精品解析：吉林四平市第一高级中学2026届高三上学期模拟考试数学试题

2026届高三模拟考试 数学科试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本小题共8小题，每题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2. “直线与直线互相垂直”是“”的（ ）条件 A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 5. 6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（ ）种 A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 6. 设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（ ） A B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，其导数为，且也是偶函数，若，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本小题共3题，每题6分，共18分） 9. 已知椭圆：的焦点分别为，，是上的动点，设直线与椭圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆上存在点使得 C. 点为线段的中点，则的周长为 D. 是直线上的动点，则的最小值为 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（ ） A. B. 直线与所成角的正弦值的最大值为 C. 过点，，作该正方体的截面，则截面的面积为9 D. 三棱锥外接球半径取值范围为 11. 已知，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 抛物线的准线方程为 ___________ . 13. 已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同.某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色不相同的概率为______. 14. 若函数，的两个零点分别为和，则______. 四、解答题（共5小题） 15. 非等腰内角，，的对边为，，，且. （1）求； （2）若，边上的高，求的周长． 16. 已知正项数列满足：，. （1）求； （2）设，求前项和 （3）设，求项最大值； 17. 如图，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，且.，分别是棱，的中点，平面与，分别交于，两点. （1）证明：； （2）若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍. （1）求双曲线的方程； （2）任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值； （3）如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值. 19. 已知函数，函数，函数，记的最大值为M，的最小值为N． （1）求的单调区间； （2）证明：； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三模拟考试 数学科试题 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本小题共8小题，每题5分，共40分） 1. 若，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简得到，再求即可. 【详解】因为，则，所以． 故选：C 2. “直线与直线互相垂直”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件求出的值，结合充分条件、必要条件、充要条件的定义判断即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，整理得，解得或. 所以由可得到直线与直线互相垂直， 反之，两直线垂直有可能是， 所以“直线与直线互相垂直”是“” 的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可. 【详解】因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 又， 所以， 所以，， 所以. 故选：A 4. 已知角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，结合二倍角公式，以及诱导公式，即可求解. 【详解】由三角函数定义知，，，， 所以. 故选：C. 5. 6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（ ）种 A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先排黄、蓝4个小球，共有种，再把红球插入共有种，则共有种． 【详解】首先排黄、蓝各2个，共4个小球， 相当于4个位置中，选2个放黄球，另2个放蓝球，共有种， 放好4个小球后， 选2个空位插入2个红球，共有种， 综上，共有种． 故选：B． 6. 设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先得是函数的一个零点，当时，，所以当时，与的图象必有一个交点，根据函数求导计算可得的函数图象，数形结合即可解决. 【详解】由题知，，函数恰有两个零点， 因为当时，， 所以是函数的一个零点， 又当时，由可得， 所以当时，与的图象必有一个交点， 由于， 当时，，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 当时，，则， 当时，， 当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以，函数图象如图： 由图可知，若与，图象必有一个交点，则， 故选：A. 7. 如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件可得出，即可求出表面积． 【详解】连接， 因为线段的中点，，则， 又为线段的中点，，，则， 则， 则该四面体的外接球球心为，半径，表面积. 故选：D． 8. 已知是定义在上的偶函数，其导数为，且也是偶函数，若，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数得，再求导得，结合函数也是偶函数，得，从而得导函数的解析式，最后利用导函数研究函数的单调性即可解出实数的范围. 【详解】由题意，是定义在上的偶函数，则，所以， 即，又也是偶函数，所以， 所以，即， 因为函数是R上的减函数，也是减函数， 所以函数是R上的减函数； 令，即，解得， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以由，可得， 所以，平方得，即， 解得，因此，实数的范围是. 故选：B. 二、多选题（本小题共3题，每题6分，共18分） 9. 已知椭圆：的焦点分别为，，是上的动点，设直线与椭圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆上存在点使得 C. 点为线段的中点，则的周长为 D. 是直线上动点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据离心率公式计算可判断A的正误，根据无解可判断B的正误，利用点差法求出直线的方程，可判断直线经过椭圆的一个焦点，进而判断C的正误，根据椭圆的定义，将差的问题转化为和的问题，可判断D的正误. 【详解】椭圆：的焦点分别为，，则， 可得，，解得. 对于选项A，椭圆的离心率为，故A选项正确； 对于选项B，假设在椭圆上存在点，使得， 且，， 所以，在实数范围内无解， 椭圆上不存在点使得，故B选项错误； 对于选项C，设点， 由题意可得， 若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率存在，则由，可得， 即，所以直线的斜率为， 因此直线的方程为，即，显然直线经过焦点， 所以的周长为：，故C选项正确； 对于D选项，因为到直线的距离为.， 所以，故D选项正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（ ） A. B. 直线与所成角的正弦值的最大值为 C. 过点，，作该正方体的截面，则截面的面积为9 D. 三棱锥外接球半径的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求出，求出利用向量法即可判断A；求出利用向量法即可判断B；找到截面，即等腰梯形，求其面积即可判断C；设球心，利用两点间距离公式求出，建立等式求出的范围进而求出半径的范围，即可判断D． 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，所以， 设，其中，即， 所以点， 又，，， 所以，， 所以， 所以，故A正确； ， 因为，所以， 所以， 函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 所以， 所以， 当时，直线与所成角最大，其正弦值最大值为，故B正确； 取中点，连接， 因为为的中点，所以， 截面即为四边形， 又，所以， 又因为，故四边形为等腰梯形， 如图，作，垂足， 所以， 所以， 所以等腰梯形的面积， 即截面的面积为，故C错误； 取的中点，因为为直角三角形，所以为外接圆的圆心， 设外接球的球心为，根据外接球的性质，则平面， 设球心， 则， ， 因为，所以， 即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值， 所以，所以， 即三棱锥外接球半径的取值范围为，故D错误． 故选：AB． 11. 已知，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式转化变形，然后对选项逐一判断，即可证明. 【详解】选项A，因为，所以 由，可得，解得， 又，当且仅当时，等号成立， 而，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 选项B，由，利用基本不等式， 由得， 则， 当且仅当时，等号成立，解得， 即，当且仅当时，等号成立，故B正确； 选项C，，又， 所以，由， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，由配方得， 则，即， 可解得，又， 所以，因为，故D不正确； 故选：ABC. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 抛物线的准线方程为 ___________ . 【答案】 【解析】 【分析】将方程化为标准方程，得到p，进而得到准线方程. 【详解】抛物线化标准方程为， 故准线方程为：. 故答案为. 【点睛】这个题目考查的是抛物线的标准方程的应用，以及准线方程的应用，较为简单. 13. 已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同.某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色不相同的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】划分从乙盒取球的三种情况，分别计算每种情况的概率及对应从甲盒取两不同色球的概率，再通过全概率公式求和得最终概率. 【详解】乙盒取2球有三种情形： 取2红：概率为，此时甲盒有5红2白，从甲盒取2不同色球的概率为； 取2白：概率为，此时甲盒有3红4白，从甲盒取2不同色球的概率为； 取1红1白：概率为，此时甲盒有4红3白，从甲盒取2不同色球的概率为. 所求概率为. .故答案为：. 14. 若函数，的两个零点分别为和，则______. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，，再利用正弦的二倍角公式求值． 【详解】函数，其中，， 由，得，而， 因此，即， 则，， 即， 故． 故答案为：． 四、解答题（共5小题） 15. 非等腰内角，，的对边为，，，且. （1）求； （2）若，边上的高，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，进而得到； （2）设，，由余弦定理可得，再由，代入解得，进而可求的周长． 【小问1详解】 解：由于为非等腰三角形，故， 由于，，，由正弦函数性质知：， 所以，故； 【小问2详解】 解：设，，，在中由余弦定理： ，所以， 由于的面积， 所以，，解得：， 所以，的周长为． 16. 已知正项数列满足：，. （1）求； （2）设，求前项和. （3）设，求项的最大值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由递推式得：，进而得到，再累乘求即可； （2）由，再裂项相消求和即可； （3）作商得，则时，为递减数列，时，为递增数列，由此即可得到最大值． 【小问1详解】 由递推关系得：，， 所以：，即：， 所以：时，， ，显然当时也成立， 所以：； 【小问2详解】 由已知：， ； 【小问3详解】 由已知：，所以：， 所以：， ①令，得，所以当时，为递减数列； ②令，得，所以当时，为递增数列； 由①、②知， 所以当或时,取得最大值，最大值为． 17. 如图，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，且.，分别是棱，的中点，平面与，分别交于，两点. （1）证明：； （2）若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判断、性质推理即得. （2）以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 由，分别是，的中点，得， 在梯形中，，则， 而平面，平面， 于是平面， 又平面， 平面平面， 平面， 因此，所以. 【小问2详解】 在等腰梯形中，连接，取的中点，连接， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以是直角三角形，且， 所以，平面，则，，两两垂直， 以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则：，，，， ，， 设平面的法向量，则： ，取，则 设平面的法向量，则： ，取，则 设平面的法向量，则， 由平面平面，得， 取，得 设平面与平面所成锐二面角为， 则 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 18. 已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍. （1）求双曲线的方程； （2）任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值； （3）如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由已知可得双曲线的焦距是，设：，进而可得，求解即可； （2）不妨设：，设：，联立方程组求得点，，的横坐标，计算可得的值； （3）延长，分别交渐近线于，两点，结合（1）可得，可得，设的倾斜角为，可得，进而计算可得的面积. 【小问1详解】 由题意的焦距为，双曲线的焦距是， 设：，所以：，. ： 【小问2详解】 不妨设：，设：， 联立：，解得： 联立，解得： 联立，解得：， 从而. 【小问3详解】 如图，延长，分别交渐近线于，两点， 由（2）可知， 因为四边形是平行四边形，， 所以， 设， 则：，与：联立， 解得，同理求得：， 故， 设的倾斜角为，则，而， 故， 则，因此. 19. 已知函数，函数，函数，记的最大值为M，的最小值为N． （1）求的单调区间； （2）证明：； （3）求的值． 【答案】（1）单调递增区间为，无单调减区间； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系即得； （2）利用导数及零点存在定理可得存在，使得，进而可得，再通过构造函数利用函数的单调性即得； （3）利用导数可求函数的最小值为，利用函数的单调性结合条件可得，进而可得. 【小问1详解】 由，可知函数的定义域为， 又， 所以函数在上单调递增， 即函数的单调递增区间为，无单调减区间； 【小问2详解】 由可知，的定义域为， 因为，， 所以在单调递减，， 由（1）知，即 所以 存在，使得，即， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是最大值， 所以， 令，， 则，单调递增， 故， 所以； 【小问3详解】 由，可知函数的定义域为， ，， 所以在单调递增，，， 所以存在，使得，即① 当，，单调递减， 当，，单调递增， 在处取得唯一极小值，也是最小值， 所以， 令，则，代入①式，得，即②， 又，所以满足②， 又函数单调递增， 所以只能，即，即， 所以， 即. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $