拓展专题1.2 平行四边形中7类综合题型（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

拓展专题1.2 平行四边形中7类综合题型 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一．平行四边形中角平分线问题 1 题型二．平行四边形中的线段平方关系 3 题型三．平行四边形中的面积问题 6 题型四．平行四边形中的分类讨论 10 题型五．平行四边形中的折叠问题 19 题型六．平行四边形中的构造问题 23 题型七．平行四边形中的动点问题 27 1.定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 由上述定义，可知平行四边形是梯形的一种特殊情形. 在梯形中，把一组平行的边称为梯形的底，另外的两边称为梯形的腰，如图23-2-2(1)所示.（1） （2） 图23-2-2 2.平行四边形的符号 ＂＂表示，如图23－2－2（2）所示的平行四边形，记作＂＂． 表示平行四边形一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点. 3.平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 和和和和，共有四对 对边 和和，共有两对 角 邻角 和和，和和，共有四对 对角 和和，共有两对 对角线 和，共有两条 平行四边形除了具有两组对边分别平行的性质外，还有其他性质吗? 根据平行四边形的定义，可以推出平行四边形的一个性质定理: 定理1 平行四边形的对边相等. 定理2 平行四边形的对角相等. 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形是中心对称图形,对称中心为平行四边形两条对角线的交点. 类似地，上任意给定一点到直线的垂线段的长度都相等．这个长度叫作这两条平行线之间的距离． 四边形具有不稳定性. 定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 判定方法 符号语言 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义) ∴ 四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 且）， ∴ 四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 题型一．平行四边形中角平分线问题 1．如图，在▱ABCD中，∠A＝108°，∠ABC的角平分线交AD于点E，连接CE．若BE＝AD，则∠ECD的度数为（　　） A．18° B．30° C．36° D．42° 2．在▱ABCD中，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，且相邻两点间的距离相等，则的值为 　 　 ． 题型二．平行四边形中的线段平方关系 1．【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍． 【推理论证】如图1，四边形ABCD是平行四边形，求证：AC2+BD2＝2（AB2+BC2）． 小应的证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，由四边形ABCD是平行四边形，容易证得△ABE≌△DCF（AAS），得到AE＝DF，BE＝CF． 设BE＝CF＝a，CE＝b，AE＝DF＝h． 在Rt△ACE和Rt△BDF中，AC2+BD2＝h2+b2+（2a+b）2+h2＝4a2+4ab+2b2+2h2． 在Rt△ABE中，AB2＝a2+h2， ∴AB2+BC2＝… （1）请继续完成小应的证明； 【初步应用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝4，AD＝6，BD＝8，求OA的长； 【拓展提升】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E是斜边AB的三等分点，CD＝5，，求AB的长． 题型三．平行四边形中的面积问题 1．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 2．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．48 B．36 C．40 D．24 3．嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知▱ABCD，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作▱CEFG，请用一条直线平分▱ABCD与▱CEFG组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出▱ABCD，▱CEFG，▱DGFH，▱ABEH对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（　　） A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 4．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F．若图中阴影部分的面积为6，则矩形ABCD的面积为 　 　 ． 5．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点O在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 题型四．平行四边形中的分类讨论 1．在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为 　 　 ． 2．平行四边形ABCD的周长为16cm，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则AB＝ 　 ． 3．平行四边形ABCD的周长为32cm，∠ABC的平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则边AB的长度是 　 　 cm． 4．在▱ABCD中，AD＝11，∠A、∠D的角平分线分别交BC于E、F，若EF＝3，则AB＝　 　 ． 5．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝105°，对角线AC、BD交于点O，∠DAC＝30°，AC＝4，点P从B点出发，沿着边BC、CD运动到点D停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则CP的长是　 　 ． 6．已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数． （2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，当运动时间为 　 　 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． （3）如图3，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF交BF于E点，连接AE，当AE⊥CE，DF＝8时，求AC的长． （4）如图4，在（1）的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB＝4cm，求△APF的面积． 题型五．平行四边形中的折叠问题 1．如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　　） A．9 B．12 C．9 D．18 2．如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处．若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则AE的长为 　　　　． 3．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片ABCD中，E为CD边上任意一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′． 分析探究： （1）如图1，当∠ABC＝60°，当点D′恰好落在AB边上时，三角形AD′E的形状为 　 　 ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为CD边的三等分点时，连接FD′并延长，交AB边于点G．试判断线段AG与BG的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当∠ABC＝60°，∠DAE＝45°时，连接DD′并延长，交BC边于点H．若▱ABCD的面积为24，AD＝4，请直接写出线段D′H的长． 题型六．平行四边形中的构造问题 1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，过点O作任意一条直线分别交AB，CD于点G，H，连接GF，EH．求证：GF∥EH． 2．如图，△ACE，△ABD，△BCF均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：CD与EF互相平分． 3．如图，△ABC中，E、F为AB上两点，AE＝BF，ED∥AC，FG∥AC分别交BC于点D，G．求证：ED+FG＝AC． 4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，若AD＝BC＝CE＝DE，则∠BAC＝　 　 ． 题型七．平行四边形中的动点问题 1．如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB⊥AC，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，AE＝5cm，BE＝13cm，∠EBD＝∠DBC，点F是BC的中点，若点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD向点E运动，点N同时以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向点F运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运动，当点P运动 　 　 s时，以点P，F，N，E为顶点的四边形是平行四边形． 3．问题：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝7，AD＝4，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长． （1）答案：EF＝　 　 ． （2）探究：把“问题”中的条件“AB＝7”去掉，其余条件不变． ①当点E与点F重合时，求AB的长； ②当点E与点C重合时，求EF的长． （3）把“问题”中的条件“AB＝7，AD＝4”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值． 1．在▱ABCD中，AD＝5cm，∠BAD的平分线交边CD于点E，∠ABC的平分线交边CD于点F，当C、D、E、F相邻两点间的距离相等时，求线段AB的长 　 　 cm． 2．在▱ABCD中，∠DAB、∠ABC的平分线分别与边CD交于点E、F，若点C、D、E、F相邻两点间的距离相等，则的值为 　 　 ． 声明：试题解析著作权属菁3．在▱ABCD中，AD＝BD，BE是边AD上的高，∠EBD＝40°，则∠A的度数为 　 　 ． 4．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE为边BC上的高，，CE＝2，则平行四边形ABCD的周长为 　 　 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题1.2 平行四边形中7类综合题型 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一．平行四边形中角平分线问题 1 题型二．平行四边形中的线段平方关系 3 题型三．平行四边形中的面积问题 6 题型四．平行四边形中的分类讨论 10 题型五．平行四边形中的折叠问题 19 题型六．平行四边形中的构造问题 23 题型七．平行四边形中的动点问题 27 1.定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 由上述定义，可知平行四边形是梯形的一种特殊情形. 在梯形中，把一组平行的边称为梯形的底，另外的两边称为梯形的腰，如图23-2-2(1)所示.（1） （2） 图23-2-2 2.平行四边形的符号 ＂＂表示，如图23－2－2（2）所示的平行四边形，记作＂＂． 表示平行四边形一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点. 3.平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 和和和和，共有四对 对边 和和，共有两对 角 邻角 和和，和和，共有四对 对角 和和，共有两对 对角线 和，共有两条 平行四边形除了具有两组对边分别平行的性质外，还有其他性质吗? 根据平行四边形的定义，可以推出平行四边形的一个性质定理: 定理1 平行四边形的对边相等. 定理2 平行四边形的对角相等. 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形是中心对称图形,对称中心为平行四边形两条对角线的交点. 类似地，上任意给定一点到直线的垂线段的长度都相等．这个长度叫作这两条平行线之间的距离． 四边形具有不稳定性. 定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 判定方法 符号语言 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义) ∴ 四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 且）， ∴ 四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 题型一．平行四边形中角平分线问题 1．如图，在▱ABCD中，∠A＝108°，∠ABC的角平分线交AD于点E，连接CE．若BE＝AD，则∠ECD的度数为（　　） A．18° B．30° C．36° D．42° 【答案】C 【分析】由平行四边形的对边相互平行和平行线的性质得到∠ABC＝72°；然后由角平分线的性质求得∠EBC∠ABC＝36°；最后根据等腰三角形的性质解答． 【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠BCD＝∠A． ∴∠A+∠ABC＝180°． ∵∠A＝108°， ∴∠ABC＝72°． ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠EBC∠ABC＝36°． ∵BE＝AD＝BC， ∴∠ECB＝∠BEC＝72°． ∴∠ECD＝∠BCD﹣∠ECB＝∠A﹣∠ECB＝108°﹣72°＝36°． 故选：C． 【点评】考查了平行四边形的性质，此题利用了平行四边形的对边相互平行和平行四边形的对角相等的性质． 2．在▱ABCD中，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，且相邻两点间的距离相等，则的值为 　 　 ． 【答案】或或2． 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到∠DEA＝∠DAE，根据等腰三角形的性质得到DE＝AD，同理BC＝CF，分三种情况，结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，BC＝AD，AB∥CD， ∴∠DEA＝∠BAE， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴DE＝AD， 同理BC＝CF，分三种情况： ①如图3所示： 同（1）得：AD＝DE， ∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等， ∴AD＝DE＝EF＝CF， ∴的值为； ②如图2所示： 同（1）得：AD＝DE＝CF， ∵DF＝FE＝CE， ∴的值为； ③如图3所示： 同（1）得：AD＝DE＝CF， ∵DF＝DC＝CE， ∴的值为2； 综上所述，的值为或或2， 故答案为：或或2． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 题型二．平行四边形中的线段平方关系 1．【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍． 【推理论证】如图1，四边形ABCD是平行四边形，求证：AC2+BD2＝2（AB2+BC2）． 小应的证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，由四边形ABCD是平行四边形，容易证得△ABE≌△DCF（AAS），得到AE＝DF，BE＝CF． 设BE＝CF＝a，CE＝b，AE＝DF＝h． 在Rt△ACE和Rt△BDF中，AC2+BD2＝h2+b2+（2a+b）2+h2＝4a2+4ab+2b2+2h2． 在Rt△ABE中，AB2＝a2+h2， ∴AB2+BC2＝… （1）请继续完成小应的证明； 【初步应用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝4，AD＝6，BD＝8，求OA的长； 【拓展提升】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E是斜边AB的三等分点，CD＝5，，求AB的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先证明出△ABE≌△DCF（AAS），得到DF2＝AE2＝a2﹣c2，CF＝BE＝c，然后利用勾股定理求出BD2＝BF2+DF2＝（b+c）2+a2﹣c2＝а2+b2+2bc，进而求解即可； （2）根据（1）的结论，代入数据，即可求解； （3）以BD为对角线作平行四边形BCDF，连接EF，以AE为对角线作平行四边形ACEG，连接DG；设AB＝3x，则BD＝2x，根据（1）的结论得出CB2＝15+2x2，AC2＝2x2+30，根据勾股定理可得AC2+BC2＝AB2＝9x2，解方程，即可求解． 【解答】（1）证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F， ∴∠AEB＝∠F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABC＝∠DCF， ∴△ABE≌△DCF（AAS）， 得到AE＝DF，BE＝CF， 设BE＝CF＝a，CE＝b，AE＝DF＝h， 在Rt△ACE和Rt△BDF中， AC2+BD2＝a2+b2+（2а+b）2+h2＝4а2+4аb+2b2+2h2， 在Rt△ABE中，AB2＝a2+h2， ∴AB2+BC2＝а2+h2+（а+b）2＝2а2+2аb+b2+h2， ∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）； （2）解：∵AB＝4，AD＝6，BD＝8，AC2+BD2＝2（ AB2+BC2）， ∴AC2＝2（ AB2+BC2）﹣BD2＝2（42+62）﹣82＝40， ∴AC＝2， ∴OA＝OCAC， ∴OA的长； （3）解：如图所示，以BD为对角线作平行四边形BCDF，连接EF，以AE为对角线作平行四边形ACEG，连接DG； 则CF＝2CE＝4， ∵D，E是斜边AB的三等分点， BDAB， 设AB＝3x，则BD＝2x， 由（1）可得CF2+DB2＝2（ CD2+CB2）， ∴（4）2+（2x）2＝2（52+CB2）， 即CB2＝15+2x2， 同理可得AE2+CG2＝2（AC2+CE2）， ∴102+（2x）2＝2（（2）2+AC2）， 即AC2＝2x2+30， 又∵AC2+BC2＝AB2＝9x2， ∴102+（2x）2＝2（（2）2+AC2）， 即AC2＝2x2+30， 又∵AC2+BC2＝AB2＝9x2， ∴15+2x2+2x2+30＝9x2， 解得：x＝3，x＝﹣3（舍去）， ∴AB＝3x＝9， ∴AB的长为9． 【点评】此题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理知识． 题型三．平行四边形中的面积问题 1．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】D 【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论． 【解答】解：设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．48 B．36 C．40 D．24 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，由▱ABCD的周长为40，求得CD+BC＝20，而AF⊥CD，AE⊥BC，AF＝6，AE＝4，则S▱ABCD6CD＝4BC，所以CDBC，则BC+BC＝20，求得BC＝12，S▱ABCD＝BC•AE＝48，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴2CD+2BC＝40， ∴CD+BC＝20， ∵AF⊥CD，AE⊥BC， ∴S▱ABCD＝CD•AF＝BC•AE， ∵AF＝6，AE＝4， ∴6CD＝4BC， 即CDBC， ∴BC+BC＝20， ∴解得BC＝12， ∴S▱ABCD＝BC•AE＝12×4＝48， 故选：A． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行四边形的面积公式等知识，推导出CD+BC＝20及CDBC是解题的关键． 3．嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知▱ABCD，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作▱CEFG，请用一条直线平分▱ABCD与▱CEFG组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出▱ABCD，▱CEFG，▱DGFH，▱ABEH对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（　　） A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【解答】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线PQ既平分▱ABCD的面积，也平分▱CEFG的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线PM平分▱ABCD的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线NM既平分▱ABEH的面积，也平分▱DGFH，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 4．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F．若图中阴影部分的面积为6，则矩形ABCD的面积为 　 　 ． 【答案】24． 【分析】根据题意利用矩形性质证明△DOF≌△BOE，继而得到△DOC面积为6，再根据矩形性质即可得到本题答案． 【解答】解：根据矩形ABCD可知：DO＝BO，DC∥AB， ∴∠CDO＝∠ABO， 在△DOF和△BOE中， ， ∴△DOF≌△BOE（ASA）， ∵阴影部分的面积为6， ∴△DOC面积为6， ∵过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F，矩形ABCD，O为AC中点， ∴S△DOCS△ACD， ∴S△ACD＝2S△DOC＝12， ∴矩形ABCD的面积：12×2＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查矩形性质，全等三角形判定及性质等，熟练掌握以上知识点是关键． 5．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点O在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】先证明图中的平行四边形，再根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对平行四边形的面积相等． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC． ∵EF∥BC，GH∥AB， ∴四边形BEOH，四边形GOFD，四边形AEOG，四边形HCFO都是平行四边形，四边形ABHG，四边形BCFE，四边形AEFD，四边形HCDQ都是平行四边形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ABD＝S△CBD． ∵BO是平行四边形BEOH的对角线， ∴S△BEO＝S△BHO， ∵OD是平行四边形GOFD的对角线， ∴S△QOD＝S△FOD． ∴S△ABD﹣S△BEO﹣S△GOD＝S△ACD﹣S△BHO﹣S△OFD，即S平行四边形AEOG＝S平行四边形HCFO， ∴S平行四边形ABHG＝S平行四边形BCFE， 同理S平行四边形AEFD＝S平行四边形HCDQ． 即：S平行四边形ABHG＝S平行四边形BCFE，S平行四边形AGOE＝S平行四边形HCFO，S平行四边形AEFD＝S平行四边形HCDQ． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行四边形的判定与性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个面积相等的三角形． 题型四．平行四边形中的分类讨论 1．在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为 　 　 ． 【答案】26或28． 【分析】设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝5，EC＝4，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9；二是EB＝4，EC＝5时，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，分别求出平行四边形ABCD的周长即可． 【解答】解：设∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠BEA＝∠DAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴AB＝EB， 当EB＝5，EC＝4时，如图1， 则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9， ∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28； 当EB＝4，EC＝5时，如图2， 则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9， ∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26， ∴平行四边形ABCD的周长为26或28， 故答案为：26或28． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 2．平行四边形ABCD的周长为16cm，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则AB＝ 　 ． 【答案】6cm或3cm． 【分析】证△ABE是等腰三角形，分两种情况，分别求得答案即可． 【解答】解：分两种情况： ①角平分线AD在▱ABCD内部，如图1， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC， ∴AB+AD16＝8（cm），∠AEB＝∠CBE， ∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵AE：ED＝3：2， ∴AB：AD＝3：5， ∴AB的长为：83（cm）． ②角平分线AD在▱ABCD外部，如图2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC， ∴AB+AD16＝8（cm），∠AEB＝∠CBE， ∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∵AE：ED＝3：2， ∴AB：AD＝3：1， ∴AB的长为：86（cm）； 故答案为：6cm或3cm． 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意分类讨论． 3．平行四边形ABCD的周长为32cm，∠ABC的平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则边AB的长度是 　 　 cm． 【答案】6或12． 【分析】分两种情形分别画出图形求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且它的周长为32cm， ∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB， ∴2AB+2AD＝32，∠AEB＝∠CBE， ∴AB+AD＝16cm， ∵∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AE＝AB， ∵AE：ED＝3：2， ∴EDAEAB， ∴AB+ABAB＝16， ∴AB＝6cm， 当点E在AD的延长线上时，设AE＝3xcm，DE＝2xcm，则AD＝xcm，AB＝AE＝3xcm， 则有3x+x＝16， 解得x＝4， AB＝3x＝12（cm） 故答案为：6或12． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，推导出AE＝AB是解题的关键． 4．在▱ABCD中，AD＝11，∠A、∠D的角平分线分别交BC于E、F，若EF＝3，则AB＝　 　 ． 【答案】4或7． 【分析】分两种情况讨论，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到AB＝AE，DF＝CD，依据AB＝CD，即可得到AE＝DF，进而得到AB的长． 【解答】解：如图1， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵AD∥BC， ∴∠BEA＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， 同理可得CF＝CD， 又∵AB＝CD， ∴BE＝CF， ∴BF＝CE（BC﹣EF）（11﹣3）＝4， ∴AB＝BE＝4+3＝7； 如图2，∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵AD∥BC， ∴∠BEA＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， 同理可得CF＝CD， 又∵AB＝CD， ∴BE＝CF， ∴BF＝CE（BC﹣EF）（11﹣3）＝4， ∴AB＝BE＝4． 故答案为：4或7． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是掌握平行四边形的对边相等． 5．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝105°，对角线AC、BD交于点O，∠DAC＝30°，AC＝4，点P从B点出发，沿着边BC、CD运动到点D停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则CP的长是　 　 ． 【答案】或或． 【分析】由平行四边形的性质得OA＝OCAC＝2，AB∥CD，AD∥BC，求出∠BCO＝∠DAC＝30°，∠OCD＝∠BAC＝45°，分三种情况：①当点P在BC上，∠POC＝90°时；②当点P在BC上，∠OPC＝90°时；③当点P在CD上，∠OPC＝90°时；由直角三角形的性质分别求出CP即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC＝2，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠OCD＝∠BAC，∠BCO＝∠DAC＝30°，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°， ∴∠OCD＝∠BAC＝75°﹣30°＝45°， 分三种情况： ①当点P在BC上，∠POC＝90°时，如图1所示： ∵∠BCO＝30°， ∴OPOC，CP＝2OP； ②当点P在BC上，∠OPC＝90°时，如图2所示： ∵∠BCO＝30°， ∴OPOC＝1，CPOP； ③当点P在CD上，∠OPC＝90°时，如图3所示： ∵∠OCD＝45°， ∴△OPC是等腰直角三角形， ∴CPOC； 综上所述，若△OPC是直角三角形，则CP的长是或或， 故答案为：或或． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 6．已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数． （2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，当运动时间为 　 　 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． （3）如图3，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF交BF于E点，连接AE，当AE⊥CE，DF＝8时，求AC的长． （4）如图4，在（1）的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB＝4cm，求△APF的面积． 【答案】（1）∠B＝60°； （2）当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形； （3）AC＝8； （4）S△APF＝4cm2． 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到∠DPC＝∠DCP，得到DP＝DC，证明△PDC是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分0＜t≤3、3＜t≤6、6＜t≤9、9＜t≤12四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长AE交CF于点H，证明△AEC≌△HEC（ASA），可得AE＝EH，AC＝CH，再证明△ABE≌△HEF（AAS），得AB＝FH，然后利用线段的和差即可解决问题； （4）作CH⊥AD，求出S△PCD，根据三角形面积公式得到S△APF＝S△PCD，得到答案． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DPC＝∠PCB， ∵CP平分∠BCD， ∴∠PCD＝∠PCB， ∴∠DPC＝∠DCP， ∴DP＝DC， ∵CD＝CP， ∴PC＝CD＝PD， ∴△PDC是等边三角形， ∴∠D＝∠B＝60°； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴PD∥BC． 要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ， 设运动时间为t秒，根据题意可知：AP＝tcm，CQ＝2tcm，AD＝6cm， ①当0＜t≤3时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（6﹣2t）cm， ∴6﹣0.5t＝6﹣2t， 解得t＝0，不合题意，舍去； ②当3＜t≤6时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（2t﹣6）cm， ∴6﹣0.5t＝2t﹣6， 解得，t＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（18﹣2t）cm， ∴6﹣0.5t＝18﹣2t， 解得，t＝8； ④当9＜t≤12时，PD＝（6﹣0.5t）cm，BQ＝（2t﹣18）cm， ∴6﹣0.5t＝2t﹣18， 解得，t＝9.6； 综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：4.8秒或8秒或9.6秒； （3）如图3，延长AE交CF于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵CE平分∠ACF， ∴∠ACE＝∠HCE， ∵AE⊥CE， ∴∠AEC＝∠HEC＝90°， ∵CE＝CE， ∴△AEC≌△HEC（ASA）， ∴AE＝EH，AC＝CH， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠HFE， ∵∠AEB＝∠HEF， ∴△ABE≌△HEF（AAS）， ∴AB＝FH， ∵AB＝CD， ∴FH＝CD， ∵DF＝DH+FH＝DH+CD＝CH＝8， ∴AC＝CH＝8； ∴AC的长为8； （4）如图2，作CH⊥AD于H， ∵△PDC是等边三角形， ∴CD＝PD＝AB＝4cm，∠DCH＝30°， ∴DHPDCD＝2cm， ∴CHDH＝2， ∴S△PCD4×24， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD， ∴S△PBC＝S△FABS平行四边形ABCD， ∴S△ABP+S△PCDS平行四边形ABCD， ∴S△APF+S△ABP＝S△ABP+S△PCD， ∴S△APF＝S△PCD＝4cm2． 【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式、平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 题型五．平行四边形中的折叠问题 1．如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　　） A．9 B．12 C．9 D．18 【答案】D 【分析】由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，在由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出△GEF是等边三角形，已知边长求出周长即可． 【解答】解：由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°， ∵▱ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG＝60°， ∴△GEF是等边三角形， ∴EF＝FG＝GE＝6， ∴△GEF的周长为6×3＝18， 故选：D． 【点评】考查平行四边形的性质、轴对称的性质和等边三角形的性质等知识，得到△GEF是等边三角形，是解决问题的关键． 2．如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处．若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则AE的长为 　　　　． 【答案】． 【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G，易证△D′CF≌△ECB（ASA），从而可知D′F＝EB，CF＝CE，设AE＝x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值． 【解答】解：过点C作CG⊥AB的延长线于点G， 在▱ABCD中， ∠D＝∠EBC，AD＝BC，∠A＝∠DCB， 由于▱ABCD沿EF对折， ∴∠D′＝∠D＝∠EBC，∠D′CE＝∠A＝∠DCB， D′C＝AD＝BC， ∴∠D′CF+∠FCE＝∠FCE+∠ECB， ∴∠D′CF＝∠ECB， 在△D′CF与△ECB中， ， ∴△D′CF≌△ECB（ASA）， ∴D′F＝EB，CF＝CE， ∵DF＝D′F， ∴DF＝EB，AE＝CF， 设AE＝x， 则EB＝6﹣x，CF＝x， ∵BC＝AD＝4，∠CBG＝60°， ∴BGBC＝2， 由勾股定理可知：CG＝2， ∴EG＝EB+BG＝6﹣x+2＝8﹣x， 在△CEG中， 由勾股定理可知：（8﹣x）2+（2）2＝x2， 解得：x＝AE， 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型． 3．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片ABCD中，E为CD边上任意一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′． 分析探究： （1）如图1，当∠ABC＝60°，当点D′恰好落在AB边上时，三角形AD′E的形状为 　 　 ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为CD边的三等分点时，连接FD′并延长，交AB边于点G．试判断线段AG与BG的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当∠ABC＝60°，∠DAE＝45°时，连接DD′并延长，交BC边于点H．若▱ABCD的面积为24，AD＝4，请直接写出线段D′H的长． 【答案】（1）等边三角形； （2）BG＝2AG； （3）． 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得AB∥CD，AD＝DE＝AD′，可得四边形ADED′是菱形，可知D′E＝AD′，根据∠ADE＝∠AD′E＝60°即可得△AD′E是等边三角形； （2）利用折叠的性质可得∠AED＝∠AED′，ED＝ED′，结合三等分点可知ED＝ED′＝EF，进而可得∠ED′F＝∠EFD′，利用三角形外角性质可得∠AED′＝∠ED′F，进而可知AE∥FG，可得四边形AEFG是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得AG与BG的数量关系； （3）由折叠可知：∠DAE＝∠D′AE＝45°，AD＝AD′，易知△DAD′为等腰直角三角形，延长AD′交BC于M，可知∠MD′H＝∠AD′D＝45°，由平行四边形的性质可得，∠BHM＝∠ADH＝45°＝∠MD′H，AM⊥AD，进而可知MD′＝MH由▱ABCD的面积为24，AD＝4，得AD•AM＝24，求得AM＝6，可得MD′＝AM﹣AD′＝2，再利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADE＝60°，则∠D′AE＝∠AED， 由折叠可知：AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，∠ADE＝∠AD′E＝60°， ∴∠DAE＝∠AED， ∴AD＝DE＝AD′， ∴四边形ADED′是平行四边形， 又∵AD＝AD′， ∴四边形ADED′是菱形， ∴D′E＝AD′， ∴△AD′E是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）BG＝2AG，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， 又∵E，F为CD边的三等分点， ∴， 由折叠可知：ED＝ED′，∠AED＝∠AED′， 则ED＝ED′＝EF， ∴∠ED′F＝∠EFD′， 由三角形外角可知：∠DED′＝∠ED′F+∠EFD′＝∠AED+∠AED′， ∴∠AED′＝∠ED′F， ∴AE∥FG， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∴EF＝AG， ∵，AB＝CD， ∴，则， ∴BG＝2AG； （3）由折叠可知：∠DAE＝∠D′AE＝45°，AD＝AD′， ∴∠DAD′＝90°，则△DAD′为等腰直角三角形， ∴∠ADH＝∠AD′D＝45°， 延长AD′交BC于M，则∠MD′H＝∠AD′D＝45°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DHM＝∠ADH＝45°＝∠MD′H，∠AMH＝∠DAD′＝90°，即AM⊥AD， ∴MD′＝MH， ∵▱ABCD的面积为24，AD＝4，即：AD•AM＝24， ∴AM＝6， 则MD′＝AM﹣AD′＝AM﹣AD＝2， ∴． 【点评】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 题型六．平行四边形中的构造问题 1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，过点O作任意一条直线分别交AB，CD于点G，H，连接GF，EH．求证：GF∥EH． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接EG、FH，根据平行四边形的性质得OB＝OD，AB∥CD，再证明△OBG≌△ODH，得OG＝OH，再根据平行四边形的判定得四边形EHFG为平行四边形，进而由平行四边形性质得结论． 【解答】证明：连接EG、FH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB∥CD， ∴∠OBG＝∠ODH， ∵∠BOG＝∠DOH， ∴△OBG≌△ODH（ASA）， ∴OG＝OH， ∵OB＝OD，E，F分别为OB，OD的中点， ∴OE＝OF， ∴四边形EHFG是平行四边形， ∴GF∥EH． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等． 2．如图，△ACE，△ABD，△BCF均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：CD与EF互相平分． 【答案】证明见解析． 【分析】由等边三角形的性质得EC＝AC＝AE，AD＝BA＝BD，CB＝FB＝CF，∠ABD＝∠CBF＝∠CAE＝∠BAD＝60°，再证明△CBA≌△FBD（SAS），得AC＝DF，进而得DF＝EC，同理得DE＝FC，然后证明四边形DECF是平行四边形，即可得出结论． 【解答】证明：∵△ACE，△ABD，△BCF是均为边三角形， ∴EC＝AC＝AE，AD＝BA＝BD，CB＝FB＝CF，∠ABD＝∠CBF＝∠CAE＝∠BAD＝60°， ∵∠CBA＝60°﹣∠ABF，∠FBD＝60°﹣∠ABF， ∴∠CBA＝∠FBD， 在△CBA和△FBD中， ， ∴△CBA≌△FBD（SAS）， ∴AC＝DF， 又∵EC＝AC， ∴DF＝EC， 同理：DE＝FC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴CD与EF互相平分． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．如图，△ABC中，E、F为AB上两点，AE＝BF，ED∥AC，FG∥AC分别交BC于点D，G．求证：ED+FG＝AC． 【答案】见试题解答内容 【分析】过E作EH∥BC，证明△AEH≌△FBG，可证得AH＝FG，再证明四边形EHCD为平行四边形，得到ED＝HC，可得出结论． 【解答】证明：如图，过E点作EH∥BC交AC于H， 则∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C， ∵FG∥AC， ∴∠BGF＝∠C， ∴∠AHE＝∠BGF， 在△AEH和△FBG中， ∴△AEH≌△FBG（AAS）， ∴AH＝FG， ∵EH∥BC，ED∥AC， ∴四边形EHCD是平行四边形， ∴ED＝HC， ∵HC+AH＝AC， ∴ED+FG＝AC． 【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形． 4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，若AD＝BC＝CE＝DE，则∠BAC＝　 　 ． 【答案】100°． 【分析】过D作DF∥BC，且使DF＝BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得到BD＝CF，DA∥FC，再利用SAS判定△ADE＝△CEF，根据全等三角形的性质可得到ED＝EF，从而可推出△DEF为等边三角形，∠BAC＝x°，则∠ADF＝∠ABC，根据三角形内角和定理可分别表示出∠ADE，∠ADF，根据等边三角形的性质不难求得∠BAC的度数． 【解答】解：过D作DF∥BC，且使DF＝BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形， ∴BD＝CF，DA∥FC， ∴∠EAD＝∠ECF， ∵AD＝CE，AB＝AC， ∴AD﹣AB＝CE﹣AC， ∴BD＝AE， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CEF中， ， ∴△ADE≌△CEF（SAS） ∴ED＝EF， ∵ED＝BC，BC＝DF， ∴ED＝EF＝DF， ∴△DEF为等边三角形， 设∠BAC＝x°，则∠ADF＝∠ABC，∠DAE＝180°﹣x°， ∵AD＝ED， ∴∠∠DAE＝∠DEA＝180°﹣x°， ∴∠ADE＝180°﹣2∠DAE＝180°﹣2（180°﹣x°）＝2x°﹣180°， ∵∠ADF+∠ADE＝∠EDF＝60° ∴（2x°﹣180°）＝60° ∴x＝100． ∴∠BAC＝100°． 故答案为：100°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用． 题型七．平行四边形中的动点问题 1．如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB⊥AC，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FE⊥BC于E，则FE的长即为PB+PQ的最小值， 【解答】解：取BC的中点G，连接AG． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝60°， ∵AB⊥AC，AB＝2， ∴∠ACB＝30°， ∴BC＝2AB＝4， ∵AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°， ∴△ABG是等边三角形， ∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°， ∴∠GAC＝∠GCA＝30°， ∴∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FE⊥BC于E， ∵CF＝CB，∠CBF＝60°， ∴△BCF是等边三角形， ∵PB＝PF， ∴PB+PQ＝FP+PQ≤FE， 则EF的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短）， ∵EF4＝2， ∴BP+PQ的最小值为2． 故选：D． 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，AE＝5cm，BE＝13cm，∠EBD＝∠DBC，点F是BC的中点，若点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD向点E运动，点N同时以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向点F运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运动，当点P运动 　 　 s时，以点P，F，N，E为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】4或． 【分析】要使点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形，则需PE＝FN，据此先表示出PE、FN，结合题意可得PE＝5﹣t，FN＝2t﹣CF或EN＝CF﹣2t，据此可知需求得CF的长，由于F是BC的中点，可将答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ADB＝∠CBD． ∵∠EBD＝∠DBC， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED＝13cm． ∵AE＝5cm， ∴AD＝18cm． ∵点F是BC的中点， ∴CF＝BC＝AD＝9（cm）． 要使点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形，则PE＝FN即可． 设当点P运动t秒时，点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形， 根据题意得5﹣t＝9﹣2t或5﹣t＝2t﹣9， 解得t＝4或t． ∴当点P运动4秒或秒时，以P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：4或． 【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 3．问题：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝7，AD＝4，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长． （1）答案：EF＝　 　 ． （2）探究：把“问题”中的条件“AB＝7”去掉，其余条件不变． ①当点E与点F重合时，求AB的长； ②当点E与点C重合时，求EF的长． （3）把“问题”中的条件“AB＝7，AD＝4”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值． 【答案】（1）1； （2）①8； ②4； （3）2或或． 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可得DE＝AD＝4，CF＝BC＝4，可求解； （2）①证∠DEA＝∠DAE，得DE＝AD＝4，同理BC＝CF＝4，即可求解； ②由题意得DE＝AD＝4，再由CF＝BC＝4，即可求解； （3）分三种情况，由（l）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝7，BC＝AD＝4，AB∥CD， ∴∠DEA＝∠BAE， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴DE＝AD＝4， 同理可得CF＝BC＝4， ∴EF＝DE+FC﹣CD＝1， 故答案为：1； （2）①如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，BC＝AD＝4，AB∥CD， ∴∠DEA＝∠BAE， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴DE＝AD＝4， 同理：BC＝CF＝4， ∵点E与点F重合， ∴AB＝CD＝DE+CF＝8； ②如图2所示： ∵点E与点C重合， ∴DE＝AD＝4， ∵CF＝BC＝4， ∴点F与点D重合， ∴EF＝DC＝4； （3）分三种情况①如图3所示： 同（1）得：AD＝DE， ∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等， ∴AD＝DE＝EF＝CF， ∴； ②如图4所示： 同（1）得：AD＝DE＝CF， ∵DF＝FE＝CE， ∴； ③如图5所示： 同（1）得：AD＝DE＝CF， ∵DF＝DC＝CE， ∴； 综上所述，的值为2或或． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识； 熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 1．在▱ABCD中，AD＝5cm，∠BAD的平分线交边CD于点E，∠ABC的平分线交边CD于点F，当C、D、E、F相邻两点间的距离相等时，求线段AB的长 　 　 cm． 【答案】15或7.5． 【分析】根据平行四边形的性质得DE＝CF＝AD，分类讨论①当点F在点E左侧时，得出DE＝CF＝AD再得出DF＝FE＝CE，进而得出答案；②当点F在点B右侧时，得出DE＝CF＝AD，进而得出AB＝CD＝3AD，即可得出答案． 【解答】解：在▱ABCD中CD＝AB，BC＝AD，AB∥CD， ∴∠AED＝∠EAB ∵∠BAD的平分线交边CD于点E， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DAE＝∠AED， ∴DE＝AD， 同理BC＝CF， ∴DE＝CF＝AD， ∵AD＝5cm， ∴B C＝5cm， ①当点F在点E左侧时，如图1， ∴DE＝CF＝AD＝5cm， ∵C、D、E、F相邻两点间的距离相等， ∴DF＝FE＝CE， DF＝FE＝CE＝x， ∴DE+CF＝DF+FE+FE+CE＝4x＝10cm， ∴x＝2.5cm， ∴CE＝2.5cm，DE＝5cm ∴AB＝CD＝DE+CE＝7.5cm， ②当点F在点E右侧时，如图2 ∵DE＝CF＝AD＝5cm， ∵C、D、E、F相邻两点间的距离相等， ∴DE＝EF＝CE＝5cm， ∴AB＝CD＝DE+EF+FE＝15cm， 故线段AB的长为15或7.5； 故答案为：15或7.5． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 2．在▱ABCD中，∠DAB、∠ABC的平分线分别与边CD交于点E、F，若点C、D、E、F相邻两点间的距离相等，则的值为 　 　 ． 【答案】或． 【分析】（3）设AD＝a，则BC＝a，①当点F在点E左侧时，得出DE＝CF＝AD＝a，再得出DF＝FE＝CE，进而得出ABa，即可得出答案；②当点F在点E右侧时，得出DE＝CF＝AD＝a，进而得出AB＝CD＝3a，即可得出答案． 【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB，BC＝AD，AB∥CD， ∴∠AED＝∠EAB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DAE＝∠AED， ∴DE＝AD， 同理BC＝CF， ∴DE＝CF＝AD， 设AD＝a，则BC＝a， ①当点F在点E左侧时，如图1， ∴DE＝CF＝AD＝a， ∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等， ∴DF＝FE＝CE， 设DF＝FE＝CE＝x， ∴DE+CF＝DF+FE+FE+CE＝4x＝2a， ∴xa， ∴CEa， ∴AB＝CD＝DE+CEa， ∴； ②当点F在点E右侧时，如图2， ∵DE＝CF＝AD＝a， ∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等， ∴DE＝EF＝CE＝a， ∴AB＝CD＝DE+EF+FE＝3a， ∴； 即的值为或． 故答案为：或． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，得出DE＝AD是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属菁3．在▱ABCD中，AD＝BD，BE是边AD上的高，∠EBD＝40°，则∠A的度数为 　 　 ． 【答案】65°或25°． 【分析】首先求出∠ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠A的度数． 【解答】解：情形一：当E点在线段AD上时，如图所示， ∵BE是AD边上的高，∠EBD＝40°， ∴∠ADB＝90°﹣40°＝50°， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝（180°﹣50°）÷2＝65°； 情形二：当E点在AD的延长线上时，如图所示， ∵BE是AD边上的高，∠EBD＝40°， ∴∠BDE＝50°， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD∠BDE＝25°． 故答案为：65°或25°． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出∠ADB的度数是解题关键． 4．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE为边BC上的高，，CE＝2，则平行四边形ABCD的周长为 　 　 ． 【答案】14或22． 【分析】分两种情况，由锐角的正弦求出AB长，由直角三角形的性质求出BE长，得到BC长，由平行四边形的性质即可得到答案． 【解答】解：当E在BC上时，如图， ∵∠AHB＝90°，∠B＝60°， ∴sinB， ∴AB6， ∵BEAB＝3， ∴BC＝BE+CE＝3+2＝5， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（6+5）＝22； 当E在BC延长线上时，如图， 由以上解答知：AB＝6，BE＝3， ∴BC＝BE﹣CE＝3﹣2＝1， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（6+1）＝14， ∴平行四边形ABCD的周长是14或22． 故答案为：14或22． 【点评】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，关键是要分两种情况讨论． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $