精品解析：广东茂名市高州市2025-2026学年上学期期末监测九年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 某颗人造卫星的轨道高度大约是13400000米．数据13400000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 九（2）班选派5名学生参加市级数学素养比赛，他们的成绩如下： 选手 甲 乙 丙 丁 戊 成绩/分 85 86 83 88 85 则表中数据的中位数是（ ） A. 84 B. 85 C. D. 6. 用反证法证明命题：若中，，则．应先假设（ ） A. B. C. D. 7. 将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如下图方式叠放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 把平面直角坐标系上一点向左平移个单位长度，则平移后的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，电路图上有，，三个开关和一个正常的小灯泡，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，高州市宝光塔前有一盏景观灯，灯G距离地面6米，身高1.5米的明明从距离灯的底部（点O）4米的A处，沿所在直线走了6米到达点C处，那么明明在点A处影子的端点B到在点C处影子的端点D的距离为（ ） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 12. 若是关于x的方程的一个根，则的值是______． 13. 已知，则代数式的值为______． 14. 在平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象交于点，．则______． 15. 一个正方体纸盒体积为80，设正方体的棱长为x，估计（a，b是连续的两个整数），则的值为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 临近期末，为了了解学生的考前心理状态及减压方式，某校从九年级随机抽取了50名学生开展了一次“最适合自己的考前减压方式”的调查．学校将减压方式分为五类，每位同学必须且只能选择其中一类．学校收集整理数据后，绘制了如下图不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）根据调查结果，估计该校九年级800名学生中采用“体育活动”减压方式的人数； （3）若从该校九年级800名学生中随机抽取1人，则该生选择“体育活动”减压方式的概率是多少？ （4）请根据调查数据，对学校提出一条合理安排课余活动或心理辅导的建议，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，点，，分别是，，的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． （1）求函数的解析式； （2）已知函数为，，若函数值满足，求的取值范围． 21. 项目式学习 “果缤纷”水果店以“当日草莓当日清，绝不留隔夜”为特色，深受顾客喜爱．店内销售两种草莓∶一种是“普通”草莓，另一种是“有机”草莓．请根据以下素材，完成相应任务． 草莓销售方案 素材1 “有机”草莓进价是“普通”草莓进价的1.6倍．每天全场清货时间：当天商品售完即止全场九折全场八折全场七折全场六折全场五折 素材2 同样用400元购“普通”草莓比“有机”草莓多． 素材3 “果缤纷”平均每天可销售“有机”草莓40千克．其中白天（——）可销售25千克，剩余15千克在晚上分5个时段打折销售，折扣比例如图所示： 素材4 在至的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售3千克． 问题解决 任务1 两种草莓每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售“有机”草莓利润不低于106元，则其标价（白天的售价）最低价是多少元/千克？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售“有机”草莓都是），则每天进货多少时利润最大？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用． 【特例感知】 观察下列等式：，． （1）根据上述特征，计算：______． （2）计算：． 【尝试类比】 （3）已知一次函数（m为正整数）与轴、轴分别交于，两点，为坐标原点，设的面积为． 求的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，．将矩形绕原点O顺时针旋转，得到矩形． （1）求经过点的反比例函数解析式； （2）点P是直线上的动点，过点P作x轴的平行线，交反比例函数图象于点Q．设点P的横坐标为t，线段的长为d． ①用含t的代数式表示d； ②当时，求点P的坐标． （3）在（1）的条件下，在过点的反比例函数图象上求点M，且M在第一象限，使的所有满足条件的点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，合并同类二次根式，有理数的乘方． 根据相关法则逐一判断选项正误即可． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项错误； 故选：B． 3. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，同分母分式相加，分母不变，分子相加． 根据同分母分式加法法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 某颗人造卫星的轨道高度大约是13400000米．数据13400000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：． 故选：B． 5. 九（2）班选派5名学生参加市级数学素养比赛，他们的成绩如下： 选手 甲 乙 丙 丁 戊 成绩/分 85 86 83 88 85 则表中数据的中位数是（ ） A. 84 B. 85 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的定义． 先将数据按从小到大的顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数即可． 【详解】解：将5名学生的成绩从小到大排列为：83，85，85，86，88， ∵数据个数为5， ∴中位数是第3个数，即85． 故选：B． 6. 用反证法证明命题：若中，，则．应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反证法的概念，牢记反证法先假设否定结论是解题的关键．根据反证法证明命题的步骤求解即可． 【详解】解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论， 所以先假设， 故选：C． 7. 将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如下图方式叠放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质可知，然后由即可求出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，是等腰直角三角形，， ∴， 又∵由题意可知，，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 8. 把平面直角坐标系上一点向左平移个单位长度，则平移后的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，根据左右平移仅改变横坐标，向左平移时横坐标减去平移的单位长度，纵坐标保持不变，即可求解． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点向左平移时，横坐标减小，纵坐标不变． 故点向左平移个单位长度，平移后的横坐标为，纵坐标为． 则平移后的坐标为． 故选：A． 9. 如图，电路图上有，，三个开关和一个正常的小灯泡，随机闭合这三个开关中的两个，能让灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表可得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中能让灯泡发光的情况有种， ∴能让灯泡发光的概率为， 故选：D． 10. 如图，高州市宝光塔前有一盏景观灯，灯G距离地面6米，身高1.5米的明明从距离灯的底部（点O）4米的A处，沿所在直线走了6米到达点C处，那么明明在点A处影子的端点B到在点C处影子的端点D的距离为（ ） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，易证，，从而，，进而求出，，再根据线段之间的关系，计算即可求解． 【详解】解：由题可得，，米，米，米，米，则米， ， ，， ，即，解得（米），经检验是此分式方程的解， ，即，解得（米），经检验是此分式方程的解， （米）． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 直接提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若是关于x的方程的一个根，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解． 将代入方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， 即， 解得． 故答案为：3． 13. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．将代数式化简得到，然后代入已知条件计算即可求解． 【详解】解：， 故将代入，则原式． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象交于点，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，利用交点坐标满足函数解析式，先求参数和，得出两个函数的解析式，再根据交点关系列出方程，求出的值，即可． 【详解】解：∵函数的图象与的图象交于点， 故将点代入，得， 解得； 将点代入，得， 解得； 即函数解析式分别为：、， ∵函数的图象与的图象交于点， 故将分别代入、，得，， 联立得， 整理得， 解得； 因点横坐标为，故点横坐标为， 即． 故答案为： ． 15. 一个正方体纸盒体积为80，设正方体的棱长为x，估计（a，b是连续的两个整数），则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根的定义，无理数的值的估算，熟练掌握立方根的定义与无理数的值的估算是解题的关键． 根据正方体体积公式，棱长x满足，估算的值介于4和5之间即可求解． 【详解】解：∵正方体的体积公式为， ∴， 解得， ∵， ∴，即，， ∴． 故答案为：9． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，有理数的乘法，平方差公式，二次根式的乘法等运算法则进行计算即可； （2）先变形得到，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， 解得，． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，二次根式的运算，因式分解法解一元二次方程等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ； 将代入，原式． 18. 临近期末，为了了解学生的考前心理状态及减压方式，某校从九年级随机抽取了50名学生开展了一次“最适合自己的考前减压方式”的调查．学校将减压方式分为五类，每位同学必须且只能选择其中一类．学校收集整理数据后，绘制了如下图不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）根据调查结果，估计该校九年级800名学生中采用“体育活动”减压方式的人数； （3）若从该校九年级800名学生中随机抽取1人，则该生选择“体育活动”减压方式的概率是多少？ （4）请根据调查数据，对学校提出一条合理安排课余活动或心理辅导的建议，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）估计该校九年级800名学生中采用“体育活动”减压方式的人数为人； （3）； （4）增加体育活动的项目． 【解析】 【分析】本题考查了画条形统计图，由样本所占百分比估计总体的数量，求概率，根据统计数据提建议． （1）用50减去其他方式的人数，求出“体育活动”减压方式的人数，进而补全统计图即可； （2）求出样本中“体育活动”减压方式的比例，乘以800即可； （3）根据概率公式计算即可； （4）结合统计数据提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：“体育活动”减压方式的人数为（人）， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校九年级800名学生中采用“体育活动”减压方式的人数为人； 【小问3详解】 解：若从该校九年级800名学生中随机抽取1人，则该生选择“体育活动”减压方式的概率是； 【小问4详解】 解：增加体育活动的项目． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，点，，分别是，，的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点，，分别是，，的中点， ∴，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可证明； （2）过作于，根据等边对等角和三角形内角和定理得出，根据等角对等边得出，结合勾股定理求出，根据菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作于，如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，点，分别是，的中点， ∴，， 在中，， 故， ∴菱形的面积． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和． （1）求函数的解析式； （2）已知函数为，，若函数值满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、解一元一次不等式组． (1)用待定系数法求出一次函数的解析式； (2)由，，可得，由，可得不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：函数的图象过点和， 可得：， 解得：， 函数的解析式为； 【小问2详解】 解：，， ， 当， ， 整理可得：， 解得：． 21. 项目式学习 “果缤纷”水果店以“当日草莓当日清，绝不留隔夜”为特色，深受顾客喜爱．店内销售两种草莓∶一种是“普通”草莓，另一种是“有机”草莓．请根据以下素材，完成相应任务． 草莓销售方案 素材1 “有机”草莓进价是“普通”草莓进价的1.6倍．每天全场清货时间：当天商品售完即止全场九折全场八折全场七折全场六折全场五折 素材2 同样用400元购“普通”草莓比“有机”草莓多． 素材3 “果缤纷”平均每天可销售“有机”草莓40千克．其中白天（——）可销售25千克，剩余15千克在晚上分5个时段打折销售，折扣比例如图所示： 素材4 在至的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售3千克． 问题解决 任务1 两种草莓每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售“有机”草莓利润不低于106元，则其标价（白天的售价）最低价是多少元/千克？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售“有机”草莓都是），则每天进货多少时利润最大？ 【答案】任务1：“普通”草莓元/千克，“有机”草莓元/千克；任务2：其标价（白天的售价）最低价是元/千克；任务3：每天进货千克时利润最大． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． 任务1：设“普通”草莓元/千克，则“有机”草莓元/千克，根据“用400元购“普通”草莓比“有机”草莓多”列分式方程求解即可； 任务2：设其标价是元，求出总利润，进而根据“利润不低于106元”列不等式求解即可； 任务3：用总销量减去亏损时段销量即可． 【详解】任务1：解：设“普通”草莓元/千克，则“有机”草莓元/千克， ∵用400元购“普通”草莓比“有机”草莓多， ∴， 即， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 即“普通”草莓元/千克，“有机”草莓元/千克； 任务2：解：设其标价是元， 则白天利润为：元， 晚上利润为： 元， 总利润为：元， ∵利润不低于106元， ∴， 解得：， 即其标价（白天的售价）最低价是元/千克； 任务3：解：∵销售价是元/千克，进价是8元/千克，，， ∴当打六折和五折时亏损销售， 即每天进货千克时利润最大． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用． 【特例感知】 观察下列等式：，． （1）根据上述特征，计算：______． （2）计算：． 【尝试类比】 （3）已知一次函数（m为正整数）与轴、轴分别交于，两点，为坐标原点，设的面积为． 求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，一次函数与坐标轴交点的求解及直角三角形面积的计算，解题的关键是将分式拆分，裂项相消，化简求和过程． （1）根据题意可得，计算求解即可； （2）根据题意可得，进行计算即可求解； （3）根据题意，先求出点和点的坐标，求出，得到，采用（2）中类似的裂项相消法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：当时，，故点的坐标为； 当时，， 解得， 故点的坐标为； ∵为坐标原点， 故，， ∴， ∴； 故 即的值为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，．将矩形绕原点O顺时针旋转，得到矩形． （1）求经过点的反比例函数解析式； （2）点P是直线上的动点，过点P作x轴的平行线，交反比例函数图象于点Q．设点P的横坐标为t，线段的长为d． ①用含t的代数式表示d； ②当时，求点P的坐标． （3）在（1）的条件下，在过点的反比例函数图象上求点M，且M在第一象限，使的所有满足条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和点的坐标得到，由旋转的性质得到，则可得到点在y轴上，据此求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出，则直线的函数解析式为，进而可得点P的坐标为，点Q的坐标为，由此可得答案；②把代入（2）①所求的式子中，解方程即可得到答案； （3）可求出；连接，可证明，则，可求出直线的解析式为，联立，解方程组即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵矩形的顶点A，C的坐标分别为，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴三点共线，即点在y轴上， ∴， 设经过点的反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴经过点的反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵矩形的顶点A，C的坐标分别为，， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为， ∵点P的横坐标为t， ∴点P的坐标为 轴， ∴点Q的纵坐标为， 在中，当时，， ∴点Q的坐标为， ∴； ②当时，则， ∴， ∴或， 解方程可知此方程无解， 解方程得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：由（1）得，， ∴，， ∴； 如图所示，连接， 由旋转的性质可得，则点在x轴上， ∴， ∴， ∵点M在第一象限， ∴点M和点A在直线的同侧， ∴， 同理可得直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $