6.4 数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.4 数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系 【学习目标】 1.通过情景,让学生经历和体验数学建模的过程.(数学建模) 2.通过本节学习,让学生体验数学建模和研究方法.(数学建模、数学运算) 【自主预习】 用数学的眼光观察世界,用数学的语言描述世界,用数学的思维思考世界,用数学的模型把握世界.为了更好地了解世界,人们用数学模型来描述某种特定的现象,生活中处处可见数学模型.远到医学CT层析仪、电视数字化、讯飞翻译机,近到我们的脉搏率. 1.如何测量脉搏率? 2.通过一个数学模型,你只要告诉我体重,我就可以算出脉搏率,将这样一个生活问题数学化,可以实现吗? 【合作探究】 一、模型建立 1.实验研究 下表给出了一些动物体重W与脉搏率f对应的数据. 动物 体重W/克 脉搏率f/(次/分) 田鼠 25 670 大鼠 200 420 豚鼠 300 300 兔 2000 205 小狗 5000 120 大狗 30000 85 羊 50000 70 马 450000 38 师:图1是动物体重与脉搏率的散点图,从图中我们可以发现什么? 生:从图中可以看出,体重越轻的动物脉搏率越高. 师:如果想要用体重预测脉搏率,可以如何操作? 学生活动:讨论得出可以建立体重和脉搏率的函数模型. 师:图2是用MATLAB软件拟合的函数模型f=1831.5W-0.302,记为模型1. 师生活动:验证模型. 师:图2与给定数据拟合得很好,对我们的研究具有一定的指导意义,一定程度上体现了体重与脉搏率的数量的关系,但缺少了对问题本质的研究,这是我们第一阶段的实验研究,接下来我们如果要继续深入,需要研究文献,了解相应的生物背景知识. 2.文献研究 学生活动:阅读学习相关生物背景知识. 问题的提出: 生物学家认为,睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量,主要是为了保持体温.研究表明,消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比.根据生物学常识知道,体温主要通过身体表面散失,动物的体重与体积成正比. (1)请根据生物学常识,给出血流量Q与体重W之间关系的数学模型. (2)从表中可以看出,体重越轻的动物脉搏率越高.请根据上面提供的数据寻求数量之间的比例关系,建立脉搏率f与体重W关系的数学模型. (3)根据表格,作出动物的体重W和脉搏率f的散点图,验证建立的数学模型. 师:在必修第一册的学习中,我们曾学习过指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型,它们都是我们对现实研究后提炼抽象出的数学模型,它们比原型简化,是“最简单”的.现实世界的原型都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统,如果我们对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以我们要充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化.根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,即抓住主要矛盾.用精确的语言做出假设,是建模至关重要的一步. 学生活动讨论:汇总再剔除影响因素,得出模型假设. 模型假设: (1)假设恒温动物处于睡眠状态,其消耗的能量全部转化为热量,全部热量都用来维持体温; (2)假设外界环境是保持恒定的,不会出现使体温变化很大的环境因素. 符号说明: S:动物的身体表面积. V:动物的体积. W:动物的体重. f:动物的脉搏率. Q:动物每分心输出量. q:动物心脏每搏输出量. E:动物消耗的能量. 3.机理研究 学生活动讨论:问题中有哪些量?它们有什么关系?如何得到每分心输出量Q与体重W的关系? 设计亮点:长方体的引入不仅帮助学生清晰地理顺量与量之间的关系,而且对表面积与体积的量化关系也提供了一个类比思路,可谓“一体双用”. 4.模型求解 学生活动:成果演示. 体重W与每分心输出量Q:Q=n . 体重W与脉搏率f:f=k . 教师提炼出比例模型. 经由MATLAB软件拟合,我们得到模型2. 二、模型分析 师:两个模型对原始数据拟合情况都比较满意,模型1的曲线单纯从数据角度拟合,效果较好,给出的模型也较贴近,是“形似”,模型2经过数学推理,有了生物和数学的背景,则是“神似”,那模型2的预测效果如何呢? 三、模型检验 师生共同分析模型误差原因,指出可以用人体数据来拟合模型,实际上西医检测仪器芯片是科学家通过数学模型设计制造的.教师抛砖引玉,激励学生进一步改进模型. 四、模型应用 根据模型,结合体重对脉搏率的影响,给出形成健康的生活方式的建议.这一过程体现了数学生活化. 五、总结提升 模型准备:了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征. 模型假设:针对问题特点和建模目的,做出合理的、简化的设计,在合理与简化之间折中. 模型建立:用数学的语言、符号描述问题,尽量采用简单的数学工具. 模型求解:各种数学方法、软件和计算机技术. 模型分析: