拓展专题2.1 平面直角坐标系6类综合题型（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

拓展专题2.1 平面直角坐标系6类综合题型 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一、坐标系中的平移 4 题型二、坐标系中的对称 9 题型三、坐标系中的旋转 16 题型四、中点公式 21 题型五、坐标系中的动点问题（不含函数） 26 题型六、点坐标规律探索 36 知识点1：平面直角坐标系 1.平面直角坐标系相关概念 (1) 平面直角坐标系：平面上两条互相垂直且有公共原点的数轴，确定了一个直角坐标系.记作平面直角坐标系 ，如图所示. (2) 两轴：这两条数轴称为坐标轴，通常分别记为 轴与 轴.习惯上，分别在水平和竖直方向画出这两条坐标轴.水平方向的坐标轴称为横轴，记作 轴，正方向向右；竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作 轴，正方向向上. (3) 原点：两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为 . 原点 y轴 x轴 原点 纵轴 横轴 x轴正方向 y轴正方向 2. 给定平面直角坐标系，平面上的点与有序数对是一一对应的 说明：一般地，对于平面直角坐标系中任意给定的一点 ，如图，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 在 轴上所对应的数为 ；过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 在 轴上所对应的数为 ，有序数对 就表示点 .这样的有序数对是由点 唯一确定的.反过来，任意给定有序数对 ，可在 轴上描出数 所对应的点 ，在 轴上描出数 所对应的点 ；过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，这两条垂线的交点 就表示有序数对 ，这样的点也是唯一确定的. 于是，给定平面直角坐标系，平面上的每一个点都有唯一的有序数对与之对应；反过来，对于任意给定的有序数对，平面上都有唯一的点与之对应. P M N 3. 建立平面直角坐标系的基本步骤 (1) 选原点：根据条件，选择合适的点作为原点. (2) 作两轴：过原点在互相垂直的方向上分别作出 轴和 轴. (3) 定坐标系：确定 轴和 轴的正方向和单位长度，并分别标上 . [特别提醒]如无特别说明，两条坐标轴的单位长度是一致的. 知识点2：用坐标表示平移 1.点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生变化，坐标也发生变化（其中 ）： 的平移方式 平移后点的坐标 规律 向右平移 个单位长度 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变 向左平移 个单位长度 向上平移 个单位长度 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减 向下平移 个单位长度 知识巧记：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.（或者：上加下减，左减右加） 2.图形在坐标系中的平移 在给定的平面直角坐标系中： 如果把一个图形向右（或向左）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）； 如果把一个图形向上（或向下）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）. 提示 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小. 说明： (1) 图形的平移实际是图形上每个点的平移，即图形上每个点都沿着相同的方向平移了相同的距离，因此每对对应点坐标的变化是相同的. (2) 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 知识点3：平面直角坐标系中的轴对称 1.点关于 轴或 轴对称 (1) 点关于 轴或 轴对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中： 点 关于 轴对称的点的坐标为 ； 点 关于 轴对称的点的坐标为 . (2) 已知点关于 轴或 轴对称的点的坐标的规律 关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标相反； 关于 轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标相反. 巧记：关于（或轴）对称，横（或）坐标不变，另一坐标相反. (3) 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称； 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称.（谁相同就关于谁对称） 2. 图形关于 轴或 轴对称 在给定的平面直角坐标系中： 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 题型一、坐标系中的平移 1．如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出，的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积求解即可． 【详解】解：点、的坐标分别为，，平移后与坐标分别是和， 可知将线段向右平移5个单位，向上平移4个单位， ，， 与坐标分别是和， 如图： 线段在平移过程中扫过的图形面积． 故答案为：32． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出点的坐标，并在图中画出点及； (2)将各顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于________轴对称； (3)若，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；作图见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）由点在坐标系中的位置直接写出坐标，由点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3得到，在图中标出，连接即可得到； （2）由关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据题意，过点作，且，如图所示，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为； 如图所示： 点及即为所求； （2）解：将各顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于轴对称， 故答案为：； （3）解：过点作，且，如图所示： 或． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，从点出发沿轴正方向移动五个单位长度得到点． (1)直接写出点的坐标__________； (2)请判断和位置关系，说明理由； (3)轴上是否存在一点，使的面积是的面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)或． 【分析】（1）根据坐标平移的性质：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，求出对应的点坐标； （2）先利用勾股定理求出坐标间的距离，再利用勾股定理的逆定理判断，得即可； （3）根据三角形的面积公式和设，构建方程求解． 【详解】（1）解：∵，点出发沿轴正方向移动五个单位长度， ∴， ∴． （2）解：结论：． 理由：∵，， ∴． ∵，，， ∴根据勾股定理可得： ， ． ∵，，， 即， ∴， ∴． （3）解：∵， 又∵， ∴． 设， ∵， ∴， ∴或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了点的平移、勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移、坐标与图形性质及三角形面积计算，解题关键是利用平移性质确定点的坐标，结合坐标特征分析图形关系并计算． （1）由轴得纵坐标与相同，结合平移后在轴，通过平移量确定、坐标； （2）根据的横坐标，结合、坐标，用三角形面积公式列式； （3）设平移距离，结合面积关系列方程求平移量，再利用建立等式求，得坐标． 【详解】（1）解：∵点平移后在轴上， ∴点先向右平移4个单位， ∵轴， ∴点纵坐标为2， ∴点向上平移2个单位， ∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴． （2）解：如图： ∵ ∴， ∵的横坐标为， ∴的面积为． （3）解：当在上时，如图： 设，则， 的面积比三角形的面积大2， 解得， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图： 设，则， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：或． 题型二、坐标系中的对称 5．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，坐标与图形，首先得到， ，然后由折叠结合平行线的性质得到，推出，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，坐标的意义，得到， ，根据勾股定理，得到，，设，则，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，点D的坐标为， ∴，， ，轴， ∴，， 设， 则，， ∴， 解得， 故， 故答案为：． 7．如图中，轴，，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)分别求C、D两点坐标； (2)在x轴上存在点F，使得最短，求出点F的坐标； (3)在（2）的基础上，将线段向左平移m个单位长度，若与有唯一交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的性质，轴对称的性质，平移的性质． （1）根据平行四边形的性质得到，轴，进而求出点D、C的横坐标，即可求出C、D两点坐标； （2）先得到点D关于x轴对称的点E坐标为，连接，与x轴的交点即为所求点F，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，令，则，即可求出点F的坐标； （3）根据平移结合图像作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，轴， ∵点A的坐标为， ∴点D的横坐标为 即点D的坐标为； ∵点B的坐标为，轴， ∴点C的横坐标为， 即点C的坐标为； （2）∵点D的坐标为， ∴点D关于x轴对称的点E坐标为 连接，与x轴的交点即为所求点F， 设直线的解析式为， ∵点A的坐标为，点E的坐标为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点F的坐标为； （3）如图， 由图可知，当F到达O点时，与有两个交点，此时， 继续左移，与有唯一交点， ∴， 当F到达G点时，与有唯一交点，此时， 继续左移，与无交点， ∴ 即． 8．如图，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点B落在点D处．边交x轴于点E， (1)直接写出点B和点E的坐标． (2)点P为y轴上一动点，作直线交直线于点Q，是否存在点P使得为等腰三角形？如果存在，画出满足条件的，并直接写出的度数；如果不存在，请说明理由． (3)如图2，在直线以及y轴上是否分别存在点M，N，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)见解析；或； (3)存在，的周长最小值为8． 【分析】（1）利用矩形的性质和得到，，，进而可得，即可得点B的坐标再由折叠的性质，，进而可得，即可得点E的坐标； （2）要使得为等腰三角形，需分三种情况讨论求解：若；若；若，画出图形，进一步推导求解即可． （3）存在，过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于，由，，，可得， ，进而可得，，即可得到的周长最小值为，即可得解， 【详解】（1）解：四边形是长方形，点， ，，， ， 又， ， 长方形沿折叠， ，， ， ， ； （2）解：存在点使得为等腰三角形， ， ， 若，如图3所示， ， ， ； 若时，如图4所示， ， ， ； 若，如图5所示， ， ，且， 不存在这样的点， 综上所述，满足条件的点存在，并且或； （3）解：存在，如图2所示，过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于， ，，， ， ， 点、点关于轴对称，点、点关于对称， ，， 点，点， ， 的周长， 的周长最小值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、折叠性质、矩形的性质、含直角三角形性质、对称性求最值、等腰三角形的性质、勾股定理、两点坐标距离公式等知识，属于综合题型，解答的关键是认真分析图形，寻找相关联的信息，借助添加辅助线或数学模型确定解题思路，进而推导、计算． 题型三、坐标系中的旋转 9．如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在x轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，作，根据≌可得，即可求得点坐标． 【详解】解：连接、，作，由题意得：， 即， 在中，， 线段绕着点O旋转， ， ， ， ， 即， ， 在中，， ， ， 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，点B与点D分别在x轴、y轴上，正方形与正方形的边长分别为6和4，正方形绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时， ，当C，G，F三点共线时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】根据已知可知，根据距离公式求解即可；求的长分两种情况：画出图形求解即可． 【详解】解：正方形与正方形的边长分别为6和4， 如图： 则， 当正方形绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时， ∴平分， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴， 整理得：； 当C，G，F三点共线时，分两种情况： ①如图： 作于M，的延长线于K，连接， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， 设， 则， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得：或（舍去） ∴， ∵为正方形对角线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图：作于M，的延长线于K，连接， ∴四边形为矩形， 同理可证明四边形为正方形， 设，则， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，，， 解得：或（舍去）， ∴，即， ∵为正方形对角线， ∴， 同理再证明， ∴， 综上所述：或， 故答案为：；或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线构造全等三角形，并学会分类讨论的思想． 11．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线构造出直角三角形． 过点C作轴于点E，由题意可得，，再利用含度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：过点C作轴于点E， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 题型四、中点公式 12．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 13．如图，，将线段绕点 B 顺时针旋转得到线段，M 为的中点，当最小时， ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，两点距离计算公式，旋转的性质，过点A和C分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，可证明得到，则，根据中点坐标公式得到，则由两点距离计算公式得到，根据偶次方的非负性可得当时，最小． 【详解】解：如图所示，过点A和C分别作直线的垂线，垂足分别为E、F， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M 为的中点， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当，即时取得等号， ∴当最小时，， 故答案为：2． 14．材料阅读 小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为． (1)知识运用： 如图，矩形的对角线相交于点分别在轴和轴上，为坐标原点，则的长为___________，点的坐标为___________． (2)能力拓展： 在直角坐标系中，有三点，另有一点与点构成平行四边形的顶点，求点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)5； (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查坐标系内中点坐标公式，勾股定理，平行四边形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由矩形的性质得出点M为的中点，利用中点公式可得点M的坐标； （2）由平行四边形的性质可知，两条对角线中点重合，分，，为对角线三种情况，根据中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：为坐标原点，， 的长为， 矩形的对角线相交于点， 点M为的中点， 点M的坐标为，即， 故答案为：5，； （2）解：设点D的坐标为， 如图，分三种情况： 当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； 当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； ③当为对角线时，与的中点重合， ， 解得， 点D的坐标为； 综上可知，点的坐标为或或． 题型五、坐标系中的动点问题（不含函数） 15．如图所示，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，点分别在轴的负半轴与正半轴上，，，．请解答下列问题： (1)求点，点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作轴，交直线于点，设线段的长为，点的运动时间为秒，求与的关系式（用表示，不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，动点从点向终点运动（与点同时出发），速度为3个单位长度/秒，当是直角三角形时，请直接写出的值和的面积． 【答案】(1)； (2) (3)当是直角三角形时， 的值为或，的面积为或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，勾股定理，含角的直角三角形三边之间关系． （1）根据二次根式有意义的条件可得，从而得到的长度，再结合含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，得出各条边的长度，最后根据勾股定理即可得出结论； （2）根据平行线的性质可知，再结合含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半即可得出关系式； （3）分两种情况，结合含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半即可得． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∴，； 在中，根据勾股定理可得：， ∴； （2）解：如图： ∵点P的速度每秒1个单位长度，运动时间为t秒， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）得：， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 此时， ∴， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， 此时， ∴， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，的值为或，的面积为或． 16．在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【答案】（1）①4；②或(；（2）；（3） 【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． （1）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （3）由平移的性质得到，由题意得，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可． 【详解】解：①∵点，点的横坐标为2，轴， ∴的长为， 故答案为：4； ②∵轴，点， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； （2）∵正方形的边长为4， ∴， ∵的坐标是轴， ∴，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为； ∵正方形， ∴， ∵轴， ∴顶点B的坐标为，即； 故答案为：，； （3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴． 17．如图，平面直角坐标系中有三点，，，其中满足．平移线段得到线段，点的对应点为点，连接． (1)填空：____________，____________； (2)轴上是否存在点，使得三角形的面积是平行四边形的面积的2倍，若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，3 (2)存在，或 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平移的性质，非负性，三角形的面积和平行四边形的面积． （1）利用非负数的性质建立方程求解即可得出结论； （2）先求出平行四边形的面积，进而求出的面积，再利用的面积求出，再用的面积求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵满足， ∴，， ∴，， 故答案为：，3； （2）解：存在，理由： 由（1）知，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接交于E，连接， ， 由平移得，， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积是平行四边形的面积的2倍， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴或， ∴或． 18．如图1，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，点P是射线上的动点，点Q是x轴上的动点，，分别以和为边作平行四边形，设Q点的坐标是． (1)①求矩形的对角线的长； ②若以为对角线作正方形，其中点M在第一象限，试求M点坐标； (2)如图2，当点Q在线段上，且点E恰好在y轴上时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，是否存在点Q，使是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或或 【分析】（1）①结合题意，根据矩形和含角直角三角形的性质计算，即可得到答案；②正方形中，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，取中点为，连接，证明，进而推出四边形是正方形，求出，设，则，在中，，求出的值，结合图形即可解答； （2）根据题意，推导得，根据平行四边形和含角直角三角形的性质，推导得，再通过列一元一次方程并求解，即可得到答案； （3）结合题意，分点P在线段上和点P在的延长线上两种情况分析；结合（1）的结论，根据菱形的性质，通过列绝对值方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ②如图，正方形中，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，取中点为，连接， 则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴，即，, 解得：或， 当时，则，， 此时，； 当时，则（舍去）， 综上，M点坐标为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵以和为边作平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在线段上时，，分点Q在点A左侧和右侧两种情况分析； 当点Q在点A左侧时，分和两种情况， 当时，如图， ∴ ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当点Q在点A右侧时，即，如图， ∴， 此时，点P在延长线上，不符合题意； 当点P在的延长线上时，分点Q在点A左侧和右侧两种情况分析； 当点Q在点A左侧时，分和两种情况， 当时，如图， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 当点Q在点A右侧时，则，如图， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，和矛盾，故舍去； ∴存在点Q，使是菱形，t的值为或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形、直角三角形、平行线、菱形、勾股定理等知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、含角直角三角形的性质，从而完成求解． 题型六、点坐标规律探索 19．在一单位为1的方格纸上，有一列点（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点则 的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型中点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“（n为非零自然数）”是解题的关键． 观察图形结合点的坐标，即可得出变化规律“（n为非零自然数）”，依此规律即可得出点的坐标． 【详解】解：观察发现： ∴（n为非零自然数）， ∵， 解得： ∴ ， ∴， 故选：C． 20．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2025次变换后点的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键； 观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，解答即可． 【详解】解：点第一次关于轴对称后在第二象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第四象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为， 故选：C 21．已知在点，，，…，中，点与点关于x轴对称，点与点关于y轴对称，点与点关于x轴对称，点与点关于y轴对称……以此类推，如果点在第二象限，那么点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟练掌握点关于坐标轴对称的变化规律． 通过对称操作规律，发现点序列每个点重复一次，根据除以的余数确定对应象限即可． 【详解】解：点在第二象限，那么与关于轴对称，在第三象限； 与关于轴对称，在第四象限； 与关于轴对称，在第一象限； 与关于轴对称，在第二象限，与相同，周期为， ，故与象限相同，在第一象限． 故答案为：一． 22．如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解决该题型题目时，根据题意列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 根据中心对称的性质找出部分的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，当为奇数时，；当为偶数时，依此规律即可得出结论． 【详解】解：，，是等腰直角三角形，且， ． 与关于点成中心对称， ． 同理可得，，，…． 设为自然数．当为奇数时，；当为偶数时． 故点的坐标为． 故答案为：． 23．如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的规律，根据坐标点的变化找到变化规律是解答本题的关键． 根据正方形的性质，找到点的坐标，根据坐标变化规律，，，（为自然数），算出的坐标即可． 【详解】解：观察发现：，，，， ，，，，，， ，，，（为自然数）， ， ∴． 故答案为：． 1．如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键． 根据点关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变相反数；点关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变相反数，设点P坐标，根据对称点即可求值． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P关于x轴的对称点为， ∴； ∵关于y轴的对称点为， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：C． 2．已知关于轴的对称点为，则的值是（　　） A．5 B． C． D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值． 【详解】解：点关于轴的对称点为， ，， ， 故选：B． 3．如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地求出点C的坐标是解题的关键．由平行四边形的性质可得点，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于E，过点作轴于F， 设点， ∵的顶点，点， ∴点B先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点O， ∴点A先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点C， ∴， ∴点， ∴， ∵将绕原点O顺时针旋转， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故选：B． 4．将点向右平移3个单位长度得到点，点落在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点坐标的平移，熟练掌握点坐标的平移规律是解题关键．先根据点坐标的平移规律可得，再根据轴上的点的横坐标等于0可得的值，据此解答即可得． 【详解】解：∵将点向右平移3个单位长度得到点， ∴，即， ∵点落在轴上， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．如图，在直角坐标系中的顶点坐标分别为，，，那么在这个坐标系中以，，，为顶点画一个平行四边形，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想． 根据平行四边形的性质和平移的性质，分三种情形即可解决问题． 【详解】解：的顶点坐标分别为，，， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得， 当为的对角线时，平移到，根据平移规律可得． 故答案为：或或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题2.1 平面直角坐标系6类综合题型 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一、坐标系中的平移 4 题型二、坐标系中的对称 9 题型三、坐标系中的旋转 16 题型四、中点公式 21 题型五、坐标系中的动点问题（不含函数） 26 题型六、点坐标规律探索 36 知识点1：平面直角坐标系 1.平面直角坐标系相关概念 (1) 平面直角坐标系：平面上两条互相垂直且有公共原点的数轴，确定了一个直角坐标系.记作平面直角坐标系 ，如图所示. (2) 两轴：这两条数轴称为坐标轴，通常分别记为 轴与 轴.习惯上，分别在水平和竖直方向画出这两条坐标轴.水平方向的坐标轴称为横轴，记作 轴，正方向向右；竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作 轴，正方向向上. (3) 原点：两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为 . 原点 y轴 x轴 原点 纵轴 横轴 x轴正方向 y轴正方向 2. 给定平面直角坐标系，平面上的点与有序数对是一一对应的 说明：一般地，对于平面直角坐标系中任意给定的一点 ，如图，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 在 轴上所对应的数为 ；过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 在 轴上所对应的数为 ，有序数对 就表示点 .这样的有序数对是由点 唯一确定的.反过来，任意给定有序数对 ，可在 轴上描出数 所对应的点 ，在 轴上描出数 所对应的点 ；过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，这两条垂线的交点 就表示有序数对 ，这样的点也是唯一确定的. 于是，给定平面直角坐标系，平面上的每一个点都有唯一的有序数对与之对应；反过来，对于任意给定的有序数对，平面上都有唯一的点与之对应. P M N 3. 建立平面直角坐标系的基本步骤 (1) 选原点：根据条件，选择合适的点作为原点. (2) 作两轴：过原点在互相垂直的方向上分别作出 轴和 轴. (3) 定坐标系：确定 轴和 轴的正方向和单位长度，并分别标上 . [特别提醒]如无特别说明，两条坐标轴的单位长度是一致的. 知识点2：用坐标表示平移 1.点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，将点进行平移，点的位置发生变化，坐标也发生变化（其中 ）： 的平移方式 平移后点的坐标 规律 向右平移 个单位长度 左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变 向左平移 个单位长度 向上平移 个单位长度 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减 向下平移 个单位长度 知识巧记：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.（或者：上加下减，左减右加） 2.图形在坐标系中的平移 在给定的平面直角坐标系中： 如果把一个图形向右（或向左）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）； 如果把一个图形向上（或向下）平移 个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）. 提示 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小. 说明： (1) 图形的平移实际是图形上每个点的平移，即图形上每个点都沿着相同的方向平移了相同的距离，因此每对对应点坐标的变化是相同的. (2) 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 知识点3：平面直角坐标系中的轴对称 1.点关于 轴或 轴对称 (1) 点关于 轴或 轴对称的点的坐标 一般地，在平面直角坐标系中： 点 关于 轴对称的点的坐标为 ； 点 关于 轴对称的点的坐标为 . (2) 已知点关于 轴或 轴对称的点的坐标的规律 关于 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标相反； 关于 轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标相反. 巧记：关于（或轴）对称，横（或）坐标不变，另一坐标相反. (3) 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称； 若点 ，点 ，则点 关于 轴对称.（谁相同就关于谁对称） 2. 图形关于 轴或 轴对称 在给定的平面直角坐标系中： 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于 轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；如果点 在一个关于 轴对称的图形上，那么以 为坐标的点也在这个图形上. 题型一、坐标系中的平移 1．如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出点的坐标，并在图中画出点及； (2)将各顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于________轴对称； (3)若，且，直接写出点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，从点出发沿轴正方向移动五个单位长度得到点． (1)直接写出点的坐标__________； (2)请判断和位置关系，说明理由； (3)轴上是否存在一点，使的面积是的面积的一半，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 题型二、坐标系中的对称 5．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为 ． 7．如图中，轴，，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)分别求C、D两点坐标； (2)在x轴上存在点F，使得最短，求出点F的坐标； (3)在（2）的基础上，将线段向左平移m个单位长度，若与有唯一交点，请直接写出m的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点B落在点D处．边交x轴于点E， (1)直接写出点B和点E的坐标． (2)点P为y轴上一动点，作直线交直线于点Q，是否存在点P使得为等腰三角形？如果存在，画出满足条件的，并直接写出的度数；如果不存在，请说明理由． (3)如图2，在直线以及y轴上是否分别存在点M，N，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 题型三、坐标系中的旋转 9．如图，点A坐标为，点B坐标为，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在x轴上，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点B与点D分别在x轴、y轴上，正方形与正方形的边长分别为6和4，正方形绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时， ，当C，G，F三点共线时，的长为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 题型四、中点公式 12．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 13．如图，，将线段绕点 B 顺时针旋转得到线段，M 为的中点，当最小时， ． 14．材料阅读 小明偶然发现线段的端点的坐标为，端点的坐标为，则线段中点的坐标为，通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段中点坐标为． (1)知识运用： 如图，矩形的对角线相交于点分别在轴和轴上，为坐标原点，则的长为___________，点的坐标为___________． (2)能力拓展： 在直角坐标系中，有三点，另有一点与点构成平行四边形的顶点，求点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 题型五、坐标系中的动点问题（不含函数） 15．如图所示，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，点分别在轴的负半轴与正半轴上，，，．请解答下列问题： (1)求点，点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作轴，交直线于点，设线段的长为，点的运动时间为秒，求与的关系式（用表示，不用写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，动点从点向终点运动（与点同时出发），速度为3个单位长度/秒，当是直角三角形时，请直接写出的值和的面积． 16．在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 17．如图，平面直角坐标系中有三点，，，其中满足．平移线段得到线段，点的对应点为点，连接． (1)填空：____________，____________； (2)轴上是否存在点，使得三角形的面积是平行四边形的面积的2倍，若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图1，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，，点P是射线上的动点，点Q是x轴上的动点，，分别以和为边作平行四边形，设Q点的坐标是． (1)①求矩形的对角线的长； ②若以为对角线作正方形，其中点M在第一象限，试求M点坐标； (2)如图2，当点Q在线段上，且点E恰好在y轴上时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，是否存在点Q，使是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 题型六、点坐标规律探索 19．在一单位为1的方格纸上，有一列点（其中n为正整数）均为网格上的格点，按如图所示规律排列，点则 的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2025次变换后点的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 21．已知在点，，，…，中，点与点关于x轴对称，点与点关于y轴对称，点与点关于x轴对称，点与点关于y轴对称……以此类推，如果点在第二象限，那么点在第 象限． 22．如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标为 ． 1．如果点P关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知关于轴的对称点为，则的值是（　　） A．5 B． C． D．1 3．如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．将点向右平移3个单位长度得到点，点落在轴上，则点的坐标为 ． 5．如图，在直角坐标系中的顶点坐标分别为，，，那么在这个坐标系中以，，，为顶点画一个平行四边形，点的坐标为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $