7.5 正态分布（2知识点+6考点+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教A版

7.5 正态分布 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：正态曲线与正态分布 1、连续型随机变量 现实中，由大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量． 注意：连续型随机变量有无数个值，不能一一举例． 2、正态曲线与正态分布的概念 （1）正态曲线：我们称，x∈R，其中μ∈R，σ>0时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．其图象如下图所示 （2）正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． （3）若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 3、正态曲线的特点 （1）非负性：对∀x∈R，，它的图象在x轴的上方． （2）定值性：曲线与x轴之间的面积为1. （3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． （4）最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. （5）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． （6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. （7）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. （24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即，故B、D错误； ，越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的， 且第二个图像的比第三个的要小， .，所以A错误，C正确．故选：C. 知识点2：正态分布的几何意义及3σ原则 1、正态分布的几何意义 对任意的σ>0，正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1．若，如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积． 2、3个常用的概率值 假设，可以证明：对给定的，是一个只与有关的定值．特别的， P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 3、3σ原则 尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的取值几乎总是落在区间内，而在次区间意外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生． 注意：这样的事件可看成小概率事件． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为3σ原则． （24-25高二下·重庆·月考）（多选）某随机变量服从正态分布，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为，对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对.故选：AD. 题型一：正态曲线与正态密度函数 例1．（24-25高二下·陕西榆林·月考）（多选）已知两个正态分布的正态密度函数图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由正态分布曲线性质：越大，图象对称轴越靠近右侧； 越大，图象越“矮胖”，越小，图象越“瘦高”， 结合图象可知：，．故选：AC 【变式1-1】（24-25高二下·山东淄博·月考）设，这两个变量的正态曲线如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【解析】由正态分布密度曲线图象的对称性知，， 由图象形状可得，如图， 对于 A，由图象可得，故A错误； 对于 B，若，则，故B错误； 对于 C，由图结合图象的对称性知，，故C错误； 对于D，若，结合图象的对称性知，故D正确.故选：D. 【变式1-2】（24-25高二下·湖南岳阳·期末）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，随机变量服从正态分布，， 服从正态分布，， A选项：， ， 故，命题正确； B选项： ，所以，命题正确； C选项：， ， 所以，命题正确； D选项：， ， 所以，命题错误.故选：D 【变式1-3】（24-25高二下·山东烟台·月考）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以.故选：C 题型二：利用正态曲线的对称性求概率 例2．（24-25高二下·辽宁·月考）设，且，则（    ） A．0.45 B．0.4 C．0.3 D．0.35 【答案】A 【解析】由正态分布对称性，可设， 则， 则，解得， 故.故选：A 【变式2-1】（24-25高二下·河南商丘·月考）已知随机变量，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【解析】由，可知其对称轴为：， 又，所以， 由对称性可知：，故选：C 【变式2-2】（24-25高二下·江苏无锡·月考）已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【解析】因为随机变量服从的正态分布曲线的对称轴为. 因为，所以. 又，所以.故选：B. 【变式2-3】（24-25高二下·湖北·月考）已知随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】随机变量，由，得， 又，则， 因此，解得.故选：A 题型三：利用正态分布进行估计 例3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某校高二年级有1000名同学，某次数学期中考试的成绩，则数学成绩在120分以上人数约为（    ） （参考数据：随机变量，则，） A．159 B．318 C．23 D．46 【答案】A 【解析】由题设， 则， 所以数学成绩在120分以上人数约为人.故选：A 【变式3-1】（24-25高二上·江西南昌·期末）学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 【答案】A 【解析】由于竞赛成绩服从正态分布， 所以，， 所以， 故该校1000名学生竞赛成绩在分到分之间的人数约为： ，故选：A 【变式3-2】（24-25高二下·河南漯河·月考）某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（    ）（） A．50天 B．61天 C．86天 D．88天 【答案】B 【解析】由， 因为， 所以， 即， 所以第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为： ，故选：B 【变式3-3】（24-25高二下·福建泉州·期中）某工厂5月份生产5000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，已知，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为（    ） A．4400 B．4500 C．4600 D．4900 【答案】B 【解析】因为灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，且， 所以， 所以， 则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为个，故选：B. 题型四：3σ原则的应用 例4．（24-25高二下·广东深圳·期中）如果随机变量，则约等于（    ） （注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 【答案】B 【解析】由题得. 故选：B 【变式4-1】（24-25高二下·浙江台州·期中）无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（    ） A．变大 B．变小 C．不变 D．变小 【答案】C 【解析】随机变量服从正态分布，则， ， 当时， ， ， 当变小时，与的值不变，则、都不变，故选：C. 【变式4-2】（24-25高二下·陕西咸阳·月考）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（    ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 【答案】B 【解析】由题意可知，，所以，， 因为， 所以，根据比例成绩大于分为优秀， 因为，根据比例成绩在到之间的为良好， ，根据比例成绩在到之间的为合格， ，根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好.故选：B. 【变式4-3】（24-25高二下·山东临沂·期中）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（    ）（附：，） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，，则， 所以， ， 因为，故小明属于等级.故选：B. 题型五：标准正态分布及其应用 例5．（24-25高二下·福建泉州·期中）随机变量，，若，则 . 【答案】 【解析】因为，可知， 若， 可得， 所以. 【变式5-1】（23-24高二下·四川遂宁·月考）已知随机变量，，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知，. 【变式5-2】（2026·江苏南通·一模）某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 可得，解得， 即“过高”等级中的株高，结合选项可知D正确，ABC错误.故选：D. 【变式5-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（    ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【答案】B 【解析】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50， 所以，，所以， 即，即求． 由，得， 所以， 那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为，故选：B． 题型六：正态分布与其他知识的综合应用 例6．（24-25高二下·山东·月考）为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布. (1)若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩. (2)参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差. 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】(1)83；(2)， 【解析】（1）因为， 又正态分布中，， 所以本次知识竞赛预期的平均成绩大约为86-3=83； （2）记小王答对题的数量为，则， 由题意得， 则， 所以，. 【变式6-1】（24-25高二下·河北武安·月考）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； (2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【答案】(1)分布列见解析，；(2)能 【解析】（1）从这批零件中随机选取1件，长度在的概率’ 随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以； （2）由题意知，， ， ， 因为，， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布， 所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收． 【变式6-2】（23-24高二下·辽宁·月考）5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一．2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开．市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示： (1)由直方图可认为市市民对5G网络满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．若市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）； (2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为．每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束．现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，即，则，． 【答案】(1)13654；(2)元. 【解析】（1）由题意知样本平均数为， 于是，而，所以，， 而， 所以2万名5G手机用户中满意度得分位于区间的人数 约为（人）. （2）依题意，X的可能取值有0，100，200，300， ；； ；， 所以的数学期望（元）. 【变式6-3】（24-25高二下·广东江门·月考）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩 (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】(1)64；(2)1587；(3)分布列见解析， 【解析】（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 样本平均数. （2）由（1）知，，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而， 因此， 所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为. （3）由（2）知，，， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为， 因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望. 一、单选题 1．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知随机变量，且，则（    ） A．0.14 B．0.22 C．0.28 D．0.36 【答案】A 【解析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值 因为随机变量，且， 则， 所以.故选：A. 2．（24-25高二下·广东广州·月考）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意， 所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为．故选：A． 3．（24-25高二下·山东聊城·月考）某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．246 B．252 C．286 D．293 【答案】D 【解析】因为，所以，， 所以， 又， 所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为个.故选：D 4．（24-25高二下·江苏常熟·月考）已知随机变量，设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于随机变量而言：它的，注意到， 所以对于随机变量而言：它的， 所以.故选：A. 5．（24-25高二下·福建泉州·月考）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 【答案】C 【解析】由连续型随机变量服从正态分布， 可得，可得，所以正态密度曲线关于对称， 即，由，可得在时增加较快， 在时增加越来越慢，所以无对称轴，故AB错误； ， 所以关于点成中心对称，故C正确，D错误.故选：C. 二、多选题 6．（24-25高二上·广西钦州·月考）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由正态曲线对应的密度函数为，得，， 则，，A正确； 因为，所以，B错误； 因为，结合正态曲线可知，C正确； ，D错误．故选：AC 7．（24-25高二下·广东佛山·期末）设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】，， 两曲线分别关于直线对称，由图可知，故A正确； 又，所以，故B正确； 又的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故C错误； 又，所以，故D正确；故选：ABD. 8．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期末）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则 ， ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为服从正态分布， 所以，所以A正确，D错误； 根据正态分布的性质可知，所以B正确； 因为. 所以. 所以，所以C正确.故选：ABC. 三、填空题 9．（24-25高二下·天津·期中）已知随机变量X服从正态分布，若，，则 ． 【答案】 【解析】由题意得： ∵ ∴与关于对称，∴． 10．（24-25高二下·辽宁·期中）对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量 次．（若，则） 【答案】32 【解析】由误差，得， 由误差在的概率不小于0.9973，得， 因此，解得，于是，解得， 所以至少要测量32次. 11．（24-25高二下·山东·月考）某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从，且，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为 ． 【答案】 【解析】根据可得， 即，又由对称性可知， 所以，即任取1个零件其长度大于3.5毫米的概率为； 因此3个零件逐一检查，仅有1个零件的长度大于3.5毫米的概率为. 四、解答题 12．（24-25高二下·河北·月考）在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由，可得， 则， 所以分数在70分及以下的学生有人， 所以学生小A被抽到的概率． （2）由，可得：． 所以甲校得分不低于120分的概率为， 得分不高于60分的概率为， 所以甲校得分不低于120分有人，得分不高于60分有人， 故乙校教学120分以上学生更多，得分不高于60分更少； 即乙校高分人数更多，低分人数更少. 13．（24-25高二下·广西钦州·月考）为了迎接4月23日“世界图书日”，我市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下 成绩（分） 频数 6 12 18 34 16 8 6 (1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； (2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，利用所得正态分布模型解决以下问题： （ⅰ）若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； （ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列及均值． 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， 【解析】（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为， 设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A， 则事件包含的基本事件的个数为， 因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以， 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为； （2）（ⅰ）因为，所以， 故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为； （ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中堕机抽取1名学生， 该生竞赛成绩在64分以上的概率为， 所以随机变量服从二项分布，所以 ，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.5 正态分布 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：正态曲线与正态分布 1、连续型随机变量 现实中，由大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量． 注意：连续型随机变量有无数个值，不能一一举例． 2、正态曲线与正态分布的概念 （1）正态曲线：我们称，x∈R，其中μ∈R，σ>0时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．其图象如下图所示 （2）正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． （3）若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 3、正态曲线的特点 （1）非负性：对∀x∈R，，它的图象在x轴的上方． （2）定值性：曲线与x轴之间的面积为1. （3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． （4）最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. （5）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． （6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. （7）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. （24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点2：正态分布的几何意义及3σ原则 1、正态分布的几何意义 对任意的σ>0，正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1．若，如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积． 2、3个常用的概率值 假设，可以证明：对给定的，是一个只与有关的定值．特别的， P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 3、3σ原则 尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的取值几乎总是落在区间内，而在次区间意外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生． 注意：这样的事件可看成小概率事件． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为3σ原则． （24-25高二下·重庆·月考）（多选）某随机变量服从正态分布，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 题型一：正态曲线与正态密度函数 例1．（24-25高二下·陕西榆林·月考）（多选）已知两个正态分布的正态密度函数图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·山东淄博·月考）设，这两个变量的正态曲线如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【变式1-2】（24-25高二下·湖南岳阳·期末）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二下·山东烟台·月考）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二：利用正态曲线的对称性求概率 例2．（24-25高二下·辽宁·月考）设，且，则（    ） A．0.45 B．0.4 C．0.3 D．0.35 【变式2-1】（24-25高二下·河南商丘·月考）已知随机变量，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式2-2】（24-25高二下·江苏无锡·月考）已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【变式2-3】（24-25高二下·湖北·月考）已知随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：利用正态分布进行估计 例3．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某校高二年级有1000名同学，某次数学期中考试的成绩，则数学成绩在120分以上人数约为（    ） （参考数据：随机变量，则，） A．159 B．318 C．23 D．46 【变式3-1】（24-25高二上·江西南昌·期末）学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 【变式3-2】（24-25高二下·河南漯河·月考）某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（    ）（） A．50天 B．61天 C．86天 D．88天 【变式3-3】（24-25高二下·福建泉州·期中）某工厂5月份生产5000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，已知，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为（    ） A．4400 B．4500 C．4600 D．4900 题型四：3σ原则的应用 例4．（24-25高二下·广东深圳·期中）如果随机变量，则约等于（    ） （注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 【变式4-1】（24-25高二下·浙江台州·期中）无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（    ） A．变大 B．变小 C．不变 D．变小 【变式4-2】（24-25高二下·陕西咸阳·月考）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（    ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 【变式4-3】（24-25高二下·山东临沂·期中）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（    ）（附：，） A． B． C． D． 题型五：标准正态分布及其应用 例5．（24-25高二下·福建泉州·期中）随机变量，，若，则 . 【变式5-1】（23-24高二下·四川遂宁·月考）已知随机变量，，则 ． 【变式5-2】（2026·江苏南通·一模）某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（    ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 题型六：正态分布与其他知识的综合应用 例6．（24-25高二下·山东·月考）为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布. (1)若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩. (2)参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差. 参考数据：若随机变量，则，，. 【变式6-1】（24-25高二下·河北武安·月考）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； (2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【变式6-2】（23-24高二下·辽宁·月考）5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一．2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开．市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示： (1)由直方图可认为市市民对5G网络满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．若市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）； (2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为．每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束．现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，即，则，． 【变式6-3】（24-25高二下·广东江门·月考）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩 (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 一、单选题 1．（24-25高二下·福建厦门·期中）已知随机变量，且，则（    ） A．0.14 B．0.22 C．0.28 D．0.36 2．（24-25高二下·广东广州·月考）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山东聊城·月考）某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．246 B．252 C．286 D．293 4．（24-25高二下·江苏常熟·月考）已知随机变量，设随机变量，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建泉州·月考）已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 二、多选题 6．（24-25高二上·广西钦州·月考）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·广东佛山·期末）设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期末）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则 ， ) A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高二下·天津·期中）已知随机变量X服从正态分布，若，，则 ． 10．（24-25高二下·辽宁·期中）对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量 次．（若，则） 11．（24-25高二下·山东·月考）某工厂生产的零件长度X（单位：毫米）服从，且，若对该工厂同批生产的3个零件逐一检查，则仅有1个零件长度大于3.5毫米的概率为 ． 四、解答题 12．（24-25高二下·河北·月考）在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 13．（24-25高二下·广西钦州·月考）为了迎接4月23日“世界图书日”，我市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下 成绩（分） 频数 6 12 18 34 16 8 6 (1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； (2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，利用所得正态分布模型解决以下问题： （ⅰ）若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； （ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列及均值． 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $