2.4.4第2课时 两平行线、两平行平面间的距离课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.4.4 第2课时 两平行线、两平行平面间的距离 平行线间的距离的定义： 从一条平行线上的任意一点到另外一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离. 平行线间的距离性质: 两平行线间的距离处处相等 这对于空间中求解两平行线间的距离有什么帮助吗? 两平行线间的距离处处相等 点到直线距离的公式: 一条直线上的点到另外一条直线的距离 （点到直线的垂线段的长度） 两条平行直线间的距离 转化 A P D 两平行线间的距离 例1 如图，长方体 ABCD-A'B'C'D'的顶点坐标为B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，A'(0，0，2)，B'(1，0，2)，D'(0，2，2)，E和F分别是棱DD'和BB'的中点，求CE与A'F之间的距离． 需要先判断它们是否平行 例1 如图，长方体 ABCD-A'B'C'D'的顶点坐标为B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，A'(0，0，2)，B'(1，0，2)，D'(0，2，2)，E和F分别是棱DD'和BB'的中点，求CE与A'F之间的距离． 计算向量 求两平行线间的距离的一般思路 在直线上任取一点 在直线上任取一点 确定直线的方向向量 根据勾股定理,即可计算两平行线间的距离 计算在方向向量上的投影长 方法归纳 想一想：我们利用点到直线的距离公式,结合了平行线间的距离处处相等的性质,总结出了求解平行线间距离的方法,那么两平行平面之间的距离怎么计算呢? 两平行平面间的距离 β α B d A H 两平行平面间的距离 两平行平面α，β之间的距离等于平面α上任一点 A到平面β的距离，也等于两平面之间任一条线段 AB在平面α的法向量n上的投影长． 如图,,分别是两平行平面,上的任意一点, 设是平面,的一个法向量,则平面,之间的距离(点到平面的距离) 例2 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离． 两个平面的距离 平面的法向量 例2 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离． 求两平行平面,的距离的一般思路 方法归纳 注意：线面距、面面距实质上都是转化为点面距求解，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行. 1.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)，则两平面间的距离是（ ） A. B. C. D.3 解：∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，=(2，1，1)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)， ∴两平面间的距离d===. B 2.已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为（ ） A. B. C. D. B 解析：以D1为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)， A(1，0，1)，所以=(1，0，-1)， =(0，1，-1)，=(-1，0，0)， 设平面 A1C1D 的法向量为m=(x，y，1)， 则 故m=(1，1，1)，由正方体的性质，知AC∥A1C1， B1C∥A1D，且AC∩B1C=C，A1C1∩A1D=A1， 则平面AB1C∥平面A1C1D， 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d===. 3.(多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点，则（ ） A.点A1到直线B1E的距离为 B.直线FC1到直线AE的距离为2 C.点B到平面AB1E的距离为 D.直线FC1到平面AB1E的距离为 AD 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(2，0，2)，B1(2，2，2)， E(0，0，1)，F(2，2，1)， C1(0，2，2)，A(2，0，0)， B(2，2，0)， 因为=(-2，-2，-1)， 设的单位方向向量u1===(0，2，0)， 所以·u1=-. 所以点A1到直线B1E的距离为 ==，故A正确； 因为=(-2，0，1)，=(-2，0，1)， 所以∥，即AE∥FC1， 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离， 设的单位方向向量u2==， =(0，2，1)，||2=5，·u2=， 所以直线FC1到直线AE的距离为 =，故B错误； 设平面AB1E的法向量为n=(x，y，z)，=(0，2，2)，=(-2，0，1)，=(0，-2，0). 由令z=2， 则y=-2，x=1，即n=(1，-2，2). 设点B到平面AB1E的距离为d， 则d==，即点B到平面AB1E的距离为，故C错误； 因为AE∥FC1，FC1⊄平面AB1E，AE⊂平面AB1E，所以FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离. 又=(2，0，0)， 由C得平面AB1E的一个法向量为n=(1，-2，2)， 所以点C1到平面AB1E的距离为=， 所以直线FC1到平面AB1E的距离为，故D正确. 两平行平面间距离的计算 两平行线间的距离的计算 针对以下内容回顾本节课所学知识，谈谈你的收获. eq \o(n,\s\up5(→)) d=| eq \o(BH,\s\up7( →))|=| eq \o(AB,\s\up7( →))||cos∠BAH|=| eq \o(AB,\s\up7( →))|· eq \f(|\o(AB,\s\up7( →))·\o(n,\s\up5(→))|, |\o(AB,\s\up7( →))||\o(n,\s\up5(→))|) = eq \f(|\o(AB,\s\up7( →))·\o(n,\s\up5(→))|, |\o(n,\s\up5(→))|) . $