专题03 一元一次不等式的实际应用（3知识点+9考点+过关检测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

拓展专题03 一元一次不等式的实际应用 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：实际问题中的 “不等关系关键词”： 关键词 对应不等号 示例 至少、不低于、不少于 ≥ 零件质量至少 20g（x≥20） 至多、不超过、不大于 ≤ 费用至多 100 元（y≤100） 超过、多于、大于 > 人数超过 50 人（n>50） 不足、少于、小于 < 时间不足 3 小时（t<3） 知识点2 ：实际应用解题 “四步流程” 解决一元一次不等式的实际问题，需遵循固定流程，确保逻辑清晰、不遗漏条件： 第一步：“设”—— 设未知数 根据问题所求，设出具体、有意义的未知数（需带单位）。 若问题明确求 “数量”“金额”“人数” 等，直接设为未知数（如 “设购买甲商品x件”“设行驶时间为t小时”）； 若未知数涉及 “倍数”“比例”，可根据关系设（如 “设乙的数量为2x件”，简化计算）。 第二步：“列”—— 列不等式 根据题干中的不等关系关键词，结合 “总量、单价、数量” 等基本数量关系，列出一元一次不等式： 示例 1：“用不超过 500 元购买单价为 30 元的笔记本和 20 元的钢笔，买了 10 本笔记本，求最多买几支钢笔”分析：笔记本总费用 + 钢笔总费用 ≤ 500 元列不等式：30×10+20x≤500（设钢笔买x支）。 示例 2：“某工厂生产零件，每天至少生产 200 个，前 3 天共生产 540 个，剩余 2 天完成，求后 2 天每天至少生产多少个”分析：前 3 天产量 + 后 2 天产量 ≥ 总需求（200×5）列不等式：540+2x≥200×5（设后 2 天每天生产x个）。 第三步：“解”—— 解不等式 根据不等式的基本性质，求解不等式的解集： 注意：若在求解过程中乘 / 除以负数，必须改变不等号方向； 示例：解不等式30×10+20x ≤500步骤：① 计算常数项：300+20x≤500；② 移项：20x≤500−300；③ 化简：20x≤200；④ 除以正数 20：x≤10。 第四步：“验”—— 检验并写答案 关键步骤：不等式的解集需结合实际问题的意义检验（如 “人数”“件数” 必须是正整数，“时间”“长度” 需为非负数），再写出符合题意的答案： 示例：若上述不等式解集为x≤10，结合 “钢笔支数为正整数”，最终答案为 “最多买 10 支钢笔”（需带单位，呼应问题）； 若解集为x≥23，而实际问题中 “人数最多 30 人”，则最终答案需限定为23≤x≤30（结合实际范围修正）。 知识点3 ：常见实际应用题型分类 题型 1：方案设计类（最常见） 特征：问题给出多种选择（如两种商品、两种方案），需通过不等式确定 “可行方案” 或 “最优方案”。 示例：“学校组织学生参加活动，有 A、B 两种车型：A 车可坐 30 人，租金 600 元；B 车可坐 20 人，租金 450 元。共有 170 名学生，要求租金不超过 3500 元，求有几种租车方案” 解题关键：设一种车型数量为x，用含x的式子表示另一种车型数量（需为非负整数），再根据 “总人数≥170”“总租金≤3500” 列不等式组（注意是 “组”，需满足多个条件），最终筛选出正整数解即为方案数。 题型 2：最值问题类 特征：问题求 “最多”“最少”（如最多买几件、最少需要几天），直接通过不等式解集确定最值。 示例：“某商店销售商品，每件盈利 40 元，每天可卖 20 件。若每件降价x元，每天销量增加 2 件，要求每天盈利不少于 1200 元，求最多降价多少元” 解题关键：根据 “总盈利 = 每件盈利 × 销量” 列不等式（(40−x)(20+2x)≥1200），求解后结合 “降价金额≥0”“每件盈利≥0” 确定最值。 题型 3：范围确定类 特征：问题需确定某个量的 “取值范围”（如速度范围、成本范围），通常涉及多个不等关系。 示例：“一辆汽车从 A 地到 B 地，全程 120km，原计划 2 小时到达，实际行驶中，前 1 小时走了 50km，若要提前 10 分钟到达，后一段路程速度至少为多少” 解题关键：先计算剩余路程（120﹣50 = 70km）和剩余时间（2﹣1﹣ = 小时），再根据 “速度 = 路程 / 时间” 列不等式（v≥70÷ ），注意单位统一（如分钟换算成小时）。 四、易错点警示（高频丢分点） 单位不统一：如时间（分钟与小时）、长度（厘米与米）未统一，导致不等式列错； 对策：列不等式前先将所有量统一单位（如均换算成 “小时”“米”）。 忽略实际意义：将不等式解集直接作为答案，未检验是否为正整数或符合实际范围（如 “人数” 出现负数、小数）； 对策：解完后务必标注 “x为正整数”，再筛选答案。 不等号方向错误：求解时乘 / 除以负数，未改变不等号方向； 对策：每一步变形后检查 “是否乘 / 除以负数”，若有则立即变号。 漏写 “不等关系”：当问题有多个限制条件（如 “人数够” 且 “费用省”），只列一个不等式； 对策：通读题干，圈出所有 “关键词”，确保每个条件都对应一个不等式（组）。 【题型1 盈不足问题】 【典例1】把一些书分给几名同学，若每人分5本，则可多分8个人；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式（　　） A．5（x+8）＜11x B．5x+8＜11x C．8x+5＜11x D．8（x﹣1）+5＜11x 【分析】根据不等式表示的意义解答即可． 【解答】解：根据题意可得：5（x+8）＜11x， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 【变式1】把一些书分给若干同学，若每人分10本，则余8本；若每人分13本，则不够．则至少有 　 　名同学． 【分析】依据题意，设有x名同学，从而可得10x+8＜13x，解不等式后结合x取正整数可以判断得解． 【解答】解：由题意，设有x名同学， ∴10x+8＜13x． ∴x＞2． 又x为正整数， ∴至少有3名同学． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【变式2】有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“现在班中有一半的学生正在做数学作业，四分之一的学生做语文作业，七分之一的学生在做英语作业，还剩不足6位的学生在操场踢足球．”那么这个班至少有 　 　学生． 【分析】设这个班共有x位学生，根据“班中有一半的学生正在做数学作业，四分之一的学生做语文作业，七分之一的学生在做英语作业，还剩不足6位的学生在操场踢足球”求出x的取值范围，再根据x、、、都是正整数，即可求出x的值． 【解答】解：设该班共有x名学生，根据题意可列不等式为： x6． 解不等式得：x＜56． 因为x是正整数且是2、4、7的公倍数． 所以 x＝28． 即：这个班至少有 28名学生． 故答案为：28． 【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解． 【题型2 比赛得分问题】 【典例1】某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是（　　） A．2x+（8﹣x）≥12 B．2x+（8﹣x）≤12 C．2x﹣（8﹣x）≥12 D．2x≥12 【答案】A． 【分析】根据题意表示出胜与负所得总分数大于等于12，进而得出不等关系． 【详解】解：这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是：2x+（8﹣x）≥12． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键． 【变式1】某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至多可以答错的试题道数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B． 【分析】先设答对了x道题目，则答错或不答的题目一共为（20﹣x）道，然后根据某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，可以列出相应的不等式，然后即可求得答对题目的取值范围，从而可以得到至多答错的题目数． 【详解】解：设小玉答对了x道题目，则答错或不答的题目一共为（20﹣x）道， 由题意可得， 10x﹣5（20﹣x）＞95， 解得x＞13， ∴小玉至少要答对14道题目，至多答错20﹣14＝6（道）， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式． 【变式2】5月27日，怀宁县举办科技活动周暨“全国科技工作者日”系列活动启动仪式．活动期间，怀宁县将举办科学家精神进校园、科普研学、科普讲座等一系列活动，让科技创新的成果惠及千家万户，让科学精神在人民群众中生根发芽．某校开展了科技知识竞赛活动，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得5分，不选或错选倒扣2分，如果得分不低于80分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C． 【分析】设要得奖应选对x道题，则不选或错选（20﹣x）道题，根据“得分不低于80 分才能得奖”即可列出不等式，求解后结合x为整数即可解答． 【详解】解：设要得奖应选对x道题， 根据题意得5x﹣2（20﹣x）≥80， 解得， ∵x为整数， ∴x≥18， ∴要得奖至少应选对18道题． 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）在一次知识竞赛中，共16道选择题，答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答不扣分，某同学有一道题未答，那么他至少答对多少题，成绩才能在60分以上？ 【答案】至少答对12道题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设他答对道题，成绩才能在60分以上，根据得分规则建立不等式，解不等式，求出的最小正整数解即可得． 【详解】解：设他答对道题，成绩才能在60分以上， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为12，符合题意， 答：他至少答对12道题，成绩才能在60分以上． 【变式4】为了促进学生身心健康，培养学生团队协作精神，构建校园体育文化，某校在校园文化节时举办了篮球联赛．比赛中规定，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分．如果某队要在第一轮的6场比赛中至少得14分，那么这个队至少要胜多少场？ 【分析】根据比赛中规定，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分．如果某队要在第一轮的6场比赛中至少得14分，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】解：设这个队胜了x场，则负了（6﹣x）场， 由题意可得：3x+（6﹣x）×1≥14， 解得x≥4， 答：这个队至少要胜4场． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 【题型3 行程问题】 【典例1】小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A．210x+90（52﹣x）≥5700 B．210x+90（52﹣x）≤5700 C．210x+90（52﹣x）≥5.7 D．210x+90（52﹣x）≤5.7 【答案】A． 【分析】根据“步行时间×步行速度+跑步时间×跑步速度≥5700”列不等式即可． 【详解】解：设他跑步的时间为x分钟，则他步行时间为（52﹣x）分钟， 根据题意，得：210x+90（52﹣x）≥5700， 故选：A． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是根据题意确定其中蕴含的不等关系． 【变式1】如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为720m．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（　　） A．100m B．120m C．180m D．144m 【答案】B． 【分析】设小明到A站之间的距离为x m，小明的速度为v m/s（v＞0），则公交车到A站之间的距离为（720﹣x）m，公交车的速度为5v m/s，利用时间＝路程÷速度，结合小明不会错过这辆公交车，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设小明到A站之间的距离为x m，小明的速度为v m/s（v＞0），则公交车到A站之间的距离为（720﹣x）m，公交车的速度为5v m/s， 根据题意得：， 即5x≤720﹣x， 解得：x≤120， ∴小明到A站之间的距离最大为120m． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【变式2】星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？ 【答案】小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明． 【分析】先设小明爸爸的速度为，由题意知小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程，由此不等关系列出不等式求解． 【详解】解：设小明爸爸的速度为，依题意有： ， 解得． 故小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键在于弄清题意，找出不等关系：小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程． 【变式3】为响应东莞市教育局“每周半天计划”，东莞某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托松山湖松湖烟雨徒步环湖路线展开活动．学校将初二年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的50公里轨迹． 【信息收集】信息一： 路段 路程（千米） 计划平均速度（千米/时） 第11组 松湖烟雨3段（松湖烟雨入口至查理大桥） 12.5 第19组 松湖烟雨2段（柏林墙至康桥） 6 信息二：第11组和第19组计划用时相等． 【问题解决】 (1)求的值和计划用时； (2)第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米/时多长时间？ 【答案】(1)，计划用时5小时 (2)第11组的同学至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）根据题意列出分式方程求解即可； （2）设第11组同学保持平均速度为3千米/时的时间为小时，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，第11组和第19组计划用时相等． 则 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 将代入第19组的用时公式，可得计划用时：小时； （2）解：设第11组同学保持平均速度为3千米/时的时间为小时．那么以2千米/时行驶的时间为小时． 根据总路程为12.5千米，可列出不等式： 解得： 答：第11组的同学至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时． 【题型4 工程问题】 【典例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成，但他加工2小时后，因事停工40分钟，那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件？ 【答案】60个 【分析】根据题意，列出一元一次不等式，解出答案即可．本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等量关系是解决本题的关键． 【详解】解：设后面的时间每小时加工个零件， 根据题意，得， 解得． 答：后面的时间每小时他至少要加工60个零件． 【变式1】（25-26六年级上·上海闵行·月考）某车间接到一批零件的加工任务，原定在8天内完成350只零件的加工，但第一天完成50只后，突然接到通知要比原计划提前两天完成任务，请问：接下来平均每天至少加工多少只零件才能保证完成任务？ 【答案】60只 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据剩余5天至少加工300只零件列出不等式求解即可． 【详解】解：原计划加工350只零件，8天完成， 第一天完成50只，剩余零件为只， 提前两天完成任务，即总时间为6天， 已用1天，剩余时间为5天， 设接下来平均每天加工x只零件， 则 解得 因此平均每天至少加工60只零件． 【变式2】（24-25八年级上·重庆渝北·期末）“路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． (1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天修，乙工程队每天修 (2)天 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天修，则甲工程队每天修，根据题意列出分式方程计算并检验即可； （2）设安排甲工程队施工天，则乙施工天，根据题意列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天修，则甲工程队每天修， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天修，乙工程队每天修； （2）解：设安排甲工程队施工天，则乙施工天， 由题意得：， 解得， 的最小值为， 答：至少安排甲工程队施工天． 【题型5 商品销售问题】 【典例1】2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； (2)至少购进5台A型智能机器人． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购进A型a台，B型台， 由题意得，， 解得，， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进5台A型智能机器人． 【变式1】（24-25九年级下·江西赣州·月考）为了丰富同学们的业余生活和培养同学们学习数学的兴趣，学校将举行一年一度的数学文化节，在数学文化节倒计时30天之际，学校计划购买A、B两种文化节的奖品作为纪念品．已知购买1件A种奖品与2件B种奖品共需要70元，购买2件A种奖品与3件B种奖品共需要120元． (1)求A种奖品和B种奖品的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买A种奖品和B种奖品共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买A种奖品多少件？ 【答案】(1)A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元 (2)最多能购买100件A种奖品 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． （1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，购买1件A种奖品与2件B种奖品共需要70元，购买2件A种奖品与3件B种奖品共需要120元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据总费用不超过5000元列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 根据题意得， 解得． 答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为100． 答：最多能购买100件A种奖品 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件 (2) ；②26或30 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用等； （1）等量关系式：300元购进商品的数量400元购进商品的数量，据此列方程，即可求解； （2）①不等关系式：商品在售出件获得的利润 商品在售出件后将余下部分每件降价元获得的利润全部售出商品所获得的利润，据此列出不等式，即可求解； ②等量关系式：全部售出商品所获得的利润 商品在售出件获得的利润 商品在售出件后将余下部分每件降价元获得的利润元，据此列出方程，再由、的取值范围，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设每件商品进价为元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； （件）， 答：商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件； （2）解：①由题意得 ， 解得：， ； ②由题意得 ， 整理得：， 是不小于25的正整数， ， ， 解得：， 是不大于6的正整数， ， 或， 当时， ， 当时， ， 故答案为：26或30． 【题型6 计费问题】 【典例1】从A地向B地打长途电话，通话时间不超过3min收费2.4元，超过3min后每分加收1元．本题中通话时间取整数，不足1min的通话时间按1min计费．若小江有10元钱，则他打一次电话最多可以通话的时间是（　　） A．9min B．10min C．11min D．12min 【答案】B． 【分析】设他打一次电话可以通话的时间是x min，利用通话费用＝2.4+1×超过3min的时间，结合通话费用不超过10元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：设他打一次电话可以通话的时间是x min， 根据题意得：2.4+（x﹣3）≤10， 解得：x≤10.6， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为10． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【变式1】某市的出租车收费标准是：起步价为6元（即行驶距离不超过3千米应付车费6元），超过3千米后，每增加1千米加收1.4元（不足1千米按1千米收费）．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为17.2元，则x为（　　）千米． A．11 B．10＜x≤11 C．10 D．10≤x＜11 【答案】B． 【分析】根据出租车费≥6+1.4×超出3千米的路程结合出租车费为17.2元，即可得出 关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其整数即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得6+1.4（x﹣3）≤17.2， ∴x≤11， ∴10＜x≤11， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式求解是解题的关键． 【变式2】某企业采购了品牌空调40台，品牌空调60台，准备让旗下的甲、乙两家商场出售，其中70台给甲商场，30台给乙商场．设该企业调配（为正整数）台品牌空调给甲商场，两家商场销售这两种品牌空调的单价如下表（单位：元/台）： 甲商场 2500 2000 乙商场 3000 1700 (1)请根据题意补全、品牌空调调配情况的表格（单位：台）． 甲商场 乙商场 (2)在（1）的条件下，若甲、乙两家商场全部卖出这100台空调的总销售额为219000元，求的值； (3)小麦家去年7，8月份空调共用电460千瓦时（其中7月份用电量少于8月份），两次共交电费元．请根据下表中电费收费标准，求出小麦家8月的用电量． 月用电（单位：千瓦时统计为整数） 单价（单位：元） 180及以内 大于等于181且小于等于400的部分 401及以上部分 【答案】(1)见解析 (2)； (3)8月份的用电量为402千瓦时． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）由题意可知，调配给甲商场空调台，乙商场空调台，由此可解； （2）根据总利润为219000元，可列出方程即可； （3）设7月份的用电量为千瓦时，则8月份的用电量为千瓦时，由题意知求得，分①当时，②当时，③当时，三种情况列方程计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，调配给甲商场空调台，空调台， 甲商场 乙商场 （2）解：由题意可知，， 解得； （3）解：设7月份的用电量为千瓦时，则8月份的用电量为千瓦时， 由题意知，，解得，， ①当时， 依题意得，， 解得：， ， ∴8月份的用电量为402千瓦时； ②当时， 依题意得，， 解得：，不合题意，舍去； ③当时， 依题意得，， 方程无解； 综上所述，8月份的用电量为402千瓦时． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【答案】(1) (2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等 (3)当，选择套餐省钱 【分析】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键． （1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，代入解答即可； （2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，分类解答即可； （3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，分类计算可． 【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：， 当时， （元， 故答案为：； （2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元， 当两位老师的费用都是元时，根据题意得： ， 解得：； 当两位老师的费用超过元时，根据题意得： ， 解得． 故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等． （3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元， 根据（2）解答得： 时，套餐便宜， 此时； 当时，套餐便宜， 此时； 故当，选择套餐省钱． 【题型7 几何问题】 【典例1】如图1所示，在一个长方形广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛．若广场的长为m米，宽为n米，圆形的半径为r米． （1）列式表示广场空地的面积． （2）若广场的长为300米，宽为200米，圆形的半径为30米，求广场空地的面积（计算结果保留π）． （3）如图2所示，在（2）的条件下，若在广场的中间再建一个半径为R的圆形花坛，使广场的空地面积不少于广场总面积的，求R的最大整数值（π取3.1）． 【答案】（1）mn﹣πr2，（2）（60000﹣90π）平方米．（3）74米． 【分析】（1）长方形的面积减去半径为r的圆的面积即可． （2）把m=300，n=200，r=30代入即可求出空地的面积， （3）根据面积之间的关系列出不等式，求出不等式的整数解即可． 【详解】（1）由题意得，mn﹣πr2， 答：广场空地的面积为（mn﹣πr2）平方米， （2）把m＝300，n＝200，r＝30代入得， 原式＝300×200﹣π×900＝（60000﹣900π）平方米， 答：广场空地的面积大约为（60000﹣90π）平方米． （3）由题意得， 300×200﹣π×302﹣πR2≥300×200×， 解得R≤74.51， R为最大的整数， 所以R＝74米， 答：R的最大整数值为74米． 【点睛】考查列代数式，代数式求值，正确的列出代数式是关键，把数据代入根据代数式规定的运算进行计算是常用的解题方法． 【变式1】王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满． 【答案】（1）40；（2）乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm；（3）5cm． 【分析】（1）根据王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形（如图①），可得甲种盒子底面边长是60-20=40（cm）； （2）设乙种盒子底面的宽BC为xcm，则长AB为2xcm，根据原边长是60cm，结合图形得方程2x+2y=60，解方程即可求解； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满，列出不等式40×40y≥20×10×40即可求解． 【详解】解：（1）60-20=40（cm）； 故答案为：40； （2）设乙种盒子底面的宽为xcm，则盒子底面的长为2xcm，依题意有 2x+x+2x+x=60， 解得x=10， 则2x=20． 答：乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满， 根据题意得40×40y≥20×10×40， 解得y≥5． 答：当甲种盒子的注水高度至少为5cm时，将水倒入乙种盒子后可以把乙种盒子注满水． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，此题关键是能够结合图形正确发现等量关系，列出方程．熟悉长方体的体积公式：长方体的体积=长×宽×高． 【变式2】将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 【题型8 数字问题】 【典例1】一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于9，且十位上数字与个位上数字都不为0． 若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数小于原来数的． 求这个两位数． 【答案】72或81 【分析】设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得 []解不等式即可． 【详解】解：设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得 [] 解这个不等式，得 ， ∵十位上数字与个位上数字都不为0， ∴ ∴整的整数值为5、6、7、8 当时，，这个数为54，对调后所得数为45，，不符合题意； 当时，，这个数是63，对调后所得数字为36，，不符合题意； 当时，9-，这个数为72，十位上数字与个位上数字对调后所得数为27，27＜，符合题意； 当时，，这个数为81，十位上数字与个位上数字对调后所得数为18，18＜，符合题意． ∴这个两位数是72或81． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【变式1】将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】图形中有3个“田”字形，其中重叠的有两个小格，设对应的数为a、b，则a与b均被加了两次，根据“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为，根据3个“田”字形所填数的总和为，列出不等式，求整数解即可． 【详解】解：设每个“田”字格四个数的和为m， 共12个数的和为， 有两数重复， 设这两数分别为a，b， 所以3个“田”字形所填数的总和为： ， 则有， 要m最大，必须a、b最大， 而a+b最大值为， 则， 则， 则m最大整数值为24． 故选B． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出关系式． 【变式2】阅读材料：一个四位自然数各位数字不同且不为0，若它满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这个四位自然数为“双城数”．比如8631，各位数字均不为0且不相同，8+1＝6+3，所以8631是“双城数”． (1)请判断5724，6532是否是“双城数”，并写出判断过程； (2)一个“双城数”A千位数字为2，百位数字为m，个位数字为n，若A的各位数字之和恰为7的倍数，求所有满足题意的“双城数” 【答案】(1)5724，6532都是“双城数” (2)2165、2345、2435、2615 【分析】（1）根据“双城数”的定义判断即可； （2）根据“双城数”的定义可确定该“双城数”十位数字为．再结合题意可知（k为正整数），由“双城数”的定义可知或且为整数，在分类讨论列出等式和不等式，即可求出答案． 【详解】（1）∵5724各位数字不同且不为0，5+4=7+2=9， ∴5724是“双城数”； ∵6532各位数字不同且不为0，6+2=5+3=8， ∴6532是“双城数”； （2）由题意可知该“双城数”十位数字为． ∵A的各位数字之和恰为7的倍数， ∴（k为正整数）， 整理，得：， ∵或且为整数， ∴当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得： ∴k可取2和3． 当时，，即此时千位数字为2，个位数字为5， ∴此时该“双城数”可为2165、2345、2435、2615、2075（不合题意，舍去），2705（不合题意，舍去）； 当时，，不符合题意． 综上可知，满足题意的“双城数”为2165、2345、2435、2615． 【点睛】本题考查新定义，学生的阅读理解能力和知识迁移能力，解一元一次不等式组．理解“双城数”的定义是解题关键． 【题型9 方案设计问题】 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）为了促进消费，甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，且各自推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费； 乙商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费． 若某顾客准备购买标价为元的商品． (1)在甲商场购买的优惠价为_____元，在乙商场购买的优惠价为_____元（均用含的式子表示） (2)乙商场为了吸引顾客，调整了优惠方案：购物价格累计超过元，但不超元，超出元的部分按付费；超过元，超出元的部分按付费，甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确列出代数式，找出数量关系列出一元一次不等式． （1）根据甲、乙的促销方案进行解答即可； （2）分两种：当时和当时，分别列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：在甲商场购买的优惠价（元）， 在乙商场购买的优惠价（元）， 故答案为：；； （2）解：当时， 由题意可得：， 解得：； 当时， 由题意可得：， 解得：， ∴时，顾客在甲商场购物花费少， 综上所述，顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围为． 【变式1】某超市计划购进甲、乙两种商品共计10件进行销售（购进甲、乙两种商品数量均不为0）．已知两件乙商品的进价比一件甲商品的进价贵20元，两件甲商品的进价比三件乙商品的进价贵10元． （1）求甲、乙两种商品的进价； （2）若购进甲、乙两种商品费用不超过590元，则该超市有几种进货方案？ （3）该超市计划将甲商品定价100元/件，乙商品定价60元/件．若购进的10件甲、乙两种商品全部售完，且至少盈利150元，求购进的甲商品不能少于多少件？ 【分析】（1）设甲种商品的进价为x元，乙种商品的进价为y元，根据“两件乙商品的进价比一件甲商品的进价贵20元，两件甲商品的进价比三件乙商品的进价贵10元”，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种商品a件，则购进乙种商品（10﹣a）件，根据（1）的结果和购进甲、乙两种商品费用不超过590元，列出一元一次不等式，解不等式即可； （3）设购进甲种商品b件，则购进乙种商品（10﹣b）件，根据（1）的结果，结合“将甲商品定价100元/件，乙商品定价60元/件．若购进的10件甲、乙两种商品全部售完，且至少盈利150元”， 列出一元一次不等式，解不等式即． 【详解】解：（1）设甲种商品的进价为x元，乙种商品的进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种商品的进价为80元，乙种商品的进价为50元； （2）设购进甲种商品a件，则购进乙种商品（10﹣a）件， 由题意得：80a+50（10﹣a）≤590， 解得：a≤3， ∵a为正整数， ∴a为1或2或3， ∴该超市有3种进货方案： ①购进甲种商品1件，乙种商品9件； ②购进甲种商品2件，乙种商品8件； ③购进甲种商品3件，乙种商品7件； （3）设购进甲种商品b件，则购进乙种商品（10﹣b）件， 由题意得：（100﹣80）b+（60﹣50）（10﹣b）≥150， 解得：b≥5， 答：购进的甲商品不能少于5件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）、（3）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 【变式2】泰安市某中学组织学生研学，原计划若租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． （1）列方程组求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？ 【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，这次研学去了y人，根据“若租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满”建立二元一次方程组求解即可得出答案； （2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，”建立一元一次不等式求解，再根据“要求B种客车不超过7辆，”即可求出y得值，然后分别求出3种租车方案的租金作比较即可得出答案． 【详解】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，这次研学去了y人，根据题意得： ， 解得，， 答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人； （2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车（25﹣y）辆，根据题意得： 45（25﹣y）+60y≥1200， 解得：y≥5， 又∵y为小于等于7的正整数， ∴y可以为5，6，7， ∴该学校共有3种租车方案： 方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；总租金为300×5+220×20＝5900（元）； 方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；总租金为300×6+220×19＝5980（元）； 方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；总租金为300×7+220×18＝6060（元）． ∵5900＜5980＜6060， ∴租用5辆B种客车，20辆A种客车最合算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，读懂题意，找到等量关系式是解题的关键． 【变式3】为迎接旅游发展大会的召开，小明所在的班级开展家乡旅游宣讲竞赛，需要去商店购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：某商店在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：该商店开展促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上网店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． （1）该商店在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个（0＜m＜40），若在线下商店成为会员购买，共需要 　 　元；若在线上网店购买，共需要 　 元．（均用含m的代数式表示） （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【分析】（1）设该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是x元，B款运动盲盒的销售单价是y元，利用总价＝单价×数量，结合“买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用在线下商店购买所需费用＝购买会员卡的费用+A款运动盲盒的销售单价×0.8×购买A款运动盲盒的数量+B款运动盲盒的销售单价×0.8×购买B款运动盲盒的数量，可用含m的代数式表示出在线下商店购买所需费用；利用在线上淘宝店购买所需费用＝A款运动盲盒的销售单价×0.9×购买A款运动盲盒的数量+B款运动盲盒的销售单价×0.9×购买B款运动盲盒的数量，可用含m的代数式表示出在线上淘宝店购买所需费用； （3）根据线下购买方式更合算，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合0＜m＜40，即可得出结论． 【详解】解：（1）设该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是x元，B款运动盲盒的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是10元，B款运动盲盒的销售单价是8元； （2）根据题意得：在线下商店购买，共需要35+10×0.8m+8×0.8（40﹣m）＝（1.6m+291）（元）； 在线上淘宝店购买，共需要10×0.9m+8×0.9（40﹣m）＝（1.8m+288）（元）． 故答案为：（1.6m+291），（1.8m+288）； （3）根据题意得：1.6m+291＜1.8m+288， 解得：m＞15， 又∵0＜m＜40， ∴15＜m＜40． 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出在线下商店购买及在线上淘宝店购买所需费用；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 1．某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（　　） A．3局 B．4局 C．5局 D．6局 【答案】C． 【分析】设张老师在预赛中获胜x局，积分超过30分的就可以晋级，由此可以列出不等式解决问题． 【详解】解：设张老师在预赛中获胜x局，由题意得， 得2×3+10x﹣5（8﹣x）＞30， ∴x， 而x为正整数， ∴x≥5． ∴张老师至少应获胜5局． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出实际得分是解题关键． 2．某种出租车的收费标准：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费），超过3km后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地路程的最大值是（　　） A．5km B．7 km C．8km D．15 km 【答案】C． 【分析】根据付车费可知，行程超过3km；不超过3km收费7元，超过3km以后（x﹣3）km收费2.4（x﹣3）元，根据题意列出方程． 【详解】解：设他行程为x km， 根据题意得7+2.4（x﹣3）≤19， 解得x≤8． 答：甲地到乙地路程的最大值是8km， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解． 3．随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择： （1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车； （2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车． 假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（　　） A．240m B．300m C．320m D．360m 【答案】B． 【分析】可设小明的速度是xm/分，则公交车速度是5xm/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为ym，计算得到小明的路程，公交车的路程，再根据到B公交站的路程之间的不等关系路程不等式求解即可． 【详解】解：设小明的速度是xm/分，则公交车速度是5xm/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为ym， 到A公交站：xt+5xt＝720， 解得xt＝120， 则5xt＝5×120＝600， 到B公交站：5y﹣600≤600+y， 解得y≤300． 故A，B两公交站之间的距离最大为300m． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是找到不等关系列出一元一次不等式． 4．（24-25七年级下·上海闵行·期中）某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪有1道题没答，竞赛成绩超过90分，那么小聪至多答错了 道题． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设小聪答对了x道题，则答错了道题，根据总分答对题目数答错题目数，结合总分超过90分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论． 【详解】解：设小聪答对了x道题，则答错了道题， 依题意，得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为22．即最少答对22题， ∴小聪至多答错了道题． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海·期中）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为（年龄），最低值为（年龄）．所以30岁的人最佳燃脂心率p的范围为 ．（包括最高值和最低值） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据心率的最高值和最低值列出不等式求解即可． 【详解】解：解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 6．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速60km/h的路段上，当距离下一路口800m时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为64s，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口．则小车当前行驶速度x km/h的取值范围是 　 　． 【答案】45≤x≤60． 【分析】分别将800m和64s换算成以km和h为单位的数值，根据“时间＝路程÷速度”列关于x的不等式并求解即可． 【详解】解：800m＝0.8km，64sh， 根据题意，得4x≥0.8×225， ∴x≥45， ∵x≤60， ∴45≤x≤60． 故答案为：45≤x≤60． 【点睛】本题考查不等式的应用，掌握距离与时间的单位换算方法、根据题意列一元一次不等式并求解是解题的关键． 7．（24-25八年级下·山西太原·月考）为了筹备数学知识大赛，小星借读了一本与此相关的500页的书籍，计划10天内读完．前6天因种种原因只读了240页，那么从第七天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完这本书？ 【答案】从第7天起平均每天至少要读65页，才能按计划读完这本书． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，先设从第7天起平均每天要读页．因为500页的科普书计划10天内读完．前5天因种种原因只读了240页，故得，再解得，即可作答． 【详解】解：设从第7天起平均每天要读页． 根据题意，得， 解得． 答：从第7天起平均每天至少要读65页，才能按计划读完这本书． 8．（24-25七年级下·上海·期末）端午节是中国四大传统节日之一（与春节、清明节、中秋节并列），距今已有2000多年历史，于2009年被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某商店购进蛋黄肉粽跟碱水粽共100盒，已知蛋黄肉粽每盒利润为10元，碱水粽每盒利润为20元．如果购进的粽子销售完毕，所得总利润不低于1600元，那么最多能购进蛋黄肉粽多少盒？ 【答案】40盒 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购进盒蛋黄肉粽，则购进盒碱水粽，利用总利润每盒蛋黄肉粽的销售利润购进蛋黄肉粽的数量每盒碱水粽的销售利润购进碱水粽的数量，结合总利润不低于1600元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设购进盒蛋黄肉粽，则购进盒碱水粽， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为40， 答：最多能购进蛋黄肉粽40盒． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 【答案】件 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，根据件数关系和总金额限制建立不等式解出解集后，取的最小整数解即可． 【详解】解：设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，由题意得： ； ∵ ∴， ∴， ∵取最小整数解， 故 ． 答：该商场购进的乙种智能家电至少为 件． 10．（24-25七年级上·上海·假期作业）某市出租车的收费标准如下： 里程 收费标准元 千米以下（含千米） 千米以上的部分，每增加千米 此外，每辆出租车均加收元燃油附加费． 今天下大雨，小华想从学校打车回家，他身上只带了元钱，经过计算，够打车到家．请问小华家到学校最多多远？ 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意，并根据题意列出不等式是解题关键．直接利用表格设小华家到学校，判断当时满足题意；当时，表示出所需费用进而得出不等式求出答案． 【详解】解：设小华家到学校， 当时， 因为， 故满足题意； 当时， 根据题意可得：， 解得：， 答：小华家到学校最多． 11．（24-25八年级上·上海·期中）某校计划为教师购买甲、乙两种词典，已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元． (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元． (2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1700元，那么最多可购买甲种词典多少本？ 【答案】(1)每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元 (2)学校最多可购买甲种词典10本 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用： （1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典本，根据总价单价数量结合总费用不超过1700元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元， 由题意得， 解得， 答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元； （2）解：设学校计划购买甲种词典m本，则购买乙种词典本， 根据题意，得， 解得， 答：学校最多可购买甲种词典10本． 12．（24-25六年级上·上海·月考）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 13．（24-25七年级上·上海·月考）“垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同． (1)求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若学校决定再次准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按第一次购买时售价的九折出售，品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？ 【答案】(1)品牌垃圾桶每个100元；B品牌垃圾桶每个150元 (2)品牌垃圾桶最多买10个 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，根据等量关系与不等量关系列出方程与不等式是解题的关键． （1）设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元，根据两种垃圾桶数量相同，列出分式方程并求解即可，注意检验； （2）设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴（元）； 答：品牌垃圾桶每个100元，则B品牌垃圾桶每个150元； （2）解：设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个， 由题意得：， 解得：， ∴品牌垃圾桶最多买10个； 答：品牌垃圾桶最多买10个． 14．某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 3台 5台 1620元 第二天 4台 10台 2760元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，根据近两天的销售情况表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据总价＝单价×数量结合总价不超过5400元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （3）根据总利润＝每台利润×数量结合总利润不少于1060元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，结合（2）的结论及a为整数，即可得出各采购方案． 【详解】解：（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元， 依题意，得：， 解得：． 答：A种型号电风扇的销售单价为240元，B种型号电风扇的销售单价为180元． （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台， 依题意，得：200a+150（30﹣a）≤5400， 解得：a≤18． 答：A种型号的电风扇最多能采购18台． （3）依题意，得：（240﹣200）a+（180﹣150）（30﹣a）≥1060， 解得：a≥16． ∵a≤18， ∴16≤a≤18． ∵a为整数， ∴a＝16，17，18． ∴共有三种采购方案，方案1：采购A种型号电风扇16台，B种型号电风扇14台；方案2：采购A种型号电风扇17台，B种型号电风扇13台；方案3：采购A种型号电风扇18台，B种型号电风扇12台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 15．“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件 (2)至少需要购买67个“滨滨”摆件 (3)能，可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件个，根据题意确定的取值范围，即可确定答案； （3）根据题意求出，进而作答即可. 【详解】（1）解：设“滨滨”摆件的零售价为x元/件，“妮妮”摆件的零售价为y元/件，依题意，列得方程组得， 解得 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件； （2）解：设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件个， ∵“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件的数量的2倍， ， 解得：． ∵m应为正整数， ∴可得m至少为67． 答：至少需要购买67个“滨滨”摆件； （3）解：商店售完这100个摆件能实现利润超过2310元的目标． 根据题意，得：， 解得： ， ∵m应为正整数， ∴m可以取67，68． 当时，；当时，． 答：可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件． 16．（24-25七年级上·上海·假期作业）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 【答案】(1)60，80，430 (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程和不等式，再求解． （1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可；设按 “方式二”计费时主叫通话时间为分钟，根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （2）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次方程并求解； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【详解】（1）李明按方式一计费元， 李明按方式二计费元， 设王华该月主叫通话时间为分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元 ∴ ∴ 故答案为：60，80，430； （2）结合题意，分、、三种情况， 当时，方式一计费方式二计费，不符合题意； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； 当时， ∵方式一和方式二的计费相等 ∴， ∴； ∴或时，按方式一和方式二的计费相等 （3）当时，方式一计费方式二计费，符合题意； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； 当时， ∵方式一计费方式二计费 ∴， ∴； ∴或时，选择方式一比选择方式二省钱． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题03 一元一次不等式的实际应用 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：实际问题中的 “不等关系关键词”： 关键词 对应不等号 示例 至少、不低于、不少于 ≥ 零件质量至少 20g（x≥20） 至多、不超过、不大于 ≤ 费用至多 100 元（y≤100） 超过、多于、大于 > 人数超过 50 人（n>50） 不足、少于、小于 < 时间不足 3 小时（t<3） 知识点2 ：实际应用解题 “四步流程” 解决一元一次不等式的实际问题，需遵循固定流程，确保逻辑清晰、不遗漏条件： 第一步：“设”—— 设未知数 根据问题所求，设出具体、有意义的未知数（需带单位）。 若问题明确求 “数量”“金额”“人数” 等，直接设为未知数（如 “设购买甲商品x件”“设行驶时间为t小时”）； 若未知数涉及 “倍数”“比例”，可根据关系设（如 “设乙的数量为2x件”，简化计算）。 第二步：“列”—— 列不等式 根据题干中的不等关系关键词，结合 “总量、单价、数量” 等基本数量关系，列出一元一次不等式： 示例 1：“用不超过 500 元购买单价为 30 元的笔记本和 20 元的钢笔，买了 10 本笔记本，求最多买几支钢笔”分析：笔记本总费用 + 钢笔总费用 ≤ 500 元列不等式：30×10+20x≤500（设钢笔买x支）。 示例 2：“某工厂生产零件，每天至少生产 200 个，前 3 天共生产 540 个，剩余 2 天完成，求后 2 天每天至少生产多少个”分析：前 3 天产量 + 后 2 天产量 ≥ 总需求（200×5）列不等式：540+2x≥200×5（设后 2 天每天生产x个）。 第三步：“解”—— 解不等式 根据不等式的基本性质，求解不等式的解集： 注意：若在求解过程中乘 / 除以负数，必须改变不等号方向； 示例：解不等式30×10+20x ≤500步骤：① 计算常数项：300+20x≤500；② 移项：20x≤500−300；③ 化简：20x≤200；④ 除以正数 20：x≤10。 第四步：“验”—— 检验并写答案 关键步骤：不等式的解集需结合实际问题的意义检验（如 “人数”“件数” 必须是正整数，“时间”“长度” 需为非负数），再写出符合题意的答案： 示例：若上述不等式解集为x≤10，结合 “钢笔支数为正整数”，最终答案为 “最多买 10 支钢笔”（需带单位，呼应问题）； 若解集为x≥23，而实际问题中 “人数最多 30 人”，则最终答案需限定为23≤x≤30（结合实际范围修正）。 知识点3 ：常见实际应用题型分类 题型 1：方案设计类（最常见） 特征：问题给出多种选择（如两种商品、两种方案），需通过不等式确定 “可行方案” 或 “最优方案”。 示例：“学校组织学生参加活动，有 A、B 两种车型：A 车可坐 30 人，租金 600 元；B 车可坐 20 人，租金 450 元。共有 170 名学生，要求租金不超过 3500 元，求有几种租车方案” 解题关键：设一种车型数量为x，用含x的式子表示另一种车型数量（需为非负整数），再根据 “总人数≥170”“总租金≤3500” 列不等式组（注意是 “组”，需满足多个条件），最终筛选出正整数解即为方案数。 题型 2：最值问题类 特征：问题求 “最多”“最少”（如最多买几件、最少需要几天），直接通过不等式解集确定最值。 示例：“某商店销售商品，每件盈利 40 元，每天可卖 20 件。若每件降价x元，每天销量增加 2 件，要求每天盈利不少于 1200 元，求最多降价多少元” 解题关键：根据 “总盈利 = 每件盈利 × 销量” 列不等式（(40−x)(20+2x)≥1200），求解后结合 “降价金额≥0”“每件盈利≥0” 确定最值。 题型 3：范围确定类 特征：问题需确定某个量的 “取值范围”（如速度范围、成本范围），通常涉及多个不等关系。 示例：“一辆汽车从 A 地到 B 地，全程 120km，原计划 2 小时到达，实际行驶中，前 1 小时走了 50km，若要提前 10 分钟到达，后一段路程速度至少为多少” 解题关键：先计算剩余路程（120﹣50 = 70km）和剩余时间（2﹣1﹣ = 小时），再根据 “速度 = 路程 / 时间” 列不等式（v≥70÷ ），注意单位统一（如分钟换算成小时）。 四、易错点警示（高频丢分点） 单位不统一：如时间（分钟与小时）、长度（厘米与米）未统一，导致不等式列错； 对策：列不等式前先将所有量统一单位（如均换算成 “小时”“米”）。 忽略实际意义：将不等式解集直接作为答案，未检验是否为正整数或符合实际范围（如 “人数” 出现负数、小数）； 对策：解完后务必标注 “x为正整数”，再筛选答案。 不等号方向错误：求解时乘 / 除以负数，未改变不等号方向； 对策：每一步变形后检查 “是否乘 / 除以负数”，若有则立即变号。 漏写 “不等关系”：当问题有多个限制条件（如 “人数够” 且 “费用省”），只列一个不等式； 对策：通读题干，圈出所有 “关键词”，确保每个条件都对应一个不等式（组）。 【题型1 盈不足问题】 【典例1】把一些书分给几名同学，若每人分5本，则可多分8个人；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式（　　） A．5（x+8）＜11x B．5x+8＜11x C．8x+5＜11x D．8（x﹣1）+5＜11x 【变式1】把一些书分给若干同学，若每人分10本，则余8本；若每人分13本，则不够．则至少有 　 　名同学． 【变式2】有人问一位老师，他所教的班有多少学生，老师说：“现在班中有一半的学生正在做数学作业，四分之一的学生做语文作业，七分之一的学生在做英语作业，还剩不足6位的学生在操场踢足球．”那么这个班至少有 　 　学生． 【题型2 比赛得分问题】 【典例1】某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是（　　） A．2x+（8﹣x）≥12 B．2x+（8﹣x）≤12 C．2x﹣（8﹣x）≥12 D．2x≥12 【变式1】某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至多可以答错的试题道数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】5月27日，怀宁县举办科技活动周暨“全国科技工作者日”系列活动启动仪式．活动期间，怀宁县将举办科学家精神进校园、科普研学、科普讲座等一系列活动，让科技创新的成果惠及千家万户，让科学精神在人民群众中生根发芽．某校开展了科技知识竞赛活动，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得5分，不选或错选倒扣2分，如果得分不低于80分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）在一次知识竞赛中，共16道选择题，答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答不扣分，某同学有一道题未答，那么他至少答对多少题，成绩才能在60分以上？ 【变式4】为了促进学生身心健康，培养学生团队协作精神，构建校园体育文化，某校在校园文化节时举办了篮球联赛．比赛中规定，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分．如果某队要在第一轮的6场比赛中至少得14分，那么这个队至少要胜多少场？ 【题型3 行程问题】 【典例1】小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　） A．210x+90（52﹣x）≥5700 B．210x+90（52﹣x）≤5700 C．210x+90（52﹣x）≥5.7 D．210x+90（52﹣x）≤5.7 【变式1】如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为720m．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（　　） A．100m B．120m C．180m D．144m 【变式2】星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？ 【变式3】为响应东莞市教育局“每周半天计划”，东莞某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托松山湖松湖烟雨徒步环湖路线展开活动．学校将初二年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的50公里轨迹． 【信息收集】信息一： 路段 路程（千米） 计划平均速度（千米/时） 第11组 松湖烟雨3段（松湖烟雨入口至查理大桥） 12.5 第19组 松湖烟雨2段（柏林墙至康桥） 6 信息二：第11组和第19组计划用时相等． 【问题解决】 (1)求的值和计划用时； (2)第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米/时多长时间？ 【题型4 工程问题】 【典例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成，但他加工2小时后，因事停工40分钟，那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件？ 【变式1】（25-26六年级上·上海闵行·月考）某车间接到一批零件的加工任务，原定在8天内完成350只零件的加工，但第一天完成50只后，突然接到通知要比原计划提前两天完成任务，请问：接下来平均每天至少加工多少只零件才能保证完成任务？ 【变式2】（24-25八年级上·重庆渝北·期末）“路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． (1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 【题型5 商品销售问题】 【典例1】2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【变式1】（24-25九年级下·江西赣州·月考）为了丰富同学们的业余生活和培养同学们学习数学的兴趣，学校将举行一年一度的数学文化节，在数学文化节倒计时30天之际，学校计划购买A、B两种文化节的奖品作为纪念品．已知购买1件A种奖品与2件B种奖品共需要70元，购买2件A种奖品与3件B种奖品共需要120元． (1)求A种奖品和B种奖品的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买A种奖品和B种奖品共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买A种奖品多少件？ 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 【题型6 计费问题】 【典例1】从A地向B地打长途电话，通话时间不超过3min收费2.4元，超过3min后每分加收1元．本题中通话时间取整数，不足1min的通话时间按1min计费．若小江有10元钱，则他打一次电话最多可以通话的时间是（　　） A．9min B．10min C．11min D．12min 【变式1】某市的出租车收费标准是：起步价为6元（即行驶距离不超过3千米应付车费6元），超过3千米后，每增加1千米加收1.4元（不足1千米按1千米收费）．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为17.2元，则x为（　　）千米． A．11 B．10＜x≤11 C．10 D．10≤x＜11 【变式2】某企业采购了品牌空调40台，品牌空调60台，准备让旗下的甲、乙两家商场出售，其中70台给甲商场，30台给乙商场．设该企业调配（为正整数）台品牌空调给甲商场，两家商场销售这两种品牌空调的单价如下表（单位：元/台）： 甲商场 2500 2000 乙商场 3000 1700 (1)请根据题意补全、品牌空调调配情况的表格（单位：台）． 甲商场 乙商场 (2)在（1）的条件下，若甲、乙两家商场全部卖出这100台空调的总销售额为219000元，求的值； (3)小麦家去年7，8月份空调共用电460千瓦时（其中7月份用电量少于8月份），两次共交电费元．请根据下表中电费收费标准，求出小麦家8月的用电量． 月用电（单位：千瓦时统计为整数） 单价（单位：元） 180及以内 大于等于181且小于等于400的部分 401及以上部分 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【题型7 几何问题】 【典例1】如图1所示，在一个长方形广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛．若广场的长为m米，宽为n米，圆形的半径为r米． （1）列式表示广场空地的面积． （2）若广场的长为300米，宽为200米，圆形的半径为30米，求广场空地的面积（计算结果保留π）． （3）如图2所示，在（2）的条件下，若在广场的中间再建一个半径为R的圆形花坛，使广场的空地面积不少于广场总面积的，求R的最大整数值（π取3.1）． 【变式1】王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满． 【变式2】将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【题型8 数字问题】 【典例1】一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于9，且十位上数字与个位上数字都不为0． 若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数小于原来数的． 求这个两位数． 【变式1】将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【变式2】阅读材料：一个四位自然数各位数字不同且不为0，若它满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这个四位自然数为“双城数”．比如8631，各位数字均不为0且不相同，8+1＝6+3，所以8631是“双城数”． (1)请判断5724，6532是否是“双城数”，并写出判断过程； (2)一个“双城数”A千位数字为2，百位数字为m，个位数字为n，若A的各位数字之和恰为7的倍数，求所有满足题意的“双城数” 【题型9 方案设计问题】 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）为了促进消费，甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品，且各自推出不同的优惠方案． 甲商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费； 乙商场的优惠方案：购物价格累计超过元后，超出元的部分按付费． 若某顾客准备购买标价为元的商品． (1)在甲商场购买的优惠价为_____元，在乙商场购买的优惠价为_____元（均用含的式子表示） (2)乙商场为了吸引顾客，调整了优惠方案：购物价格累计超过元，但不超元，超出元的部分按付费；超过元，超出元的部分按付费，甲商场没有调整优惠方案，请求出顾客选择甲商场购物花费少时的取值范围． 【变式1】某超市计划购进甲、乙两种商品共计10件进行销售（购进甲、乙两种商品数量均不为0）．已知两件乙商品的进价比一件甲商品的进价贵20元，两件甲商品的进价比三件乙商品的进价贵10元． （1）求甲、乙两种商品的进价； （2）若购进甲、乙两种商品费用不超过590元，则该超市有几种进货方案？ （3）该超市计划将甲商品定价100元/件，乙商品定价60元/件．若购进的10件甲、乙两种商品全部售完，且至少盈利150元，求购进的甲商品不能少于多少件？ 【变式2】泰安市某中学组织学生研学，原计划若租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． （1）列方程组求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？ 【变式3】为迎接旅游发展大会的召开，小明所在的班级开展家乡旅游宣讲竞赛，需要去商店购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：某商店在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：该商店开展促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上网店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． （1）该商店在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ （2）小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个（0＜m＜40），若在线下商店成为会员购买，共需要 　 　元；若在线上网店购买，共需要 　 元．（均用含m的代数式表示） （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 1．某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（　　） A．3局 B．4局 C．5局 D．6局 2．某种出租车的收费标准：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费），超过3km后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地路程的最大值是（　　） A．5km B．7 km C．8km D．15 km 3．随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择： （1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车； （2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车． 假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（　　） A．240m B．300m C．320m D．360m 4．（24-25七年级下·上海闵行·期中）某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪有1道题没答，竞赛成绩超过90分，那么小聪至多答错了 道题． 5．（24-25七年级下·上海·期中）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值为（年龄），最低值为（年龄）．所以30岁的人最佳燃脂心率p的范围为 ．（包括最高值和最低值） 6．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速60km/h的路段上，当距离下一路口800m时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为64s，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口．则小车当前行驶速度x km/h的取值范围是 　 　． 7．（24-25八年级下·山西太原·月考）为了筹备数学知识大赛，小星借读了一本与此相关的500页的书籍，计划10天内读完．前6天因种种原因只读了240页，那么从第七天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完这本书？ 8．（24-25七年级下·上海·期末）端午节是中国四大传统节日之一（与春节、清明节、中秋节并列），距今已有2000多年历史，于2009年被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某商店购进蛋黄肉粽跟碱水粽共100盒，已知蛋黄肉粽每盒利润为10元，碱水粽每盒利润为20元．如果购进的粽子销售完毕，所得总利润不低于1600元，那么最多能购进蛋黄肉粽多少盒？ 9． （25-26七年级下·全国·课后作业）某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 10．（24-25七年级上·上海·假期作业）某市出租车的收费标准如下： 里程 收费标准元 千米以下（含千米） 千米以上的部分，每增加千米 此外，每辆出租车均加收元燃油附加费． 今天下大雨，小华想从学校打车回家，他身上只带了元钱，经过计算，够打车到家．请问小华家到学校最多多远？ 11．（24-25八年级上·上海·期中）某校计划为教师购买甲、乙两种词典，已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元． (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元． (2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1700元，那么最多可购买甲种词典多少本？ 12．（24-25六年级上·上海·月考）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 13．（24-25七年级上·上海·月考）“垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同． (1)求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若学校决定再次准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按第一次购买时售价的九折出售，品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？ 14．某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 3台 5台 1620元 第二天 4台 10台 2760元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 15．“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 16．（24-25七年级上·上海·假期作业）如表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元分钟） 被叫 方式一 50 150 0.20 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费；被叫免费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需___________元，按方式二计费需___________元；王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为___________分钟； (2)是否存在某个主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一比选择方式二省钱． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $