精品解析： 广东省茂名市高州市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省茂名市高州市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（　　） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】画出数轴，在数轴上标出各点，再根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】这四个数在数轴上的位置如图所示： 由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3． 故选：A． 2. 下列四个航空公司的图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键． 按照中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：将选项中的图像绕某一点旋转得到的图像如下，依次为： 可知属于中心对称图形的是D， 故选∶D． 3. 地月距离是指地球与月球之间的距离，有平均距离、月球与地球近地点的距离、月球与地球远地点的距离三种．其中，地月平均距离约为，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：． 故选：C． 4. 数据0，2，4，6，4的众数是（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据即可得出答案． 【详解】解：因为数据0，2，4，6，4中4出现的次数最多， 所以数据0，2，4，6，4的众数是． 故选：A． 5. 如图，直线，若，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得：，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，点M为反比例函数图象上的一点，过点M作轴，垂足为A，若的面积为2，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：根据反比例函数k值的几何意义可得： ． 故选：C． 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：解，得：， 在数轴上表示解集如图： 故选D． 8. 如图，新疆伊犁特克斯城因八卦布局而被称为“八卦城”，“八卦城”的形状是一个八边形，则八边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式．边形的内角和可以表示成，代入公式就可以求出内角和． 【详解】解：． 故选：C． 9. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 为一切实数 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案． 【详解】解：有意义，即，， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题的关键． 10. 如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（ ） A. B. 5 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质，垂线段的性质，连接，过点C作于点H，先求出，证明四边形是矩形，则，当的值最小时，的值为最小，再根据“垂线段最短”得当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长，则的最小值是线段的长，然后根据三角形的面积公式求出线段的长即可得出答案． 【详解】解：连接，过点C作于点H，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 四边形是矩形， ， 当的值最小时，的值为最小， 点P在斜边上（不与A、B重合）， 根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长， 的最小值是线段的长， ， ， 长度的最小值为． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：m2﹣2m=___． 【答案】． 【解析】 【分析】提公因式法进行因式分解，直接提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 12. 写出一个与是同类项的单项式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，根据同类项的定义解答即可． 【详解】解：与是同类项的单项式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若a，b为实数，且，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：9． 14. 某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，计划每件获利2元，则该商品应打_________折出售． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设打折，用含的式子表示出售价，再减去进价就是利润，列出方程求解即可． 【详解】解：设打折，根据题意得 解得 即打8折出售． 故答案为：８． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，函数与（不为零）的图象相交于点，，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 根据反比例函数与一次函数的交点问题解答即可． 【详解】解：函数与（不为零）的图象相交于点，， 关于x的不等式的解集是：或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，实数的运算，正确计算是解题的关键． （1）先根据立方根、绝对值、有理数的乘方法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 得，， 解得， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为． 17. 实践与操作：如图，在中， （1）用尺规作的垂直平分线，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，时，试求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的作图步骤作出图形即可； （2）设，则，，利用勾股定理构建方程求解． 【小问1详解】 解：如图，点P为所作； 【小问2详解】 解：设， ∵的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，， ， 解得， ． 18. 某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查了多少名学生？ （2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分； （3）若该校共有名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数； （4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕表示） 【答案】（1）（人）；（2）补全图形如下：；（3） 【解析】 【分析】（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，从而补全图形； （3）利用样本估计总体思想求解可得； （4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）本次随机调查的学生人数为（人）； （2）书画的人数为（人），戏曲的人数为（人）， （3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为（人）； （4）列表得： ∵共有种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果， ∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为 19. 在我市乡村振兴活动中，村委会办公楼外墙上有一幅电子显示屏每天上午在播放乡村宣传片，小丽同学在点A处，测得显示屏顶端D的仰角为，再向显示屏方向前进10米后，又在点B处测得显示屏顶端D的仰角为，已知观测点A、B和C离地面高度都为米，求显示屏顶端D点距离地面的高度．（计算结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，在中，利用锐角三角函数的定义可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，， ， ， 在中， ， ， ， ， 解得：米， 观测点A、B和C离地面高度都为米， 显示屏顶端D点距离地面的高度为米． 20. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润且为尽快减少库存，每件应降价多少元？ 【答案】（1）该商品连续两次下降的百分率为 （2）每件商品应降价3元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键； （1）设每次降价的百分率为，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，列一元二次方程，求解即可； （2）设每件商品应降价元，根据每天要想获得504元的利润，列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 设每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得， (不合题意，舍去)， 答：该商品连续两次下降的百分率为； 【小问2详解】 设每件商品应降价元， 根据题意，得 解得或， ∵为尽快减少库存， 答：每件商品应降价3元． 21. 综合与实践 【任务】测量小水池的最大宽度，如图1． 【工具】一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2． ①皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度） ②测角仪的功能是测量角的大小．即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得的大小，如图3． 【操作实践】 步骤1：在小水池外选点C，如图4，测得，； 步骤2：分别在，上测得，；测得． 【实践探索】 （1）请根据上述测量数据，用你所学的数学知识计算出小水池的最大宽度； （2）请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．（要求：测量得到的长度用字母a，b，表示，角度用，，表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得，在点A处测得；用皮尺测得，由此求解即可， 【小问1详解】 解：由测量知，，，，， ， 又， ， ， 又， ； 【小问2详解】 解：测量过程： 在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得，在点A处测得； 用皮尺测量得， 求解过程：由测量知，在中，，，， 过点C作，垂足为， 在中，， 即， 所以， 同理，， 在中，， 即， 所以， 所以， 故小水池的最大宽度为． 22. 综合与实践： 【问题情境】 如图1，小颖将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，连接，请直接写出四边形是哪种特殊的四边形． 答：________． 【问题解决】 如图3，在矩形纸片中，若，，与交于点． （2）请判断与对角线的位置关系，并仅就图3给出证明． （3）当时，请直接写出此时的长度． 【答案】（1）菱形 （2）， 证明：，，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠得点与点关于直线对称，则直线垂直平分，所以，，由矩形的性质得，则，而，所以，则，所以，即可证明四边形是菱形，于是得到问题的答案； （2）①由，，，求得，所以，则，而，所以，则； （3）分两种情况讨论，一是点在线段上，设交于点，可证明，则，求得，由，得；二是点在线段的延长线上，延长、交于点，可证明，则，求得，因为，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）如图2，由折叠得点与点关于直线对称， 直线垂直平分， 点与点重合， 直线垂直平分， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故答案为：菱形． （2）略 （3）的长度为或， 理由：如图3，点在线段上，设交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图4，点在线段的延长线上，延长、交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长度为或． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，等边的顶点A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上．已知等边的边长为6，点D是x轴上一点，连接． （1）点A坐标为 ； （2）如图2，当点D在点B左侧时，将线段绕点A逆时针旋转角度得到线段，连接，． ①当时，恰好平分，若点D坐标为，求的长； ②如图3，当时，设点D坐标为，记的面积为S，求S关于x的函数表达式． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）等边三角形的性质结合勾股定理即可求解； （2）①过点作于点，先证，再利用等边三角形性质、角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可求得答案； ②线段与线段的交点为G，在上截取一点N，使得，连接，．先证，再证四边形为平行四边形，从而求得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵等边的边长为6，且， ∴，， ∴， ∴点A坐标为； 【小问2详解】 解：①过点作于点，如图， 由题意得点B坐标为，点C坐标为，点A坐标为， 又点D坐标为， 由旋转的性质知， 由题意得， 又， ∴， ∴， ， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴； ②如图所示，线段与线段的交点为G，在上截取一点N，使得，连接，． ∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∴，， ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴， ∴， 又由四边形为平行四边形可得，点B和点E到的距离相等，都为， ∵点D坐标为， ∴， ∴， ∴的面积为， 即S与x的函数关系式为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，含的直角三角形和勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省茂名市高州市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（　　） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 0 D. 2 2. 下列四个航空公司的图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 地月距离是指地球与月球之间的距离，有平均距离、月球与地球近地点的距离、月球与地球远地点的距离三种．其中，地月平均距离约为，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 数据0，2，4，6，4的众数是（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 0 5. 如图，直线，若，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点M为反比例函数图象上的一点，过点M作轴，垂足为A，若的面积为2，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，新疆伊犁特克斯城因八卦布局而被称为“八卦城”，“八卦城”的形状是一个八边形，则八边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 9. 要使式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 为一切实数 10. 如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（ ） A. B. 5 C. D. 3 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：m2﹣2m=___． 12. 写出一个与是同类项的单项式：______． 13. 若a，b为实数，且，则______． 14. 某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，计划每件获利2元，则该商品应打_________折出售． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，函数与（不为零）的图象相交于点，，则关于x的不等式的解集是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程组： 17. 实践与操作：如图，在中， （1）用尺规作的垂直平分线，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，时，试求的长． 18. 某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查了多少名学生？ （2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分； （3）若该校共有名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数； （4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕表示） 19. 在我市乡村振兴活动中，村委会办公楼外墙上有一幅电子显示屏每天上午在播放乡村宣传片，小丽同学在点A处，测得显示屏顶端D的仰角为，再向显示屏方向前进10米后，又在点B处测得显示屏顶端D的仰角为，已知观测点A、B和C离地面高度都为米，求显示屏顶端D点距离地面的高度．（计算结果保留根号） 20. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润且为尽快减少库存，每件应降价多少元？ 21. 综合与实践 【任务】测量小水池的最大宽度，如图1． 【工具】一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2． ①皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度） ②测角仪的功能是测量角的大小．即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得的大小，如图3． 【操作实践】 步骤1：在小水池外选点C，如图4，测得，； 步骤2：分别在，上测得，；测得． 【实践探索】 （1）请根据上述测量数据，用你所学的数学知识计算出小水池的最大宽度； （2）请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．（要求：测量得到的长度用字母a，b，表示，角度用，，表示） 22. 综合与实践： 【问题情境】 如图1，小颖将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，连接，请直接写出四边形是哪种特殊的四边形． 答：________． 【问题解决】 如图3，在矩形纸片中，若，，与交于点． （2）请判断与对角线的位置关系，并仅就图3给出证明． （3）当时，请直接写出此时的长度． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，等边的顶点A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上．已知等边的边长为6，点D是x轴上一点，连接． （1）点A坐标为 ； （2）如图2，当点D在点B左侧时，将线段绕点A逆时针旋转角度得到线段，连接，． ①当时，恰好平分，若点D坐标为，求的长； ②如图3，当时，设点D坐标为，记的面积为S，求S关于x的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $