第06讲 三角形的中位线与重心（2知识点+6考点+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

寒假预习第06讲 中位线与重心 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：三角形的中位线 1.中位线与中位线定理 在研究四边形时，通常会把它转化为三角形的问题，并利用三角形来研究四边形的有关问题.现在我们学习了平行四边形，反过来，也可以利用平行四边形来研究三角形的有关问题. 任意画一个 ，然后分别取边 、 的中点 、，连接 .通过观察或测量等方法，你发现 与 之间有怎样的位置关系？有怎样的数量关系？据此，你能得到什么结论？ 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 如图23-4-1，在 中，、 分别是边 、 的中点，于是线段 就是 的一条中位线.每一个三角形有三条中位线. 图23-4-1 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 2.三角形的中线与中位线的区别与联系: (1)区别:三角形的中线的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点对边的中点;而中位线的两个端点分别是三角形两边的中点.如图D4-5-1所示,AD是中线,EF是中位线. (2)联系:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 3.关于三角形的三条中位线的结论 (1)三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半; (2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 4.三角形中位线定理的作用 (1)证明位置关系:可以证明两条直线平行; (2)证明数量关系:可以证明线段的相等或倍分. 【例题1】如图23-4-1，已知：在 中，、 分别是边 、 的中点. 求证： ，且 . 考虑延长 到点 ，使得 ，这时 .于是，证明 且 可转化为证明 且 .这只需要证明四边形 是一个平行四边形即可. 【解答】如图23-4-2，延长 到点 ，使得 ，连接 .因为 ，，所以 .由此推出 ，，所以 ，即 .又因为 ，，所以 .由平行四边形的判定定理2，得四边形 是一个平行四边形，所以 ，且 .又因为 ，所以 ，且 . 图23-4-2 【例题2】如图23-4-3，已知： 是 内任意一点，、、、 分别是 、、、 的中点. 求证： 四边形 是一个平行四边形. 【解答】 如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查中位线的性质．根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 知识点2：三角形的重心 任意一个三角形的三条角平分线相交于一点，三条边的垂直平分线也相交于一点.试问：任意一个三角形的三条中线是否也相交于一点？它又有怎样的性质呢？ 任意一个三角形都有三条中线.如图23-4-4，已知 、 分别是 的边 、 上的中线，它们交于点 ，连接 并延长交边 于点 . 是边 上的中线吗？线段 与线段 有怎样的数量关系？线段 与线段 呢？线段 与线段 呢？据此，你能得到什么结论？ 【例题3】如图23-4-4，已知：在 中，、 分别是边 、 上的中线， 和 交于点 ，连接 并延长交边 于点 . 求证： 是边 上的中线. 证明：如图23-4-5，延长 到点 ，使 ，分别连接 、. 同理，可得 . 本题的结论表明:三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. 三角形重心定理 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍. 【例题4】如图23-4-6，已知：在 中，、、 分别是边 、、 上的中线，并交于点 . 求证： . 证明：如图23-4-7，延长 到点 ，使 ，分别连接 、. 在上例中已经证明了四边形 是一个平行四边形，所以 .又因为 ，所以 . 【例题5】如图23-4-8，已知：在 中， 是 的重心，分别连接 、 和 . 求证： . 证明：如图23-4-9，延长 、 和 ，与边 、、 分别交于点 、、. 如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为 ，若，则 ． 【答案】 30 4 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形的周长可进行求的周长，最后根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为； ∵分别是、的中线，， ∴，； 故答案为30；4． 如图，在中，点O为三角形的重心，D为中点，若的面积为24，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了重心，三角形中线的性质， 延长，交于点E，根据重心的性质得出，进而得出，即可求出，再根据中点的定义得出答案． 【详解】解：如图所示，延长，交于点E， ∵点O是的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， 同理，． ∵， ∴． ∵D是的中点， ∴． 故答案为：4． 题型一：与三角形中位线有关的求解问题 例1．如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    【答案】4 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】由菱形的性质可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根据中位线的性质可得，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BO=DO，AB=BC=CD=DA， ∵OE=3，且点E为CD的中点， 是的中位线， ∴BC=2OE=6． ∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出BC=6． 【变式1-2】如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 【变式1-1】如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】由矩形的性质可证是等边三角形，可得 ，由三角形中位线定理可得，可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E、F、G分别为中点， ∴， ∴， ∵四边形周长为8 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 题型二：与三角形中位线有关的证明 例2-1．如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据三角形的中位线的性质即可得证； 【详解】（1）∵是的中点， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 （2）∵及分别是的中点， ∴是的中位线 ∴ 例2-2．如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明 【分析】连接BD，利用三角形的中位线定理证明得出，从而得到四边形是平行四边形 【详解】解：如图，连接． ∵点E，H分别是线段的中点， ∴是的中位线， ∴EH∥BD，． 同理，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度不大，解题的关键是正确的添加辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题． 【变式2-1】如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，且，，且，从而得到，且，进而得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：分别是边和上的中线， ∴点，分别是边，的中点， ∵点，分别是线段，的中点． 是的中位线，是的中位线， ∴，且，，且， ∴，且， 四边形是平行四边形， 【变式2-2】在中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据等边对等角证明、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理，等边对等角，先根据直角三角形的性质和等边对等角证明，则，由此可得，再由三角形中位线定理证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【变式2-3】如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据三线合一证明、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据题意可推出点是的中点，结合点F是的中点可得是的中位线，据此即可求证． 【详解】证明：∵ ∴点是的中点． ∵点F是的中点． ∴是的中位线， ∴ 题型三：三角形中位线的实际应用 例3．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，，则 m． 【答案】52 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质定理，解题的关键是熟练掌握中位线的判定和性质． 利用三角形中位线的判定定理和性质定理得出，进而可求出结果． 【详解】解：∵和的中点分别是点D，E， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：52 【变式3-1】为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 【变式3-2】如图，如果要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接、点D、E分别是、的中点，测得的长为12米，则的长为 米． 【答案】24 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查了三角形的中位线，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解决本题的关键． 根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】点D、E分别是、的中点， 是的中位线，的长为12米， （米）， 的长为24米． 故答案为：24． 【变式3-3】如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 【答案】6 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用．利用三角形中位线定理“三角形的中位线是第三边的一半”即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：6． 题型四：根据三角形的中线求长度 例4．如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 【变式4-1】如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：D． 【变式4-2】（易错题）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 【变式4-3】（辅助线）．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的长是 ． 【答案】3 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三角形中线求长度、用勾股定理解三角形 【分析】过点C作CE∥AB交AD延长线于E，先证△ABD≌△ECD（AAS），求出AE=2AD=4，在Rt△AEC中，即可． 【详解】解：过点C作CE∥AB交AD延长线于E， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， ∵AD⊥AB，CE∥AB， ∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD， ∴∠E=90°， 在△ABD和△ECD中 ， ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AB=EC，AD=ED=2， ∴AE=2AD=4， 在Rt△AEC中，， ∴AB=CE=3． 故答案为：3．    【点睛】本题考查中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，关键是利用辅助线构造三角形全等． 题型五：根据三角形中线求面积 例5．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定、三角形的面积计算，正确作出辅助线、证明是解题的关键．过点作交于，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：过点作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ， ， 的面积为2 的面积为6， 故选：． 【变式5-1】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 【变式5-2】如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 连接，根据角平分线的性质，可得点G到和的距离相等，则可得的面积，再根据，得到，进而求得的面积，根据求得和的面积，再根据即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得的面积， 【详解】解：由题意得是的平分线，且， 设点G到的距离为，到的距离为，则， ∵，， 又∵且， ∴， ∴的面积为：， 连接，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型六：三角形的重心 例6．已知G是等腰直角的重心，若，则线段CG的长为 ． 【答案】 【知识点】重心的概念、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可． 【详解】解：如图，∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝2， ∴CD＝， ∴CG＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 【变式6-1】如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、用SSS证明三角形全等（SSS）、重心的有关性质 【分析】先延长BG交AC与点D，再根据重心的性质得出BD=3；证∆ADG∆CDG，得出BD⊥AC，再利用勾股定理求出AB的长． 【详解】解：（如图）延长BG交AC与点D， ∵点G为△ABC的重心，BG=2, ∴AD=CD，BD=3， 又∵AG＝CG，GD=GD， ∴∆ADG∆CDG， ∴∠ADG=∠CDG， ∴BD⊥AC， ∵AC＝4， ∴AD=2， ∴AB= ==， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，三角形全等和勾股定理，正确做出辅助线，求出BD、AD的长以及证明∆ADG∆CDG是解决本题的关键． 【变式6-2】如图，的两条中线、相交于点G，如果，那么 ． 【答案】12 【知识点】重心的有关性质、根据三角形中线求面积 【分析】此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：进而得到，再根据是的中线可得进而得到答案． 【详解】解：∵的两条中线、相交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：12． 【变式6-3】两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形中，边，对角线，那么与的“重心距”为 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】连接，与交于点，设点为的重心，点为的重心，利用菱形的性质和勾股定理求得，的长，利用三角形的重心的性质求得，的长，再利用“重心距”的定义解答即可． 【详解】解：连接，与交于点，设点为的重心，点为的重心，如图， 四边形为菱形， ，，． ． 点为的重心，点为的重心， ，． 与的“重心距”为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的重心的性质，利用菱形的性质和勾股定理求得，的长是解题的关键． 1．在梯形的一条底边长为4，中位线长为7，那么另一条底边的长为 ． 【答案】10 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据梯形的中位线等于两底和的一半列出方程，解方程得到答案． 【详解】设梯形的另一条底边的长为x， 由题意得：×（4+x）＝7， 解得：x＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是梯形的中位线，掌握梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键． 2．如图，已知中，点D、E分别是边、中点，，点F、G分别是、的中点，则 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、梯形中位线定理 【分析】本题考查了三角形的中位线及梯形的中位线，熟练掌握两个定理是解题的关键．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据梯形的中位线平行于两底边并且等于两底和的一半求解即可． 【详解】解：点D、E分别是边、中点， 是的中位线， ，， ， ， 点F、G分别是、的中点， 是梯形的中位线， ， 故答案为： 3．如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为 ． 【答案】4 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 先由等腰三角形的性质得，再证，然后由三角形中位线定理得，即可解决问题． 【详解】解：平分， ， 于， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ， 是的中位线， ， 的周长， 故答案为：4． 4．如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是 ． 【答案】 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、与三角形中位线有关的证明 【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形还应满足的一个条件是等．答案不唯一． 【详解】解：条件是． ∵分别是的中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为： 【点睛】此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定，正确理解三角形的中位线的性质及菱形的判定定理是解题的关键． 5．如图，平行四边形的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)14 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明结论； （2）根据三角形中位线定理求出，根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：、分别是、的中点， ， ， ， ， ∴的周长． 6．如图，△ABC中，∠BAC＝60º，AD平分∠BAC，点E在AB上，EG∥AD， EF⊥AD，垂足为F． (1)求∠1和∠2的度数． (2)联结DE，若S△ADE＝S梯形EFDG，猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由． 【答案】(1)30º；60º (2)相等，理由见解析 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形角平分线的定义 【分析】(1)利用角平分线的定义求得，然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∠2，再利用平行线的性质即可求得∠1的度数． (2)根据S△ADE＝S梯形EFDG可得AD=DF+EG，结合图形即可求解． 【详解】（1）∵∠BAC＝60º，AD平分∠BAC， ∴， 又∵EF⊥AD， ∴， ∵EG∥AD， ∴． （2）相等．　理由如下： ∵EF⊥AD， ∴S△ADE=，S梯形EFDG= ∵S△ADE= S梯形EFDG ∴= ∴AD=DF+EG， ∵AD=AF+DF， ∴DF+EG =AF+DF， 即AF=EG． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 7．如图，点O是的重心，若的面积为16，那么阴影部分的面积之和为（ ） A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【知识点】证明四边形是平行四边形、根据三角形中线求面积、与三角形中位线有关的求解问题、重心的有关性质 【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，三角形中位线定理以及平行四边形的判定与性质．延长到H，是，连接，，则，证明四边形是平行四边形得，进而得是的中位线，则，由此得，设，则，同理，则，再根据得，则，阴影部分的面积之和为3a，由此得，则，由此即可得出答案． 【详解】解：延长到H，是，连接，如图所示： ， 点O是的重心， ，是的中线， ， 在四边形中，， 四边形是平行四边形， ， 即， 又， 是的中位线， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 设，则， 同理：， ， ， ， 同理：， ， ， ， ，阴影部分的面积之和为， 又的面积为16， ， ， 阴影部分的面积之和为． 故选：C． 8．（探究题）下面是小悦同学的数学学习日记，请仔细阅读并完成相应任务 三角形的重心我们曾经通过折纸或者画图的方式发现三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心 我查阅了很多资料，得知古希腊数学家海伦（，公元62年左右）第一次提出了三角形的三条中线交于一点．这个结论可以借助图1证明如下：   如图2，在中，，分别是，边上的中线，点是，的交点，连接并延长至，使，交于点． 点是的中点，，  是的中位线． ．（依据1）  即． 同理，．  四边形是平行四边形． 和交于点，  （依据2） 是边上的中线．即三条中线交于点． 三角形的重心有很多性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．在图2中容易推出； 2．重心和3个顶点组成的三角形面积相等；…… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：________________________________； 依据2是指：________________________________； （2）尺规作图：如图3，是等边三角形，作出的重心（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图4，点是的重心，连接，，，请你利用图4证明和的面积相等．    【答案】（1）三角形中位线定理，平行四边形对角线互相平分；（2）见解析；（3）见解析． 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、作角平分线(尺规作图)、重心的有关性质、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，三角形重心的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质解答即可； （2）根据三角形重心的定义结合等边三角形的性质作图即可； （3）延长交于点，则点为的中点，过点作于点，过点作于点，根据三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）依据1：三角形中位线定理， 依据2：平行四边形对角线互相平分， 故答案为：三角形中位线定理， 平行四边形对角线互相平分； （2）如图，点即为的重心．    （3）如图，延长交于点，则点为的中点，过点作于点，过点作于点，     ，，， ， ，，， ， ， 即． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $知识点1：三角形的中 中位线与重心 知识点2：三角形的重 定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。例如，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点， 则线段DE是△ABC的一条中位线。每个三角形有三条中位线。 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。即，如果DE是△ABC的中位 线，则DE‖BC且DE=2BC。 位线 区别：三角形的中线的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点对边的中点；而中位线的两个端点分别是三角形两边的中点。 中线与中位线的区别与联系： 联系：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 关于三条中位线的结论： 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 证明位置关系：可以证明两条直线平行。 中位线定理的作用： 证明数量关系：可以证明线段的相等或倍分。 定义：任意一个三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心。 心 重心定理：三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍。例如，在△ABC中，重 心为0，AF是边BC上的中线，则AO=2OF。 性质： 重心和三个顶点组成的三角形面积相等，即S△OAB=S△OBC=S△OAC。知识点：三角形的中位线 中位线与重心 知识点2：三角形的重心 定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。例如，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点， 则线段DE是△ABC的一条中位线。每个三角形有三条中位线。 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。即，如果DE是△ABC的中位 线，则DE‖BC且DE=BC。 区别：三角形的中线的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点对边的中点；而中位线的两个端点分别是三角形两边的中点。 中线与中位线的区别与联系： 联系：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 关于三条中位线的结论： 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 证明位置关系：可以证明两条直线平行。 中位线定理的作用： 证明数量关系：可以证明线段的相等或倍分。 定义：任意一个三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心。 重心定理：三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍。例如，在△ABC中，重 心为0，AF是边BC上的中线，则AO三2OF。 性质： 重心和三个顶点组成的三角形面积相等，即S△OAB=S△OBC=S△OAC。 寒假预习第06讲 中位线与重心 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：三角形的中位线 1.中位线与中位线定理 在研究四边形时，通常会把它转化为三角形的问题，并利用三角形来研究四边形的有关问题.现在我们学习了平行四边形，反过来，也可以利用平行四边形来研究三角形的有关问题. 任意画一个 ，然后分别取边 、 的中点 、，连接 .通过观察或测量等方法，你发现 与 之间有怎样的位置关系？有怎样的数量关系？据此，你能得到什么结论？ 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 如图23-4-1，在 中，、 分别是边 、 的中点，于是线段 就是 的一条中位线.每一个三角形有三条中位线. 图23-4-1 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 2.三角形的中线与中位线的区别与联系: (1)区别:三角形的中线的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点对边的中点;而中位线的两个端点分别是三角形两边的中点.如图D4-5-1所示,AD是中线,EF是中位线. (2)联系:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 3.关于三角形的三条中位线的结论 (1)三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半; (2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 4.三角形中位线定理的作用 (1)证明位置关系:可以证明两条直线平行; (2)证明数量关系:可以证明线段的相等或倍分. 【例题1】如图23-4-1，已知：在 中，、 分别是边 、 的中点. 求证： ，且 . 考虑延长 到点 ，使得 ，这时 .于是，证明 且 可转化为证明 且 .这只需要证明四边形 是一个平行四边形即可. 【解答】 图23-4-2 【例题2】如图23-4-3，已知： 是 内任意一点，、、、 分别是 、、、 的中点. 求证： 四边形 是一个平行四边形. 【解答】 如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 知识点2：三角形的重心 任意一个三角形的三条角平分线相交于一点，三条边的垂直平分线也相交于一点.试问：任意一个三角形的三条中线是否也相交于一点？它又有怎样的性质呢？ 任意一个三角形都有三条中线.如图23-4-4，已知 、 分别是 的边 、 上的中线，它们交于点 ，连接 并延长交边 于点 . 是边 上的中线吗？线段 与线段 有怎样的数量关系？线段 与线段 呢？线段 与线段 呢？据此，你能得到什么结论？ 【例题3】如图23-4-4，已知：在 中，、 分别是边 、 上的中线， 和 交于点 ，连接 并延长交边 于点 . 求证： 是边 上的中线. 证明： 本题的结论表明:三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. 三角形重心定理 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍. 【例题4】如图23-4-6，已知：在 中，、、 分别是边 、、 上的中线，并交于点 . 求证： . 证明： 【例题5】如图23-4-8，已知：在 中， 是 的重心，分别连接 、 和 . 求证： . 证明： 如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为 ，若，则 ． 如图，在中，点O为三角形的重心，D为中点，若的面积为24，则的面积是 ． 题型一：与三角形中位线有关的求解问题 例1．如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【变式1-2】如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 【变式1-1】如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是 ． 题型二：与三角形中位线有关的证明 例2-1．如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 例2-2．如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形． 【变式2-1】如图，在中，分别是边和上的中线，且相交于点，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【变式2-2】在中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【变式2-3】如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 题型三：三角形中位线的实际应用 例3．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，，则 m． 【变式3-1】为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，如果要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接、点D、E分别是、的中点，测得的长为12米，则的长为 米． 【变式3-3】如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 题型四：根据三角形的中线求长度 例4．如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式4-1】如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（易错题）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【变式4-3】（辅助线）．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的长是 ． 题型五：根据三角形中线求面积 例5．如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【变式5-1】如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式5-2】如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为 ． 题型六：三角形的重心 例6．已知G是等腰直角的重心，若，则线段CG的长为 ． 【变式6-1】如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于 ． 【变式6-2】如图，的两条中线、相交于点G，如果，那么 ． 【变式6-3】两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形中，边，对角线，那么与的“重心距”为 ． 1．在梯形的一条底边长为4，中位线长为7，那么另一条底边的长为 ． 2．如图，已知中，点D、E分别是边、中点，，点F、G分别是、的中点，则 ． 3．如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为 ． 4．如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是 ． 5．如图，平行四边形的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 6．如图，△ABC中，∠BAC＝60º，AD平分∠BAC，点E在AB上，EG∥AD， EF⊥AD，垂足为F． (1)求∠1和∠2的度数． (2)联结DE，若S△ADE＝S梯形EFDG，猜想线段EG的长和AF的长有什么关系？说明理由． 7．如图，点O是的重心，若的面积为16，那么阴影部分的面积之和为（ ） A．16 B．12 C．8 D．6 8．（探究题）下面是小悦同学的数学学习日记，请仔细阅读并完成相应任务 三角形的重心我们曾经通过折纸或者画图的方式发现三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心 我查阅了很多资料，得知古希腊数学家海伦（，公元62年左右）第一次提出了三角形的三条中线交于一点．这个结论可以借助图1证明如下：   如图2，在中，，分别是，边上的中线，点是，的交点，连接并延长至，使，交于点． 点是的中点，，  是的中位线． ．（依据1）  即． 同理，．  四边形是平行四边形． 和交于点，  （依据2） 是边上的中线．即三条中线交于点． 三角形的重心有很多性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．在图2中容易推出； 2．重心和3个顶点组成的三角形面积相等；…… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：________________________________； 依据2是指：________________________________； （2）尺规作图：如图3，是等边三角形，作出的重心（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图4，点是的重心，连接，，，请你利用图4证明和的面积相等．    2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $