2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第17课时： 图形的相似

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第17课时 图形的相似 一、核心知识 （一）比例的基本性质 若四条线段a、b、c、d满足 （b、d≠0） ，则称这四条线段 成比例线段 。 基本性质：​⇔ ad=bc ； 合比性质 ⇒ ； 等比性质：若 … ​（b+d+…+n≠0），则 = ； 比例中项：若（b、c≠0），则 b2= ac ，b叫做a、c的 比例中项 。 （二）平行线分线段成比例定理 基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 成比例 ；若，截直线m于A、B、C，截直线n于D、E、F，则，。 三角形推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得对应线段 成比例 ； 逆定理：若一条直线截三角形的两边（或延长线）所得对应线段成比例，则这条直线 平行于三角形第三边 。 （三）图形的相似与相似图形的性质 相似图形：形状 相同 ，大小 不一定相同 的图形称为相似图形，是相似多边形的基础； 相似多边形定义：两个边数相同的多边形，若对应角 相等 ，且对应边 成比例 ，则这两个多边形为相似多边形，若四边形ABCD与四边形EFGH相似,记作四边形ABCD∽四边形EFGGH（对应顶点必须按顺序书写）； 相似比：相似多边形 对应边的比 称为相似比，若相似比为k，则k>0，相似比为 1 时，两个多边形全等（全等是相似的特殊情况） 相似图形的性质： 对应角相等 ， 对应边成比例 ； 相似比：相似图形 对应边 的比，叫做相似比。 线段性质：对应高、中线、角平分线的比等于 相似比 ； 周长性质：周长比等于 相似比 ； 面积性质：面积比等于 相似比的平方 （反向求解时，相似比为 面积比的算术平方根 ）。 （四）黄金分割（相似关联考点） 定义：把线段AB分成AC、BC（AC>BC），使 AC2=AB BC ，则称点C为AB的黄金分割点，此分割方式为黄金分割； 黄金比： ；若AB=a，则ACa，BCa； 黄金三角形：顶角 36°、底角 72°的等腰三角形（底与腰的比为黄金比），或顶角 108°、底角 36°的等腰三角形（腰与底的比为黄金比），可分割出相似的小黄金三角形。二、核心能力 （一）比例性质的应用 解题思路 1. 基本性质用于比例式与等积式互化； 2. 合比性质凑线段和 / 差； 3. 等比性质设 “k” 法求解多比例问题（切记检验分母和不为 0）； 4. 比例中项直接套用b2=ac（线段长度为正）。 （二）平行线分线段成比例 解题思路 1. 找准截线（平行线）和被截线； 2. 按 “上下对应、全段对应” 找比例线段； 3. 结合比例性质变形求解，可利用逆定理证明线线平行。 （三）黄金分割的计算 解题思路 1. 牢记黄金比≈0.618； 2. 直接套用AC=AB（AC>BC）； 3. 若已知较短线段，设未知数结合AC2=ABBC列方程。 真题典例（2023・四川达州中考）：乐器上的弦AB=80cm，支撑点C是靠近B的黄金分割点，D是靠近A的黄金分割点，求CD的长。解答：∵C、D为黄金分割点，∴AC=BD=80×25​−1​=40(5​−1)，∴CD=AC+BD−AB=80(5​−1)−80=805​−160（cm）。 三、易错警示 三、中考易错点警示（2023-2025 真题高频丢分点） 比例性质使用误区： 错误:等比性质忽略分母和不为 0的条件；合比性质变形时漏加 / 减分母。 提醒:遇多比例问题，优先用 “设k法”，避免直接用等比性质出错。 平行线分线段找错对应边： 错误:未按 “上下对应、全段对应” 找线段​。 提醒:在图中标注已知线段，按 “截线分被截线，分段对应成比例” 梳理。 相似多边形形对应边找错： 错误:未按对应顶点书写顺序找对应边​。 提醒:根据相等角的对边确定对应边，标注对应顶点符号。 面积比与相似比混淆： 错误:认为相似多边形的面积比等于相似比。 提醒:牢记周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方，反向求解时面积比开方得相似比。 黄金分割比例记混： 错误:把黄金比记为，或忽略黄金分割点的双解性。 提醒:黄金比是较长线段：整条线段，且一条线段有两个黄金分割点（线段两侧）。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·甘肃模拟）已知，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】利用比例的性质即可得到答案． 【解答】解：， ， 故选． 2.（24-25·河南模拟）已知，则（    ） A. B. C.或 D. 【答案】C 【解析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时，根据等比性质计算得出结果；②当时，则，代入计算得出结果． 【解答】解：分两种情况： ①当时，得； ②当时， 则，； 综上所述，的值为或． 故选：． 3.（23-24·四川模拟）已知，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【解答】解：， ， ， ． 故选：  4.（24-25·上海模拟）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据相似多边形的定义，对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，解答即可． 本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键． 【解答】解：原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， 中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； 中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：． 5.（23-24·湖南中考）生活中到处可见黄金分割的美，如上图,在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，可以增加视觉美感，若图中为米，则约为（    ）． A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】D 【解析】根据线段比例的定义列出，的比例关系，再代入的值求即可； 【解答】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近， ， 为米， （米）； 故选：． 6.（24-25·全国模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小明的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则小明的身高约为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了黄金分割比，解题的关键是掌握线段上一点将线段分为一长一短两条线段，当短∶长长∶全，据此可得小明肚脐至足底的长度于身高比为，列出方程求解即可． 【解答】解：设小明身高为， ， 解得：， 小明的身高约为， 故选：． 7.（24-25·广东模拟）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】A 【解析】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和 ，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 由黄金分割的定义分别进行判断． 【解答】 解：为的黄金分割点， ， ， ①、②、③错误，④正确，不符合题意， 故选：． 8.（24-25·福建模拟）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【解答】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：． 9.（24-25·北京模拟）如图，中，若，，则下列比例式正确的是       A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：， ，， ，选项不正确； ，， ，，， ， ，选项不正确； ， ，选项正确； ，， ，，， ，选项不正确； 故选． 10.（24-25·河南模拟）如图，边长为的正方形，分别为各边中点，连接，交点分别为，那么四边形的周长为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】先由正方形性质及中点定义，结合平行四边形的判定得到四边形是平行四边形；四边形是平行四边形；再由平行四边形性质及判定得到四边形是平行四边形；进而由两个三角形全等的判定与性质得到，根据平行线分线段成比例得到，最后由勾股定理列方程求解得四边形的边长，即可得出四边形的周长． 【解答】解：在正方形中，分别为各边中点， ，；，； 四边形是平行四边形；四边形是平行四边形； ， 四边形是平行四边形； ， 在正方形中，，， 分别为各边中点， ， ，则， ，是中点， 由平行线分线段成比例可得，则； 同理可得，；；； ， ， ， ， ， 在中，， ，， 设，则由勾股定理可得，解得， 四边形的周长为， 故选：． 11.（24-25·广东模拟）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了相似图形的性质，根据相似比得到面积之比是解题的关键． 【解答】解：以顶点为位似中心进行位似变换， 正方形与正方形相似， ， 正方形与正方形的面积比为， 纪念徽章的面积是， 故选：． 12.（24-25·广东模拟）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【解答】解：设缩小后的宽是， 缩小前后的两个矩形相似， ， ， 放大后的宽是， 放大后的矩形的面积． 故选：．  13.（24-25·河北模拟）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，，，为已知电阻，为直流电压源，为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为？ A.增大 B.增大 C.减小 D.减小 【答案】A 【解析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据，，，，求出，因为将减小，故把代入算出调整后的，即可作答． 【解答】解：，，，， ， ， 将减小， 调整后的， 电流表示数才能为， ， ，，， 则， 解得， ， 即增大， 故选：．   14.（24-25·河南模拟）如图，在中，对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．若，则的长度为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行四边形的性质得到，，，利用中点的性质易得，再利用平行线分线段成比例求解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ． ， ． 故选：． 15.（24-25·安徽中考）如图，正方形的对角线，交于点，是边的中点，过点作，交的延长线于点，在上截取，连接并延长，分别交，于点，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.②③④ 【答案】C 【解析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形中位线，利用正方形的性质证明，推出，结合，即可判断①正确；再证明，推出，进而求出，即可得到，即可判断②正确；根据平行线分线段成比例定理结合②可知，即可判断③正确；再根据题意可得，，点，关于对称，即可判断④错误． 【解答】解：正方形的对角线，交于点， ， ， ， ． 又是边的中点，即，， ， ， ， ，①正确； ，，， ， ， 又， ， ， ，②正确； 由①知，， ， ， 由②中知，③正确； 由题意得，，， 点，关于对称， ，④错误． 故选：． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·四川中考）若，则的值为_______4_______． 【答案】 【解析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【解答】解：， ． 故答案为：   17.（24-25·全国模拟）已知，且，则的值为____________． 【答案】 【解析】本题考查比例的性质，设，则，，根据，建立关于的等式并求解，即可解题． 【解答】解： ， 设，则，， ， ，解得， ． 故答案为：． 18.（25-26·云南模拟）在生物研究当中，植物学家发现：某些植物在抽枝吐叶时，如果从这些植物的顶端往下看，当相邻两片叶子之间的夹角恰好将水平面分成的两部分时．植物的这种生长已被证实对于叶片的通风和采光最为有利（如图所示）．则相邻两片叶子之间的夹角是_________________．（结果保留一位小数） 【答案】 【解析】本题考查了比例的性质．根据邻两片叶子之间的夹角恰好将水平面分成的两部分，列式计算即可． 【解答】解：根据题意，相邻两片叶子之间的夹角是： 故答案为：． 19.（24-25·全国模拟）如图，已知，，，那么的长为___16_________． 【答案】 【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系即可求得答案． 【解答】解：， ， 又，， ， 故答案为：16 20.（24-25·甘肃中考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______195________． 【答案】 【解析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【解答】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195 21.（23-24·江苏模拟）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点，之间的距离为   ．（结果保留根号） 【答案】 【解析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【解答】解：点是靠近点的黄金分割点，， ， 点是靠近点的黄金分割点，， ， ， 支撑点，之间的距离为． 故答案为：． 22.（23-24·上海模拟）《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载的“赵爽弦图”巧妙地证明了勾股定理，彰显了我国古代数学家的智慧．如图所示，“赵爽弦图”由四个全等的矩形与两个正方形拼接而成，已知大正方形的面积是小正方形面积的倍，设，，那么________________．（用，表示） 【答案】 【解析】连接，，根据题意，由大正方形的面积是小正方形面积的倍，得出，根据，即可求解． 【解答】 解：如图，连接，， 依题意，小正方形的对角线与重合， ，， 大正方形的面积是小正方形面积的倍， ， 根据题意可得， ． 故答案为：． 23.（24-25·四川模拟）手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为）．如图，点、、、为矩形取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在、、、任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形取景框的画面约为，则矩形的面积为______或______． 【答案】或 【解析】本题主要考查了黄金分割点，矩形的性质等知识，设，，则，，由题意可知，根据黄金分割点的定义可得出，即可进一步求出，，然后根据矩形的面积求解即可． 【解答】解：设，， 则， ， ，如图， 由题意可知，四边形和四边形都是矩形， ，， 点、点都是的黄金分割点， ， ， 同理， 故答案为∶ ． 24.（25-25·成都模拟）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为____________． 【答案】 【解析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律，即可求解. 【解答】四边形是矩形， ， ， 按逆时针方向作矩形的相似矩形， 矩形的边长和矩形的边长的比为， 矩形的面积和矩形的面积的比, 故答案为： 25.（24-25·湖南模拟）如图，是的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点．连接，，，与交于点，则下列结论： ①四边形是菱形； ②； ③； ④． 其中正确的结论有_____①②④______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④． 【解析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可. 【解答】四边形是平行四边形， ，， 垂直平分， ，， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故①正确， ，， ， ，故②正确， ， ， ，故③错误， 设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积， 四边形的面积为，的面积为 ： 故④正确. 故答案是：①②④． （3） 解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·安徽模拟）已知线段、、满足，且．求、、的值． 【答案】，， 【解析】本题考查了比例的性质，设，则，，，结合求出的值即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【解答】解：设，则，，． ， ， 解得， ，，． 27.（24-25·浙江模拟）已知线段满足，且． （1）求线段的长． （2）若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】线段的长为，线段的长为 线段的长为 【解析】（1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【解答】 （1）解：， 设，， ， ， ， ，， 线段的长为，线段的长为 （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6 28.（24-25·吉林模拟）如图，在中，以为直径的交于点，与的延长线交于点，，，垂足为点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】见解答 【解析】（1）由，可得，由，可得，则，，进而可得，结论得证； （2）由，可得，如图，连接，由为直径，可得，即，则，，即，设，则，，，则，解得，，，根据的半径为，计算求解即可． 【解答】（1）解：证明：， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 为的切线； （2）解：， ， 如图，连接， 为直径， ，即， ， ，即， 设，则，，， ， 解得，， ， ， 的半径为． 29.（24-25·河北中考）如图，在中，点是的中点，点在上，将沿翻折至，使点落在上，延长与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】见解答 【解析】（1）利用翻折的性质，等边对等角以及三角形外角的性质可得出，然后利用平行线的判断即可得证； （2）利用平行线分线段成比例可求出，利用勾股定理可求出，利用正切的定义可求出，利用平行线分线段成比例可求出，最后利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：沿翻折至，点是的中点，，， ， 又， ， ； （2）解：，， ， ，， ， ， ， ，且点是的中点， ， 点是的中点， ， ． 30.（24-25·达州模拟）已知在中，，以为直径的交于点，过圆心作的平行经，交于点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求． 【答案】见详解． 【解析】（1）连接，利用平行线分线段成比例定理得到，进而证明即可得结论； （2）连接，利用平行线分线段成比例定理得到，从而得，设，利用勾股定理进行求解即可得． 【解答】（1）解：证明：连接， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点在上， 是的切线； （2）连接， 是的直径， ， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 即， 解得， ． 31.（24-25·河北模拟）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点、是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点，连接． （1）若，，，试求的值； （2）在的条件下，在轴上取一点，使的值为“黄金比”，求点的坐标． 【答案】 或 【解析】（1）根据题意可得，再把代入反比例函数解析式中计算求解即可； （2）由可得，根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【解答】（1）解：轴，，， ， ， 反比例函数解析式为， 在反比例函数的图象上， ， （已检验）或（舍去）； （2）解：由可得， 的值为“黄金比”， ， ， 点的坐标为或． 32.（24-25·山东模拟）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”． 如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点． （1）特例感知：在图①中，若，求的长； （2）知识探究：如图②，作的内接正五边形： ①作两条相互垂直的直径、； ②作的中点，以为圆心，为半径画弧交于点； ③以点为圆心，为半径，在上连续截取等弧，使弦，连接； 则五边形为正五边形． 在该正五边形作法中，点是否为线段的黄金分割点？请说明理由． （3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系． 延长题中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点是线段的黄金分割点，请利用题中的条件，求的值． 【答案】 是，理由见解析 【解析】（1）根据黄金分割的定义求解即可； （2）设的半径为，则，利用勾股定理求出，继而求出，，即可作出判断； （3）先求出正五边形的每个内角，即可得到，根据已知条件可知，再根据点是线段的黄金分割点，即可求解． 【解答】（1）， ， 即， 解得：； （2）是线段的黄金分割点，理由如下： 设的半径为，则， ， ， ， ， ， 是线段的黄金分割点； （3）正五边形的每个内角为：， ， ， 点是线段的黄金分割点， ， 又， ， ． 33.（24-25·全国模拟）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图，点是线段的中外比点，，，求的长． （2）如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】 见解答 当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【解析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【解答】 （1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点．   34.（24-25·甘肃中考）四边形是正方形，点是边上一动点（点除外），是直角三角形，，点在的延长线上． （1）如图，当点与点重合，且点在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图，当点与点不重合，且点在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图，在的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解答 ，理由见解答 ，理由见解析答 【解析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． 【解答】（1）解：，理由如下： 正方形， ， 是直角三角形，， ， 当点与点重合时，则：， ， 又， ， ； （2）正方形， ， 点在的延长线上，的延长线与的延长线交于点， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （3），理由如下： 由可知：， ，， 作于点，则：， ， ， ， ， 为的中位线， ， ，， ， 又， ， 在中，由勾股定理，得：， ， ．  35.（23-24·四川中考）综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____． （3）作法证明： 如图，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 【答案】 否；； 见解答 见解答 【解析】（1）根据，计算得出的值，进一步计算即可求解； （2）由，可判断该杠杆是否符合黄金分割省力设计；根据公式，代入数据计算即可求解；设将支点向左侧移动，则新的阻力臂长，新的动力臂长，由题意得，计算即可求解； （3）设，则，求得，求得，，计算的值，即可求解； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 【解答】（1）由题意得， 解得， ， 则该版本的总时长为秒； 故答案为：； （2）， 该杠杆不符合黄金分割省力设计； ，，，， ； 设将支点向左侧移动， 则新的阻力臂长，新的动力臂长， 由题意得， 解得， 新的动力臂长， 故答案为：否；；； （3）设，则， ， 由作图知，， ， ， 点就是线段的黄金分割点； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 设正方形的边长为， ， ， ， ， ， 正方形， ，，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是黄金矩形． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第17课时 图形的相似 一、核心知识 （一）比例的基本性质 若四条线段a、b、c、d满足 （b、d≠0） ，则称这四条线段 成比例线段 。 基本性质：​⇔ ad=bc ； 合比性质 ⇒ ； 等比性质：若 … ​（b+d+…+n≠0），则 = ； 比例中项：若（b、c≠0），则 b2= ac ，b叫做a、c的 比例中项 。 （二）平行线分线段成比例定理 基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 成比例 ；若，截直线m于A、B、C，截直线n于D、E、F，则，。 三角形推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得对应线段 成比例 ； 逆定理：若一条直线截三角形的两边（或延长线）所得对应线段成比例，则这条直线 平行于三角形第三边 。 （三）图形的相似与相似图形的性质 相似图形：形状 相同 ，大小 不一定相同 的图形称为相似图形，是相似多边形的基础； 相似多边形定义：两个边数相同的多边形，若对应角 相等 ，且对应边 成比例 ，则这两个多边形为相似多边形，若四边形ABCD与四边形EFGH相似,记作四边形ABCD∽四边形EFGGH（对应顶点必须按顺序书写）； 相似比：相似多边形 对应边的比 称为相似比，若相似比为k，则k>0，相似比为 1 时，两个多边形全等（全等是相似的特殊情况） 相似图形的性质： 对应角相等 ， 对应边成比例 ； 相似比：相似图形 对应边 的比，叫做相似比。 线段性质：对应高、中线、角平分线的比等于 相似比 ； 周长性质：周长比等于 相似比 ； 面积性质：面积比等于 相似比的平方 （反向求解时，相似比为 面积比的算术平方根 ）。 （四）黄金分割（相似关联考点） 定义：把线段AB分成AC、BC（AC>BC），使 AC2=AB BC ，则称点C为AB的黄金分割点，此分割方式为黄金分割； 黄金比： ；若AB=a，则ACa，BCa； 黄金三角形：顶角 36°、底角 72°的等腰三角形（底与腰的比为黄金比），或顶角 108°、底角 36°的等腰三角形（腰与底的比为黄金比），可分割出相似的小黄金三角形。二、核心能力 （一）比例性质的应用 解题思路 1. 基本性质用于比例式与等积式互化； 2. 合比性质凑线段和 / 差； 3. 等比性质设 “k” 法求解多比例问题（切记检验分母和不为 0）； 4. 比例中项直接套用b2=ac（线段长度为正）。 （二）平行线分线段成比例 解题思路 1. 找准截线（平行线）和被截线； 2. 按 “上下对应、全段对应” 找比例线段； 3. 结合比例性质变形求解，可利用逆定理证明线线平行。 （三）黄金分割的计算 解题思路 1. 牢记黄金比≈0.618； 2. 直接套用AC=AB（AC>BC）； 3. 若已知较短线段，设未知数结合AC2=ABBC列方程。 真题典例（2023・四川达州中考）：乐器上的弦AB=80cm，支撑点C是靠近B的黄金分割点，D是靠近A的黄金分割点，求CD的长。解答：∵C、D为黄金分割点，∴AC=BD=80×25​−1​=40(5​−1)，∴CD=AC+BD−AB=80(5​−1)−80=805​−160（cm）。 三、易错警示 三、中考易错点警示（2023-2025 真题高频丢分点） 比例性质使用误区： 错误:等比性质忽略分母和不为 0的条件；合比性质变形时漏加 / 减分母。 提醒:遇多比例问题，优先用 “设k法”，避免直接用等比性质出错。 平行线分线段找错对应边： 错误:未按 “上下对应、全段对应” 找线段​。 提醒:在图中标注已知线段，按 “截线分被截线，分段对应成比例” 梳理。 相似多边形形对应边找错： 错误:未按对应顶点书写顺序找对应边​。 提醒:根据相等角的对边确定对应边，标注对应顶点符号。 面积比与相似比混淆： 错误:认为相似多边形的面积比等于相似比。 提醒:牢记周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方，反向求解时面积比开方得相似比。 黄金分割比例记混： 错误:把黄金比记为，或忽略黄金分割点的双解性。 提醒:黄金比是较长线段：整条线段，且一条线段有两个黄金分割点（线段两侧）。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·甘肃模拟）已知，则的值为（    ） A. B. C. D. 2.（24-25·河南模拟）已知，则（    ） A. B. C.或 D. 3.（23-24·四川模拟）已知，则的值是（    ） A. B. C. D. 4.（24-25·上海模拟）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ） A. B. C. D. 5.（23-24·湖南中考）生活中到处可见黄金分割的美，如上图,在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，可以增加视觉美感，若图中为米，则约为（    ）． A.米 B.米 C.米 D.米 6.（24-25·全国模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小明的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则小明的身高约为（    ） A. B. C. D. 7.（24-25·广东模拟）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A.个 B.个 C.个 D.个 8.（24-25·福建模拟）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A. B. C. D. 9.（24-25·北京模拟）如图，中，若，，则下列比例式正确的是       A. B. C. D. 10.（24-25·河南模拟）如图，边长为的正方形，分别为各边中点，连接，交点分别为，那么四边形的周长为（   ） A. B. C. D. 11.（24-25·广东模拟）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（   ） A. B. C. D. 12.（24-25·广东模拟）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A. B. C. D. 13.（24-25·河北模拟）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，，，为已知电阻，为直流电压源，为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为？ A.增大 B.增大 C.减小 D.减小  14.（24-25·河南模拟）如图，在中，对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点．若，则的长度为（   ） A. B. C. D. 15.（24-25·安徽中考）如图，正方形的对角线，交于点，是边的中点，过点作，交的延长线于点，在上截取，连接并延长，分别交，于点，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.②③④ （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·四川中考）若，则的值为______________．  17.（24-25·全国模拟）已知，且，则的值为____________． 18.（25-26·云南模拟）在生物研究当中，植物学家发现：某些植物在抽枝吐叶时，如果从这些植物的顶端往下看，当相邻两片叶子之间的夹角恰好将水平面分成的两部分时．植物的这种生长已被证实对于叶片的通风和采光最为有利（如图所示）．则相邻两片叶子之间的夹角是_________________．（结果保留一位小数） 19.（24-25·全国模拟）如图，已知，，，那么的长为___________． 20.（24-25·甘肃中考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为_____________． 21.（23-24·江苏模拟）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点，之间的距离为   ．（结果保留根号） 22.（23-24·上海模拟）《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载的“赵爽弦图”巧妙地证明了勾股定理，彰显了我国古代数学家的智慧．如图所示，“赵爽弦图”由四个全等的矩形与两个正方形拼接而成，已知大正方形的面积是小正方形面积的倍，设，，那么________________．（用，表示） 23.（24-25·四川模拟）手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为）．如图，点、、、为矩形取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在、、、任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形取景框的画面约为，则矩形的面积为____________． 24.（25-25·成都模拟）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为____________． 25.（24-25·湖南模拟）如图，是的边的垂直平分线，垂足为点，与的延长线交于点．连接，，，与交于点，则下列结论： ①四边形是菱形； ②； ③； ④． 其中正确的结论有___________．（填写所有正确结论的序号） （3） 解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·安徽模拟）已知线段、、满足，且．求、、的值． 27.（24-25·浙江模拟）已知线段满足，且． （1）求线段的长． （2）若线段是线段的比例中项，求线段的长． 28.（24-25·吉林模拟）如图，在中，以为直径的交于点，与的延长线交于点，，，垂足为点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 29.（24-25·河北中考）如图，在中，点是的中点，点在上，将沿翻折至，使点落在上，延长与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 30.（24-25·达州模拟）已知在中，，以为直径的交于点，过圆心作的平行经，交于点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求． 31.（24-25·河北模拟）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点、是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点，连接． （1）若，，，试求的值； （2）在的条件下，在轴上取一点，使的值为“黄金比”，求点的坐标． 32.（24-25·山东模拟）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”． 如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点． （1）特例感知：在图①中，若，求的长； （2）知识探究：如图②，作的内接正五边形： ①作两条相互垂直的直径、； ②作的中点，以为圆心，为半径画弧交于点； ③以点为圆心，为半径，在上连续截取等弧，使弦，连接； 则五边形为正五边形． 在该正五边形作法中，点是否为线段的黄金分割点？请说明理由． （3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系． 延长题中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点是线段的黄金分割点，请利用题中的条件，求的值． 33.（24-25·全国模拟）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图，点是线段的中外比点，，，求的长． （2）如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 34.（24-25·甘肃中考）四边形是正方形，点是边上一动点（点除外），是直角三角形，，点在的延长线上． （1）如图，当点与点重合，且点在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图，当点与点不重合，且点在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图，在的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由．  35.（23-24·四川中考）综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____． （3）作法证明： 如图，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $