方程实际应用． （1）由二次三项式可求，，进而表示出和，建立方程求解即可； （2）先将动点用含t的式子表示出来，进而在表示两点距离，这里有两种方法一则是利用绝对值，再分类讨论，二则是先分类讨论，然后表示，最后利用建立方程求解即可； （3）和第二问一样，先表示出动点，再分类讨论，要与t无关，令t的系数为0即可得解． 【详解】（1）解：是关于x的二次三项式， ，， ，， 点A表示的数为，点表示的数为4， 设P对应的数为， 根据题意可得：，， ， ， 解得：， 答：点P对应的数为； （2）解：当运动的时间为t秒时， 点P表示的数为：，点A表示的数为：，点B表示的数为：， ，， ， ， 或， 当时，方程无解， 当时， 解得：， 的值为3； （3）解：当运动t秒时，点A对应的数为：，点C对应的数为：， ，， 分以下两种情况讨论： ①当时，， ， ， 解得； ②当时，， ， ， 解得； 综上，当时，，当时，． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图1，若数轴上点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，则： ①数轴上 A，B 两点的中点 M 表示的数为； ②A，B 两点间的距离 AB 可表示为． 【问题背景】如图2，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，点C位于原点O的左侧，且．动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为． (1)【知识技能】数轴上点C表示的数为 ，点P表示的数为 用含t的代数式表示． (2)【数学理解】设点M是的中点，点N是的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长度． (3)【深入探究】动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若P，Q，R三点同时出发，在运动过程中，当t为何值时，点P到点R的距离与点P到点Q的距离相等? 【答案】(1)； (2)点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5 (3)t的值为1或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出运动时间为t秒时点P所表示的数；（2）根据各点之间的关系，用含t的代数式表示出点M，N表示的数；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设点C表示的数为x，根据，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出点C表示的数，根据点P的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，即可用含t的代数式表示出运动时间为t秒时点P所表示的数； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，结合M是的中点，N是的中点，可得出点M表示的数为，点N表示的数为，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设点C表示的数为x， 根据题意得：， 解得：， 数轴上点C表示的数为， 当运动时间为t秒时，点P表示的数为． 故答案为：，； （2）解：线段的长度不发生变化，其值为． 当运动时间为t秒时，点P表示的数为， 是的中点，N是的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，其值为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：t的值为1或． 【变式2】（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点C之间的距离记作 (1)求a，c的值； (2)若数轴上有一点D满足，则D点表示的数为____，并说明理由； (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A的速度每秒2个单位长度，点C的速度为每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点C向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点C向右运动，的值不随时间t的变化而改变，通过计算求出m的值． 【答案】(1)， (2)D所表示的数为或，理由见详解 (3)①或 ② 【分析】（1）根据多项式的次数及常数项定义解题； （2）分三种情况讨论，当当点D在点A的左侧时，或当点D在点A和点C之间时，或当点D在点C的右侧时，根据数轴上两点间距离的数量关系解题即可； （3）①t秒后，，，根据时，列出绝对值方程求解即可得出答案． ②设运动时间为t秒时，分别写成出点表示的数为，点表示的数为，可以用t表示出来，即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式的常数项是a，次数是c ∴， （2）解：由（1）得 设点D表示的数为n ①如图，当点D在点A和点C之间时 ， ∵， ∴， ∴ ②如图，当点D在点A的左侧时 ， ∵ ∴ ∴ ③如图，当点D在点C的右侧时 此时不满足 ∴不合题意，舍去 综上所述点D所表示的数为或 （3）解：①∵点B所表示的数是1，点A代表的数是，点C代表的是20， ∴后，A代表的数是：，点B代表的数是：，点C代表的数是：， ∴，， 则当时， 即， 则，或者 解得：或． ②∵点B所表示的数是1 ∴， 当运动时间为t秒时，根据题意得： ， ∴ ∵的值与t无关， ∴， ∴ 【变式3】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知数轴上有三点A，B，C，点B是线段的中点． (1)若点A对应的数是，点C对应的数是8，则点B对应的数是_____； (2)在（1）的条件下，若点A对应的数是x，点C对应的数是y，请你猜想：线段的中点B对应的数是_______(含x的代数式表示) (3)图2，在数轴上，若点对应的数分别是点A是线段中点，动点、分别从D、B两点同时出发沿数轴向左运动，点、的速度分别为10单位长度/秒、5单位长度/秒，点M为线段中点，在上述运动过程中， ①为何值． ②的值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)当为秒时；②不变，值为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，解一元一次方程，列代数式，线段的和差关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，根据中点的性质得到，即可得到点表示的数； （2）根据点对应的数是，点对应的数是，线段的中点表示的数是，故猜想点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是，即可作答． （3）①由题意得到，，计算出，，可得到，根据为的中点，得到，根据，即可得到的值； ②由①可知：，，，，，根据点是的中点，得到，可得到，整理得出为定值，原题得证． 【详解】（1）解：∵ 数轴上点对应的数是，点对应的数是， ， 而点是线段的中点， ， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为； （2）解：由（1）得数轴上点对应的数是，点对应的数是，线段的中点表示的数是， 则， 当点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是， 故答案为； （3）解：∵点对应的数是，点对应的数是，点表示的数是， ，， ∵动点、分别从D、B两点同时出发沿数轴向左运动，点、的速度分别为10位长度/秒、5单位长度/秒， ∴，， ， ∴为的中点， ， ， 解得：， 即当为秒时； ②不变，理由如下： 由①可知：，，，，， ∵为的中点， ， ，则， 为定值． 【考点3 数轴上的动点之最值问题】 【例3】（24-25七年级上·四川成都·期末）【阅读理解】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题，数轴上，若、两点分别表示数、，那么、两点之间的距离与，两数的差有如下关系：． 【问题解决】 如图，数轴上的点、分别表示有理数，． （1）、两点之间的距离为________； （2）点为数轴上一点，在点的左侧，且，则点表示的数是________； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，、两点间的距离为个单位长度？ （4）利用以上知识探索：直接写出当代数式有最小值时的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4） 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出结果即可； （2）根据点为数轴上一点，在点A的左侧，且，点A表示的数为，求出点C表示的数即可； （3）分两种情况，当点向右运动时，当点向左运动时，分别列出方程，解方程即可； （4）根据绝对值的几何意义，即可求解．． 【详解】（1）解：由题意可得， A，两点之间的距离为：； 故答案为：． （2）解：∵点为数轴上一点，在点A的左侧，且，点A表示的数为， ∴点表示的数为：； 故答案为：． （3）解：当点向右运动时， 根据题意，得：， 解得； 当点向左运动时， 根据题意，得：， 解得， 故当或时，，两点之间的距离为12个单位长度； （4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， ∴当时，， ∴当满足时，代数式有最小值为7． 【变式1】（24-25七年级上·广东珠海·期末）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点之间的距离．例如：点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点间的距离可表示为． 【问题解决】A，B，P三点在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，点P对应的数为x． (1)_______；_______ (用含x的代数式表示) (2)代数式的最小值为_______． (3)若点P从原点出发，与点B同时向左运动，点B的速度为3个单位长度/秒，点P的速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，是否存在某个时间t，使得A，B，P三点中，其中一点是另外两点所连成线段的中点．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2)5 (3)1 秒或秒或秒 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，中点的计算，一元一次方程与几何问题，掌握动点的数量关系，两点之间距离的计算，中点的计算方法正确列式求解是解题的关键． （1）根据材料提示的两点之间距离的计算即可求解； （2）根据材料提示的两点之间距离的计算即可求解； （3）根据两点之间距离，中点的计算方法，分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：5，； （2）解：代数式的最小值为5． （3）解：设第秒时，点B的位置为，点P的位置为， 当时，P、B 重合；当 时，A、B 重合；当时，P、A 重合， ①当 时，存在 P 为的中点，，则， 解得； ②当时，存在 B 为 的中点，，则， 解得； ③当时，存在 A 为 的中点，，则， 解得； ④当 时，存在 P 为 的中点，，则， 解得（不在取值范围内，舍去）． 故第 1 秒或秒或秒时，A、B、P 三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点． 【变式2】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图，数轴上两点M、N对应的数分别是，4，点P是数轴上的一动点，其对应的数为x． (1)【概念理解】 一般地、数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．由此可得点M，N之间的距离________． (2)【数学思考】 若数轴上的点C，D，E表示的数分别是，2，8． ①点P到C，D两点的距离之和的最小值为_______； ②当_____时，取最小值． (3)【拓展应用】 如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．当点P，Q，M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1)10 (2)①6；②2 (3)t的值为或5或或4 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴． （1）由，得； （2）①当点P在C，D两点之间时，点P到C，D两点的距离之和最小为线段的长； ②根据的几何意义得：当时，的值最小； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：10； （2）解：①当点P在C，D两点之间时，点P到C，D两点的距离之和最小为线段的长， ， 故答案为：6； ②当时，的值最小为， 故答案为：2； （3）解：P表示的数为，Q表示的数为， 当点Q到达点M时，，得； ∵当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动， ∴； 分以下三种情况： 当时， ∴， 解得或； 当时， ∴， 解得（舍去）或， 当时， ∴， 解得（舍去）或， ∴综上所述，t的值为或5或4或． 【变式3】（24-25七年级上·云南保山·期末）阅读材料解决问题． 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了这样的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点间的距离（或）． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为-4，点表示的数为6，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：①、两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)求当为何值时，； (3)若点表示的数记为，是否存在一个值使代数式的值最小，若存在请直接写出的值和的最小值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)①10；②； (2)或 (3)当时的值最小，最小值为10 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用方程和数形结合的思想解答． （1）①根据点表示的数为，点表示的数为6，即可得到、两点间的距离；②依据点，的运动速度以及方向，即可得到结论； （2）根据，可以求得相应的的值； （3）根据题意可知表示p的点到，，三个点距离的和，当点与重合时最小． 【详解】（1）①A、B两点间的距离； ②用含t的代数式表示：秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 故答案为：①10；②，； （2）秒后，点表示的数，点表示的数为， ， 又， ， 解得：或， 当或时，； （3）存在一个，使代数式的值最小， ∵ ∴表示p的点到，，三个点距离的和， ∴当点与重合时， 当时的值最小，最小值为10． 【考点4 数轴上的动点之新定义型问题】 【例4】（25-26七年级上·全国·期末）【新知理解】如图，点在线段 上，图中共有三条线段，和 ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段 的“巧点”． （1）下列说法正确的有______（填序号）． 若点是线段的中点，则点是线段 的巧点； 若点在线段上，且，则点是线段 的巧点； 【解决问题】（2）已知线段，动点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动，点， 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，， ， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点？ 【答案】（）（）当为或或或或时，，， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点． 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和与差，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （）通过线段中点的定义，线段的和与差，“巧点”定义逐一判断即可； （）由题意知， ，根据题意可得点不可能为线段 的巧点，然后分当点为线段的巧点时，当点为线段的巧点时，两种情况分别列方程求解即可， 【详解】解：（）∵点是线段的中点， ∴， ∴点是线段 的巧点，故正确； ∵点在线段上，且， ∴， ∴点是线段 的巧点，故正确； 故答案为：； （）由题意知，， ， 由题意可得点不可能为线段 的巧点， 故分两种情况：当点为线段的巧点时， ，即，解得 ； ，即，解得 ； ，即，解得 ． 当点为线段的巧点时， ，即，解得 （舍去）； ，即，解得 ； ，即，解得 ． 综上所述，当为或或或或时，，， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【分析】本题主要考查了线段的和差，两点之间的距离，中点的定义， 对于（1），先根据，结合C是线段的“五美点”，可得或，然后根据的长度得出答案； 对于（2）①，先根据点D、F均为线段的“五美点”，且，可得，，即可得，再根据K为线段的中点得出，然后根据得出答案； ②先根据点P，点Q在数轴上表示的数，及点P追上点Q时，求出， 分两种情况：点E是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可；点P是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）∵C在线段上， ∴． ∵C是线段的“五美点”， ∴或，即或． ∴或． 又∵， ∴或1． 故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，， ∴， ∵K为线段的中点， ∴， ∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ， 解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或， 解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或， 解得：或， 综上：或或或 【变式2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【概念学习】 定义：点，，为数轴上的任意三点（点不与，重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，，，则点是的“2值点”，记作：．    【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6；    ①若点，，表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是________； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是________； 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值； 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点，表示的数分别是，且，不与，重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）．    【答案】（1）①；②0或；（2）或；（3） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题，根据新定义列出方程，认真理解新定义是解题的关键． （1）①求出两点之间距离，根据题中新定义再判断即可． ②设点所表示的数是x，根据得出，求解即可． （2）由题意得出，，根据，得出，列出方程或，求解即可． （3）由题意得出，，根据，得出，结合，化简得出，表示出，，得，即可求解． 【详解】解：（1）①∵点，点表示的数分别是和6，点，，表示的数分别是，，3， ∴，故点不是的2值点； ，故点不是的2值点； ，故点是的2值点； 故答案为：； ②设点所表示的数是x， ∵， 则， 解得：或， 故答案为：0或； （2）由题意，，， ∵， ∴， 即或， 解得：或； （3）由题意，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴， 即， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10，点D在数轴上对应的数是，点E在数轴上对应的数是2．阅读并解决相应问题． 问题发现： 对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：． (1)初步体会： 如图1，若，且点C在数轴上对应的数是5，则_______； (2)类比探究： 如图2，点M从D点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从E点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若，求出t的值； (3)拓展延伸： 如图3，点P从D点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点H从A点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为t秒，在运动的过程中，若存在数轴上点Q满足：，点P到点Q的距离记为a，点H到点B的距离记为b，且，直接写出所有符合条件的t的值． 【答案】(1)2 (2)或 (3)的值为或或或 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式求出和，再根据“整距点”的定义解答即可求解； （2）由题意得，运动时间为秒后，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，即得，，再根据“整距点”的定义列出方程解答即可求解； （3）由题意得，运动时间为秒后，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，设点在数轴上对应的数是，根据“整距点”的定义可得，解得或，再分两种情况列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是5， ∴，， ∵， ∴； （2）解：由题意得，运动时间为秒后，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是， ∴，， ∵，     ∴ 即或， 解得：或； （3）解：由题意得，运动时间为秒后，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是， 设点在数轴上对应的数是， ∵ ∴， 即或， 解得:或， ∴点在数轴上对应的数是或， ①当点在数轴上对应的数是时， 则，， ∵， ∴， 解得：或； ②当点在数轴上对应的数是时， 则，， ∵， ∴， 解得或； 综上所述，的值为或或或． 一、单选题 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ∴， ， ∴的值不变，故②错误； ， ， 解得：，故③正确； 故选：D． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据点恰好是点，的“2倍点”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：或， 解得：或， 的值为或1． 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在长方形中，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，到点C停止；同时动点Q从点B出发，以每秒的速度在B、C间做往复运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间是x（秒），则下列结论不正确的是（　　） A．点Q运动时间为16秒 B．的长表示为或 C．当或或时，P、Q两点相遇 D．或 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，求出点的运动时间判断A，分点在和上两种情况，分别求出的长和，判断B和D，分三种情况，列出方程求出P、Q两点相遇所需的时间，判断C． 【详解】解：点Q运动时间为（秒），故A选项正确； 当时，点P在上运动， ∴；； 当时，点P在上运动， ∴；； 故B选项正确，D选项错误； 当P与Q第一次相遇时，根据题意，得，解得：； 当P与Q第二次相遇时，根据题意，得，解得：； 当P与Q第三次相遇时，根据题意，得，解得：； 综上，当或14或时，P、Q两点相遇．故C选项正确； 故选D． 二、填空题 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，在长方形ABCD中，，，动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．当 时，点P与点Q在运动路径上的距离相差5个单位长度． 【答案】或或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．分四种情况，根据题意列出方程并解方程即可． 【详解】解：分四种情况： ①当点P在上，点Q在上时，点P与点Q的距离相差5个单位长度， 由题意，可得， 解得； ②相遇前点P与点Q的距离相差5个单位长度． 由题意，可得， 解得； ③相遇后点P与点Q的距离相差5个单位长度． 由题意，可得， 解得； ④当点Q到达终点后，点P与点Q的距离相差5个单位长度， 由题意，可得， 解得； 综上所述，满足题意的t的值为或或或． 故答案为；或或或． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：如图1，点在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“绝美点”．如图2，已知，动点分别从点同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“绝美点”时，最大值与最小值的差为 ． 【答案】3 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用、新定义问题的求解、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． 分三种情况求t的值，一是，则；二是，则；三是，则，解方程可知t的最大值和最小值，求出它们的差即得到问题的答案． 【详解】解：∵点P是线段的“美点”， ∴或或， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， ∵， ∴t的最大值为7，最小值为4， ∴， 故答案为：3． 6．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，．动点，同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿匀速运动回到点停止运动．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为（）．当点，到点的距离相等时，的值是 ． 【答案】或或或4 【分析】本题主要考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清动点的运动方向、速度、时间以及两个动点的运动是属于相遇问题还是属于追及问题． 分三种情况：①当点P在点C的左侧时，②当点P在点C的右侧时，即P、Q第一次重合，③当点P到达B返回时，在点C右侧时，点，到点的距离相等，即P、Q第二次重合，④当点P到达B返回时，在点C左侧时，点，到点的距离相等，据此分别列方程并求解即可． 【详解】解：①当点P在点C的左侧时， 点，到点的距离相等， 可得：，解得； ②当点P在点C的右侧时， 点，到点的距离相等，即P、Q重合， 可得，解得； ③当点P到达B返回时，在点C右侧时，点，到点的距离相等，即P、Q第二次重合， 根据题意得：， ∴，解得； ④当点P到达B返回时，在点C左侧时，点，到点的距离相等， ∴，解得；此时点Q已到达终点B． ∴t的值为或或或4． 故答案为：或或或4． 三、解答题 7．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 已知在数轴上有，两点，点表示的数为，点在点的左边，且．若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向点匀速运动，动点从点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向点匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． 【建立模型】 （1）点表示的数是 ． （2）设运动时间为秒，则 ， ． （3）当 秒时，、停止运动． 【探索问题】 （4）求为何值时，点与点重合？ （5）问点运动多少秒与点相距个单位长度？ 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）当时，点和点重合；（5）点运动秒或秒时与点相距个单位长度 【分析】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，列代数式； （1）点A表示的数为8，点B在A点的左边，且，即可求解； （2）根据路程等于速度乘以时间，即可求解； （3）根据路程除以速度，即可求解； （4）当时，点和点重合，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （5）分当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）∵点A表示的数为8，点B在A点的左边，且 ∴点表示的数是： 故答案为：． （2）设运动时间为秒，依题意，，． 故答案为：，； （3） 故答案为： （4）当时，点和点重合． 由此可得： 解得 当时，点和点重合． （5）当点在点的右侧时， 解得 当点在点的左侧时， 解得 点运动秒或秒时与点相距个单位长度． 8．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）数轴上点A、B对应的数分别为a、b，多项式的二次项系数为a，常数项为b． (1)求线段的长． (2)如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，当时，求此时点P对应的数． (3)在（2）的条件下，点M从原点与点P，Q同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度，在运动过程中，是否存在x，使得为定值？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)8或104 (3)存在， 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，多项式，数轴，找到题目的等量关系是解本题的关键． （1）根据多项式的定义可求a，b，再根据两点间的距离公式即可得出结论； （2）利用两点间的距离公式求得的长度，然后结合题意列出方程并解答； （3）根据题意得到，根据结果与t无关，得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式的二次项系数为a，常数项为b ∴， ∴， （2）解：当点P位于点B左边时，． 由，得， 解得， 此时点P对应的数为8， 当点P位于点B右边时，， 由，得， 解得 此时点P对应的数为104． 综上所述，点P对应的数为8或104； （3）由题意得：点P表示的数为，点M表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ， ， ， 当时，， 此时解得，且满足． 故当时，为定值8． 9．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （1）填空：若，则______；若，则______． 【延伸探究】 （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和？（直接写出答案） 【答案】（1）3或1；； （2）或 （3）或 【分析】本题主要考查整式的加减运算，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义即可； （2）设点表示的数为，依题意，得再根据绝对值的意义分三种情况讨论即可； （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，再分情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵， ∴或 解得或1； ∵即 ∴表示的数为1和的中点 ∴ （2）∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴设点表示的数为， ∵动点到点、点的距离之和为10， ∴ 当时，，， 解得； 当时，，， 此情况不成立，舍去 当时，，， 解得； ∴当经过或秒时，动点到点、点的距离之和为10， （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，则点表示的数为4， 点、表示的数分别为， 点、之间的距离为 点到点、点的距离和 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 时，，， 即 解得 不在取值范围内，舍去； 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 所以经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和． 10．（24-25七年级上·山西运城·期末）问题引入 对于数轴上的线段和点（点不在线段上），给出如下定义：M为线段上任意一点，我们把C，M两点间距离的最小值称为点C关于线段的“最近距离”，记作；把C，M两点间距离的最大值称为点C关于线段的“最远距离”，记作． 已知点A表示的数为，点B表示的数为4． 若点C表示的数为5，如图，则，． 问题解决 （1）若点C表示的数为，则______，______． （2）若点C表示的数为n，且点C在点B的右侧，，求n的值． 拓展延伸 （3）若点P和点Q为数轴上的两点（点P和点Q均不在线段上），点P表示的数为x，点Q表示的数为，表示点P关于线段的“最近距离”，表示点Q关于线段的“最远距离”，若是的2倍，求x的值． 【答案】（1）3；14；（2）；（3）的值为或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及一元一次方程的应用，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）根据定义即可得，； （2）根据点C在点B的右侧，列出关于n的方程，解方程即可； （3）分两种情况：点P在点的左侧时，点Q在点的右侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）点表示的数为， ， ． （2）∵点C在点B的右侧， ∴，， ∵， ∴， 解得：． （3）当点P在点的左侧时， ， ， 是的2倍， ， 解得：； 当点Q在点的右侧时， ， ， 是的2倍， ， ； 综上所述：的值为或． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数轴上的动点压轴问题 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 行程问题 1. 基本表示：动点坐标 = 起点坐标 ± 速度 × 时间 (±由方向决定)。 2. 三大模型： 相遇：两动点路程之和 = 初始距离。 追及：两动点路程之差 = 初始距离（快追慢）。 往返运动：注意速度或方向发生变化的时间节点。 3. 核心方法：根据等量关系（相遇、追及、已知距离）列一元一次方程求解时间。 知识点02 定值问题 1. 代数式表示：用含时间t的式子表示所涉及的线段长度（距离公式）或点坐标。 2. 代数运算：将需要证明的“和、差、倍数”等表达式进行合并、化简。 3. 核心结论：含t的项在运算后相互抵消，结果为常数，与时间t无关。 知识点03 最值问题 1. 距离和最小（“将军饮马”原理）：当动点位于两定点之间时，其到两定点的距离之和最小。 2. 绝对值的几何意义：形如|x-a|+|x-b|的最小值在a ≤ x ≤ b时取得，最小值为|a-b|。 3. 核心思路：将问题转化为求两点之间线段最短或寻找使绝对值取最小值的区间。 知识点04 新定义问题 1. 阅读理解：准确理解新定义的规则、公式或运算（如“倍点”、“伴点”、新的距离计算等）。 2. 模型转化：将新定义转化为用坐标、距离、中点等标准数学语言表达。 3. 分类讨论：根据新定义的要求，对动点的位置、运动方向、时间范围进行周密讨论。 4. 核心能力：现学现用，将陌生问题翻译为熟悉的数轴模型。 通用核心：所有题型都依赖于 ①用字母（t）表示动点坐标和②掌握两点间距离公式（绝对值）这两大基石，结合方程思想、分类讨论思想和数形结合进行分析。 【考点1 数轴上的动点之行程问题】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： 当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ 当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）已知数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，设移动时间为秒．如图，若用，，分别表示点与点，点，点之间的距离，试回答以下问题． (1)运动秒时， ， ， ； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示点与点，点，点之间的距离： ， ， ； (3)经过几秒后，点到点，点的距离相等此时点表示的数是多少 (4)如图，当动点从点出发以单位秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位秒速度向左运动，，两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的，使，两点到点的距离相等．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，如：数轴上点、点表示的数分别为，且，则两点之间的距离可表示为，若，则两点之间的距离可表示为；线段的中点表示的数为，利用这些规律可以解决许多数学问题． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①两点间的距离__________，线段的中点表示的数为__________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为__________；点表示的数为__________． (2)求当为何值时，两点相遇，并求出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，，并请你直接写出此时的中点表示的数． 【变式3】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）在长方形中，．动点初始位置分别在点和点处，点，点运动速度分别是每秒1个单位长度和每秒2个单位长度；设运动的时间为秒． (1)如图1，若点从点出发，以顺时针方向在长方形上匀速运动，当时， ；当点第一次运动到上，不与两点重合时， （用含t的代数式表示）； (2)如图1，若点、同时从初始位置出发，都以顺时针方向在长方形上匀速运动，当、第一次相遇时，求的值； (3)如图2，若点同时从初始位置出发，点以顺时针方向，点以逆时针方向分别在长方形上作匀速运动，点运动到点停止运动，点运动到点停止运动； ①当为何值时，； ②当两点在运动路线上相距3个单位长度时，直接写出的值． 【考点2 数轴上的动点之定值问题】 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b．其中，式子是关于x的二次三项式， (1)点P为数轴上A点左边一点，且，求点P在数轴上对应的数． (2)在（1）的条件下，若点P、A、B三点在数轴上同时向右运动，点P、A、B的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点P运动的时间为t秒，当时，求t的值． (3)如图（2），点C在数轴上对应的数是1，点A、C的速度分别是3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，当点A向左运动，点C向右运动，试问是否存在一个常数k使得不随运动时间t的改变而改变，若存在，请求出k；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图1，若数轴上点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，则： ①数轴上 A，B 两点的中点 M 表示的数为； ②A，B 两点间的距离 AB 可表示为． 【问题背景】如图2，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，点C位于原点O的左侧，且．动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为． (1)【知识技能】数轴上点C表示的数为 ，点P表示的数为 用含t的代数式表示． (2)【数学理解】设点M是的中点，点N是的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长度． (3)【深入探究】动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若P，Q，R三点同时出发，在运动过程中，当t为何值时，点P到点R的距离与点P到点Q的距离相等? 【变式2】（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记，比如，点A与点C之间的距离记作 (1)求a，c的值； (2)若数轴上有一点D满足，则D点表示的数为____，并说明理由； (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A的速度每秒2个单位长度，点C的速度为每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①若点A向右运动，点C向左运动，，求t的值； ②若点A向左运动，点C向右运动，的值不随时间t的变化而改变，通过计算求出m的值． 【变式3】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知数轴上有三点A，B，C，点B是线段的中点． (1)若点A对应的数是，点C对应的数是8，则点B对应的数是_____； (2)在（1）的条件下，若点A对应的数是x，点C对应的数是y，请你猜想：线段的中点B对应的数是_______(含x的代数式表示) (3)图2，在数轴上，若点对应的数分别是点A是线段中点，动点、分别从D、B两点同时出发沿数轴向左运动，点、的速度分别为10单位长度/秒、5单位长度/秒，点M为线段中点，在上述运动过程中， ①为何值． ②的值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请说明理由． 【考点3 数轴上的动点之最值问题】 【例3】（24-25七年级上·四川成都·期末）【阅读理解】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题，数轴上，若、两点分别表示数、，那么、两点之间的距离与，两数的差有如下关系：． 【问题解决】 如图，数轴上的点、分别表示有理数，． （1）、两点之间的距离为________； （2）点为数轴上一点，在点的左侧，且，则点表示的数是________； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，、两点间的距离为个单位长度？ （4）利用以上知识探索：直接写出当代数式有最小值时的值． 【变式1】（24-25七年级上·广东珠海·期末）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点之间的距离．例如：点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点间的距离可表示为． 【问题解决】A，B，P三点在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，点P对应的数为x． (1)_______；_______ (用含x的代数式表示) (2)代数式的最小值为_______． (3)若点P从原点出发，与点B同时向左运动，点B的速度为3个单位长度/秒，点P的速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，是否存在某个时间t，使得A，B，P三点中，其中一点是另外两点所连成线段的中点．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图，数轴上两点M、N对应的数分别是，4，点P是数轴上的一动点，其对应的数为x． (1)【概念理解】 一般地、数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．由此可得点M，N之间的距离________． (2)【数学思考】 若数轴上的点C，D，E表示的数分别是，2，8． ①点P到C，D两点的距离之和的最小值为_______； ②当_____时，取最小值． (3)【拓展应用】 如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．当点P，Q，M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，直接写出t的值． 【变式3】（24-25七年级上·云南保山·期末）阅读材料解决问题． 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了这样的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点间的距离（或）． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为-4，点表示的数为6，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：①、两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)求当为何值时，； (3)若点表示的数记为，是否存在一个值使代数式的值最小，若存在请直接写出的值和的最小值；若不存在请说明理由． 【考点4 数轴上的动点之新定义型问题】 【例4】（25-26七年级上·全国·期末）【新知理解】如图，点在线段 上，图中共有三条线段，和 ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段 的“巧点”． （1）下列说法正确的有______（填序号）． 若点是线段的中点，则点是线段 的巧点； 若点在线段上，且，则点是线段 的巧点； 【解决问题】（2）已知线段，动点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动，点， 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，， ， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点？ 【变式1】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【概念学习】 定义：点，，为数轴上的任意三点（点不与，重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，，，则点是的“2值点”，记作：．    【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6；    ①若点，，表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是________； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是________； 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值； 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点，表示的数分别是，且，不与，重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）．    【变式3】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10，点D在数轴上对应的数是，点E在数轴上对应的数是2．阅读并解决相应问题． 问题发现： 对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：． (1)初步体会： 如图1，若，且点C在数轴上对应的数是5，则_______； (2)类比探究： 如图2，点M从D点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从E点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若，求出t的值； (3)拓展延伸： 如图3，点P从D点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点H从A点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动的时间为t秒，在运动的过程中，若存在数轴上点Q满足：，点P到点Q的距离记为a，点H到点B的距离记为b，且，直接写出所有符合条件的t的值． 一、单选题 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在长方形中，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，到点C停止；同时动点Q从点B出发，以每秒的速度在B、C间做往复运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间是x（秒），则下列结论不正确的是（　　） A．点Q运动时间为16秒 B．的长表示为或 C．当或或时，P、Q两点相遇 D．或 二、填空题 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，在长方形ABCD中，，，动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．当 时，点P与点Q在运动路径上的距离相差5个单位长度． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：如图1，点在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“绝美点”．如图2，已知，动点分别从点同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“绝美点”时，最大值与最小值的差为 ． 6．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，．动点，同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿匀速运动回到点停止运动．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为（）．当点，到点的距离相等时，的值是 ． 三、解答题 7．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 已知在数轴上有，两点，点表示的数为，点在点的左边，且．若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向点匀速运动，动点从点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向点匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． 【建立模型】 （1）点表示的数是 ． （2）设运动时间为秒，则 ， ． （3）当 秒时，、停止运动． 【探索问题】 （4）求为何值时，点与点重合？ （5）问点运动多少秒与点相距个单位长度？ 8．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）数轴上点A、B对应的数分别为a、b，多项式的二次项系数为a，常数项为b． (1)求线段的长． (2)如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，当时，求此时点P对应的数． (3)在（2）的条件下，点M从原点与点P，Q同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度，在运动过程中，是否存在x，使得为定值？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 9．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （1）填空：若，则______；若，则______． 【延伸探究】 （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和？（直接写出答案） 10．（24-25七年级上·山西运城·期末）问题引入 对于数轴上的线段和点（点不在线段上），给出如下定义：M为线段上任意一点，我们把C，M两点间距离的最小值称为点C关于线段的“最近距离”，记作；把C，M两点间距离的最大值称为点C关于线段的“最远距离”，记作． 已知点A表示的数为，点B表示的数为4． 若点C表示的数为5，如图，则，． 问题解决 （1）若点C表示的数为，则______，______． （2）若点C表示的数为n，且点C在点B的右侧，，求n的值． 拓展延伸 （3）若点P和点Q为数轴上的两点（点P和点Q均不在线段上），点P表示的数为x，点Q表示的数为，表示点P关于线段的“最近距离”，表示点Q关于线段的“最远距离”，若是的2倍，求x的值． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $