专题07 乘法公式的深度理解与灵活运用（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题07 乘法公式的深度理解与灵活运用 目录 典例详解 类型一、完全平方公式的变形与拓展 类型二、平方差公式的识别与构造 类型三、乘法公式的综合运用与逆向思维 压轴专练 类型一、完全平方公式的变形与拓展 1. 基本公式 ① ② 2. 常见变形与拓展 ① ② ③ 【重要性质】 ① 完全平方公式揭示了平方和与乘积的关系；； ② 变形公式在求值、证明中应用广泛； ③ 三项完全平方公式可看作两次应用两项公式。 例1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则_____，_____； (2)若，．求的值； (3)若，，则_____． 【答案】(1)5，1 (2)124 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，则，据此可得第一空答案，再由可得第二空答案； （2）根据完全平方公式可得，再根据已知条件求解即可； （3）根据题意可求出，，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，即， ∴，即， ∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1-1．（25-26八年级上·安徽黄山·期末）根据图1．通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学公式：，请解答下列问题： (1)请运用这个方法，写出依据图2得出的数学等式： ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，求的值； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长、宽分别为的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求的值． 【答案】(1)； (2)45； (3)12． 【分析】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． （1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积和矩形的面积之和求解即可； （2）将，，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）将张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为，的长方形的面积的和等于即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解； 变式1-2．（25-26八年级上·河南信阳·月考）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 【答案】(1) (2)；② 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析即可． （1）理解每个代数式的意义，根据不同方法表示的阴影部分的面积相同列式即可； （2）根据（1）的结论代入进行计算即可． 【详解】（1）解： 观察图②可知为大正方形的面积，为小正方形的面积，为一个长方形面积；根据不同方法表示的阴影部分的面积相同得； （2）解：① 类型二、平方差公式的识别与构造 1. 基本公式 2. 难点突破点 ① 识别平方差结构：两项、平方、相减； ② 构造平方差：如； ③ 符号变化：仍可用公式。 【重要性质】 ① 平方差公式是分解因式的重要工具； ② 可连续使用，如； ③ 在计算中用于简化运算，如。 例2．（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 变式2-1．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2)①3；②4 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． （1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，已知代入即可求出答案；②将变形为，然后利用平方差公式求解即可； 【详解】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， 故答案为：； （2）①， ， ， ， ； ② 变式2-2．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：________________（请选择正确的选项）； A．             B． C．             D． (2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列问题： ①试说明（为整数）是3的倍数； ②已知，，求的值． 【答案】(1)D (2)①见解析；② 【分析】本题考查完全平方公式及平方差公式在几何中得应用，解题的关键是利用公式表示出图形的面积； （1）表示出两个图阴影部分的面积，再根据相等即可求解； （2）①计算出，再根据为整数，得出是3的倍数即可；②利用完全平方公式及平方差公式进行因式分解得出即可求解． 【详解】（1）解：根据图1知，阴影部分的面积是等于大正方形的面积减去小正方形的面积为， 图2知，阴影部分的面积是矩形的面积为， 故， 故选：D； （2）解：①， ∵为整数， ∴整数， ∴是3的倍数， ∴（为整数）是3的倍数； ②∵， ∴，，， ， ∵， ∴． 类型三、乘法公式的综合运用与逆向思维 1. 综合运用场景 ① 公式混合运算； ② 先展开后重新分组； ③ 公式逆用进行因式分解。 2. 逆向思维训练 ① 由和求或； ② 配方法：将二次三项式配成完全平方； ③ 公式变形求值。 例3．（2026九年级·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先化简，然后根据求出的取值范围即可，明确题意，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 变式3-1．