精品解析：江苏连云港市灌南县2025-2026学年度高一第一学期期末学业水平质量监测数学试题

2025-2026学年度高一第一学期期末学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名､考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满､涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 一､单项选择题（共8小题满分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 4. 已知函数的图象恒过定点，若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且点在角的终边上，则的值为（ ） A B. 2 C. D. -2 5. 先将曲线上各点的横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A B. C. D. 6. 人类已进入大数据时代，数据量已经从TB（1TB1024GB）级别跃升到PB（1PB1024TB），EB（1EB1024PB），ZB（1ZB1024EB）级别．国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2009年全球产生的数据量为ZB，并正以约的年增长率递增．据此估计，全球产生的数据量经过（ ）年将首次突破60ZB（参考数据：）． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（共3小题满分18分） 9. 已知均为正实数，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若方程有两个不同的实数解，则 三､填空题（共3小题满分15分） 12. 已知定义在R上的奇函数关于对称，当时，，则 _________． 13. 已知，且，则的最小值为_______； 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为______.若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则______. 四､解答题（共5大题满分77分） 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）若的值域为，求的取值范围； （2）设对恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）直接写出的值； （2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若函数在区间上恰有1个零点，求实数的取值范围． 条件①：当时，函数取得最小值； 条件②：为函数的一个零点． 18. 意大利著名画家达芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”．双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数． （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意，不等式成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． （1）求函数，的解析式； （2）求函数的值域； （3）若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一第一学期期末学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名､考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满､涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 一､单项选择题（共8小题满分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法化简集合A，B，然后利用交集运算的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2. “”是“在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解. 【详解】当在上单调递减， 设任意，且， 则， 又，所以可得， 故“”是“在上单调递减”的充要条件， 故选：C 3. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的单调性以及指数的单调性即可利用中间值求解. 【详解】， 故, 故选：A 4. 已知函数的图象恒过定点，若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且点在角的终边上，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数型函数求出恒过定点，根据任意角的三角函数求出，代入求解. 【详解】函数的图象恒过定点 ，所以 点在角的终边上 故选：A 5. 先将曲线上各点的横坐标变为原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象变换法则可得变换后的图象是函数的图象，根据诱导公式一可得. 【详解】将曲线上各点的横坐标变为原来的，得函数的图象. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 因为，所以. 故选：D. 6. 人类已进入大数据时代，数据量已经从TB（1TB1024GB）级别跃升到PB（1PB1024TB），EB（1EB1024PB），ZB（1ZB1024EB）级别．国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2009年全球产生的数据量为ZB，并正以约的年增长率递增．据此估计，全球产生的数据量经过（ ）年将首次突破60ZB（参考数据：）． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】设出未知数，得到不等式，两边取对数，解不等式，求出答案. 【详解】设全球产生的数据量经过年将首次突破60ZB， 由题意得，即，两边取对数得 ，即， 故， 又，故经过11年将首次突破60ZB 故选：B 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 8. 已知，是定义在上函数，其中是奇函数，是偶函数，且．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性得，问题转化为在区间有解，即在上有解，利用基本不等式求出的最小值，得解. 【详解】因为函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数， 且， 用代换x，可得， 所以， 关于x的不等式在区间上有解， 等价于关于x的不等式在区间有解， 即关于x不等式在区间上有解， 当时，不等式，则有， 由不等式在区间有解，得不等式在上有解， 因为，当且仅当时取等号， 所以在区间上最小值为， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 二､多项选择题（共3小题满分18分） 9. 已知均为正实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，利用已知条件结合基本不等式对各选项进行逐一分析判断． 【详解】选项A：，当且仅当时取等号， 又，， 均为正实数， ，即，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：，， ，当且仅当，即时，，而，故B错误； 选项C：，令，则，等式成立，此时，故C错误； 选项D：， ，变形可得， 设，则，故同号， 当时， ，当且仅当，即时等号成立； 当时，，，则，与矛盾，故不符合题意. ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：． 10. 已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】数形结合，可判断A的真假；根据时，函数图象的对称性，可判断B的真假；根据时，函数的解析式即对数的运算可判断C的真假；举反例可说明D是错误的. 【详解】左函数草图如下： 对A：由图可知，若有四个不同零点，则，故错误； 对B：因为，且关于直线对称，所以，故B正确； 对C：因为，所以，， 由，故C正确； 对D：因为，所以，因为函数在上单调递减，所以，即，故D错误. 故选：BC 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若方程有两个不同的实数解，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性定义即可判断A；分析函数的单调性即可判断B；由函数的奇偶性和单调性得到即可判断C；依次作出函数、和的图象，数形结合即可得解判断D. 【详解】对于A，因为， 所以函数定义域为R，且， 故函数是奇函数，故A正确； 对于B，因为为增函数，所以为减函数， 所以若，则，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为减函数，所以， 所以，故C正确； 对于D，令， 依次作出函数、和的图象如图所示： 因为方程有两个不同的实数解，所以由图得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：数形结合是解决函数与方程问题的常用方法，求方程有两个不同的实数解的参数m时，通过作出函数、和的图象可简化问题的难度而得解. 三､填空题（共3小题满分15分） 12. 已知定义在R上的奇函数关于对称，当时，，则 _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性可得函数的周期性，结合函数的解析式计算即得. 【详解】因函数为奇函数，， 函数关于x＝1对称，则有， 则有，变形可得， 则有，即4是函数的一个周期， 则， 又由当时，，则， 则． 故答案为：． 13. 已知，且，则的最小值为_______； 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算可得，则，结合基本不等式可得最值. 【详解】由已知，则，且，， 所以， 又，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为， 故答案为：. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为______.若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】化简函数解析式为，结合指数函数的值域与不等式的基本性质可求得函数的值域；推导出函数、的图象关于点对称，结合对称性可求得的值. 【详解】因为，由于，则，则， 所以，，即函数的值域为， 因为， ， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，则， 所以，，则函数的图象关于点对称， 因为函数与的图象有个交点，记为， 不妨设， 所以，点与点关于点对称，且有，， 所以，，， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求解析式，可利用以下结论来求解： （1）若函数与的图象关于点对称，则； （2）若函数与的图象关于直线对称，则. 四､解答题（共5大题满分77分） 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可； （2）由题可知，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 当时，或； ∵， ∴或； 【小问2详解】 ∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得， 需有或， ∴或． 16. 已知函数． （1）若的值域为，求的取值范围； （2）设对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，分，，根据的值域为，由的值域包含求解； （2）将对恒成立，转化为，对恒成立求解. 【小问1详解】 解：令， 当时，，满足的值域为， 当时，的值域包含， 则，解得， 综上：实数的取值范围是； 【小问2详解】 因为对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 即，对恒成立， 令，， 则，所以， 所以的取值范围是. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）直接写出的值； （2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若函数在区间上恰有1个零点，求实数的取值范围． 条件①：当时，函数取得最小值； 条件②：为函数的一个零点． 【答案】（1）2 （2）无论是选条件①还是选条件②， （3） 【解析】 【分析】（1）由对称性可知周期，结合即可求解. （2）若选条件①，则，结合以及即可求解. 若选条件②,则可以推出条件①，由此即可进一步求解. （3）通过数形结合即可求解. 【小问1详解】 由对称性可知函数的周期满足，解得. 【小问2详解】 若选条件①：当时，函数取得最小值， 则，解得，又， 所以只能，由图可知，解得， 所以此时函数的解析式为； 若选条件②：为函数的一个零点， 由图可知，则当时，函数取得最小值， 这又回到了条件①，由以上可知此时同样有， 综上所述，无论是选条件①还是选条件②，函数的解析式均为. 【小问3详解】 由题意结合题图可知，在（2）的条件下，若函数在区间上恰有1个零点， 则该零点只能是， 所以，即实数的取值范围为. 18. 意大利著名画家达芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”．双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数． （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）整理可得，结合奇函数定义分析判断即可； （2）整理可得，利用函数单调性的定义证明即可； （3）换元令，可得，求出最大值可得答案. 【小问1详解】 由题意得，为奇函数． 任意，都有， ，即为奇函数； 【小问2详解】 ， 对于任意的，且，则： 因为在上单调递增，， 所以， 所以， 即， 所以在上单调递增； 【小问3详解】 在上单调递增，， ， 令，即， 有，当时，等号成立 综上，． 19. 已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． （1）求函数，的解析式； （2）求函数的值域； （3）若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性，即可求解； （2）化简可得的表达式，结合对数函数的单调性即可求得值域； （3）化简得到解析式，讨论脱去绝对值符号，继而讨论a的取值范围，判断函数的单调性，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，。 因为函数为奇函数，为偶函数， 故，， 可得，； 【小问2详解】 对于，当时，， 则，此时 。 由于，则； 当时，，，则， 当时，， 则，此时 ， 由于，则； 综合上述可知； 【小问3详解】 ， 当时，， 当时，，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 即，解得； 当时，，在上不可能有三个零点； 当时，，故在上单调递增，在单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 由于，故解集为； 综合以上可得实数a的取值范围为. 【点睛】难点点睛：解答本题难点在于第三问，解答时要注意分类讨论脱去绝对值符号，进而判断函数的单调性，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $