第37讲 概率统计必刷31题（最新模考好题）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第37讲 概率统计必刷31题 【题型一：超几何分布】 1．（2024·辽宁·二模）小明从4双鞋中，随机一次取出2只， (1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率； (2)若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望， 2．（2024·上海长宁·一模）2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”.    (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人. ①简述如何采用抽签法任选2人； ②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由. 3．（2024·北京海淀·一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下： A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30 B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响. (1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率； (2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望； (3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明） 【题型二：二项分布】 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点的横坐标，另一枚的点数记为点的纵坐标，令事件“”，事件“为奇数”. (1)证明：事件相互独立； (2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点在圆内的次数的分布列与期望. 5．（2024·甘肃白银·一模）某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为. (1)若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小； (2)现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望. 6．（2024·浙江·模拟预测）随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均，且抢票结果相互独立 (1)为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票； (2)由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由． 7．（2024·河北保定·三模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X. (1)当时，求； (2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数a，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有96％的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，试估计信号发射次数n的最小值. 8．（2024·河北·三模）某学校的数学兴趣小组对学校学生的冰雪运动情况进行调研，发现约有的学生喜欢滑雪运动．从这些被调研的学生中随机抽取3人进行调查，假设每个学生被选到的可能性相等． (1)记表示喜欢滑雪运动的人数，求的数学期望． (2)若该数学兴趣小组计划在全校学生中抽选一名喜欢滑雪运动的学生进行访谈．抽选规则如下：在全校学生中随机抽选一名学生，如果该学生喜欢滑雪运动，就不再抽选其他学生，结束抽选活动；如果该学生不喜欢滑雪运动，则继续随机抽选，直到抽选到一名喜欢滑雪运动的学生为止，结束抽选活动．并且规定抽取的次数不超过次，其中小于当次调查的总人数．设在抽选活动结束时，抽到不喜欢滑雪运动的学生的人数为，求抽到名学生不喜欢滑雪运动的概率． 9．（2024·全国·模拟预测）某中学为积极贯彻并落实教育部提出的“五育并举”措施，在军训期间成立了自动步枪社团来促进同学们德智体美劳全面发展，在某次军训课上该自动步枪社团的某同学进行射击训练，已知该同学每次射击成功的概率均为. (1)求该同学进行三次射击恰好有两次射击成功的概率； (2)若该同学进行三次射击，第一次射击成功得2分，第二次射击成功得2分，第三次射击成功得4分，记为三次射击总得分，求的分布列及数学期望. 【题型三：独立事件的乘法公式】 10．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件． (1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率； (2)求该生两次投篮得分的分布列及数学期望． 11．（2024·全国·模拟预测）2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团获得40金27银24铜．某校为让学生了解更多有关奥运会的知识，举行了答题闯关活动，第一关有10道题，且每一题都要作答，每道题答对得5分，否则得0分；第二关有道题，依次作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题，每道题答对得10分，否则得0分．小军第一关每题答对的概率均为，第二关每题答对的概率均为，设小军第一关答题的总得分为，第二关答题的总得分为． (1)求的数学期望； (2)求的数学期望； (3)若小军第二关的总得分的数学期望高于第一关的总得分的数学期望，求的最小值．（，） 12．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人进球与否互不影响. (1)若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？ 【题型四：正态分布】 13．（2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2024年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下： 脐橙数量/盒 购物群数量/个 12 18 32 18 (1)求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数； (2)假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，则，，. 14．（2024·江苏·三模）某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布不低于85的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱100件包装出厂.某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的为“一等品”，其余的为“二等品” (1)从一箱产品中任取1件，求该产品是“一等品”的概率； (2)从一箱产品中任取3件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望. 15．（2024·四川内江·一模）某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 16．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，已知这种球的质量指标（单位：）服从正态分布，其中.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜均概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点； (3)以（2）中作为的值，在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列. 参考数据：，则，. 17．（2024·浙江·模拟预测）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差. (1)经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； (2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则，，. 【题型五：独立性检验】 18．（2024·四川绵阳·一模）近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． (1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 参考公式及数据：． α 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的． (1)完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关． 近视 不近视 合计 男 25 40 女 20 合计 40 60 (2)按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数的分布列和数学期望． 附：． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 20．（2024·江西九江·二模）据统计，截止2024年十月底，中国网络购物用户规模近8亿人.据统计社区100户居民的网上购物情况如下图表所示： (1)是否有的把握认为社区的居民是否喜欢网上购物与年龄有关？ (2)用频率估计概率，现从社区居民中随机抽取20位，记其中喜欢网上购物的居民人数为，表示20位居民中有位居民喜欢网上购物的概率，当取得最大值时，求的值． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【题型六：线性回归】 21．（2024·广东·模拟预测）某大学生参加社会实践活动，对某公司月份至月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示： 月份 销售单价元 销售量件 (1)根据至月份的数据，求出关于的回归直线方程； (2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问中所得到的回归直线方程是否理想？ (3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从中的关系，若该种机器配件的成本是元件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？注：利润销售收入成本． 参考公式：回归直线方程，其中， 22．（2024·山西晋中·模拟预测）网络营销是利用互联网和数字技术开展的一种营销方式，包括电子商务营销、搜索引擎营销、社交媒体营销等多种形式.通过网络营销，商家可以更加直接高效地与消费者进行交流和互动，提高品牌美誉度和市场份额.视频营销成为一种网络营销“新宠”.某礼品店应用视频营销销售礼品，2024年1月到8月出售的礼盒数量及利润情况的相关数据如下表所示. 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 月销售量/千个 3 4 5 6 7 9 10 12 月利润/万元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 (1)求出月利润y（万元）关于月销售量x（千个）的回归方程（精确到0.01），并估计月利润不小于12.4万元时月销售量的最小值. (2)2024年亚运会前夕，该店售卖装有亚运会吉祥物“琮琮”“宸宸”和“莲莲”玩偶的三款礼盒，小丽同学购买了5个装有“琮琮”玩偶的礼盒，4个装有“宸宸”玩偶的礼盒，3个装有“莲莲”玩偶的礼盒，从中随机选出3个作为元旦礼物赠送给同学.用X表示3个礼盒中装有“宸宸”玩偶的礼盒个数，求X的分布列和数学期望. 参考数据：，. 附：线性回归方程中，，. 23．（2024·海南海口·二模）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得，，，，. (1)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合； (2)求关于的线性回归方程； (3)某科研机构研发了两款垃圾处理机器，如表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表： 使用年限 台数 款式 1年 2年 3年 4年 5年 甲款 5 20 15 10 50 乙款 15 20 10 5 50 某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率.根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？ 参考公式：相关系数 . 对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 24．（2024·陕西安康·模拟预测）某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比学员已经训练了1年，下表记录了学员最近七周“准点球”的百分比： 周次 1 2 3 4 5 6 7 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3 若. (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱）（精确到0.01） (2)求关于的线性回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比（精确到0.01）； (3)若现在认为学员“准点球”的百分比为，并以此为概率，现让学员打3个球，以表示“准点球”的个数，求的分布列及数学期望. 参考公式和数据：对于一组数据， 25．（2024·山东聊城·三模）今年五一节期间，聊城百货大楼有限公司搞促销活动，下表是该公司5月1号至10号（日期简记为1，2，3，……，10）连续10天的销售情况： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售额（万元） 19 19.3 19.6 20 21.2 22.4 23.8 24.6 25 25.4 由上述数据，用最小二乘法得到销售额和日期的线性回归方程为，日期的方差约为3.02，销售额的方差约为2.59. (1)根据线性回归方程，分析销售额随日期变化趋势的特征，并计算第4天的残差； (2)计算相关系数，并分析销售额和日期的相关程度（精确到0.001）； (3)该公司为了促销，拟打算对电视机实行分期付款方式销售，假设顾客购买一台电视机选择分期付款的期数及相应的概率和公司获得的利润（单位：元）情况如下表： 2 4 6 400 600 800 已知成等比数列. 设该公司销售两台电视机所获得的利润为（单位：元），当的概率取得最大值时，求利润的分布列和数学期望. 参考公式：相关系数.回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：.相关数据. 【题型七：非线性回归】 26．（2024·内蒙古包头·二模）某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 6 8 10 13 13 22 31 42 50 56 58 根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：模型①：模型②：. (1)根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型； (2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附：刻画回归效果的相关指数越大，模型的拟合效果越好） 27．（2024·湖南邵阳·三模）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程. (3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 28．（2024·河北沧州·模拟预测）“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下： 人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有，，，. (1)（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； （ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 (2)根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布.购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大? 附：若随机变量，则，； 样本的最小二乘估计公式为：，，. 【题型八：新定义问题】 29．（2024·广东·模拟预测）设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为：．已知条件数学期望满足全期望公式：．解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）： ①直接死亡；②分裂为2个个体． 设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，． (1)求； (2)求； (3)已知，证明：随着n的增大而增大． 30．（2024·四川成都·一模）某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了两个套餐服务，顾客可自由选择两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期 1 2 3 4 5 6 销售量（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：. 参考公式：. (1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求关于的经验回归方程； (2)若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐包含两张优惠券，套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求； (3)请根据下列定义，解决下列问题： （i）定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列收敛于. （ii）运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛. 31．（2024·湖北·一模）在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117 数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6 物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84 物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1 (1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率； (2)已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值. (3)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01） （参考公式：相关系数） ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第37讲 概率统计必刷31题 【题型一：超几何分布】 1．（2024·辽宁·二模）小明从4双鞋中，随机一次取出2只， (1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率； (2)若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）利用组合的知识，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）根据题意确定X的取值：0，1，2；然后分别求出概率，列出分布列，计算期望即可. 【详解】（1）由题可得：取出2只都不来自同一双的概率为：. （2）由题可知X的取值为：0，1，2， ，，， 故X的分布列为： X 0 1 2 P ， 故. 2．（2024·上海长宁·一模）2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”.    (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人. ①简述如何采用抽签法任选2人； ②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由. 【答案】(1)80 (2)①答案见解析；②事件A与事件B不独立，理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图求得的值，然后求得“青年人”人数占比，从而可得“青年人”人数； （2）①利用简单随机抽样设计抽签法任选2人即可；②根据独立事件判断公式，结合超几何分布概率问题求解，从而可得结论. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得：， 又“青年人”占比为， 所以所抽取的“青年人”人数为人； （2）①先将10名参会者进行编号：1、2、、10，并将10个号码写在完全相同的纸片上， 放入某容器中充分混合均匀，再取出2张，2张纸片上所对应的参会者就是要选取的人， ②“青年人”“中年人”“老年人”的人数之比为， 所以10人中“中年人”共有5人， 2人均为“中年人”的概率， 2人中至少有1人为男性的概率， 2人均为“中年人”且至少有1人为男性的概率， 因为，所以事件A与事件B不独立. 3．（2024·北京海淀·一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下： A组：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30 B组：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响. (1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率； (2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为，估计的数学期望； (3)从组和组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差与的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）由题可知，X的可能取值为0，1，2，再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出； （3）根据方差公式计算可知，． 【详解】（1）设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件，在组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则. （2）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为， 二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为， 可知：X的可能取值为0，1，2，则有： ，， ， 所以． （3）依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布， ，，， ，，， 因为，， 可得， ， 所以． 【题型二：二项分布】 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点的横坐标，另一枚的点数记为点的纵坐标，令事件“”，事件“为奇数”. (1)证明：事件相互独立； (2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点在圆内的次数的分布列与期望. 【答案】(1)证明见解析, (2)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）要证明事件相互独立的充要条件是，所以先要去求出，，，然后再根据充要条件加以判断； （2）先求出抛掷这两枚骰子一次，满足点在圆内的概率，然后根据连续抛掷三次，说明，即可用二项分布的概率公式计算分布列和求出期望. 【详解】（1）证明：由题意可知点的坐标有种，其中事件所包含的基本事件有 ，，，，，，共6种，所以， 事件所包含的基本事件有种，所以， 积事件有，，，共3种，所以， 满足，所以事件A、B相互独立； （2）点P在圆内的基本事件有：，，，，，，共6种 ， 所以点P在圆内的概率为， 由题意可知，， ， ， ， ， 所以，X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 5．（2024·甘肃白银·一模）某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为. (1)若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小； (2)现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望. 【答案】(1) (2)安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标，分布列见解析， 【分析】（1）根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）设导弹击中目标的个数为，根据题意，利用相互独立重复事件公式，即可求出分步列，再利用期望公式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，，所以. （2）因为，所以安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标. 设导弹击中目标的个数为，则， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 所以. 6．（2024·浙江·模拟预测）随着疫情防控政策的优化，国内演唱会市场迅速升温，一众热门歌手的演唱会现场更是“一座难求”．小林是林俊杰的粉丝，他很想参与林俊杰“JJ20”世界巡回演唱会-杭州站．主办方被小林的真诚打动，特为小林开辟了一个抢票通道，共100人从该通道参与抢票，每个人能抢到票的概率均，且抢票结果相互独立 (1)为保证该抢票通道不会出现故障（不存在抢到票却没有座位的人），主办方至少要为该通道预留多少张票； (2)由于主办方非常喜欢小林创立的数海漫游微信公众号，于是允许多个人帮小林一同抢票，但如果存在两个人都帮小林抢到了票（包括小林自己），则小林因为“一人多票”，无法观看演出．那么，你建议小林额外找几个人帮他一起抢票呢?请说明理由． 【答案】(1)100 (2)18或19 【分析】（1）因为这100人均有可能抢到票，根据极大化原则分析判断； （2）设小林额外找个人帮他一起抢票，可得抢到票的概率为，进而求其最大值即可判断. 【详解】（1）因为这100人均有可能抢到票，若要保证该抢票通道不会出现故障， 所以主办方至少要为该通道预留100张票. （2）若小林额外找个人帮他一起抢票， 则抢到票的概率为， 可得， 令，解得；令，解得；令，解得； 即， 所以小林额外找18或19个人帮他一起抢票. 7．（2024·河北保定·三模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X. (1)当时，求； (2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数a，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有96％的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，试估计信号发射次数n的最小值. 【答案】(1) (2)157 【分析】（1）根据二项分布的概率公式计算； （2）运用二项分布公式算出和，再根据题意求出中a的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解. 【详解】（1）由已知， 所以； （2）由已知，所以，， 若，则，即， 即， 由切比雪夫不等式， 要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，则， 解得，所以估计信号发射次数n的最小值为157. 8．（2024·河北·三模）某学校的数学兴趣小组对学校学生的冰雪运动情况进行调研，发现约有的学生喜欢滑雪运动．从这些被调研的学生中随机抽取3人进行调查，假设每个学生被选到的可能性相等． (1)记表示喜欢滑雪运动的人数，求的数学期望． (2)若该数学兴趣小组计划在全校学生中抽选一名喜欢滑雪运动的学生进行访谈．抽选规则如下：在全校学生中随机抽选一名学生，如果该学生喜欢滑雪运动，就不再抽选其他学生，结束抽选活动；如果该学生不喜欢滑雪运动，则继续随机抽选，直到抽选到一名喜欢滑雪运动的学生为止，结束抽选活动．并且规定抽取的次数不超过次，其中小于当次调查的总人数．设在抽选活动结束时，抽到不喜欢滑雪运动的学生的人数为，求抽到名学生不喜欢滑雪运动的概率． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）由题意服从二项分布，由二项分布期望公式直接可得解； （2）由题意可知，时，前次取到是不爱好滑雪的人，第次取到爱好滑雪得的人，利用独立事件的乘法公式求解，当时，取到的所以人都不爱好滑雪，活动结束. 【详解】（1）由题意，， ， . （2）由题意，的可能取值为， ，， ，， ， ， 综上，. 9．（2024·全国·模拟预测）某中学为积极贯彻并落实教育部提出的“五育并举”措施，在军训期间成立了自动步枪社团来促进同学们德智体美劳全面发展，在某次军训课上该自动步枪社团的某同学进行射击训练，已知该同学每次射击成功的概率均为. (1)求该同学进行三次射击恰好有两次射击成功的概率； (2)若该同学进行三次射击，第一次射击成功得2分，第二次射击成功得2分，第三次射击成功得4分，记为三次射击总得分，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望4 【分析】（1）由互斥加法、独立乘法公式即可求解； （2），求出对应的概率即可得分布列，进一步即可求得数学期望. 【详解】（1）记“该同学进行三次射击恰好有两次射击成功为事件”， 则. （2）设事件分别表示第一次射击成功，第二次射击成功，第三次射击成功， 根据题意可知. 故； ； ； ； . 所以的分布列为： 0 2 4 6 8 故的数学期望. 【题型三：独立事件的乘法公式】 10．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件． (1)求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率； (2)求该生两次投篮得分的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率，踩线及3分线内侧投入的概率，不能入篮的概率，由此能求出该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率． （2）由已知得的可能取值为0，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望． 【详解】（1）“3分线外侧投入”，“踩线及3分线内侧投入”，“不能入篮”分别记为事件，，， 由题意知，，， 因为每次投篮为相互独立事件，故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为. （2）两次投篮后得分的可能取值为0，2，3，4，5，6, 由于该生两次投篮互不影响，是相互独立事件， 表示两次投篮都不能入篮，即得分都为0， 则； 表示一次是踩线及3分线内侧投入，另一次不能入篮， 则； 表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮， 则； 表示两次都是踩线及3分线内侧投入， 则； 表示一次是3分线外侧投入，另一次是踩线及3分线内侧投入， 则； 表示两次都是3分线外侧投入，则， 故的分布列为 0 2 3 4 5 6 所以. 11．（2024·全国·模拟预测）2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团获得40金27银24铜．某校为让学生了解更多有关奥运会的知识，举行了答题闯关活动，第一关有10道题，且每一题都要作答，每道题答对得5分，否则得0分；第二关有道题，依次作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题，每道题答对得10分，否则得0分．小军第一关每题答对的概率均为，第二关每题答对的概率均为，设小军第一关答题的总得分为，第二关答题的总得分为． (1)求的数学期望； (2)求的数学期望； (3)若小军第二关的总得分的数学期望高于第一关的总得分的数学期望，求的最小值．（，） 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）根据二项分布的概念得到小军第一关答对题数服从二项分布，再得出小军第一关答题的总得分与的关系结合数学期望的性质计算； （2）先求的所有可能取值及取每个值时相应的概率，再利用错位相减法求的数学期望； （3）根据已知列式，化简得出，应用指对数转化结合已知对数值化简即可求出的最小值. 【详解】（1）设小军第一关答对题数为，则， 由题意可知服从二项分布，即，故， 故． （2）由题意知的所有可能取值为0，10，20，…，， 且，， ，， 以此类推，，， 所以， ， 两式相减得 ， 所以 （3）由题意得，即， 化简得， 两边同时取自然对数，得， 即， 由于为整数，故， 因此小军第二关的总得分的数学期望高于第一关的总得分的数学期望时，的最小值为7． 【点睛】方法点睛：求数学期望是等差数列乘以等比数列求和，应用错位相减法即可求出数学期望. 12．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人进球与否互不影响. (1)若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？ 【答案】(1)； (2)12. 【分析】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，表示乙在一轮比赛中投进个球，根据，结合独立重复试验的概率公式可得； （2）设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，先求，然后根据二项分布期望公式列不等式得，令，，利用导数求最值即可得解. 【详解】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球， 表示乙在一轮比赛中投进个球， 则，， ，； ，， ，. 则乙在一轮比赛中获得一个积分的概率为： . （2），. 设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则 ； 设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分， 显然，故， 要满足题意，则，即， 又，故， 令，，则在恒成立， 故在上单调递增， 又的最大值为， 则的最大值为，的最小值为， 而 故理论上至少要进行12轮比赛. 【题型四：正态分布】 13．（2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2024年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下： 脐橙数量/盒 购物群数量/个 12 18 32 18 (1)求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数； (2)假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，则，，. 【答案】(1)20；平均数为376 (2)奖金约为95700元 【分析】（1）利用频数之和等于样本总数易得值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得； （2）由题意，结合（1）的结果易得的值，根据“级群”， “特级群”的范围，利用正态分布曲线的对称性，求出对应的概率，再计算出需准备的奖金即可. 【详解】（1）由题意得，，解得. 则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为. （2）由题意，则， 故 ， 故“级群”约有个； ， 故“特级群”约有个； 则依题意，需要资金为元，即该脐橙基地大约需要准备95700元. 14．（2024·江苏·三模）某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布不低于85的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱100件包装出厂.某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的为“一等品”，其余的为“二等品” (1)从一箱产品中任取1件，求该产品是“一等品”的概率； (2)从一箱产品中任取3件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望 【分析】（1）利用正态分布、条件概率公式计算可得答案； （2）求出的所有可能取值及相应的概率，利用期望公式可得答案. 【详解】（1）， 记事件为该产品为合格品，事件为该产品是一等品， ， 该产品是一等品的概率为； （2）的所有可能取值为， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 的数学期望， 或由的二项分布. 15．（2024·四川内江·一模）某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率； (2)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由． 附：若，则，，；． 【答案】(1) (2)有，理由见解析 (3)先答类问题，理由见解析 【分析】（1）计算出预赛成绩不低于分的人数和预赛成绩不低于分的学生人数，利用组合计数原理结合古典概型、对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）计算出、的值，可得出，计算出的值，与比大小，可得出结论； （3）计算出学生甲先回答类问题、先回答类问题得分的期望值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，抽取的人中，预赛成绩不低于分的人数为， 预赛成绩不低于分的学生人数为， 因此，从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人， 至少有人预赛成绩优良的概率为. （2）由频率分布直方图可知，， ，， ， 所以，小明有资格参加复赛. （3）若学生甲先答类问题，设他的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 若学生甲先答类问题，设该同学的得分为随机变量，则的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 则， 所以，，因此，学生甲应先回答类问题. 16．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，已知这种球的质量指标（单位：）服从正态分布，其中.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜均概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点； (3)以（2）中作为的值，在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列. 参考数据：，则，. 【答案】(1)0.02275；证明见解析. (2)； (3)分布列见解析 【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求得结果； （2）由题意可得，利用导数即可求得； （3）利用二项分布求概率公式求出X对应的概率，写出分布列即可求得结果. 【详解】（1），又， 所以. 因为，根据正态曲线对称性，， 又因为，所以. （2）， . 令，得. 当时，在上为增函数； 当时，在上为减函数. 所以的最大值点，从而. （3）的可能取值为. ， 所以的分布列为 3 2 1 0 17．（2024·浙江·模拟预测）某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差. (1)经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； (2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】(1) (2)200 【分析】（1）根据正态分布的区间的概率，以及对称性，即可求解； （2）首先分析得是等比数列，再利用累加法求，由此估计获得一等奖的人数. 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以这一天该款手机的销量恰好在之间的概率为； （2）每一次摸到红球和白球的概率都是， 设积分为， ， ， ， 依次类推， ， 且，，， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， ， ， ， 则人， 所以估计获得一等奖的顾客人数为200人. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断数列是等比数列，从而利用累加法求和. 【题型五：独立性检验】 18．（2024·四川绵阳·一模）近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． (1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 参考公式及数据：． α 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，男生有报考军事类院校意向的概率为，女生有报考军事类院校意向的概率为 (2)能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关 【分析】（1）先填写列联表，再根据古典概型概率计算公式求得正确答案. （2）计算的知识，从而作出判断. 【详解】（1）根据已知条件，填写列联表如下： 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 100 400 500 女学生 100 300 400 合计 200 700 900 男生有报考军事类院校意向的概率为， 女生有报考军事类院校意向的概率为. （2）， 所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 19．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的． (1)完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关． 近视 不近视 合计 男 25 40 女 20 合计 40 60 (2)按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数的分布列和数学期望． 附：． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，性别与学生近视情况无关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据已知中的数据信息可以补全列联表，并利用卡方公式进行计算，根据小概率值的独立性检验，把卡方值与比较，从而作出判断． （2）利用分层抽样确定样本中8人，男生有6人，女生有2人，再从中抽取2人，然后利用超几何分布相关知识即可求解． 【详解】（1）由题意，男生与女生的人数之比是， 所以男生有人，女生有人， 男生近视的人数占总人数的，所以有人，男生中不近视的人数为人， 男生与女生总的近视人数占总人数的，所以总的近视人数为人， 则女生中近视的人数为人， 可得如下列联表： 近视 不近视 合计 男 25 15 40 女 15 5 20 合计 40 20 60 零假设为：性别与近视情况独立，即性别因素与学生近视情况无关； 所以， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即性别因素与学生近视情况无关； （2）男生与女生总的近视的学生一共有40人，其中男生近视人数是25人，女生近视人数是15人， 从中抽取8人，抽到的男生人数为人，女生人数为人； 所以的所有可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 则． 20．（2024·江西九江·二模）据统计，截止2024年十月底，中国网络购物用户规模近8亿人.据统计社区100户居民的网上购物情况如下图表所示： (1)是否有的把握认为社区的居民是否喜欢网上购物与年龄有关？ (2)用频率估计概率，现从社区居民中随机抽取20位，记其中喜欢网上购物的居民人数为，表示20位居民中有位居民喜欢网上购物的概率，当取得最大值时，求的值． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有 (2)12 【分析】（1）根据题意，建立列联表，求出的值，由独立性检验分析可得结论； （2）根据题意，求出喜欢网上购物的频率，分析可得，计算的值，将其值与1比较可得当时，有，当时，有，进而分析可得答案． 【详解】（1）根据题意，由统计图可得列联表： 喜欢 不喜欢 合计 45岁以上 20 30 50 不超过45岁 40 10 50 合计 60 40 100 则， 则有的把握认为社区的居民喜欢网上购物与年龄有关； （2）根据题意，社区的居民中，喜欢网上购物的频率， 现从社区居民中随机抽取20位，记其中喜欢网上购物的居民人数为，则， 故， 则有， 由于，2，，20， 当时，，则有， 当时，，则有， 故时，取得最大值． 【题型六：线性回归】 21．（2024·广东·模拟预测）某大学生参加社会实践活动，对某公司月份至月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示： 月份 销售单价元 销售量件 (1)根据至月份的数据，求出关于的回归直线方程； (2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问中所得到的回归直线方程是否理想？ (3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从中的关系，若该种机器配件的成本是元件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？注：利润销售收入成本． 参考公式：回归直线方程，其中， 【答案】(1) (2)可以认为所得到的回归直线方程是不理想的 (3)该产品的销售单价定为元件时，获得的利润最大 【分析】（1）计算、，求出回归系数，写出回归直线方程； （2）根据回归直线方程，计算对应的数值，判断回归直线方程是否理想； （3）求销售利润函数，根据二次函数的图象与性质求最大值即可． 【详解】（1）因为， 所以， 于是关于的回归直线方程为； （2）当时，， 因为， 所以可以认为所得到的回归直线方程是不理想的； （3）令销售利润为， 则， 因为， ， 当且仅当，即时，取最大值． 所以该产品的销售单价定为元件时，获得的利润最大． 22．（2024·山西晋中·模拟预测）网络营销是利用互联网和数字技术开展的一种营销方式，包括电子商务营销、搜索引擎营销、社交媒体营销等多种形式.通过网络营销，商家可以更加直接高效地与消费者进行交流和互动，提高品牌美誉度和市场份额.视频营销成为一种网络营销“新宠”.某礼品店应用视频营销销售礼品，2024年1月到8月出售的礼盒数量及利润情况的相关数据如下表所示. 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 月销售量/千个 3 4 5 6 7 9 10 12 月利润/万元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 (1)求出月利润y（万元）关于月销售量x（千个）的回归方程（精确到0.01），并估计月利润不小于12.4万元时月销售量的最小值. (2)2024年亚运会前夕，该店售卖装有亚运会吉祥物“琮琮”“宸宸”和“莲莲”玩偶的三款礼盒，小丽同学购买了5个装有“琮琮”玩偶的礼盒，4个装有“宸宸”玩偶的礼盒，3个装有“莲莲”玩偶的礼盒，从中随机选出3个作为元旦礼物赠送给同学.用X表示3个礼盒中装有“宸宸”玩偶的礼盒个数，求X的分布列和数学期望. 参考数据：，. 附：线性回归方程中，，. 【答案】(1)，17 (2)答案见解析. 【分析】（1）根据所给数据，结合参考公式直接计算即可求解； （2）写出X的所有可能，求对应概率即可得出分布列，由期望公式计算期望即可. 【详解】（1），根据参考数据可得， 所以 故月利润关于月销售量x的回归方程为； 月利润不小于12.4万元时,可得,利润不小于12.4万元时月销售量的最小值17千个. （2）由题中数据可知5个装有“琮琮”玩偶的礼盒，4个装有“宸宸”玩偶的礼盒，3个装有“莲莲”玩偶的礼盒， X的所有可能取值为0,1,2,3， , ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P . 23．（2024·海南海口·二模）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得，，，，. (1)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合； (2)求关于的线性回归方程； (3)某科研机构研发了两款垃圾处理机器，如表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表： 使用年限 台数 款式 1年 2年 3年 4年 5年 甲款 5 20 15 10 50 乙款 15 20 10 5 50 某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率.根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？ 参考公式：相关系数 . 对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】(1)与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合； (2)； (3)该县城选择购买一台乙款垃圾处理机器更划算. 【分析】（1）求出相关系数，即可判断与之间的线性相关关系，是否可用线性回归模型进行拟合； （2）求出回归直线方程的系数，即可得到回归直线方程； （3）求出以频率估计概率，甲款使用年限（单位：年）的分布列，求出期望.乙款垃圾处理机器使用年限（单位：年）的分布列，求出期望，即可推出该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久. 【详解】（1）由题意知相关系数， 因为与的相关系数接近1， 所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合. （2）由题意可得，，所以. （3）以频率估计概率，甲款垃圾处理机器的使用年限的分布列为： 1 2 3 4 5 0.05 0.2 0.15 0.1 0.5 ； 乙款垃圾处理机器的使用年限的分布列为： 1 2 3 4 5 0.15 0.2 0.1 0.05 0.5 ， 因为，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机更划算. 24．（2024·陕西安康·模拟预测）某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比学员已经训练了1年，下表记录了学员最近七周“准点球”的百分比： 周次 1 2 3 4 5 6 7 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3 若. (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱）（精确到0.01） (2)求关于的线性回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比（精确到0.01）； (3)若现在认为学员“准点球”的百分比为，并以此为概率，现让学员打3个球，以表示“准点球”的个数，求的分布列及数学期望. 参考公式和数据：对于一组数据， 【答案】(1)0.94，与线性相关性很强 (2)， (3)分布列见解析，. 【分析】（1）根据题意中的公式求出相关系数r，结合其表示的意义即可下结论； （2）根据最小二乘法计算可得，进而，将代入即可求解； （3）由题意可知，利用二项分布求出对应的概率，列出X的分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1） 故与线性相关性很强. （2）， ， 所以关于的线性回归方程为， 将代入， 得. 当时，， 故预测第9周“准点球”的百分比为. （3）现在A学员任打一球是“准点球”的概率为：， 由题意， 则，， ，. 分布列为 0 1 2 3 数学期望. 25．（2024·山东聊城·三模）今年五一节期间，聊城百货大楼有限公司搞促销活动，下表是该公司5月1号至10号（日期简记为1，2，3，……，10）连续10天的销售情况： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售额（万元） 19 19.3 19.6 20 21.2 22.4 23.8 24.6 25 25.4 由上述数据，用最小二乘法得到销售额和日期的线性回归方程为，日期的方差约为3.02，销售额的方差约为2.59. (1)根据线性回归方程，分析销售额随日期变化趋势的特征，并计算第4天的残差； (2)计算相关系数，并分析销售额和日期的相关程度（精确到0.001）； (3)该公司为了促销，拟打算对电视机实行分期付款方式销售，假设顾客购买一台电视机选择分期付款的期数及相应的概率和公司获得的利润（单位：元）情况如下表： 2 4 6 400 600 800 已知成等比数列. 设该公司销售两台电视机所获得的利润为（单位：元），当的概率取得最大值时，求利润的分布列和数学期望. 参考公式：相关系数.回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：.相关数据. 【答案】(1)日期每增加一天，销售额约增加万元，第4天的残差为 (2)，销售额和日期的相关程度较强 (3)分布列见解析，1200 【分析】（1）根据线性回归方程特点分析，再将代入回归方程计算，利用残差定义求解即可； （2）由相关系数的公式结合题中的数据计算，然后根据相关系数与1比较即可判断； （3）先根据等比中项性质得，，由题意可得的可能取值有，计算其对应的概率，利用基本不等式求得的概率取得最大值时，从而列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）根据线性回归方程，日期每增加一天，销售额约增加万元， 把代入回归直线方程，得， 因为，所以第4天的残差为； （2）由得， 比较接近于1，故销售额和日期的相关程度较强. （3）由成等比数列，得，且， 设其公比为，则，所以， 由题意可得的值分别为， 则，，， ，， 又，取得最大值的条件即， 此时， 故分布列为： 800 1000 1200 1400 1600 期望. 【题型七：非线性回归】 26．（2024·内蒙古包头·二模）某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 6 8 10 13 13 22 31 42 50 56 58 根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：模型①：模型②：. (1)根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型； (2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附：刻画回归效果的相关指数越大，模型的拟合效果越好） 【答案】(1)模型①的相关指数小于模型②的相关指数，即模型②的拟合效果精度更高､更可靠. (2)198.6 【分析】（1）利用相关指数的定义判断相关性即可. （2）将给定数值代入拟合模型中求预测值即可. 【详解】（1）由表格中的数据，， 所以，模型①的相关指数小于模型②的相关指数， 即模型②的拟合效果精度更高､更可靠. （2）当万元时，科技升级直接收益的预测值为： （万元） 27．（2024·湖南邵阳·三模）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程. (3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)更适合 (2) (3)能 【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型. （2）将两边取对数，转化为线性回归方程，利用表中的数据和线性回归方程公式求解即可. （3）应用卡方公式求卡方值，由独立性检验的基本思想下结论即可. 【详解】（1）依据散点图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型. （2）由，得， 依题意得， ， 所以，即. （3）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联， 此推断犯错误的概率不超过0.10. 28．（2024·河北沧州·模拟预测）“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下： 人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有，，，. (1)（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； （ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 (2)根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布.购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大? 附：若随机变量，则，； 样本的最小二乘估计公式为：，，. 【答案】(1)（i）；（ii）答案见解析 (2) 【分析】（1）（i）根据公式计算得到回归直线方程；（ii）通过比较的大小可得到拟合效果的差异，将代入回归方程可得到预测值. （2）根据正态分布的对称性得到，购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为只，故，由间接法列式得到结果即可； 【详解】（1）（i）由， 有， 且， 所以模型②中关于的回归方程为. （ii）由表格中的数据，有，即， 模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 当时，模型②的收益增量的预测值为 （万元）， 这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠． （2）由已知单个“南澳牡蛎”质量，则， 由正态分布的对称性可知， ， 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于的牡蛎为只， 故， 所以， 所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于的牡蛎的可能性仅为． 【题型八：新定义问题】 29．（2024·广东·模拟预测）设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为：．已知条件数学期望满足全期望公式：．解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）： ①直接死亡；②分裂为2个个体． 设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，． (1)求； (2)求； (3)已知，证明：随着n的增大而增大． 【答案】(1)6 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）如果在第五天下午加入药物后，有K个个体分裂，可得，可求； （2）随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，则且，可得设的取值集合为，则由全期望公式可求得结论； （3）由（2）可知，可求得，进而可得. 【详解】（1）在事件发生的条件下，如果在第五天下午加入药物后，有K个个体分裂， 则，， 所以，． （2）由（1）可类似得到：在事件发生的条件下，如果在第天下午加入药物之后， 有个个体分裂，则的取值为． 在事件发生的条件下，令随机变量Z表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目， 则且． 因此． 设的取值集合为，则由全期望公式可知 ． 这表明是常数列，所以． （3）由（2）可知 ， 这表明是公差为10的等差数列． 又因为，所以， 从而． 可以看出，随着n的增大而增大． 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是理解期望与方差的计算公式以及题意，尤其是二项分布的期望公式. 30．（2024·四川成都·一模）某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了两个套餐服务，顾客可自由选择两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期 1 2 3 4 5 6 销售量（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：. 参考公式：. (1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求关于的经验回归方程； (2)若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐包含两张优惠券，套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求； (3)请根据下列定义，解决下列问题： （i）定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列收敛于. （ii）运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到经验回归方程； （2）由题意可知时，，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； （3）分为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【详解】（1）由题意，，， ， ， 所以关于的经验回归方程为． （2）由题意，可知，， 当时，，即， ． 所以当时，数列为各项都为1的常数列， 即， 所以，，又， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以，即． （3）由第二问可知，， 当为偶数时，，且随的增大而减小， 因此的最大值为； 当为奇数时，，且随的增大而增大， 因此的最小值为， 综上所述，的最大值为,最小值为． 对于任意，总存在正整数，其中表示不超过的最大整数， 当时，， 所以数列收敛于． 【点睛】关键点点睛：时，，即可根据， 证明时，数列为各项都为1的常数列，进而可求解，对分奇偶，结合单调性求解收敛. 31．（2024·湖北·一模）在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117 数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6 物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84 物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1 (1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率； (2)已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值. (3)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01） （参考公式：相关系数） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）利用条件概率公式可求概率； （2）设，，分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为，结合已知计算可求得结论； （3）由已知得，计算可得，再结合图表可求. 【详解】（1）由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理优秀的有3名同学， 由条件根概率公式可得； （2）分析r的向量意义，设，则， 分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为， 则， ，， ， 夹角余弦值最大值为； （3）都是的一个排列， 同理 . 结合图表 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$