（25-26八年级上·天津河西·月考）利用乘法公式计算： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式是解题的关键． （1）先利用完全平方公式与平方差公式计算，再合并同类项； （2）利用完全平方公式与平方差公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3-2．（25-26八年级上·江西宜春·月考）已知代数式． (1)化简代数式． (2)若（a为常数）是完全平方式，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式的应用及整式的化简求值，熟练掌握乘法公式的展开法则与完全平方式的结构特征是解题的关键． （1）通过完全平方公式、平方差公式展开代数式，再合并同类项化简； （2）根据完全平方式的结构特征求出的值，代入化简后的代数式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵是完全平方式，， ∴， 将代入得 ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）若，则A的值是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，通过观察乘积形式，利用平方差公式逐步简化表达式，最终求出A的值． 【详解】解： 故选：B 二、填空题 2．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式的应用、有理数的乘法运算，解题关键是熟练掌握平方差公式的应用． 利用平方差公式对每一个式子因式分解，再把结果相乘即可求解． 【详解】解：原式…， …， ， ． 故答案为：． 三、解答题 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）【教材呈现】教材第118页的第7题： 已知，，求 的值． 【例题讲解】老师讲解了这道题的方法： ， ， ． ， ． 【方法运用】 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【拓展提升】 （3） 如图，已知长方形的周长为40，面积为．以，为边，分别向下，向左作正方形和正方形，点，，，分别在，，，所在的直线上．求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）3；（2）12；（3）180 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据代入计算即可； （2）根据代入计算即可； （3）设，，由题意得，，根据求出的值，再由阴影部分的面积为进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）∵， ∴； （3）设，， ∵长方形的周长为40，面积为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 4．（25-26八年级上·吉林·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 【答案】(1) 12 (2) 4 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）将，代入完全平方公式，即可得的值； （2）由，，可得，结合完全平方公式，即可得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴的值为． 5.（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：．现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． (1)在图3中，根据图中条件，猜想并验证与之间的关系：_________（用含的代数式表示出来）； 【解决问题】 (2)①若，求的值； ②当时，求的值； 【拓展提升】 (3)如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 【答案】(1) (2)①的值为或；②的值为 (3) 【分析】本题主要考查几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据图3是一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据图形面积公式可得出与之间的关系； （2）①由完全平方公式可得，将代入求值即可；②首先假设，，则，且，，根据（1）中的结论可求出的值； （3）假设，，则，，，由完全平方公式可得，据此求出的值． 【详解】（1）解：观察图像，一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据面积公式， 可得, 即． （2）解：①∵，结合，代入公式， 得， ∴的值为或； ②假设，， 则，且，， 由（1）中， 可得， 即． （3）解：假设，，则，，， ∵， 得， 故，． 6.（23-24七年级下·安徽滁州·月考）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式．例如：计算图1的面积可以得到等式．请解答下列问题： (1)观察图2，写出所表示的等式： = ； (2)已知上述等式中的三个字母，，可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式乘法与图形面积.根据图形面积总结规律，关键是运用规律解决问题． （1）直接根据图形写出等式； （2）将所求式子与（1）的结论对比，得出变形的式子，代入求值即可． 【详解】（1）由图形可得等式：； 故答案为：，； （2），，，且， ． 7.（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)______；若，，则______； (2)已知，求的值； (3)如图，点、分别是正方形边、上的两点，，，分别以、的长作正方形、，若长方形的面积等于，求正方形、的面积之和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式，仿照示例，把展开，代入相关数值，可得到结果； （2）由题意，得到，结合完全平方公式，可得，得到结果； （3）根据题意，结合图形，可得，，从而求得的值． 本题考查了完全平方公式的应用，涉及到规律的探究，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 若，， 则， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：设正方形的边长为， ，， ，， ， 长方形的面积等于， ， ， 正方形、的面积之和为． 8.（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【阅读理解】学习乘法公式后，王老师为了加强同学们对公式的理解，编了一个乘法公式的问题，规则如下： 第1次操作：把多项式与的平方差记为； 第2次操作：把多项式与的平方差的结果记为； 第3次操作：； 第4次操作：把多项式与的平方差的结果记为； …… 以此类推，每到了3的倍数时就将前两次的结果求和． （1）当，时， ； （2） ． 【答案】 120 【分析】此题考查了平方差公式的应用， （1）根据题意表示出每个代数式，然后计算代数求解即可； （2）分别表示出前几个数，然后找到规律，进而求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴当，时，原式； 故答案为：120； （2）∵， 同理可得，， ， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 9.（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图①，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若将图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图②所示的一个长方形． (1)根据这两个图形的面积关系，可以得到一个乘法公式为：_____； (2)利用你得到的公式计算：； (3)若将图①中边长为的大正方形南北向减少2，东西向增加2，可得到一个长方形，如图③，则这个长方形的面积是_____． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的推导，利用平方差公式进行计算，利用面积建立等量关系是解答此题的关键． （1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式可得结论； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据长方形面积公式列出算式，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，图1阴影部分的面积为： ， 图2长方形的长为：， 图2长方形的宽为：， 面积为：， ∴可以得到一个乘法公式为：； （2）解： ； （3）解：根据题意得，这个长方形面积为： ． 10.（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图1，一个边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)上述操作能验证的等式是________； (2)应用所得的公式计算：； (3)试利用这个公式化简：． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． （1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； （2）变形后利用平方差公式求解即可； （3）变形后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即； 图2中的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为； ∴； （2） ； （3） ． 11.（25-26八年级上·广东惠州·月考）运用乘法公式计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12.（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，积的乘方，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）先将看成一个整体利用完全平方公式展开，再用完全平方公式即可求解， （2）先将看成一个整体利用平方差公式展开，然后再用完全平方公式即可求解， （3）先利用积的乘方变形，再利用平方差公式，最后利用完全平方公式即可求解 ． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3） ． 13.（22-23八年级上·安徽黄山·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算整式的乘法运算，再合并同类项，得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，平方差公式与完全平方公式的应用，熟练的利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算是解本题的关键． 14.（23-24七年级下·安徽合肥·期中）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数． (1)【验证】______； (2)【证明】设两个正整数为m、n，请验证“发现”中的结论正确； (3)【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差． 【答案】(1)12 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据平方差公式计算出的结果为，即可得出结论； （3）由（2）结论可求出，结合题意可得出，同为偶数，即得出，都为整数，即说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差． 【详解】（1）解：． 故答案为：12； （2）解： ． 因为m、n都为正整数， 所以为4的倍数， 所以是4的倍数； （3）解：由（2）可知， 所以． 因为两个正整数m、n同为偶数或同为奇数， 所以，同为偶数， 所以，都为整数， 所以这两个数的积可以表示为两个整数的平方差． 15.（2025七年级下·江苏·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算多项式乘多项式，再合并同类项，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 16.（24-25七年级下·山东枣庄·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1) ； (2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ； (3)对于有理数、，若，．求的值． 【答案】(1) (2)2或 (3)56 【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的规则计算即可； （2）根据新运算的规则可得，再根据是一个完全平方式可得结论； （3）据新运算的规则化简，然后整体代入计算解题． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：原式， 是完全平方公式， 或． 故答案为：2或； （3）解：原式 ， ，， ，， ． 17.（24-25七年级下·四川雅安·月考）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【答案】(1)6 (2)5或 (3)60 【分析】本题考查完全平方公式的应用，包括完全平方公式的展开与变形，完全平方公式的结构特征，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式将展开式，利用已知条件即可求出； （2）根据完全平方公式的形式，将整理成的形式，即可求解k的值； （3）先求出的值，再使用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 解得； 故答案为：6； （2）解：∵是一个完全平方式， ∴即， 即， 当，解得， 当，解得， ∴k的值为5或； 故答案为：5或； （3）解：∵， ∵， 又∵， 即， ∴， 解得． 18.（25-26九年级上·安徽阜阳·开学考试）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是所以所以当时，的值最小，最小值是所以的最小值是     依据上述方法，解决下列问题： (1)多项式有最______填“大”或“小”值，该多项式的最值是 ； (2)已知三角形的三边长都是正整数，且满足，求当时，三角形的周长． 【答案】(1)大， (2)9 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）仿照题干的方法，结合完全平方的非负性，进行求解即可； （2）将转化为两个完全平方的和等于0的形式，非负性求出的值，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴多项式有最大值，该多项式的最值是22； （2）解：， ， ， ∴，， ，， ， 的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07乘法公式的深度理解与灵活运用 目录 典例详解 类型一、完全平方公式的变形与拓展 类型二、平方差公式的识别与构造 类型三、乘法公式的综合运用与逆向思维 压轴专练 典例详解 类型一、完全平方公式的变形与拓展 1.基本公式 ①(a+b)2=a2+2ab+b2 ②(a-b2=a2-2ab+b2 2.常见变形与拓展 ①a2+b2=(a+b)2-2ab ②h=a+-(a2+b) 2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 【重要性质】 ①完全平方公式揭示了平方和与乘积的关系： ②变形公式在求值、证明中应用广泛： ③三项完全平方公式可看作两次应用两项公式。 例1.(25-26八年级上河南南阳·期末)阅读理解：完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2适当的变形，可以 解决很多的数学问题 己知a+b=4,ab=3,求a2+b2的值. 1/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解：：a+b=4,(a+b)2=42,即a2+2ab+b2=16. :ab=3,a2+b2=(a+b2-2ab=10 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若x-y=-3,y=-2,则x2+y2=，（x+y)=: (2)若m+n-p=-10,（m-p)n=-12.求(m-p)+n2的值： (3)若a2+ab+b2=10,a2-ab+b2=4,则a-b=. 变式1-1.(25-26八年级上·安徽黄山期末)根据图1.通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学 公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,请解答下列问题： a b a a b 6 a b 图1 图2 图3 ()请运用这个方法，写出依据图2得出的数学等式：-； (2)利用(1)中所得到的结论，解决问题：已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值； (3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张长、宽分别为a,b的长方形纸片 拼出一个面积为2a+b)(a+3b)的长方形，求x+y+z的值. 变式1-2.(25-26八年级上河南信阳·月考)图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分 成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形. m m 2 ① 图② (1)观察图②请你写出下列三个代数式；（m+nm2,(m-n2,w之间的等量关系； (2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a-b=3,ab=-2,求(a+b)的值. 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②已知：4-2=，求a+2的值 a 类型二、平方差公式的识别与构造 1.基本公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 2.难点突破点 ①识别平方差结构：两项、平方、相减： ②构造平方差：如x-少=(x2)}2-y22: ③符号变化：（-a2-b2仍可用公式。 【重要性质】 ①平方差公式是分解因式的重要工具： ②可连续使用，如a-b4=(a2+b2)(a+b)(a-b): ③在计算中用于简化运算，如99×101=(100-1)(100+1)。 例2.（24-25七年级下·广东河源期中)从边长为的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后 将剩余部分拼成一个长方形（如图2）. a 6 b 图1 图2 ()上述操作能验证的等式是 (填字母). A.a2-2ab+b2=(a-b)2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2+ab=a(a+b) (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值； ®计第：〔-0-0-)-2儿-02)： 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③计算： ++*品 变式2-1.(24-25七年级下·安微宿州·月考)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形， 把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）· a b 图1 图2 (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 (②)请应用这个公式完成下列各题： ①己知4m2-n2=12,2m+n=4,求2m-n的值； ②计算：20252-2023×2027. 变式2-2.(24-25七年级下·安徽准北·期末)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形， 把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示. a 图1 图2 ()上述操作能验证的等式是： (请选择正确的选项)； A.a2-ab=a(a-b) B.a2-2ab+b2=(a-b)2 C.a2+ab=a(a+b) D.a2-b2=(a+b)(a-b) (2)请利用你从(1)选出的等式，完成下列问题： ①试说明(2n+42-(n+22(n为整数)是3的倍数； ②已知a2-b2+2b-1=15,a+b-1=3,求a-b+1的值. 类型三、乘法公式的综合运用与逆向思维 1.综合运用场景 4/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①公式混合运算； ②先展开后重新分组； ③公式逆用进行因式分解。 2.逆向思维训练 ①由a2+b2和ab求a+b或a-b; ②配方法：将二次三项式配成完全平方； ③公式变形求值。 例3.(2026九年级全国.专题练习)已知实数m,n满足m2+n2=2+mn,则(2m-3n2+(m+2n(m-2n 的最大值为多少？ 变式3-1.(25-26八年级上·天津河西·月考)利用乘法公式计算： (1)(2x-3y)2-(y+3x)3x-y) (2)(a-2b+3)(a+2b-3) 变式3-2.(25-26八年级上江西宜春月考)已知代数式A=(a+4)-(a+2)(a-2)-3(2a+3). (1)化简代数式A. (2)若x2+6x+a(a为常数)是完全平方式，求A的值. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上安徽阜阳·月考) 若40+写++++0+〔+)-1 则A的值是() 1 1 A.0 B. 3128 C.128 D.1 二、填空题 2.(24-25七年级下·安微宿州月考)计算 ----g— 三、解答题 3.(25-26八年级上安徽合肥期末)【教材呈现】教材第118页的第7题： 己知a+b=5,ab=3,求a2+b2的值， 【例题讲解】老师讲解了这道题的方法： :a+b=5, .(a+b)2=25, a2+2ab+b2=25. 5/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5ab=3, a2+b2=25-2ab=25-6=19. 【方法运用】 (1)已知a-b=2,a2+b=10,求ab的值： 。12 (2)已知a+=4,求a- 的值. a a 【拓展提升】 (3》）如图，已知长方形4CD的周长为0，面积为买.以4D,0C(40>DC)为边，分别脂下，向左 作正方形AEFD和正方形DCHG,点G,H,E,F分别在AD,BC,AB,DC所在的直线上，求图中 阴影部分的面积. G A H B E 4.(25-26八年级上·吉林期末)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学 问题， 例如：若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解：a+b=3,ab=1, .(a+b2=9,2ab=2, ∴.a2+2ab+b2=9 .a2+b2=7 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若x+y=8,x2+y2=40,则的值为 (2)若2a+b=6,ab=4,求(2a-b)的值； 5.(25-26八年级上·安微阜阳·月考)通过第十六章的学习，如图1可以得到：(a+b)=a2+2ab+b2;如图 2可以得到：(a-b)2=a2-2ab+b2.现有长与宽分别为a,b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 成图3的图形，请认真观察图形. E D H S B S2 a G 图1 图2 图3 图4 (1)在图3中，根据图中条件，猜想并验证(a+b)2与(a-b)之间的关系： (用含a,b的代数式表 示出来)： 【解决问题】 (2)①若xy=12,x2+y2=40,求x+y的值； ②当(x-300)(200-x)=2025时，求(2x-500)的值： 【拓展提升】 (3)如图4，点C是线段AB上的一点，以AC,BC为边向两边作正方形ACDE和正方形BCFG,延长GB和 ED交于点H,那么四边形BCDH为长方形.已知AB=11,图中阴影部分的面积为28，求两个正方形的面 积之和：S+S2. 6.（23-24七年级下·安微滁州月考)对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一 个关于整式乘法的等式.例如：计算图1的面积可以得到等式(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2.请解答下列问 题： 6 a b b Q b 6 a b C 图1 图2 ()观察图2，写出所表示的等式：-=-： (2)己知上述等式中的三个字母a,b,c可取任意实数，若a=-4x+2,b=-3x+4,c=7x-5,且 a2+b2+c2=37,请利用(1)所得的结论求ab+bc+ac的值. 7.（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试)我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形.比如： 7/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 已知a+b=3,G+=5,则b-a+°-女+】_-5-2 2 根据以上变形，回答下列问题： 1)(x+2y)2=;若x+2y=5,x2+4y2=9，,则y= ②已知m+1=5,求mL的值： m m (3)如图，点E、F分别是正方形ABCD边AD、AB上的两点，DE=1,BF=t+1,分别以AF、AE的长 作正方形APQF、HFGM,若长方形AFGE的面积等于5，求正方形APQF、HFGM的面积之和 H M A B 8.(24-25七年级下·安微合肥期末)【阅读理解】学习乘法公式后，王老师为了加强同学们对公式的理解， 编了一个乘法公式的问题，规则如下： 第1次操作：把多项式a-2b与a-b的平方差记为M1; 第2次操作：把多项式a-3b与a-2b的平方差的结果记为M2; 第3次操作：M3=M1+M2; 第4次操作：把多项式a-4b与a-3b的平方差的结果记为M4; … 以此类推，每到了3的倍数时就将前两次的结果求和. (1)当a=1,b=-1时，M1+M2+M,+…+Mg= (2)M2023+M2024= 9.(25-26八年级上河南南阳·月考)如图①，大正方形的边长为Q,小正方形的边长为b,若将图中的阴影 部分裁剪下来，重新拼成如图②所示的一个长方形。 a 图① 图② 图③ ()根据这两个图形的面积关系，可以得到一个乘法公式为： 8/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)利用你得到的公式计算：20252-2024×2026： (3)若将图①中边长为a的大正方形南北向减少2，东西向增加2，可得到一个长方形，如图③，则这个长方 形的面积是 10.(24-25七年级下.安微毫州期末)如图1，一个边长为©的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把 图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示. a a 图1 图2 (1)上述操作能验证的等式是 (2)应用所得的公式计算：20262-2024×2028： (3)试利用这个公式化简：(2+1×2+1×22+1. 11.(25-26八年级上广东惠州月考)运用乘法公式计算 1)川x+2y-3)x-2y+3): (2)2x-3y-4)2. 12.(25-26八年级上江苏宿迁·月考)计算： (1)(a-2b+c)2; (2)a+b-2c(a-b-2c; (3)(x-2y)2(x+2y)2. 13.(22-23八年级上·安徽黄山期末)先化简，再求值：(x-2)(3x+1)-2(-1+3x)2-(2x-1)(-1-2x),其中 x=-2. 14.(23-24七年级下·安徽合肥期中)【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数. (1)【验证】(3+12-(3-1= (②)【证明】设两个正整数为m、n,请验证“发现”中的结论正确； (3)【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差. 9/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.(2025七年级下·江苏期末)先化简，再求值：（a-2b)+(b-3a)(b+3a-2(a-4b)(a+b),其中a=-1 ,b=2 1 16.(24-25七年级下山东枣庄·期末)对于任意有理数a、b、c、d,定义一种新运算： ac =a2+b2-cd. b d 「12] ②对于有理数xy,若xk 是一个完全平方式，则k=一 y xy 6)对于有理数x、y,若x+y=10,y=2.求 x-y3x-y的值 x-y 17.(24-25七年级下·四川雅安·月考)所谓完全平方式，就是对于一个整式A,如果存在另一个整式B,使 A=B2,则称A是完全平方式，例如：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,所以a2+2ab+b2, a2-2ab+b2就是完全平方式.请解决下列问题： (1)已知a2+b2=8,(a+b)2=20,则ab=: (2)如果x2-(k+1)x+9是一个完全平方式，则k的值为 (3)若x满足(2024-x)2+(x-2007)2=169,求(2024-x)(x-2007)的值. 18.(25-26九年级上·安微阜阳·开学考试)王老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后，要 求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值.同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1 因为(x+2)2≥0，所以当x=-2时，(x+2)2的最小值是0.所以(x+2)+1≥1.所以当(x+2)2=0时， (x+2)2+1的值最小，最小值是1所以x2+4x+5的最小值是1依据上述方法，解决下列问题： (①)多项式-x-4x+18有最（填“大”或“小”）值，该多项式的最值是_； (2)已知三角形ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-2a=8b-17,求当c=4时，三角形ABC 的周长。 10/10