第29讲 随机变量及其分布综合检测（能力提升）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第29讲 随机变量及其分布综合检测（能力提升） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可. 【详解】根据题意，至少含有一个黑球的概率是. 故选：B. 2．已知随机变量的分布列如下， 若，则下列结论正确的是（       ） -2 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质和期望公式，列出方程组，求得，再利用方差的公式和方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量的分布列，且， 可得，解得， 所以， 所以. 故选：D. 3．下列说法正确的是（     ） A．随机变量，则 B．若随机变量，，则 C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D．从除颜色外完全相同的个红球和个白球中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布； 【答案】D 【分析】选项A根据二项分布的概率公式进行计算；选项B根据正态分布的对称性进行计算；选项C根据互斥事件与对立事件的定义进行判断；选项D根据超几何分布的定义进行判断. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，所以，故B错误； 对于选项C，至少有一个黑球包含的基本事件有“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件有“一黑一红，两红”，所以两事件不互斥，故C错误； 对于选项D，设摸出红球的个数为k，则，符合超几何分布，故D正确. 故选：D 4．已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率和全概率的计算公式，求出各选项中的概率值，然后判断正误. 【详解】由题意：，，. 所以. . 又事件、为对立事件，所以. 故选：C 5．产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 【答案】D 【分析】由二项分布的定义判断A；由超几何分布的定义判断B；通过计算判断CD. 【详解】对于A，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从二项分布，A正确； 对于B，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，则随机变量服从超几何分布，B正确； 对于C，该批产品有件，则， ，C正确； 对于D，，，若， 则，与选项C矛盾，D错误． 故选：D 6．现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球.用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量的数学期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每个人去打篮球、打乒乓球的概率，的所有可能取值为0，2，4，利用二项分布的概率公式求出的分布列即可求得的期望值. 【详解】依题意，这4个人中，每个人去打篮球的概率为，去打乒乓球的概率为， 设“这4个人中恰有人去打篮球”为事件， 则﹐的所有可能取值为0，2，4. 由于与互斥﹐与互斥，故﹐ ， 所以的分布列为 0 2 4 随机变量ξ的数学期望. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望、二项分布的概率求解，属于较难题. 7．有个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】C 【分析】利用古典概型概率公式和全概率公式，求出和，由比值确定大小关系. 【详解】设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则， 在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 更换后， 若一开始选中的无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换后， 故， 由于风吹掉为随机吹掉，故所有个盲盒中有个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，， 因此，故. 故选：C 【点睛】方法点睛：设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则，，利用的值，判断和的大小关系. 8．已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，，则下列说法正确的是（    ） A．存在， B．对任意， C．存在， D．对任意， 【答案】D 【分析】对A、B：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对C：先求，利用作差法比较大小；对D：换元令，结合二次函数求的取值范围. 【详解】由题意可得：，且，即， 对A、B：由题意可得：， ∵开口向下，对称轴，， 则，故，即， 不存在，，A错误； 例如，则，即存在，，，B错误； 对C：， 则， 故对任意，，则，C错误； 对D：令， 则图象开口向下，对称轴，且， 故，即， 对任意，，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据题意得到，，从而得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一箱儿童玩具中有3件正品，2件次品，现从中不放回地任取2件进行检测．记随机变量为检测到的正品的件数，则（    ） A．服从二项分布 B． C． D．最有可能取得的为1 【答案】BCD 【分析】根据超几何分布的概率公式计算得分布列，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意可知的分布列为： 0 1 2 对于A, 服从超几何分布，而不是二项分布，故A错误， 对于B，,故B正确， 对于C，，C正确， 对于D，由于为1时的概率最大，所以最有可能.D正确 故选：BCD 10．若随机变量服从正态分布，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据正态分布的对称性研究各选项的准确性即可. 【详解】根据正态分布图象的对称性可知：； ；. 对A：因为，所以A错误； 对B：因为，故B正确； 对C：因为，故C正确； 对D：因为 . 所以成立，故D正确. 故选：BCD 11．高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别计算出和的分布列，然后逐项进行计算即可求得. 【详解】由题意，，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个或选择个错误选项；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个，再从个正确选项中选一个，概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； ，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个， 概率为：； 对于A选项，， A错误； 对于B选项，； ；所以， B正确； 对于C选项，， ，C正确； 对于D选项，，D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由正态分布曲线的对称性求出，再利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】由可得，且， 则有：，解得：， 因为，所以，且， 则 当且仅当，即时等号成立， 即当时，的最小值为. 故答案为：. 13．甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球．乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为 ；第3次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为 ． 【答案】 【分析】根据全概率公式可得递推关系，即可代入求解. 【详解】次交换后，记甲的口袋中恰有1个白球的概率为，没有白球的概率为，． 当时，， ． 故答案为：， 14．甲、乙两同学进行某项没有平局的比赛，规定：每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一方先得到3分为止，先得3分的一方赢得比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.若比赛进行5局时甲获胜，则甲获胜的概率最大时的值为 . 【答案】/ 【分析】先求出比赛进行5局时甲恰好获胜3局的概率，再结合导函数得出函数单调性即可取得最大值时的值； 【详解】设比赛5局，甲恰好获胜3局的概率为，则， ， 因为所以当单调递增； 当单调递减； 所以当， 即时，甲获胜的概率最大. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是得到甲恰好获胜3局的概率关于的函数，从而利用导数即可得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可. （2）利用超几何分步计算的分布列和数学期望可得结果. （3）根据题意可知，利用二项分布期望公式计算可得结果. 【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， ∴的分布列为： ∴. （3）由题意得，， ∴. 16．某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【答案】(1)0.47725 (2)分布列见解析，1 (3). 【分析】（1）根据平均数与方差的计算公式计算出，再根据正态分布曲线的对称性计算概率； （2）写出二项分布的分布列，由二项分布的期望公式可得答案； （3）首先利用全概率公式计算出抽取的零件为次品的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得 . . 故，. 设表示零件直径，则，即. 则， ，即. （2）由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为， 则， ， ， ， ， 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望. （3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，， 则， ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为. 17．已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人答对每道题的概率分别为，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答. (1)求第一题结束时甲获得1分的概率； (2)记表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见详解， 【分析】（1）考虑甲先得1分，分为甲抢到答题并且答对，或者是乙抢到并且答错两种情况，分别计算概率即可； （2）在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率.的所有可能取值分别为，利用独立事件的乘法公式计算得出的分布列，求出即可. 【详解】（1）设每道题的抢答中，记甲得1分为事件. 发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错， ∴， ∴ 甲率先得1分的概率为. （2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率分别为， 设两人共抢答了道题比赛结束，根据比赛规则，的可能取值为. ， ， ， 2 4 5 . 18．某公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为． （ⅰ）请写出与的递推关系； （ⅱ）证明：数列为等比数列． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）通过分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再根据全概率公式即可求解，（ⅱ）观察递推关系，考虑利用待定系数法直接构造等比数列关系进行求解. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 则由题可知，， ，， ， 则由全概率公式可知居民第二天选择路线散步的概率． 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（ⅰ）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 故有． （ⅱ）由（ⅰ）知，设， 解得，则，由（1）知， 故数列是首项为，公比为的等比数列. 19．目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第1天的直播中有超过100万次的观看． (1)已知小李第1天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播的直播的概率； (2)若未来10天内虚拟主播的直播每天有超过100万次观看的概率均为，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为． ①判断为何值时，最大； ②记，求． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先求出小李第二天和第三天都没有观看虚拟主播直播的概率，然后利用对立事件的概率，即可求解； （2）①由已知服从二项分布，则，进而可得，然后利用比值与1比较大小，即可求解； ②因为，所以可能取值为1或，然后结合①分别求出和的概率代入，即可得解. 【详解】（1）由已知小李第天和第天都没有观看虚拟主播直播的概率为， 所以小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率为. （2）①由已知服从二项分布，所以， 由， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，最大. ②因为，所以或， 当时，， ， 当时，， ， . 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解服从二项分布，由二项分别公式利用与1进行比较大小，得到最大时的取值；由，得到可能取值为1或是所对应的值，结合二项式定理化简得到答案. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第29讲 随机变量及其分布综合检测（能力提升） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量的分布列如下， 若，则下列结论正确的是（       ） -2 1 2 A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．随机变量，则 B．若随机变量，，则 C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D．从除颜色外完全相同的个红球和个白球中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布； 4．已知甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用表示事件“从甲罐出的球是红球”，表示事件“从甲罐中取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，，则下列判断不正确的是（    ）（参考：超几何分布其均值） A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布 C． D． 6．现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球.用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量的数学期望为（    ） A． B． C． D． 7．有个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 8．已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，，则下列说法正确的是（    ） A．存在， B．对任意， C．存在， D．对任意， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一箱儿童玩具中有3件正品，2件次品，现从中不放回地任取2件进行检测．记随机变量为检测到的正品的件数，则（    ） A．服从二项分布 B． C． D．最有可能取得的为1 10．若随机变量服从正态分布，设，则（    ） A． B． C． D． 11．高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，则的最小值为 . 13．甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球．乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为 ；第3次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为 ． 14．甲、乙两同学进行某项没有平局的比赛，规定：每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一方先得到3分为止，先得3分的一方赢得比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.若比赛进行5局时甲获胜，则甲获胜的概率最大时的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求. 16．某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 17．已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人答对每道题的概率分别为，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答. (1)求第一题结束时甲获得1分的概率； (2)记表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求的分布列与期望. 18．某公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为． （ⅰ）请写出与的递推关系； （ⅱ）证明：数列为等比数列． 19．目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第1天的直播中有超过100万次的观看． (1)已知小李第1天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播的直播的概率； (2)若未来10天内虚拟主播的直播每天有超过100万次观看的概率均为，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为． ①判断为何值时，最大； ②记，求． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$