专题24.2 两点间的距离公式 （4大知识点+8大题型+强化训练） 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级寒假班预修提升讲义

2025-2026年八年级寒假班预修提升讲义 专题24.2 两点间的距离公式 1.两点的距离公式 如果直角坐标平面内有两点，,那么两点的距离. 提示 (1) 平面内两点之间的距离与这两个点的坐标有关; (2) 运用直角坐标平面内两点的距离公式计算时,代入要准确，无论还是都可以，只是我们习惯性使用，亦是如此; (3) . 2.平行于坐标轴直线上两点间的距离 (1)当轴时,;所以; (2)当轴时,;所以; (3)当点A或点B为原点时,因为其中一个点的坐标为(0,0),所以 3.线段中点坐标公式 已知线段AB的两个端点坐标为A(，)、B(，)，C为线段AB的中点，则C点坐标为() 4. 两点间距离公式的应用 （1）坐标系中的等腰三角形 （2）坐标系中的直角三角形 （3）在实际生活中的测距问题 题型01：已知平行于坐标轴直线上两点间距离求坐标 【例1】在平面直角坐标系中，已知轴，且点的坐标为，点的坐标为，则点的纵坐标为（   ） A．4 B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，据此求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵轴，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为3， 故选：B． 【例2】已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标；(2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：根据题意得：∵点在轴上，，解得：， 则，点的坐标为：； （2）解：直线轴，直线上所有点的纵坐标都相等， ，解得：，则，即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，，，即，解得： 【跟踪训练】 1．已知直线轴，点M的坐标为，并且线段，则点N的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，距离为横坐标差值的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵直线轴，点M的坐标为，， ∴或， ∴点N的坐标为或； 故答案为：或． 2.在平面直角坐标系中，已知点，长度为3的线段与x轴平行，则点Q的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形．先根据点的坐标为，且轴，得出点和点的纵坐标相同，为4，再根据，分两种情况当点在点的左边时，当点在点的右边时，分别求出横坐标即可得解． 【详解】解：点的坐标为，且轴， 点和点的纵坐标相同，为4， ， 当点在点的左边时，横坐标为，此时点Q的坐标是， 当点在点的右边时，横坐标为，此时点Q的坐标是， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 3．已知点，若点为，且直线轴，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同得到，据此求出即可得到答案． 【解答】解：∵点，若点为，且直线轴， ∴， 解得， ∴ ∴点的坐标为， 故选：A． 题型02：已知平行于坐标轴直线上两点间距离求参数 【例3】若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x= ． 【答案】-3或7. 【详解】试题解析：∵点A（x，0）与B（2，0）的距离为5， ∴AB==5， 解得x=-3或x=7． 【例4】已知，，若点A位于第二象限，且直线轴，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的性质，各象限内点的坐标特点，解答本题的关键是明确平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等． 根据直线轴，可知点A和点B的纵坐标相等，求出b的值，根据及点A位于第二象限，得出a，然后即可得出答案． 【详解】解：∵，，直线轴， ∴两点的纵坐标相等， ∴， ∵， ∴或， ∵点A位于第二象限， ∴， ∴     故选：B． 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，已知，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟知轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据点和点的坐标，得出、两点都在轴上，再结合即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴，两点都在轴上， 又∵， ∴或， 即或． 故答案为： 或． 2．在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，那么的值是 ． 【答案】8或 【分析】本题考查了平面内两点间的距离，根据横坐标相同的点所在的直线与y轴平行，再分点N在点M的上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】解∵点与点之间的距离是5， ∴或， 故答案为∶8或． 3．已知，，若点A位于第一象限，且直线轴，则（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 根据平行于轴的直线上点的坐标特征，得出关于，的等式，再结合即可解决问题． 【详解】解：因为，，且直线轴， 所以 又因为， 所以，或， 又因为点A位于第一象限， 所以， 所以 故选：C． 题型03：已知两点坐标求两点间距离 【例5】1.已知A(2,-3)和B(4,2)二点，那么AB = ___________ 【答案】 2．在平面直角坐标系中，点A（5，﹣2）与点B（2，2）的距离是_________． 【答案】 5 【跟踪训练】 1.点A（3，1）与点B（0，﹣3）之间的距离为 　　． 【分析】直接利用两点间的距离公式可求解． 【解答】解：∵A（3，1），B（0，﹣3）， ∴AB＝＝5， 即点A与点B之间的距离为5． 故答案为：5． 2.直角坐标平面内的两点P（﹣2，4）、Q（﹣3，5）的距离为　　． 【分析】根据两点间的距离为可直接得到答案． 【解答】解：∵P（﹣2，6）、Q（2，3）， ∴PQ＝＝， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了两点间的距离公式，关键是熟记公式，直接套用即可． 3.平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）到坐标原点的距离是　　． 【分析】根据两点间的距离公式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：P（﹣4，2）到坐标原点的距离：＝2 故答案为：2 【点评】本题考查两点间的距离公式，解题的关键是正确运用两点距离公式，本题属于基础题型． 4.已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（3，﹣1），则A、B两点间的距离等于　　． 【分析】根据两点间的距离公式d＝解答即可． 【解答】解：∵直角坐标平面内两点 A（﹣3，1）和B（3，﹣1）， ∴A、B两点间的距离等于＝2， 故答案为2． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，比较简单．掌握两点间的距离公式是解题的关键件． 5.式子可以理解为() 两点(a,b)与(1,-2)间的距离； 两点(a,b)与(-1,2)间的距离 两点(a,b)与(1,2)间的距离； 两点(a,b)与(-1,-2)间的距离 【答案】 题型04：利用两点间距离公式求坐标或参数 【例6】如果点P（a，3）与点Q（2，﹣2a）的距离等于，那么a的值等于 　　． 【分析】根据两点间距离公式，列出方程即可求出a的值． 【解答】解：由题意得， ＝， 化简得， 5a2+8a＝0， 解得a＝0或﹣． 故答案为：0或﹣． 【点评】本题考查了两点间距离公式，正确列出方程即是解题的关键． 【跟踪训练】 1．已知点与点间的距离为，则 ． 【答案】9或 【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可. 【详解】由， 得， 即，解得或． 故答案为：9或. 2．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 3.已知A（0，10），B（a，-5）两点之间的距离为17，求实数a的值． 解析：由两点间距离公式得,解得 a=．故所求实数a的值为8或-8． 4．在平面直角坐标系中，已知点、，点在坐标轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标 ． 【答案】，，， 【分析】本题考查了勾股定理与两点间距离公式，需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求出点C坐标；②当点C在y轴上时，根据两点间距离公式和勾股定理构成方程式，解答即可 【详解】解：①当点C位于x轴上时，设点C坐标为（x，0），则，解得x=4或x=-4； ②当点C在y轴上时，由勾股定理得，解得y=±3 综上所述，满足条件的所有点C的坐标为（4,0）（-4,0）（0,3）（0，-3） 【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理 题型05：判断三角形的形状 【名师点拨】坐标平面内三角形形状的判断方法： 在直角坐标平面内,已知三点的坐标,判断联结这三点所构成的三角形形状，一般先由两点的距离公式计算三角形的三边长,再从三边之间的关系来判断它的形状,有时还要结合勾股定理的逆定理进行判断. 【例7】已知三角形的三个顶点，试判断的形状． 分析：计算三边的长，可得直角三角形． 【解】 , ∵，∴为直角三角形. 点评：本题方法多样，也可利用.斜率乘积为-1，得到两直线垂直. 【例8】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)． （1）判断△ABC的形状； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；（2）5． 【分析】（1）利用两点间的距离公式求出的值，再由勾股定理的逆定理判断即可；或求出直线、的斜率，利用斜率的关系判断即可； （2）直接直角三角形的两直角边求面积即可 【详解】2、（1）如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证． 法一：∵，， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． 法二：∵． ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC． ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． （2）由（1）中法一得|AB|＝2，|AC|＝． 又∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB||AC|＝×2×＝5． 【跟踪训练】 1.已知直角坐标平面内的三个顶点、、的坐标分别为、、，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理求得的长，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：解：∵、、的坐标分别为、、， ∴，，， ∵，， ∴ ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 4．已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 【答案】 直角三角形 5 【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可. 【详解】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 故答案为：直角三角形； 3. 已知点A（4，-0），C（6,2）和B（4,4），判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积. 【答案】△ABC为等腰直角三角形，△ABC的面积为4. 题型06：坐标系中的直角三角形和等腰三角形 【例9】已知：在直角坐标平面内，A、B两点的坐标为、，点P在x轴上且△PAB是直角三角形，求点P的坐标． 【答案：设点P的坐标为，则 ，，． 如果，那么，即可列出方程． 解得，． 所以这时点P的坐标为或． 如果，那么，即可列出方程． 解得． 所以这时点P的坐标为． 如果，那么，即可列出方程． 解得． 所以这时点P的坐标为． 所以，点P的坐标为、、或．】 【例10】已知：，，，且为等腰三角形，求的值． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形的定义，结合两点距离公式得，，，然后进行分类讨论，即可列式作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵为等腰三角形， ∴当时，即， 则 解得； 或当时，即， 因为， 所以 此种情况不存在； 或当时，即， 则， 即， 那么 综上所述，或． 【点睛】本题考查了两点的距离公式以及等腰三角形的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 【跟踪训练】 1. 已知两点A（-2，4），B（2，5）试在Y轴上求一点C，使△ABC为直角三角形。 【答案】点C的坐标为（0，-4）或（0，13）或（0，）或（0，） 2.已知△ABC，点和点，试在在轴上求一点，使AC=BC，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查的是两点间距离，利用两点间距离公式可以得到方程式，解方程式即可得到答案 【详解】设点的坐标为． 根据题意，得，∴． 即．解得． 所以点的坐标是． 3. 已知直角坐标平面内的两点分别是A(4，4)、B(6，2) （1）点P在x轴上，且PA = PB，求点P的坐标。 （2）点P在y轴上，且PA = PB，求点P的坐标。 【答案】（1）点P的坐标（2，0）； （2）点P的坐标（0，-2）。 题型07：两点距离公式的实际应用 【例11】海边有一个用于检测海面上船只位置的检测点.以此检测点为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以1km为单位长度建立平面直角坐标系.已知某一时刻甲、乙两艘船的坐标分别为(50,20)、(70,40),求此时两船的距离并描述乙船相对于甲船的位置. 【详解】解：如图，记甲、乙两艘船所在的点分别为A、B. 由两点间的距离公式，可得甲、乙两艘船的距离为 AB==20≈28.28km 过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，相交于点C,则∠ACB=90°. 又因为AC=BC=20(km),所以△ACB是一个等腰直角三角形，可得∠BAC=45°. 此时，乙船在甲船的北偏东45°方向(东北方向)上，距离甲船约28.28km 【跟踪训练】 1.如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置． 【答案】仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处. 【分析】以直线建立直角坐标系，根据题述可得A厂，B厂所在点的坐标，再设仓库P所在点的坐标为(x,0)，根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程，求解，根据方程的解可得出仓库P的位置． 【详解】解：为两条互相垂直的公路，以建立平面直角坐标系，如下图， 根据题意可知, 设P(x,0)，则 整理得：， 解得． 故仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处． 【点睛】本题考查两点之间的距离公式．能建立合适的直角坐标系，并根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程是解决此题的关键． 2.甲乙两船同时离开港口，各自沿固定方向航行，甲船每小时航行16海里，乙船每小时航行12海里，航行1.5小时后两船相距30海里，若以港口为坐标原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以5海里为单位长度建立平面直角坐标系， 如果知道甲船沿东北方向航行，请你用足够理由说明乙船沿哪个方向航行，并计算行驶出1.5小时后两船位置的坐标． 【答案】乙船沿西北方向航行或东南方向航行，见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系，勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 【详解】 解：（1）如图所示建立的直角坐标系， 由题意得：甲船航行距离为， 乙船航行距离为， ∵， ∴，即为直角三角形，且 又∵， ∴乙船沿西北方向航行或东南方向航行． （2）过A、B点分别向x轴作垂线，垂足分别为P、Q点， ∵∠AOP=45， ∴AP=OP=12， ∵∠BOQ=45 ∴BQ=OQ=9 ∴A（12，12）B（-9，9）或（9，-9） 题型08：综合提升 【例12】（1）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点的距离为 　　； （2）已知A（3，5），B（﹣4，4），试求A，B两点的距离； （3）已知△ABC三个顶点坐标为A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2），请判断此三角形的形状，并说明理由． 【分析】（1）平行于y轴上两点之间的距离等于它们的纵坐标差的绝对值； （2）直接利用两点间的距离公式计算； （3）先利用两点间的距离公式计算出AB、BC、AC，再进行判断即可． 【解答】解：（1）∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2， ∴A，B两点的距离为5﹣2＝3； 故答案为：3； （2）∵A（3，5），B（﹣4，4）， ∴AB＝＝5； （3）△ABC为等腰直角三角形．理由如下： ∵A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2）， ∴AB＝＝， BC＝＝， AC＝＝＝2， ∴AB＝AC，AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形． 【点评】本题考查两点间的距离公式及等腰直角三角形的判定，解题关键是理解并掌握两点间的距离公式． 【例13】（1）在数轴上，点A表示数3，点B表示数﹣2，我们称A的坐标为3，B的坐标为﹣2；那么A、B的距离AB=_________ ； 一般地，在数轴上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A、B的距离AB=_________ ； （2）如图，在直角坐标系中点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），求P1、P2的距离P1P2； （3）如图，△ABC中，AO是BC边上的中线，利用（2）的结论证明：AB2+AC2=2（AO2+OC2）． 【答案】（1） 5 |x1﹣x2| ； （2）P1、P2的距离P1P2=； （3）设A（a，d），C（c，0） ∵O是BC的中点， ∴B（﹣c，0） ∴AB2+AC2=（a+c）2+d2+（a﹣c）2+d2=2（a2+c2+d2），AO2+OC2=a2+d2+c2， ∴AB2+AC2=2（AO2+OC2）． 一、选择题 1.在平面直角坐标系中，点P（﹣x，2x）到原点O的距离等于5，则x的值是（　　） A．±1 B．1 C． D．± 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式列出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵点P（﹣x，2x）到原点O的距离等于5， ∴x2+4x2=25，解得x=±． 故选：D． 【点评】本题考查的是两点间的距离公式，熟记两点间的距离公式是解答此题的关键． 2.如图，在平面直角坐标系第一象限有一点P，其横坐标为3，在x轴上有一点A（﹣1，0）．已知PA两点间的距离为，则P的纵坐标为（　　） A．2 B．﹣2 C． D．1 【答案】A 【分析】设P点的纵坐标为y，则P（3，y），PA=，又PA两点间的距离为2，依此为等量关系列出方程求出y的值，即求出了点P的坐标． 【详解】解：设P点的纵坐标为y（y＞0），则P（3，y）， 依题意 得=2， 解得 y=2（舍去负值）． 故选：A． 3．在坐标轴上与点M（3，﹣4）距离等于5的点共有 （ ） 　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 1个 【答案】 B 4．如图，在平面直角坐标系第一象限有一点P，其横坐标为3，在x轴上有一点A（﹣1，0）．已知PA两点间的距离为，则P的纵坐标为（　　） A．2 B．﹣2 C． D．1 【答案】A 【分析】设P点的纵坐标为y，则P（3，y），PA=，又PA两点间的距离为2，依此为等量关系列出方程求出y的值，即求出了点P的坐标． 【详解】解：设P点的纵坐标为y（y＞0），则P（3，y）， 依题意 得=2， 解得 y=2（舍去负值）． 故选：A． 二、填空题 5. 在x轴上与在y轴上之间的距离 . 【答案】 6. 任意两点AB之间的距离AB= . 【答案】 【点评】本题主要考查了坐标系中的两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握并灵活运用公式AB＝． 7.若点P在x轴上，点A坐标是（2，﹣1），且PA＝，则点P的坐标是　　． 【分析】设出P的坐标，利用两点距离公式，求出P的坐标． 【解答】解：由题意设P（x，0），因为PA＝， ， 解得：x＝3或x＝1， 所以点P的坐标是（3，0）或（1，0）， 故答案为：（3，0）或（1，0）， 【点评】此题考查点的坐标问题，关键是两点间距离公式的应用，考查计算能力． 8．已知点A（﹣3，1），点B在y轴正半轴上，且AB=5，则点B的坐标为：_________ ． 【答案】 （0, 5） 9．已知在x轴上有一点P，它与点（﹣2，3）的距离是5，那么点P的坐标是_____ ____． 【答案】（-6，0）或（2,0） 10.已知直角坐标平面内两点和，那么A、B两点间的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式． 根据两点间的距离公式解答即可． 【详解】∵直角坐标平面内两点和， ∴A、B两点间的距离等于． 故答案为：． 11.点C在x轴上，点C到点A（﹣1，4）与点B（2，﹣5）的距离相等，则点C的坐标为　　． 【分析】设点C的坐标为（x，0），根据两点间的距离公式列式求解即可，两点间的距离公式：d＝． 【解答】解：设点C坐标为（x，0）． 利用两点间的距离公式，得 AC＝，BC＝． 根据题意，得AC＝BC，∴AC2＝BC2． 即（x﹣2）2+25＝（x+1）2+16． 解得x＝2． 所以，点C的坐标是（2，0）． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，熟记公式与熟练解方程是解答本题的关键． 12.已知，在x轴上找一点P，使得点P到A，B两点的距离相等，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了两点间的距离公式，解题的关键是利用距离公式建立方程模型解决问题．依题意设P的坐标为，然后利用两点间距离公式建立方程模型即可求解． 【详解】解：依题意设P的坐标为， ∵， ，， ， ， ， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 13．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝ ． 【答案】8或0 【分析】根据两点的距离公式解答即可. 【详解】根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0， 故答案为：8或0. 【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键. 14．已知点A、B都在轴上（点A 在点B的左边），点A(-3，0)，AB=6，则点Ｂ的坐标为 ． 【答案】(3，0)或(-9，0) 【分析】数轴上两点间的距离即是两点间横坐标之间的距离，据此解题即可． 【详解】 xB=3或-9 故答案为：3或-9 【点睛】本题考查两点间的距离、数轴上两点间的距离等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 15.在直角坐标平面内，已知点、，且，那么m的值是________． 【答案】 【分析】由、，再根据长度公式可得出AB的距离表达式，由即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求两点距离，掌握两点间的距离公式是解决此题的关键． 16.、、是三角形的三个顶点，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】求出的长，再利用勾股定理逆定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角． 【点睛】本题考查三角形的判定，勾股定理以及逆定理．解题的关键是掌握两点间的距离公式． 3、 解答题 17. 求下列两点间的距离： （1）A(1, 2)和B（6, 6）； （2）O(-6, 0)和P（4, 15） （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3）； （4） 18 已知A（-2, 5），B（1，y）且AB=，求y的值. 【答案】 y的值为4或6. 19.在平面直角坐标系中，求以点A(2,4), B（8,12）和C（24,0）为顶点的三角形的周长. 【答案】三角形的周长为. 20.（1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　　． （2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． （3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值． 【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算AB的长； （2）当B点在x轴上，设B（t，0），利用两点间的距离公式得到（﹣2﹣t）2+（0﹣3）2＝52，解方程求出t得到此时B点坐标；当B点在y轴上，设B（0，m），利用两点间的距离公式得到（0+2）2+（m﹣3）2＝52，解方程求出m得到此时B点坐标； （3）利用两点间的距离公式列方程（x﹣3）2+（3﹣x﹣1）2＝52，然后解方程即可． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3），B（1，﹣3）， ∴AB＝＝3； 故答案为3； （2）当B点在x轴上，设B（t，0）， 而点A（﹣2，3），A、B两点间的距离是5， ∴（﹣2﹣t）2+（0﹣3）2＝52，解得t＝2或﹣6， 此时B点坐标为（2，0）或（﹣6，0）； 当B点在y轴上，设B（0，m）， 而点A（﹣2，3），A、B两点间的距离是5， ∴（0+2）2+（m﹣3）2＝52，解得m＝3+或3﹣， 此时B点坐标为（0，3+）或（0，3﹣）； 综上所述，B点坐标为（2，0）或（﹣6，0）或（0，3+）或（0，3﹣）； （3）∵点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5， ∴（x﹣3）2+（3﹣x﹣1）2＝52， 整理得x2﹣5x﹣6＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝6， 即x的值为﹣1或6． 【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 21.如图，有一台风中心沿东西方向以每小时20km的速度由A向B移动，已知点C为一海港，以C所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以50km为单位长度建立平面直角坐标系.经测量，A点坐标为（-90,-120）B点坐标为（160，-120），以台风中心为圆心周围125km及以内的地区会受到影响.请通过计算说明海港C会不会受台风影响？如果会，受影响的时间是多少？ 【答案】会受影响，受影响时间为3.5小时. 【分析】根据图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 (1)如图所示，画直角坐标系，连接AB交y轴于点D， 因为A（-90,120），B（160，-120） 所以C到AB的距离就是120km， ∵120<125 ∴C港会受到台风的影响; (2)以C为圆心，以125km为半径画弧交直线AB于点M，N， 则可知MD=ND==35km， ∴MN=70km ∵70÷20=3.5h 所以C港受台风影响时长3.5小时. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年八年级寒假班预修提升讲义 专题24.2 两点间的距离公式 1.两点的距离公式 如果直角坐标平面内有两点，,那么两点的距离. 提示 (1) 平面内两点之间的距离与这两个点的坐标有关; (2) 运用直角坐标平面内两点的距离公式计算时,代入要准确，无论还是都可以，只是我们习惯性使用，亦是如此; (3) . 2.平行于坐标轴直线上两点间的距离 (1)当轴时,;所以; (2)当轴时,;所以; (3)当点A或点B为原点时,因为其中一个点的坐标为(0,0),所以 3.线段中点坐标公式 已知线段AB的两个端点坐标为A(，)、B(，)，C为线段AB的中点，则C点坐标为() 4. 两点间距离公式的应用 （1）坐标系中的等腰三角形 （2）坐标系中的直角三角形 （3）在实际生活中的测距问题 题型01：已知平行于坐标轴直线上两点间距离求坐标 【例1】在平面直角坐标系中，已知轴，且点的坐标为，点的坐标为，则点的纵坐标为（   ） A．4 B．3 C．0 D． 【例2】已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标；(2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【跟踪训练】 1．已知直线轴，点M的坐标为，并且线段，则点N的坐标为 ． 2.在平面直角坐标系中，已知点，长度为3的线段与x轴平行，则点Q的坐标是 ． 3．已知点，若点为，且直线轴，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型02：已知平行于坐标轴直线上两点间距离求参数 【例3】若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x= ． 【例4】已知，，若点A位于第二象限，且直线轴，则（    ） A． B． C．4 D．5 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，已知，则 ． 2．在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，那么的值是 ． 3．已知，，若点A位于第一象限，且直线轴，则（   ） A． B． C．4 D．5 题型03：已知两点坐标求两点间距离 【例5】1.已知A(2,-3)和B(4,2)二点，那么AB = ___________ 2．在平面直角坐标系中，点A（5，﹣2）与点B（2，2）的距离是_________． 【跟踪训练】 1.点A（3，1）与点B（0，﹣3）之间的距离为 　　． 2.直角坐标平面内的两点P（﹣2，4）、Q（﹣3，5）的距离为　　． 3.平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）到坐标原点的距离是　　． 4.已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（3，﹣1），则A、B两点间的距离等于　　． 5.式子可以理解为() 两点(a,b)与(1,-2)间的距离； 两点(a,b)与(-1,2)间的距离 两点(a,b)与(1,2)间的距离； 两点(a,b)与(-1,-2)间的距离 题型04：利用两点间距离公式求坐标或参数 【例6】如果点P（a，3）与点Q（2，﹣2a）的距离等于，那么a的值等于 　　． 【跟踪训练】 1．已知点与点间的距离为，则 ． 2．已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 3.已知A（0，10），B（a，-5）两点之间的距离为17，求实数a的值． 4．在平面直角坐标系中，已知点、，点在坐标轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标 ． 题型05：判断三角形的形状 【名师点拨】坐标平面内三角形形状的判断方法： 在直角坐标平面内,已知三点的坐标,判断联结这三点所构成的三角形形状，一般先由两点的距离公式计算三角形的三边长,再从三边之间的关系来判断它的形状,有时还要结合勾股定理的逆定理进行判断. 【例7】已知三角形的三个顶点，试判断的形状． 【例8】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)． （1）判断△ABC的形状； （2）求△ABC的面积． 【跟踪训练】 1.已知直角坐标平面内的三个顶点、、的坐标分别为、、，则的形状是 ． 2．已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 3. 已知点A（4，-0），C（6,2）和B（4,4），判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积. 题型06：坐标系中的直角三角形和等腰三角形 【例9】已知：在直角坐标平面内，A、B两点的坐标为、，点P在x轴上且△PAB是直角三角形，求点P的坐标． 【例10】已知：，，，且为等腰三角形，求的值． 【跟踪训练】 1. 已知两点A（-2，4），B（2，5）试在Y轴上求一点C，使△ABC为直角三角形。 2.已知△ABC，点和点，试在在轴上求一点，使AC=BC，求点的坐标． 3. 已知直角坐标平面内的两点分别是A(4，4)、B(6，2) （1）点P在x轴上，且PA = PB，求点P的坐标。 （2）点P在y轴上，且PA = PB，求点P的坐标。 题型07：两点距离公式的实际应用 【例11】海边有一个用于检测海面上船只位置的检测点.以此检测点为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以1km为单位长度建立平面直角坐标系.已知某一时刻甲、乙两艘船的坐标分别为(50,20)、(70,40),求此时两船的距离并描述乙船相对于甲船的位置. 【跟踪训练】 1.如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置． 2.甲乙两船同时离开港口，各自沿固定方向航行，甲船每小时航行16海里，乙船每小时航行12海里，航行1.5小时后两船相距30海里，若以港口为坐标原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以5海里为单位长度建立平面直角坐标系， 如果知道甲船沿东北方向航行，请你用足够理由说明乙船沿哪个方向航行，并计算行驶出1.5小时后两船位置的坐标． 题型08：综合提升 【例12】（1）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点的距离为 　　； （2）已知A（3，5），B（﹣4，4），试求A，B两点的距离； （3）已知△ABC三个顶点坐标为A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2），请判断此三角形的形状，并说明理由． 【例13】（1）在数轴上，点A表示数3，点B表示数﹣2，我们称A的坐标为3，B的坐标为﹣2；那么A、B的距离AB=_________ ； 一般地，在数轴上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A、B的距离AB=_________ ； （2）如图，在直角坐标系中点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），求P1、P2的距离P1P2； （3）如图，△ABC中，AO是BC边上的中线，利用（2）的结论证明：AB2+AC2=2（AO2+OC2）． 一、选择题 1.在平面直角坐标系中，点P（﹣x，2x）到原点O的距离等于5，则x的值是（　　） A．±1 B．1 C． D．± 2.如图，在平面直角坐标系第一象限有一点P，其横坐标为3，在x轴上有一点A（﹣1，0）．已知PA两点间的距离为，则P的纵坐标为（　　） A．2 B．﹣2 C． D．1 3．在坐标轴上与点M（3，﹣4）距离等于5的点共有 （ ） 　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 1个 4．如图，在平面直角坐标系第一象限有一点P，其横坐标为3，在x轴上有一点A（﹣1，0）．已知PA两点间的距离为，则P的纵坐标为（　　） A．2 B．﹣2 C． D．1 二、填空题 5. 在x轴上与在y轴上之间的距离 . 6. 任意两点AB之间的距离AB= . 7.若点P在x轴上，点A坐标是（2，﹣1），且PA＝，则点P的坐标是　　． 8．已知点A（﹣3，1），点B在y轴正半轴上，且AB=5，则点B的坐标为：_________ ． 9．已知在x轴上有一点P，它与点（﹣2，3）的距离是5，那么点P的坐标是_____ ____． 10.已知直角坐标平面内两点和，那么A、B两点间的距离等于 ． 11.点C在x轴上，点C到点A（﹣1，4）与点B（2，﹣5）的距离相等，则点C的坐标为　　． 12.已知，在x轴上找一点P，使得点P到A，B两点的距离相等，则点P的坐标为 ． 13．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝ ． 14．已知点A、B都在轴上（点A 在点B的左边），点A(-3，0)，AB=6，则点Ｂ的坐标为 ． 15.在直角坐标平面内，已知点、，且，那么m的值是________． 16.、、是三角形的三个顶点，则是 三角形． 3、 解答题 17. 求下列两点间的距离： （1）A(1, 2)和B（6, 6）； （2）O(-6, 0)和P（4, 15） （3）； （4） 18 已知A（-2, 5），B（1，y）且AB=，求y的值. 19.在平面直角坐标系中，求以点A(2,4), B（8,12）和C（24,0）为顶点的三角形的周长. 20.（1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　　． （2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． （3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值． 21.如图，有一台风中心沿东西方向以每小时20km的速度由A向B移动，已知点C为一海港，以C所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以50km为单位长度建立平面直角坐标系.经测量，A点坐标为（-90,-120）B点坐标为（160，-120），以台风中心为圆心周围125km及以内的地区会受到影响.请通过计算说明海港C会不会受台风影响？如果会，受影响的时间是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $