6.3 利用导数解决实际问题(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［正解     ］ 　 　 ［点评］　 由直线与曲线相切的定义知，直线 ｌ与曲线Ｃ相切于某点Ｐ是一个局部定义，当ｌ与 Ｃ切于点Ｐ时，不能保证ｌ与Ｃ无其他公共点，有 可能还有其他切点，也有可能还有其他交点         ． 6789%:;< １．函数ｙ ＝２ｘ３ － ３ｘ２ － １２ｘ ＋５在［０，３］上的最大值 和最小值分别是 （Ｄ ） Ａ． ５，１５　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ５，－４ Ｃ． ５，－１６ Ｄ． ５，－１５ ２．（２０２３·和平高二检测）函数ｆ（ｘ）＝ ｅｌｎ ｘ － ｘ在 （０，２ｅ］上的最大值为 （Ｄ ） Ａ． １ － ｅ Ｂ． －１ Ｃ． － ｅ Ｄ． ０ ３．已知函数ｆ（ｘ）＝２ｘ３ －６ｘ２ ＋ｍ（ｍ为常数）在［－２， ２］上有最大值３，那么此函数在［－２，２］上的最小 值为 （Ａ ） Ａ． －３７ Ｂ． －２９ Ｃ． －５ Ｄ． －１１ ４．若函数ｆ（ｘ）＝ － ｘ４ ＋ ２ｘ２ ＋ ３，则ｆ（ｘ） （Ｂ ） Ａ．最大值为４，最小值为－４ Ｂ．最大值为４，无最小值 Ｃ．最小值为－４，无最大值 Ｄ．既无最大值，也无最小值 ５．求下列函数的最值： （１）ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ２ｘ２ ＋ １，ｘ∈［－１，２］； （２）ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ２ｘ － ｘ，ｘ∈ － π２， π[ ]２ ； （３）ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘｘ － ｘ． 请同学们认真完成练案［１９                           ］ ６． ３　 利用导数解决实际问题 !"#$%&'( 课程目标 １．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．（逻辑推理） ２．能利用导数求出某些实际问题的最大值（最小值）．（数学运算） 学法指导 １．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数 关系式中自变量的取值范围． ２．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值就是最值． ３．解决优化问题的基本思路： !(" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # /012%345 题型探究 题型一 利润最大问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．某商场销售某种商品的经验表明，该商品 每日的销售量ｙ（单位：千克）与销售价格ｘ（单位： 元／千克）满足关系式ｙ ＝ ａｘ －３ ＋ １０（ｘ － ６） ２，其中 ３ ＜ ｘ ＜６，ａ为常数，已知销售价格为５元／千克时， 每日可售出该商品１１千克． （１）求ａ的值； （２）若该商品的成本为３元／千克，试确定销 售价格ｘ的值，使商场每日销售该商品所获得的 利润最大． ［分析］　 （１）根据ｘ ＝５时，ｙ ＝ １１求ａ的值； （２）把每日的利润表示为销售价格ｘ的函数，用导 数求最大值． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 利润最大问题的求解方法 利用导数解决利润最大问题，关键是要建立 利润的函数关系式，然后借助导数研究函数的最 大值，注意函数定义域的限制以及实际意义． 对点训练? 某商品每日的销售量ｙ（单 位：千克）与销售价格ｘ（单位：元／千克，１ ＜ ｘ≤ １２）满足：当１ ＜ ｘ≤４时，ｙ ＝ ａ（ｘ － ３）２ ＋ ｂｘ －１（ａ，ｂ 为常数）；当４ ＜ ｘ≤１２时，ｙ ＝ ２ ８００ｘ － １００．已知当 销售价格为２元／千克时，每日可销售出该商品 ８００千克；当销售价格为３元／千克时，每日可售出 １５０千克． （１）求ａ，ｂ的值，并确定ｙ关于ｘ的函数解 析式； （２）若该商品的销售成本为１元／千克，试确 定销售价格ｘ的值，使店铺每日销售该特产所获 利润ｆ（ｘ）最大．（槡７≈２． ６５） 题型二 费用最低（用料最省）问题 ２．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损 耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑 物要建造可使用２０年的隔热层，每厘米厚的隔热 层建造成本为６万元．该建筑物每年的能源消耗 费用Ｃ（单位：万元）与隔热层厚度ｘ（单位：ｃｍ）满 足关系：Ｃ（ｘ）＝ ｋ３ｘ ＋５（０≤ｘ≤１０）．若不建隔热 层，每年能源消耗费用为８万元．设ｆ（ｘ）为隔热层 建造费用与２０年的能源消耗费用之和． （１）求ｋ的值及ｆ（ｘ）的表达式； （２）隔热层修建多厚时，总费用ｆ（ｘ）达到最 小，并求最小值． ［分析］　 根据题设条件构造函数关系，再应 用导数求最值． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 费用最低问题的求解策略 （１）用料最省、成本（费用）最低问题是日常 生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自 变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书 写函数表达式，准确求导，结合实际作答． （２）利用导数的方法解决实际问题，当在定 义区间内只有一个点使ｆ′（ｘ）＝ ０时，如果函数在 这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可 以知道在这个点取得最大（小）值                                                                    ． !(# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 对点训练? 一艘轮船在航行中的燃料 费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时 １０千米时，燃料费是每小时６元，而其他与速度无 关的费用是每小时９６元，问轮船的速度是多少 时，航行１千米所需的费用总和最少？ 题型三 面积、体积最大问题 ３．用总长为１４． ８ ｍ的钢条制作一个长方体 容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另 一边长０． ５ ｍ，那么高为多少时容器的容积最大， 并求出它的最大容积． ［分析］　 可设容器底面的宽为ｘ ｍ，那么长 以及高就可用ｘ表示出来，从而得到容积与ｘ的 函数关系式，然后用导数求得最大值． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 面积、体积最大问题的求解 策略 求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的 常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定 出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积 或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法 来解． 对点训练? 周长为２０ ｃｍ的矩形，绕一 条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 　 　 　 　 　 ｃｍ３                                  ． 6789%:;< １．已知某生产厂家的年利润ｙ（单位：万元）与年产 量ｘ（单位：万件）的函数关系式为ｙ ＝ － １３ ｘ ３ ＋８１ｘ －２３４，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量 为 （　 　 ） Ａ． １３万件　 　 　 　 　 　 Ｂ． １１万件　 Ｃ． ９万件　 　 Ｄ． ７万件 ２．一个箱子的容积与底面边长ｘ的关系为Ｖ（ｘ） ＝ ｘ２ ６０ － ｘ( )２ （０ ＜ ｘ ＜６０），则当箱子的容积最大 时，ｘ的值为 （　 　 ） Ａ． ３０　 　 Ｂ． ４０　 　 Ｃ． ５０　 　 Ｄ． ６０ ３．做一个容积为２５６ ｃｍ３ 的方底无盖水箱，要使 用料最省，水箱的底面边长为 （　 　 ） Ａ． ５ ｃｍ Ｂ． ６ ｃｍ Ｃ． ７ ｃｍ Ｄ． ８ ｃｍ ４．某生产厂家生产一种产品的固定成本为１万 元，并且每生产１百台产品需增加投入０． ５万 元．已知销售收入Ｒ（ｘ）（万元）满足Ｒ（ｘ）＝ － １８ ｘ ３ ＋ ９８ ｘ ２ ＋ １２ ｘ（其中ｘ是该产品的月产量， 单位：百台，０ ＜ ｘ ＜ ８），假定生产的产品都能卖 掉，则当公司每月产量为　 　 　 　 百台时，公司 所获利润最大． ５．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量ｘ （吨）与产品的价格Ｐ（元／吨）之间的关系为Ｐ ＝ ２４ ２００ － １５ ｘ ２，且生产ｘ吨的成本为Ｒ ＝ ５０ ０００ ＋ ２００ｘ元．问每月生产多少吨产品才能 使利润达到最大？最大利润是多少？（利润＝ 收入－成本） 请同学们认真完成练案［２０                                 ］ !($ 则当0<x<e时f'(x)>0.f(x)单调递增,当e<x<2e时,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)· 大值,所以/(x)=/(e)=ene-e-0. 3.A 因为f'(x)=6r-12x=6x(x-2). 从而f(x)=10[(t-6)+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)· 由/(x)=0得x=0或2. (-6). 又f(0)=m.Jf(2)=-8+m.f(-2)=-40+m,显然f(0)> 于是,当:变化时)/(x),/(x)的变化情况如下表: f(2)>/(-2). (34) (4.6) 所以m=3.最小值为/(-2)--37 x /() s 4. B /(x)=-4+4x,由/(x)=0得x=+1或x=0 易知/(-1)=/(1)-4为极大值也是最大值,故应选B. /) 极大值42 $$.(1)/f(x)=3-4x.令/f(x)=0.有3x-4x=0,解得x=0或 _ 由上表可得,x=4是函数/(x)在区间(3.6)内的极大值点。 也是最大值点,所以,当x三4时,函数/fx)取最大值,且最大值 当:变化时/(x),/(x)的变化情况如下表: 等于42.故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所 获得的利润最大. (-10) 。 (o.)封(2) 对点训练1:(1)由题意,当x=2时,y=800..a+b=800 又x=3时,v=150. /() 0 :b-300.可得a-500. /) -2 2 _ 2800-100.4<x=12. 从上表可知,最大值是/(0)=f(2)=1,最小值是ff-1) --2. (2)/(x)=2cns2x-1,xe-"]. (2)由题意,得/(x)=y(x-1)= 500(x-3)*(t-1)+300.1<x4. 令/(t)=0.得x=-吾或x吾 (2800-100)(x-1).4<xs12. 当:变化时/(x),f(x)的变化情况如下表: 当1<x4时/(x)=500(t-3)(x-1)+300=500r- 3500r*+7500t-4200. /(x)=5003xr-5)(x-3)..由/(x)>0.,得x或x K{3.h)(e):0,3. /) 0 0 .)(x)在(1.).(3.4)上单调递增,在(3)上单调递 ()) 过减.:/()(4)=1800. 由上表可知, 当x-时v(x)取得最大值/(-)-开, :.当x=4时有最大值,/(4)=1800. 当x-时(x)取得最小值/()-- (100x2800)2900-40071840. (3)/(x)的定义域为(0.+)/'(x)-1-lnx-1.令/(t)={ 当且仅当100x-2800即x-27~5.3时取等号, 2 0.得-1-lnx.显然x=1是方程的解. .。 令g(x)=x*+lnx-1,xe(0,+x). .x=5.3时,有最大值1840 则g(x)-2+10. ·1800<1840.:当x=5.3时Jf(x)有最大值1840.即当 销售价格为5.3元时,店铺所获利润最大 .函数g(x)在(0.+x)上单调递增 例2:(1)设隔热层厚度为xcm. 心x=1是方程/(x)=0的唯一解. 由题设,每年能源消耗费用为C(x)-3x5 :当0xc1时/(x)-1-nx-10. 又C(0)=8..k=40.因此C(x)-3405.而建造费用 0 当x>1时/(ti)<0..函数/(x)在(0.1)上单调递增,在(1. C.(xi)=6x,从而隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 +x)上单调递减,.当x三1时,函数/(x)有最大值,且最大 800 值是/(1)=-1,函数/(x)无最小值. 6.3 利用导数解决实际问题 =10). 关键能力·攻重难 (2)/(t)=62400 (3r5),令/(t)=0. 例1:(1)因为x-5时,y=11.所以+10-11.a-2. 即_2400 {34)=6.得=5,-- -23 10(:-6) 当0<x<5时)f(x)<0.当5x<10时f(x)>0 -151- 故x-5是f(x)的最小值点,对应的最小值为/(5)=6x5+2.B #(x)#-+3 .V(x)--)+60r→Vv(xi)= 800 0.得x=40(x=0舍去).且当0<x<40时.V(x)>0.当40 万元 x<60时.V(x)<0.故V(x)在x=40时取得最大值 对点训练2:设速度为每小时;千米时,燃料费是每小时p 3.D 设水箱的底面边长为xcm,容积为256cm}. 元,那么由题设,知p=r, 于是有)=0.006. 又设船的速度为每小时;千来时,行驶1千来所需的总费 即/(x)=)1024 4/()=21024 用为a元,那么每小时所需的总费用是(0.006r”+96)元,而行 驶1千来所用时间为-小时,所以行驶1千来的总费用为a= 令/(x)-0,得x=8,所以当底面边长为8cm时用料最省 4.6 设销售利润为g(x),依题意,可得 r'=0.0120-960.012(v-8000), xe(0.8). 令q'=0.解得v=20 当v20时,'<0: 当xe(0.6)时,g'(x)>0;当x(6.8)时,g(x)<0.所以 当v>20时,'>0.所以当,=20时,。取得最小值 g(x)在(0.6)上单调递增;在(6,8)上单调递减 即当速度为20千米/时时,航行1千来所需的费用总和 所以当x=6时,g(x)取得极大值,也是最大值. 最少。 所以当公司每月生产6百台时,获得利润最大。 例3:设容器底面的宽为xm. 5.每月生产:吨时的利润为 则长为(x+0.5)m. 高为14.8-4x-4(x+0.5)-3.2-2x. (x)=(24200-)r-(5000+200答) 由题意知x>0x+0.5>0. 且3.2-2x>0.:0x<1.6 设容器的容积为V(x)m. 由/(u)=一 则有V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x) 解得x=200.x.=-200(舍去). =-2r+2.2+1.6x(0<x<1.6). 因为f(x)在[0.+×)内只有一个极大值点x=200使f(x)= -.V(x)'--6r+4.4x+1.6. 0.故它就是最大值点,且最大值为f(200)=- 1x200 令V(x)'=0,有15x-11x-4=0 一(去). 解得x=1,- 24000x200-50000=3150000(元). 答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利涧为315万元 .当xe(0.1)时.V(x)>0.V(x)为增函数; 章末整合提升 xe(1.1.6)时.V(x)<0.V(x)为减函数. .V(x)在xe(0.1.6)时取极大值V(1)=1.8.这个极大值 要点专项突破 就是V(x)在xe(0.1.6)时的最大值,即V(x).=1.8.这时容 例1:(e.1)设A(m,n),则曲线y=lnx在点A处的切线 器的高为1.2m. 4.当高为1.2m时,容器的容积最大,最大值为1.8m. n 又切线过点(-e.-1). 所以有1+n-(e+n). xcm,则另一边长为(10-x)cm(0<x<10). 由题意可知圆杜体积为V=-x”(10-x)=10mx2--x°. 再由n=nn. -.V=20rx-3. 解得m=e,n=1 20 故点A的坐标为(e.1). 令V(x)=0.得x=0(舍去)或x= 32 例2:5x-v+2=0 由题,当x=-1时,y=-3.故点在曲 且当;e(o.20)时,V(x)>o; !线上. 求导得:-2(x+2)-(2x-1.5 (x+2) 当xe(20,10)时,V(x)<0. (2). 所以'1.=5. .当-20时,V(x)4 4000 ~4200-(c). 故切线方程为5x-y+2=0 故答案为:5x-y+2=0. 课堂检测·固双基 例3:(1)当a=1时(x)-)+2lnx-3x(x>0). 1.Cy--+8tx-234. y--+81(t0). 所以/(x)-2-3--3-+2.(-2)(tx-1) 令y=0得x=9.令y'<0得x>9.令y'>0得0<x<9. 。 ·.函数在(0.9)上单调递增,在(9,+x)上单调递减. 令/'(x)>0.则0x<1或x>2. ·当:=9时,函数取得最大值.故选C. 令f(x)0,则1x<2. -152-