阅读衔接学案 利用导数解决生活中的最优化问题-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

课题：利用导数解决生活中的最优化问题 山东省 2024级高二年级阅读学案 编号：12 编制人： 审核人： ----------衔接选择性必修三6.1《导数》 1、 阅读引导 1. 阅读的价值与意义 （1）从教材内容的拓展看：需要明确导数在最优化中的核心作用——通过求导找极值点，这是数学上的基础。然后要扩展到它在各个领域的实际应用，比如经济学、工程、日常决策等。（2）从疑难问题的解答看：如何向非专业的人解释这种数学工具的价值？或者如何让自己对枯燥的数学产生兴趣？所以回答里需要包含直观的例子和可共鸣的场景。另外，用户可能也在意教育层面的意义，比如学习这类知识对思维方式的培养。所以不仅要讲实际应用，还要提到逻辑思维、解决问题能力这些软性收获。 2.阅读要求与方法建议 阅读时建议做到四类：建模准备、建立模型、求解模型、回归实际。 3.检查方式 （1）能说出：生活中哪些场景会涉及 “最大”“最小” 的需求？（2）合上书，用自己的话梳理：为什么导数能解决最优化问题？尝试用通俗的语言描述其逻辑。 二、阅读目标 1.理解导数与函数最值的关系，明确利用导数解决最优化问题的核心原理； 2.掌握 “实际问题→数学建模→求导求解→验证结论” 的完整步骤； 三、阅读内容 在生活中，人们经常会遇到最优化的问题。例如，在铺设管道或者公路时，怎样使得花费最少?在制作容器时，怎样使得用料最少?经济活动中怎样使得经营成本最小?等等。这些问题都需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，因此数学上都称为最优化问题.因为利用导数可以求得最值，所以可以利用导数来求解最优化问题，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、 最小值的实际问题，主要有以下几个方面: 1.与几何有关的最值问题； 2.与物理学有关的最值问题； 3.与利润及其成本有关的最值问题； 4.效率最值问题. 下面我们举例说明： 如图所示，海中有一座油井A，其离岸的距离AC=1.2km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC=1.6km.现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30 万元.那么，铺设输油管的最少花费是多少? 分别计算下列两种铺法的铺设成本，然后尝试给出最优的铺设方案 (1)先沿AC铺设再沿CB铺设; (2) 直接沿着线段AB铺设. 思考： （1）如果先沿AC铺设，再沿CB铺设，则成本为：____________________________________. （2）直接沿线段AB铺设，成本为：如上图所示，在线段CB上取一点D，设其离C的距离为xkm，则 AD= x的范围为： DB= 设先沿AD铺设再沿DB铺设输油管时成本为y万元，则 y= = 令0，可解得 可知y在[0，0.9]上递减，在[0.9，1.6]上递增.从而y在x= 时取得最小值，而且最小值为: . 解决优化问题的方法: ①首先需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系； ②并确定函数的定义域，转化为在闭区间内求函数取值的情境； ③通过导数研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决。 【问题探究】：如图所示，现有一块边长为1.2m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，则容器的容积V是截下的小正方形边长x的函数. (1)写出函数的解析式; (2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少? 分析:当截去的正方形边长较短时，容器的底面积就会较大，高较小;反之，当截去的正方形边长较长时，容器的底面积就会较小，高较大.但是容器的容积等于底面积乘以高，因此，为了使得容器的容积最大，必须寻找合适的x值. (1)根据题意可知，容器底面的边长为 高为xm,于是 又因为显然x 的长度必须小于原有正方形边长的一半，所以 0.6, 所以 (2) 由题意有 令 可解得. 因此可知V在(0, 0.2]上递增, 在[0.2, 0.6)上递减. 故V在x=时取得极大值，而且在此时取得最大值.即截去的正方形边长为0.2m时，容器的容积最大 【巩固练习】 1.如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150km，岸边的医药公司A与点B的距离为300km，现有一批药品要尽快送达海岛码头.已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为130km，快艇时速为50km.试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短? 2.已知某种产品总成本C(单位：元) 是月产量Q(单位：t) 的函数，且 设Q 能取区间[1，30]内的每一个值，求月产量 Q 为多少时，才能使每吨产品的平均成本最低? 最低平均成本为多少? 三、思考与评价 1.利用导数解决最优化问题的一般步骤是什么？ 2.导数解决最优化问题应该注意什么？ 四、答案与提示 1.解 设点C与点B的距离为 xkm, 运输时间为T(x) h, 则 由 令 可解得 因此可知T(x)在 上递减，在上递增，从而T(x)在 时取得最小值.这就是说，点C 选在离B点为 时可使运输时间最短. 2.解：记平均成本为 f(Q)元，则 由题意有 令 可解得 因此可知 f(Q)在[1, 10]上单调递减, 在[10, 30]上单调递增,从而f(Q)在( 时取得极小值，而且在此时取得最小值 即当月产量为10t时，每吨产品的平均成本最低，最低为400元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $