精品解析：山西晋中市榆次区2025-2026学年第一学期期末学业水平质量监测八年级数学试卷

2025-2026学年第一学期学业水平质量监测题（卷） 八年级数学 【温馨提示】 1．试题共8页，计23题；总分值100分；答题时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的信息填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 5. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四支排球队队员的身高情况如图所示，则身高最整齐的球队是（ ） A. 甲队 B. 乙队 C. 丙队 D. 丁队 7. 如图，一次函数（k，b为常数，）与图象的交点坐标是，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法中正确的是（ ） A. 小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B. 已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C. 小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D. 在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 9. 物理活动中，小明探究了物质质量与体积的关系，得到甲、乙、丙三个实心物体的质量（单位：）与（单位：）之间的关系如图所示（表示密度），则下列说法正确的是（ ） A. 甲物质的质量随着其体积的增加而减小 B. 随着体积的增加，乙物质的质量的变化是不“均匀”的 C. 丙物质的质量为 D. 丙物质的密度最大 10. 《九章算术》中有一个数学问题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？若根据题意列出的二元一次方程组中一个方程是，则另一个方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式______ 12. 电视机厂工程师通过向电脑输入点的坐标控制机械手，机械手按坐标指示的“地址”将有关元器件准确插入线路板上的焊孔，然后通过焊接工序将它们焊牢．如图，焊孔P，Q的坐标分别为，如果你是工程师，请输入坐标______．让机械手把元器件准确插入焊孔R． 13. 声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距______．（光传播所用的时间忽略不计） 14. 元宵佳节挂花灯，花灯闪闪似繁星．两两数时剩一盏，三三数时能数尽，五五数时剩三盏，七七数时还缺二．这些花灯至少有______盏． 15. 如图，在中，点D是边上的一点，连接，过点C作交的延长线于点E，若，，则线段的长为______cm． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解二元一次方程组：． 18. 如图，点E在线段上，点F在线段上，线段分别交，于点G，H，，，求证：． 19. AI技术融入校园学习已成为教育发展的新趋势，某校以此为契机开展了“校园AI自习室助力学业提升”实践活动．为检验自习室对学生数学成绩提高的作用，学校从八年级随机选取40名学生，记录了他们在使用AI自习室前、后的数学自我检测成绩（成绩为整数，满分10分）． 【数据整理】 将使用AI自习室前、后的检测成绩整理成如下的统计图（所有学生成绩均不低于6分）： 【数据分析】 对使用前后的检测成绩进行了如下分析（不完整）： … 方差 众数/分 中位数/分 下四分位数/分 使用前 … 1.61 8 b 7 使用后 … 1.55 a 9 c 【问题解决】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）利用所学知识，进一步对以上使用AI自习室前、后的数学自我检测成绩进行分析和评价． 20. 热乎乎的馄饨是餐桌上的暖心美味．某小吃店把新鲜馅料、吉祥寓意都包进了馄饨．每碗有10个馄饨．其中鲜虾馄饨16元/碗，香菇鲜肉馄饨10元/碗，白菜鲜肉馄饨8元/碗，韭菜鲜肉馄饨6元/碗．现计划在春节期间推出“新春全家福馄饨”套餐A和套餐B（如图）． 套餐A 鲜虾馄饨 1个 香菇鲜肉馄饨 3个 白菜鲜肉馄饨 3个 韭菜鲜肉馄饨 3个 套餐B 鲜虾馄饨 香菇鲜肉馄饨 白菜鲜肉馄饨 2个 韭菜鲜肉馄饨 1个 （1）通过计算给出套餐A每碗馄饨的定价． （2）菜单中套餐B不小心被污损了，服务员告知顾客套餐B每碗馄饨11元，请你帮顾客求出套餐B中鲜虾馄饨和香菇鲜肉馄饨的个数． 21. 密码是国家安全的无形之盾，亦是个人隐私的忠实守护者．我国是世界上最早使用密码通讯的国家之一．八年级1班的同学们通过进行《神奇的加密术》综合与实践活动，知道了一套简单的密码由三部分组成：明文（加密前的信息）、密文（加密后的信息）、密钥，它们之间的关系是任何密码只要找到了明文与密文的对应关系——密钥，就可以破译它．同学们尝试利用所学的一次函数设计了加密术，用x表示明文，y表示密文，且x为非负整数． （1）“希望小组”设计的密钥为，则明文10可以加密成密文______； （2）“智慧小组”将明文字母转换为数字（，，…，），明文（，）变为对应密文（，）．请你求出“智慧小组”设计的密钥所使用的一次函数的表达式． 22. 项目学习 项目主题：燃气费的计算 项目背景：在“双碳”目标引领与建设节约型社会的时代浪潮下，某市居民生活用气实施了分档计费．为了更好地帮助居民树立科学用气、节约用气的意识，“数学与生活”兴趣组开展了项目学习活动． 驱动问题：如何利用数学工具，为居民解读燃气消费清单、预测用气消费开支？ 以下是“数学与生活”兴趣组的活动过程．请你和他们一起解决问题． 解决问题： （1）信息解码与模型构建： 首先收集了该市某户居民的一张居民生活年用气消费明细． 居民生活用气消费明细 计费日期2025-01-01至2025-12-31 上期抄见数 本期抄见数 加原表用气量/m³ 本期用气量/m³ 1212 1814 602 用气量/m³ 单价/（元/m³） 金额/元 第一档：300 2.73 819 第二档：300 3.28 984 第三档：2 3.82 7.64 本期实付金额（大写） 壹仟捌佰壹拾元陆角肆分 ¥1810.64 认真观察此明细并进行如下分析： 设本市居民年用气量为，燃气费为元． ①当时，y与之间的关系式为______； ②当时，y与之间的关系式为______； ③当时，y与之间的关系式为______． （2）模型应用与问题解决 通过分析发现，这样的分档计费中档次越高其单价越高，目的是鼓励人们要节约资源．该户居民准备在2026年实施节气措施，预计一年的燃气费为1475元，则该户居民2026年的用气量需为______． 23. 阅读与思考 下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 借助网格解几何题 在课本中有一些利用网格求线段长或图形面积的题．通过做这些题和阅读杂志，我发现可以将网格作为数学工具，帮助我们解决一些几何问题． 例如：如图1，在和中，，点A是的中点，若，，连接，则的长为______． 直接解决本题较难，但是如果把它放到如图2所示的边长为1的正方形网格中就可以化难为易．但关键是要确定在网格中先画哪个三角形，由于的边长已知，所以应先画这个三角形，再画，连接，且让三角形的顶点都在网格的格点上，看上去与题目中图的方向有所不同，但图形与原图形是形状相同的，然后利用网格可以轻松得到的长． 任务： （1）图2中，______； （2）借助网格解决以下问题： 如图3，中，，，，点D是的中点，以为直角边作等腰直角，且点A在内部，连接，求线段的长． ①将图3画在图4的边长为1的正方形网格中，并使各三角形的顶点在格点上； ②直接写出线段的长； （3）反思：借助网格解几何题有一定的局限性，其局限性是什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期学业水平质量监测题（卷） 八年级数学 【温馨提示】 1．试题共8页，计23题；总分值100分；答题时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的信息填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 由无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数， 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律； 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解决． 【详解】解：由图可知，点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故选：A． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需根据二次根式的四则运算法则逐一判断选项． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴（内错角相等，两直线平行）； 故选B． 5. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，三角形中，若两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断A、B；根据三角形内角和定理可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、设， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，， ， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 甲、乙、丙、丁四支排球队队员的身高情况如图所示，则身高最整齐的球队是（ ） A. 甲队 B. 乙队 C. 丙队 D. 丁队 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图分析即可得到答案，读懂箱线图是解题的关键． 【详解】解：由箱线图可知，乙队队员的身高差距最小，身高较为集中， 故选：． 7. 如图，一次函数（k，b为常数，）与图象的交点坐标是，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象交点坐标即为对应方程组的解是解题的关键．先利用交点在直线上求出交点的横坐标，确定交点坐标，再根据函数图象交点坐标与方程组解的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与的交点坐标是， ∴将代入得， ∴， ∴两函数的交点坐标为， ∵方程组的解就是两函数图象的交点坐标， ∴方程组的解为。 故选：A． 8. 下列说法中正确的是（ ） A. 小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B. 已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C. 小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D. 在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数的意义及统计分组的基本概念，需结合各概念逐一分析选项判断正误． 【详解】解：A、平均数反映一组数据的整体平均水平，不能代表个体情况仅通过班级平均身高无法比较小明和小亮的具体身高，原说法错误，不符合题意； B、计算两家网站所有用户的日人均上网时间，需用总上网时间除以总用户数，不能直接对两个日人均值取平均（两家用户数不一定相等），原说法错误，不符合题意； C、中位数是将数据排序后位于中间位置的数，篮球队身高中位数为，说明至少一半队员身高，而，故小军的身高在队里中等偏上，原说法正确，符合题意； D、统计学中常用分组方法是使“组内离差平方和达到最小”， 原说法错误，不符合题意； 故选：C． 9. 物理活动中，小明探究了物质质量与体积的关系，得到甲、乙、丙三个实心物体的质量（单位：）与（单位：）之间的关系如图所示（表示密度），则下列说法正确的是（ ） A. 甲物质的质量随着其体积的增加而减小 B. 随着体积的增加，乙物质的质量的变化是不“均匀”的 C. 丙物质的质量为 D. 丙物质的密度最大 【答案】D 【解析】 【分析】从函数图象中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、甲物质的质量随着其体积的增加而增大，原说法错误； B、随着体积的增加，乙物质的质量的变化是“均匀”的，原说法错误； C、无法求出丙物质的质量，原说法错误； D、相同体积下，丙物质的质量最大，故丙物质的密度最大，原说法正确． 10. 《九章算术》中有一个数学问题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？若根据题意列出的二元一次方程组中一个方程是，则另一个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，根据题目所给方程可知，设甲带了钱，乙带了钱，结合“乙得到甲所有钱的后共有50钱”的条件，分析甲、乙钱数的关系列出对应方程． 【详解】解：根据题意可知，设甲带了钱，乙带了钱， ∵乙得到甲所有钱的后共有50钱 ∴乙原有的钱数加上甲钱数的等于50，即 ∴另一个方程为， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质．根据正比例函数，当时，函数值随的值增大而减小写出表达式即可． 【详解】解：设一个正比例函数为， ∵当时，函数值随的值增大而减小， ∴写出一个函数值随的值增大而减小的正比例函数为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 电视机厂工程师通过向电脑输入点的坐标控制机械手，机械手按坐标指示的“地址”将有关元器件准确插入线路板上的焊孔，然后通过焊接工序将它们焊牢．如图，焊孔P，Q的坐标分别为，如果你是工程师，请输入坐标______．让机械手把元器件准确插入焊孔R． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据点P，Q的坐标分别为建立直角坐标系，再结合点R在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵点P，Q的坐标分别为， 建立平面直角坐标系如图： ∴点R的坐标为． 故答案为：． 13. 声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距______．（光传播所用的时间忽略不计） 【答案】1640 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据表格数据确定声速与气温的一次函数关系式，求出气温时的声速，再计算距离即可． 【详解】解：设， 把和代入得， 解得， ∴， 当时，， ， ∴小明与烟花所在地相距， 故答案为：． 14. 元宵佳节挂花灯，花灯闪闪似繁星．两两数时剩一盏，三三数时能数尽，五五数时剩三盏，七七数时还缺二．这些花灯至少有______盏． 【答案】33 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索、逐步确定，设花灯的数量为m盏，分别列举出m除以2的余数为1的值，m能被3整除的值，m除以5的余数为3的值，m除以7的余数为5，找到同时满足这四个条件的最小的数即可得到答案． 【详解】解：设花灯的数量为m盏， ∵两两数时剩一盏， ∴m除以2的余数为1， ∴m的值可以为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43，45，47，……， ∵三三数时能数尽， ∴m能被3整除， ∴m的值可以为3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，……， ∵五五数时剩三盏， ∴m除以5的余数为3， ∴m的值可以为3，8，13，18，23，28，33，38，43，48，……， ∵七七数时还缺二， ∴m除以7的余数为5， ∴m的值可以为5，12，19，26，33，40，……， ∴能同时满足四个条件的最小的数为33， ∴这些花灯至少有33盏， 故答案为：33． 15. 如图，在中，点D是边上的一点，连接，过点C作交的延长线于点E，若，，则线段的长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，三角形中线的性质，根据等边对等角和三角形内角和定理可证明，即，由勾股定理可得，则可得到，据此利用三角形的面积公式求出的长，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，平方差公式，熟练掌握运算法则并正确计算是解本题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可求解； （2）先化简二次根式，并利用平方差公式化简，再按实数的运算法则计算，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解二元一次方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． 用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 方法一：由②得：．③ 将③代入①中，得．解得：． 将代入③中，得． 所以原方程组的解是 方法二：由②×3得：．③ 由③+①，得．解得：． 将代入②中，得．解得：． 所以原方程组的解是 18. 如图，点E在线段上，点F在线段上，线段分别交，于点G，H，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是通过角的关系推导出两直线平行，再利用平行线的性质完成角的等量代换． 先由推出，得到；再由推出，得到；最后通过等量代换得出． 【详解】略 19. AI技术融入校园学习已成为教育发展的新趋势，某校以此为契机开展了“校园AI自习室助力学业提升”实践活动．为检验自习室对学生数学成绩提高的作用，学校从八年级随机选取40名学生，记录了他们在使用AI自习室前、后的数学自我检测成绩（成绩为整数，满分10分）． 【数据整理】 将使用AI自习室前、后的检测成绩整理成如下的统计图（所有学生成绩均不低于6分）： 【数据分析】 对使用前后的检测成绩进行了如下分析（不完整）： … 方差 众数/分 中位数/分 下四分位数/分 使用前 … 1.61 8 b 7 使用后 … 1.55 a 9 c 【问题解决】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）利用所学知识，进一步对以上使用AI自习室前、后的数学自我检测成绩进行分析和评价． 【答案】（1）9，8， （2） 如用平均数、方差进行分析：使用AI自习室前的平均数是8.2分，方差是1.61；使用AI自习室后成绩的平均数是8.45分，方差是1.55．可以看出，整体上，使用AI自习室可以适当提高成绩，整体成绩的稳定性也有所提高．（也可以用四分位数、箱线图进行分析，还可以利用折线统计图进行分析） 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数和下四分位数，运用中位数和众数作决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据众数、中位数和下四分位数的定义求解即可； （2）答案不唯一，可以用不同方法进行分析和评价，合理即可． 【小问1详解】 解：根据统计图知： 使用前6分有4人，7分有9人，8分有10人，9分有9人，10分有8人， 使用后6分有3人，7分有7人，8分有9人，9分有11人，10分有10人， 使用后，检测成绩为9分的有11人，最多，则分； 使用前，处于中间的两个数都是8分，则分； 使用后，下四分位数的位置为总人数的四分之一，即， 第10个数据为7分，第11个数据为8分，因此下四分位数为这两个数据的平均值： ， 故答案为：9，8，； 【小问2详解】 略 20. 热乎乎的馄饨是餐桌上的暖心美味．某小吃店把新鲜馅料、吉祥寓意都包进了馄饨．每碗有10个馄饨．其中鲜虾馄饨16元/碗，香菇鲜肉馄饨10元/碗，白菜鲜肉馄饨8元/碗，韭菜鲜肉馄饨6元/碗．现计划在春节期间推出“新春全家福馄饨”套餐A和套餐B（如图）． 套餐A 鲜虾馄饨 1个 香菇鲜肉馄饨 3个 白菜鲜肉馄饨 3个 韭菜鲜肉馄饨 3个 套餐B 鲜虾馄饨 香菇鲜肉馄饨 白菜鲜肉馄饨 2个 韭菜鲜肉馄饨 1个 （1）通过计算给出套餐A每碗馄饨的定价． （2）菜单中套餐B不小心被污损了，服务员告知顾客套餐B每碗馄饨11元，请你帮顾客求出套餐B中鲜虾馄饨和香菇鲜肉馄饨的个数． 【答案】（1）元； （2）套餐B中有3个鲜虾馄饨和4个香菇鲜肉馄饨． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据馄饨的总数和总价格这两个等量关系，正确列出方程组． （1）根据套餐A中各馄饨的数量，结合对应整碗价格，按单个馄饨价格计算总定价． （2）设套餐B中鲜虾馄饨和香菇鲜肉馄饨的个数为未知数，根据馄饨总数和总价格列出二元一次方程组，求解得出个数． 【小问1详解】 解：方法一：根据套餐A中每种馄饨的数量权重情况，可得套餐A中的定价应为：元． 方法二：∵每碗有10个馄饨．其中鲜虾馄饨16元/碗，香菇鲜肉馄饨10元/碗，白菜鲜肉馄饨8元/碗，韭菜鲜肉馄饨6元/碗． ∴每个鲜虾馄饨为1.6元，每个香菇鲜肉馄饨为1元，每个白菜鲜肉馄饨为0.8元，每个韭菜鲜肉馄饨为0.6元． 根据套餐A中每种馄饨的数量，可得套餐A每碗馄饨的定价应为：元． 【小问2详解】 解：设套餐B中鲜虾馄饨和香菇鲜肉馄饨的个数分别为x个和y个． 由题可得： 化简得： 解得： 答：套餐B中有3个鲜虾馄饨和4个香菇鲜肉馄饨． 21. 密码是国家安全的无形之盾，亦是个人隐私的忠实守护者．我国是世界上最早使用密码通讯的国家之一．八年级1班的同学们通过进行《神奇的加密术》综合与实践活动，知道了一套简单的密码由三部分组成：明文（加密前的信息）、密文（加密后的信息）、密钥，它们之间的关系是任何密码只要找到了明文与密文的对应关系——密钥，就可以破译它．同学们尝试利用所学的一次函数设计了加密术，用x表示明文，y表示密文，且x为非负整数． （1）“希望小组”设计的密钥为，则明文10可以加密成密文______； （2）“智慧小组”将明文字母转换为数字（，，…，），明文（，）变为对应密文（，）．请你求出“智慧小组”设计的密钥所使用的一次函数的表达式． 【答案】（1）24； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的表达式，求一次函数的函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）把代入中，求出y的值即可得到答案； （2）设，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴明文10可以加密成密文24； 【小问2详解】 解：设， 由题意得， 解得， ∴一次函数表达式为． 22. 项目学习 项目主题：燃气费的计算 项目背景：在“双碳”目标引领与建设节约型社会的时代浪潮下，某市居民生活用气实施了分档计费．为了更好地帮助居民树立科学用气、节约用气的意识，“数学与生活”兴趣组开展了项目学习活动． 驱动问题：如何利用数学工具，为居民解读燃气消费清单、预测用气消费开支？ 以下是“数学与生活”兴趣组的活动过程．请你和他们一起解决问题． 解决问题： （1）信息解码与模型构建： 首先收集了该市某户居民的一张居民生活年用气消费明细． 居民生活用气消费明细 计费日期2025-01-01至2025-12-31 上期抄见数 本期抄见数 加原表用气量/m³ 本期用气量/m³ 1212 1814 602 用气量/m³ 单价/（元/m³） 金额/元 第一档：300 2.73 819 第二档：300 3.28 984 第三档：2 3.82 7.64 本期实付金额（大写） 壹仟捌佰壹拾元陆角肆分 ¥1810.64 认真观察此明细并进行如下分析： 设本市居民年用气量为，燃气费为元． ①当时，y与之间的关系式为______； ②当时，y与之间的关系式为______； ③当时，y与之间的关系式为______． （2）模型应用与问题解决 通过分析发现，这样的分档计费中档次越高其单价越高，目的是鼓励人们要节约资源．该户居民准备在2026年实施节气措施，预计一年的燃气费为1475元，则该户居民2026年的用气量需为______． 【答案】（1）①②③ （2）500 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出函数的解析式是解题的关键； （1）根据表格分段列出函数关系式即可； （2）将代入中，求出的值即可． 【小问1详解】 解：①当时： ∵元， ∴y与之间的关系式为； ②当时： ∵前的费用为元， 超过的部分为，按第二档单价元/计算， ∴，化简得； ③当时： 前的费用为元， 超过的部分为，按第三档单价元/计算， ∴，化简得； 【小问2详解】 解：把代入中，得，解得， ∴该户居民2026年的用气量需为， 故答案为：． 23. 阅读与思考 下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 借助网格解几何题 在课本中有一些利用网格求线段长或图形面积的题．通过做这些题和阅读杂志，我发现可以将网格作为数学工具，帮助我们解决一些几何问题． 例如：如图1，在和中，，点A是的中点，若，，连接，则的长为______． 直接解决本题较难，但是如果把它放到如图2所示的边长为1的正方形网格中就可以化难为易．但关键是要确定在网格中先画哪个三角形，由于的边长已知，所以应先画这个三角形，再画，连接，且让三角形的顶点都在网格的格点上，看上去与题目中图的方向有所不同，但图形与原图形是形状相同的，然后利用网格可以轻松得到的长． 任务： （1）图2中，______； （2）借助网格解决以下问题： 如图3，中，，，，点D是的中点，以为直角边作等腰直角，且点A在内部，连接，求线段的长． ①将图3画在图4的边长为1的正方形网格中，并使各三角形的顶点在格点上； ②直接写出线段的长； （3）反思：借助网格解几何题有一定的局限性，其局限性是什么？ 【答案】（1）； （2）①画出图形如图所示： ； ②； （3） 解：借助网格解几何题的局限性在于，它只能解决可以用网格画出的格点线段的相关问题，对于一些无法在网格中准确表示或计算的线段长度等问题，这种方法就无法使用，限制了解题的普适性． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用勾股定理计算即可得出结果； （2）①根据题意将三角形画在网格中即可；②结合图形，利用勾股定理计算即可得出结果； （3）根据它只能解决可以用网格画出的格点线段的相关问题，对于一些无法在网格中准确表示或计算的线段长度等问题，这种方法就无法使用，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由图形可得：； 【小问2详解】 解：①略 ②由图形可得：； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $