精品解析：吉林东北师范大学附属中学2026届高三上学期期末考试数学试题

高三数学学科试卷 注意事项： 1．答题前考生需将姓名、班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. － B. 1 C. －1 D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 高三某班10名同学的数学模考成绩（满分150）依次为：145，110，125，120，135，115，130，140，105，150，这组数据的第25百分位数为（ ） A. 110 B. 112.5 C. 115 D. 125 7. 已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ） A. 27 B. 28 C. 54 D. 55 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为上一点，若，（为坐标原点），则的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的最小正周期为，若，为的极大值点，则（ ） A. B. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 C. 在内有4个极值点 D. 函数在有1个零点 10. 已知函数的定义域为，都有，则（ ） A B. C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数的图象关于直线轴对称 11. 已知为抛物线的焦点，为的准线与轴的交点，点在抛物线上（不与原点重合），设，则下列结论正确的是（ ） A. 以为直径的圆与轴相切 B. 最大值为 C D. 存点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知各项均为正数的等比数列的前项和满足，则___________． 13. 函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 14. 若，且，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）若，，求； （2）若，，求的周长． 16. 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助．近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表．根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联． 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且． （1）求证：平面平面； （2）若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半． （i）求点到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上一点，的最小值为1，当轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆的左、右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线相交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）求的最大值． 19. 已知函数． （1）当时，证明：. （2）若存在三条不同的直线既是曲线的切线（切点为），又是曲线的切线（切点为）． （i）求实数的取值范围； （ii）是否存在，使得线段与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学学科试卷 注意事项： 1．答题前考生需将姓名、班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式求出集合，再进行交集运算即可. 【详解】由题意知，所以， 故选：B. 2. 若复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. － B. 1 C. －1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算及加减法运算求得复数z，再根据复数虚部的定义即可得出答案. 【详解】解：因为， 则，所以， 所以复数z的虚部为-1. 故选：C. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由存在命题的否定即可求解. 【详解】命题“”的否定为，故A正确． 故选：A. 4. 已知向量，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以，解得， 故选：D. 5. 已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），然后在中用余弦定理即可解得. 【详解】连接，，如图： 因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线与所成角， 设正方体的棱长为，， ， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：D. 6. 高三某班10名同学的数学模考成绩（满分150）依次为：145，110，125，120，135，115，130，140，105，150，这组数据的第25百分位数为（ ） A. 110 B. 112.5 C. 115 D. 125 【答案】C 【解析】 【分析】先将这组数据从小到大排列，再由百分位数的定义求解方法计算即可求解. 【详解】这组数据从小到大排列为：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150， 因为，所以这组数据的第25百分位数为第3个数据115. 故选：C 7. 已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ） A. 27 B. 28 C. 54 D. 55 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式及性质求出和，再将转化为，即可求解. 【详解】设数列的公差为， 数列是等差数列，， 解得，即，① ，，解得， 代入①中得，， ，，即， ，即，解得. 故选：A. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为上一点，若，（为坐标原点），则的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点三角形，利用双曲线的性质、余弦定理、向量的相关知识得出和之间的关系，从而求出双曲线的离心率. 【详解】不妨设，记，，，由，得， 在中，由余弦定理，得，两式相减，得， 因为为的中点，所以， 所以，又，所以， 所以，又，所以，解得， 所以. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的最小正周期为，若，为的极大值点，则（ ） A. B. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 C. 在内有4个极值点 D. 函数在有1个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由周期公式结合求出，再由极值点求出求出函数解析式，由周期公式计算即可求解判断A；由平移变换结合诱导公式即可求解判断B；分析在内极值个数即可判断C；分析方程在内解的个数即可判断D. 【详解】由题得，所以， 所以，或， 因为，所以， 又因为是的极大值点， 所以， 又，所以， 所以，，故A正确； 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故B错误； 时， 则仅当即时在内取得极值， 所以在内有4个极值点，故C正确； 时， 则仅当即时上， 所以在上有1个零点，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数的定义域为，都有，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数的图象关于直线轴对称 【答案】BD 【解析】 【分析】利用已知条件，采用特殊值法判断选项A，B；利用中心对称的定义结合已知条件判断选项C；利用轴对称的定义结合已知条件判断选项D． 【详解】选项A：，则， ，令，得，解得， ，故A错误； 选项B：，令，得， ，故B正确； 选项C：由中心对称的定义，若函数关于对称，则， 设，， ， ，不恒等于2，故C错误； 选项D：若函数关于对称，则， 设，由， 得， ，即关于直线对称，故D正确． 故选：BD． 11. 已知为抛物线的焦点，为的准线与轴的交点，点在抛物线上（不与原点重合），设，则下列结论正确的是（ ） A. 以为直径的圆与轴相切 B. 的最大值为 C. D. 存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，利用抛物线定义求出半径判断选项A；利用基本不等式计算判断选项B；求出，从而判断选项C；利用三角形内角和为，结合已知条件求出，再利用零点存在定理得出结论，判断选项D． 【详解】 抛物线的焦点为，准线，故点， 设点， 选项A：以为直径的圆，圆心为，半径为， 由抛物线定义可知，，即半径为， 圆心纵坐标与半径相等，故圆与轴相切，故A正确； 选项B：，在中，， 令，则， 由基本不等式，当且仅当，即时等号成立， 所以，又，故，最大值，故B错误； 选项C：，则，， ，，故C正确； 选项D：在中，，若，则， ，， ， 令， ， ， 根据零点存在定理，在内函数从正变负，必存在零点， 存在点，使得，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知各项均为正数的等比数列的前项和满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】对公比是否为1进行分类讨论，由等比数列前项和的公式计算即可. 【详解】当等比数列的公比为1时，，不合题意； 所以公比，可得， 可得，即； 所以. 故答案为： 13. 函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由，所以 是函数的零点；需要函数有三个不同的零点，只需函数在内有两个零点，即与有两个交点，令，利用导数研究得到 的值域为 即可求解. 【详解】函数定义域为 ，，所以 是函数的零点； 因为函数有三个不同的零点，所以函数在内有两个零点； 即在内方程有两个不相等的实数解， 即在内有两个不相等的实数解， 即与有两个交点， 令，， 则，令， ， 因此在 上单调递减，且. 当 时， ，故单调递增； 当 时， ，故单调递减； 当时，，当时，，当时，， 所以值域为 ， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先对已知等式进行化简，找出与的关系，再将转化为可以使用基本不等式的形式，进而求出最小值. 【详解】由二倍角公式化简得到，即， 交叉相乘得到 即，即， 即 因为，所以 由正弦函数的性质得到或， 所以或（舍去） 所以 因为，所以， 由基本不等式得到. 当且仅当，即时，等号成立， 此时有最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）若，，求； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理将边化角，即可求出，判断可得有两解，分为锐角和钝角两种情况讨论，分别求出，即可求出，再由正弦定理求出、，即可求出周长． 【小问1详解】 由余弦定理，又，， 即，化简得， 解得或（舍去）. 【小问2详解】 因为，由正弦定理可得． 因为，所以，可得. 因为，，则，所以有两解（为锐角或钝角． 当为锐角时，． 所以. 再由正弦定理，可得. 由正弦定理，可得. 此时三角形周长为. 当为钝角时，． 所以. 由正弦定理，可得. 由正弦定理，可得， 此时三角形周长为. 综上所述，的周长为或． 16. 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助．近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表．根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联． 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），12.4万台. （2）该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，男生更了解制氧机知识． 【解析】 【分析】（1）首先求出的平均数，再代入公式计算求出，可得回归方程，代入可知预测值约为12.4万台； （2）利用公式计算出的取值即可判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，再根据不同性别中了解制氧机知识和不了解制氧机知识的频率可得出结论. 【小问1详解】 年份代码的平均数，销量的平均数， 所以， ， 所以， 所以， 所以这个地区某品牌制氧机销量关于年份代码的线性回归方程为， 由于2027年对应的年份代码为，得， 所以预测2027年这个地区某品牌制氧机的销量约为12.4万台. 【小问2详解】 零假设：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关. 根据列联表中的数据可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005． 根据表中数据，男生中了解制氧机知识和不了解制氧机知识的频率分别为 女生中了解制氧机知识和不了解制氧机知识的频率分别为 和 由可见，在被调查者中，男生了解制氧机知识的频率是女生了解制氧机知识的频率的两倍．根据频率稳定于概率的原理，可认为男生更了解制氧机知识． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且． （1）求证：平面平面； （2）若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半． （i）求点到平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，再利用正方形性质根据线面垂直判定定理证明可得平面平面； （2）（i）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量数量积定义以及坐标运算可求得，利用体积关系可得，求出平面的法向量，即可计算得出点到平面的距离； （ii）求出平面与平面的法向量，根据平面夹角的向量求法计算可求得结果. 【小问1详解】 证明：在中，，得， 则，即， 因为四边形为正方形，则， 又因平面平面， 则平面，又因平面， 则平面平面. 【小问2详解】 （i）以点为坐标原点，分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则，解得； 所以， 因为， ，且， 则，因，则，即， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 则点到平面的距离为. （ii）， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上一点，的最小值为1，当轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆的左、右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线相交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见详解；（ii）. 【解析】 【分析】(1)利用椭圆的几何性质和基本关系，解出椭圆参数，得到方程. (2)(i)先确定定点，设过的直线联立椭圆，结合韦达定理联立两条直线方程，发现交点横坐标恒为定值，从而证明在定直线上. (ii)设点坐标，用斜率表示角度的正切值，通过基本不等式求正切最大值，结合正切单调性得到角度的最大值. 【小问1详解】 已知椭圆，右焦点，椭圆上点到的最小距离为(当为右顶点时取得)，故，当轴时，的横坐标为，代入椭圆方程得， 故依据题意得，解得． 故椭圆的方程为 【小问2详解】 (i)，，因为点满足，设，得：，所以， 设直线的方程为，设， 联立，得， 易得，直线与椭圆恒有两个不同交点，则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立得， 由韦达定理得，则， 若，代入，得，， 将所求值代入中，得， 简后得，矛盾，因此， 所以，解得. 因为与不重合，所以动点在定直线上. (ii)由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为， ，，斜率，，， 斜率为负，则直线的倾斜角均在内，由于，比更靠近，故，因此，所以， 因为， 所以， 依据基本不等式可知， 所以 因为正切函数在内单调递增，因此， 当且仅当时，等号成立，此时， 所以的最大值为. 19. 已知函数． （1）当时，证明：. （2）若存在三条不同的直线既是曲线的切线（切点为），又是曲线的切线（切点为）． （i）求实数的取值范围； （ii）是否存在，使得线段与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先构造函数证明，从而得，进而可得证.（2）（i）构造函数，将问题转化为的图象与直线有三个不同的交点问题即可求解；（ii）反证法说明. 【小问1详解】 当时，. 设， ，则，是增函数， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以，即（当且仅当时取等号）， ， 当且仅当时取等号， （当且仅当时等号成立）． 【小问2详解】 （i）设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 曲线的切线方程为， 曲线的切线方程为． 于是问题等价于有三组解． 由①得，代入②消去得， 由，结合①知，故， 于是上述方程可化为. 令， 则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减． 又， 当时，，当时， 的大致图象如图： 存在三条不同的直线既是曲线的切线（切点为），又是曲线的切线（切点为）， 的图象与直线有三个不同的交点， 结合的图象可知，解得． 综上，实数的取值范围为. （ii）不存在．理由如下： 假设存，设， 则有， 由（i）可知，， 则有， 所以上述方程等价于， 即， 由④得或． 结合且，得， 代入③整理得，此时． 令，则， 于是在上单调递减． 由于，故方程仅有一解，此时. 从而点与点重合，线段与重合，故不存在． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $