专题05 极化恒等式与向量数量积中最值问题（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第三册

专题05 极化恒等式与向量数量积中最值问题 目录 典例详解 类型一、极化恒等式求向量数量积 类型二、极化恒等式求向量数量积的最值 类型三、求模的取值范围 类型四、求向量夹角的取值范围 类型五、坐标法求向量数量积的取值范围 类型六、基底法求向量数量积的取值范围 类型七、投影法求向量数量积的取值范围 压轴专练 类型一、极化恒等式求向量数量积 1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明： ①， ②， 1 ②两式相加得： 从几何角度理解与记忆， 2、极化恒等式： ①②两式相减得极化恒等式： 从三角形的几何意义理解与记忆：极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 例1． （25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题设易得为等边三角形，可得，，进而得到，再结合平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】由，为中点，则， 因为，，所以为等边三角形， 则，，而，则， 由，， 所以 . 故选：B. 变式1-1．（25-26高三上·全国·月考）如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用向量的线性运算求出和，再利用向量的数量积公式即可求出答案. 【详解】由题意得，， ， 所以， 因为，，， 所以，，， 所以. 故选：A. 变式1-2．（湖南省长沙市2026届高三模拟考试数学试题）在中，，点为中点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据向量的线性运算，以及数量积的运算律即可求解. 【详解】如图， 因为，， 所以， 又点为中点， 所以,又， 所以. 故答案为： 变式1-3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知在中，是的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算可得，根据长度可求得结果. 【详解】 . 故选：C. 类型二、极化恒等式求向量数量积的最值 若题目中给出两个定点（或者为定长）与一个动点，为的中点，则根据极化恒等式有 由于长度固定，则数量积的范围由的范围来决定。 例2．（25-26高三上·山西晋城·月考）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 变式2-1．（25-26高三上·上海浦东新·期中）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：C. 变式2-2．（2025高三·全国·专题练习）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，则的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】ABC 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得，结合，即可求范围. 【详解】如图，则， 设弦的中点为，则， 由圆的性质知，则， 的取值范围是． 故选：ABC    变式2-3．（多选）（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为10 D．的最小值为8 【答案】ABC 【分析】结合点和点的轨迹可以判断A选项；由向量的数量积公式可知的最小值，判断B选项；利用向量的线性表示，得到，结合向量夹角的范围得到的范围，即得最大值和最小值，判断C、D两个选项. 【详解】A选项，设中点为，∵，，且， ∴，∴ 由题意可知，∵， ∴， 即，当，即同向时取得最小值1.故A正确； B选项，， ∵，即， ∴当，即反向时，取得最小值， ∴， 由图可知，当三点共线且在的两侧时，取得最大值为3， ∴，即最小值为，故正确； 选项C、D，， ∴ ， 而 ∵，∴， ∴ ∴， ∴， 即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误． 故选：ABC. 类型三、求模的取值范围 利用及，将模长问题转化为数量积运算，结合方程判别式、不等式或三角函数的有界性求解范围，注意等号成立时的几何意义。 例3．（25-26高二上·上海·开学考试）在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（    ）. A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将化简得，而是平面内垂直的单位向量得，从而得，而的最大值为1，所以可得的最大值. 【详解】设与的夹角为， 因为，， 所以， 所以， 因为是平面内垂直的单位向量，所以，所以， 因为，所以， 即当与的夹角为0时，. 故选：B 变式3-1．（25-26高三上·北京房山·期末）已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的性质，结合二次函数性质求解可得. 【详解】因为与的夹角为，所以， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取得最小值， 所以，所以，即的取值范围为. 故选：D 变式3-2．（25-26高一上·北京西城·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得，设，得到，求得的坐标，根据向量的坐标运算，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由，，， 因为，可得， 即，所以，所以， 设，因为，可得， 又因为，可得， 则， 可得 ， 令，可得， 则，其中， 因为， 当时，取得最大值，最大值为； 当时，取得最小值，最小值为； 所以的取值范围为. 故选：B. 变式3-3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律求得，再结合向量三角不等式求解即可. 【详解】由题意，均为单位向量，且， 则， 由，则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 类型四、求向量夹角的取值范围 利于向量数量积公式来计算向量的夹角。将夹角问题转化为的取值范围问题，通过已知的向量关系建立不等式或函数关系求解，注意余弦函数在 上的单调性。 例4．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【详解】由题可得， 又，所以. 故选：B 变式4-1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式表示出，再根据同角三角函数关系表示出，利用换元法和基本不等式即可求解． 【详解】∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 令， 则， ∴， 当且仅当，即2（此时）时等号成立． 即的最大值为． 故选：C． 变式4-2．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知向量，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方，得到，利用夹角余弦公式和基本不等式得到，从而求出正弦的最大值. 【详解】因为，两边平方得， 整理得， ， 当且仅当时等号成立，所以. 故的最大值为. 故选：D 变式4-3．（25-26高三上·天津河西·期末）在中，，，，，且与交于点F，则 （用表示），若，则的最大值为 ． 【答案】 ； . 【分析】①先设，再由向量的线性运算及三点共线可得，从而可得；②再由，由向量的数量积为零可得关于的余弦值，再用基本不等式可得角的最大值. 【详解】如图：    设，则，且，所以. 又因为，所以，. 因为三点共线，设，则，即， 因为不共线，由平面向量基本定理得，解得 所以，. 若，设，则，即， ，，， 又因为，且在上单调递减， 所以，故的最大值为. 故答案为：；. 类型五、坐标法求向量数量积的取值范围 建系设坐标，用坐标来表示向量数量积，则数量积是关于参数的函数，可根据函数求最值的方法来最值。 例5．（25-26高三上·陕西商洛·期末）设向量，，则的最大值为（   ） A．13 B．8 C．5 D．10 【答案】B 【分析】根据向量的数量积坐标表示结合三角恒等变换即可求出答案. 【详解】 ，其中， 当时，取得最大值8. 故选：B. 变式5-1．（多选）（25-26高三上·湖南·期中）已知平面向量满足，且，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最大值为5 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出及，建立平面直角坐标系，设并求出的关系式，再利用向量坐标运算，结合辅助角公式及三角函数性质逐项求解判断. 【详解】由，得，则，解得， 又，则，而，于是， 作向量，以点为原点，射线为轴非负半轴，建立平面直角坐标系， 则，设，由，得， 即，令， 对于AB，，因此的最小值为2，最大值为4，AB正确； 对于CD，，而， 则当时，，当时，，C错误，D正确. 故选：ABD 变式5-2．（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】以为坐标原点，方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，设，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示： 则，，， 设，则，，所以． 所以当时，取得最大值为2． 故选：B． 变式5-3．（2025高三·全国·专题练习）已知在矩形中，，若是上的动点，求的最小值． 【答案】1 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质求得最小值. 【详解】建立平面直角坐标系，并标出各点坐标，其中是的中点，如图． ， 当时，等号成立，故的最小值为1． 类型六、基底法求向量数量积的取值范围 选择合适的基底，利用向量的共线定理以及平面向量基本定理来表示目标向量，将所求的向量用一组已知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律展开后，再来确定数量积的取值范围 例6．（25-26高三上·上海·月考）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由，则，再由余弦定理和基本不等式求得，得到，即可求解． 【详解】如图，在中，，点为的中点，点为的中点，，则． 设，，由余弦定理可得， 又，故，当且仅当时取等号． 又， 则， 则 即的最大值为 故答案为：． 变式6-1．（24-25高一下·天津·期中）在梯形中，，，，，，动点满足：当时，与相交于点.记，则 （用表示）；当点到点的距离为1时，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的线性运算即可表示，再利用数量积的定义求出最小值. 【详解】在梯形中，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 由，得， 由，得，，则， 因此； ，因此， 当且仅当反向共线时取等号，所以的最小值为. 故答案为：； 变式6-2．（2025高三·全国·专题练习）设点是的外心，，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】通过作出辅助线，将向量进行转化，利用中点性质将向量用已知边向量表示，再根据数量积的几何意义最后结合已知条件求出取值范围. 【详解】如图，过点作、，垂足分别为、，   点是的外心，、分别是、的中心, ， 由得，从而， 的取值范围为 故答案为：. 变式6-3．（2025·河南·模拟预测）在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由，，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】设， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，， 所以，， 所以， 故选：D 类型七、投影法求向量数量积的取值范围 当两向量中有一个向量的模长已知，且能找到另一个向量到该向量的投影数量，则考虑用投影法去求数量积的最值或范围。 例7．（25-26高三上·江苏·月考）P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】利用数量积的几何意义，结合图形分析即可得解. 【详解】因为， 如图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，则， 因为，则，， 所以. 故选：C. 变式7-1．（25-26高二上·浙江·开学考试）如图，以边长为2的正六边形的六条边为直径向外作六个半圆，是这六个半圆弧上的一动点，则的最大值是（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】根据的几何意义及已知图形分析得最大对应落在或上，若分别为的中点，讨论的位置，结合向量数量积的运算律、几何意义求的最大值. 【详解】如下图，要使最大，则与的夹角小于，而， 又半圆弧、上的，均有，半圆弧、上的，均有， 所以最大对应落在或上， 若分别为的中点， 当在上，如图，则，且在上的投影长为，若， 此时， 当且仅当时，最大； 当在上，如图对应，则，且在上的投影长为，若， 此时， 当且仅当时，最大； 综上，最大. 故选：C 变式7-2．（2026·陕西西安·三模）设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】过作，交直线AB于点，根据数量积公式，可得，根据圆的几何性质，可得的最大值，分析即可得答案. 【详解】由题画出图形，则向量的夹角为锐角时适合题意，过作，交直线AB于点， 则， 故当取得最大值时，的值最大. 设圆心为，因为圆的半径为1，故是边长为1的等边三角形， 且当与圆相切时，的值最大， 过O作，交AB于D，连接OC，则四边形ODHC为矩形， 所以，则，即的最大值为 故的最大值为. 故选：B 变式7-3．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一动点（含边界），已知，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果. 【详解】由题，可知为的中点， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 所以的最大值为. 故选：D. 类型八、定义法求向量数量积的最值 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． 注意：数量积是数量，不是向量。 2、根据定义表示出向量数量积，然后通过讨论夹角或模长来讨论数量积的范围。 例8．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知均为单位向量，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用数量积的运算律求得，再结合数量积的定义即可求解. 【详解】由题意，则， 设与的夹角为，则， 显然最大值为，此时. 故选：C 变式8-1．（2025高三·全国·专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，向量也是单位向量，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】利用数量积的运算律得，然后根据数量积的概念结合图形求解范围即可. 【详解】 ， 如图： 当向量与向量同向时，取最大值， 当向量与向量反向时，取最小值， 所以. 故所求最大值为． 故答案为： 变式8-2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，则中，，外接圆的半径为1，设，由正弦定理可得，则，利用三角恒等变换可求最大值. 【详解】设，则， 因为，与的夹角为， 所以在中，，，如图所示， 由正弦定理得外接圆的半径为， 则为圆上与不重合的动点， 设， 由正弦定理可得， 则 ， 当，即时，取得最大值. 故选：B. 变式8-3．（2025·浙江台州·二模）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A．的取值范围是 B．的最大值为30 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】利用向量模的三角不等式（当且仅当同向时时取等号）用该不等式求解的最大值，把首尾顺次连接构成封闭三角形时，是最小值，利用向量数量积化简分析最值，利用向量同向时数量积取得最大值，反向或特殊位置时即可求得最小值. 【详解】对于选项A：由向量模长的三角不等式， 当且仅当同向时，取得最大值9； 当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0， 由于长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的， 故的取值范围是[0，9]，故选项A正确. 对于选项B， ， 当同向时，， 的最大值为，B选项正确. 对于选项C，D， ， 设，则上式为①， 当与反向时， ， 所以代入①式得， 所以当时，取得最小值为，此时， 所以，这种可能性是存在的，故选项C是正确的，选项D是错误的. 故选：ABC 1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，令，进而得到，再作矩形，，根据，得到，再求的范围即可． 【详解】如图所示， 令， 则， 所以， 则作矩形，， 即， 根据，， 即， 解得， 所以． 故答案为：. 2．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）若，向量满足，则的最大值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知根据数量积的运算律得，设，则，从而求得，利用列不等式，解不等式即可得解． 【详解】因为，即． 又，则，设， 则，故． 由为与的夹角， 则，解得． 因为，即，解得， 故的最大值为． 故选：B 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知是边长为4的等边三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最大值是（　　） A．8 B．8 C． D．12 【答案】D 【分析】取等边的中心为，利用向量的线性运算化简可得，然后结合数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，取等边的中心为，的中点为， 则， 因为， 所以，则， 故点在以为圆心，1为半径的圆上． 过作交圆于点，且与方向相同， 由向量数量积的几何意义知，当点与点重合时，取最大值， 此时，过点作的垂线，垂足为，易知， 所以． 故选：D． 4．（25-26高三上·山东德州·期中）已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 5．（25-26高三上·内蒙古·月考）已知正方形的边长为2，圆是正方形的内切圆，点在圆上，点在正方形的边上，则的最大值为 . 【答案】 【分析】结合图形，利用两向量的数量积的定义即可求得其最大值. 【详解】    如图，圆是边长为2的正方形的内切圆，点分别是圆和正方形的边上的点， 则， 当且仅当，共线且同向，，时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 6．（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 7．（25-26高三上·天津·月考）已知平面四边形，，，，，则 ；动点E，F分别在线段，上，且，，则的取值范围为 ． 【答案】 . 【分析】由平行线的性质可得，由勾股定理求得， 由此求得，根据数量积求得，从而求得；建立恰当的平面直角坐标系，将表示成关于的函数，可求得的取值范围. 【详解】①由，知∥，且. 记，则. 由，解得. 所以. 所以. . 因为，所以. ②如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，过且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则. 所以. 所以，所以. 因为，所以. 所以. 令， 其图象的对称轴为. 因为动点E，F分别在线段，上，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以的取值范围是. 故答案为：①②. 8．（2025高三·全国·专题练习）在中，斜边为的中点，于D，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】结合图象，，再利用数量积的几何意义，设，则，最后利用均值不等式求最值. 【详解】如图，易知： ， 因为在方向上的投影向量为，且在中， 所以， 在方向上的投影向量为，所以， 设，则 ， 当且仅当，即时等号成立，故所求的最大值为． 故答案为：    9．（2025高三上·山西·专题练习）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】利用向量的线性运算可得，即动点到定直线的距离恒为，再利用极化恒等式即可求解. 【详解】 设直线上有一动点，满足，则， 由此可得点到直线的距离为， 取中点为，如图， 则， 此时. 所以的最小值为7. 故答案为：7 10．（多选）（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知平面向量为非零向量，且满足，则（    ） A．夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据已知，设，且在以为圆心，1为半径的圆上，数形结合并结合向量数量积、加减法、模长的几何意义判断各项的正误. 【详解】由， 若，且在以为圆心，1为半径的圆上，如下图示， 由图，当与圆相切时，即最大，最小显然为0， 所以，A对； 当为圆与轴的交点时取得最值，结合图易知，B对； 如图，若轴，由， 显然在圆与轴的两个交点之间运动（含交点），故，而， 所以的取值范围是，C错； 如图，若是中点，则，则， 显然中点轨迹是以为圆心，为半径的圆上运动，则， 所以，D对. 故选：ABD 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05极化恒等式与向量数量积中最值问题 目录 典例详解 类型一、极化恒等式求向量数量积 类型二、极化恒等式求向量数量积的最值 类型三、求模的取值范围 类型四、求向量夹角的取值范围 类型五、坐标法求向量数量积的取值范围 类型六、基底法求向量数量积的取值范围 类型七、投影法求向量数量积的取值范围 压轴专练 典例详解 类型一、极化恒等式求向量数量积 1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： a+b 证明： la+bP=(a+b=laP+2a.B+bPO. a-i=a-b=af-2ab+6②， 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ②两式相加得：ia+62+ià-b2=2(ià2+ib2) 从几何角度理解与记忆，ACP+DB=AB+BC2+CD+DA2 2、极化恒等式： ①@两式相诚得极化恒等式：ā-i=寻a+-a-] 从三角形的几何意义理解与记忆：AB·AD=Aò-OB极化恒等式表明，向量的数量积可以由向 量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 例1. (25-26商=上山东潍坊开学考试)如图，在6MBC中，∠1BC=, =3,F为AB中点，点E在CF 上，CE=3,CB=6,B=2,则E4-函=() A.-32 B.-27 C.-18 D.-12 变式1-1.(25-26高三上全国·月考)如图所示在△4BC中，AB=2,BC=1' ∠ABC=2 ,D’E’F 为边1C的四等分点，则 DBF=（) D E B B. 25 A.16 16 c.万 5 D. 变式12.（期南省长沙市2026届商三模拟考试数学试题）在ABC中，0-兮孤，点B为CD中点.若 3 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4C=24B=3,则 AE.CD= 变式1-3.(25-26高三上·湖南长沙月考)已知在△ABC中，M是BC的中点，AM=3,BC=4,则 ABAC=（) A.-5 B.-10 C.5 D.10 类型二、极化恒等式求向量数量积的最值 若题目中给出两个定点A、B(或者(ABV乙为定长)与一个动点P,D为AB的中点，则根据极化恒等 式有·PB=PD-ADP由于乙ADV长度固定，则函·PB数量积的范围由PD的范围来决定。 例2.(25-26高三上山西晋城月考)在菱形/BCD中，48=2，∠ABC= 3,点E是AB的中点，点F在 线段BD上（包含端点），则 C·FE 的取值范围为() A[制 B.[1,4 c.[0,4 变式21.(25-26高三上上海浦东新期中)如图，正六边形的边长为2W5,半径为'的圆0的圆心为正六 边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A、B在圆O上运动且关于圆心O对称，则MAMB的 最大值为() 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M A.9 B.10 c.11 D.12 变式2-2.(2025高三·全国·专题练习)已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点， AB=8,CD=6MA.MB ，则 的取值可以是() A.-9 B.-2 C.0 D.4 变式2-3.（多选）(25-26高三上·安徽马鞍山月考)已知点C在以AB为直径的圆上运动，且AB=2,动 点M为平面4C内一点，且，远=3，则下列结论正确的是() A.MC的最小值为1 B CM·AB 的最小值为6 C.M+MB+2MC的最大值为10 D.M4+MB+2MC 的最小值为8 类型三、求模的取值范围 利用向-va·及位士=问±2方+， 将模长问题转化为数量积运算，结合方程判别 式、不等式或三角函数的有界性求解范围，注意等号成立时的几何意义。 例3.(25-26高二上~上海开学考试)在同一个平面上，已知6是两个相互垂直的单位向量，向量满足 4/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (c-ac-列=0，则月的最大值等于(). A.1 B.V2 C.3 D.2 变式3-1.(25-26高三上北京房山期末)已知向量a,6满足|同=2,6=3，与万的夹角为6，则 ā+列2∈R)的取值范围是() A.15 B.0+) c.0,s5 D.1.+) 变式3-2.(25-26高一上·北京西城期末)在平面直角坐标系x0中，已知0M=1,N=5, =2,且P2,5),则loM+oN-20丽 的取值范围是() A.2,8 B.48 C.2,10 D.I4,10 变式3-3.(25-26高-上湖南衡阳期末)G,6均为单位向量，且a16,向量c满足E-ā-=1，则 的取值范围是 类型四、求向量夹角的取值范围 ab 利于向量数量积公式c0s0= 来计算向量的夹角。将夹角问题转化为c0s0的取值范围问题，通 avbvii 过己知的向量关系建立不等式或函数关系求解，注意余弦函数在[0，π]上的单调性。 例4.(2025北京东城二模)已知单位向量a,6的夹角为0，若后+>1 则8的取值范围为() B. π2π c.33 2π D.3 变式41.(2025江苏苏州模拟预测已知平面向量8=(m,1,6=(m,2)(m>0),记ā与5的夹角是 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8,则sin8的最大值为() √2 2W2 1 √2 A.4 B.3 C.3 D.2 变式42.(24-25高一下福建厦门期末)已知向量a,石满足日+6-26-，则sim(a,6)的最大值为 () 5 3 √2 A.3 B.5 C.2 D.5 变式43.(2526高三上天津河西期未末)在△8C中，-ā，C西=6，D=DC,C历=2正，且4B 与DE交于点R,则CF一（用a, b表示)，若MB上DE,则∠ACB的最大值为一 类型五、坐标法求向量数量积的取值范围 建系设坐标，用坐标来表示向量数量积，则数量积是关于参数的函数，可根据函数求最值的方法来最 值。 例5。(2526高三上陕西商洛期末)设向量a=6sina,cosa,6=sina,8sina, 则a:b的最大值为 () A.13 B.8 C.5 D.10 变式5-1.（多选）(25-26高三上湖南期中)已知平面向量元6，c满足同=2，a-6=2a+61(a-6, 且c2-3ac+8=0 ,则() A.月的最小值为2 的最大值为4 B. C.b·c的最小值为2 D.bc的最大值为5 变式5-2.(2025高一·全国·专题练习)已知正方形ABCD的边长为2，点F是AB的中点，点E是对角线 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC上的动点，则 E.FC 的最大值为()· A.1 B.2 C.3 D.4 变式5-3.(2025高三·全国·专题练习)已知在矩形ABCD中，AB=2BC=2，,若P是CD上的动点，求 PA·PB-PA·BC 的最小值 类型六、基底法求向量数量积的取值范围 选择合适的基底，利用向量的共线定理以及平面向量基本定理来表示目标向量，将所求的向量用一组已 知模长和夹角的基底向量线性表示，然后利用数量积的分配律展开后，再来确定数量积的取值范围 例6.(25-26高三上·上海·月考)在△ABC中，∠A=60°， BC=1,点D为AB的中点，点E为CD的中 点，若设。，C-,若即-C,则E正的最大值为一 变式6-1.(24-25高一下·天津期中)在梯形ABCD中，AB/1CD,AB=5,AD=4,CD=2, ∠D4B:60,动点p满是：当亚-面时，0p与4C相交于点g记丽=a而=石，则0-一（用 a,b 表示)：当点P到点A的距离为1时，则BC严的最小值为一 变式6-2.(2025高三全国专题练习)设点0是△ABC的外心，B=c,AC=b,(b-°+=1，则 BC.AO 的取值范围为一· 变式63.(2025河南模拟预测）在菱形4BCD中，MB=1P∠4BC- 3,E为边cD上的动点（包括端 点)，F为BC的中点，则正4F 的取值范围为() 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ag D. 0, 4 类型七、投影法求向量数量积的取值范围 当两向量中有一个向量的模长已知，且能找到另一个向量到该向量的投影数量，则考虑用投影法去求数 量积的最值或范围。 例7.(25-26高三上江苏~月考)P是边长为2的正六边形1BCDF的六条边上的一个动点，则4B·A 的 最大值是() A.4 B.4V3 C.6 D.6V5 变式7-1.(25-26高二上·浙江·开学考试)如图，以边长为2的正六边形ABCDEF的六条边为直径向外作 六个半圆，P是这六个半圆弧上的一动点，则B 的最大值是() A.6 B.6V2 C.7 D.7V2 变式7-2. (2026陕西西安三模)设1，B,C是半径为1的圆上三点，若1B=1,则4B.4C 的最大值 为() A.1 B. 3-2 C.3 D.2 变式7-3.(25-26高二上·贵州黔南·开学考试)如图，在正八边形ABCDEFGH中，点O为正八边形的中 心，点M,N分别是GH,CD边的中点，且MN⊥AF,点P是正八边形内一动点（含边界），己知CQ=2, 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0=25,则济7+示m 的最大值是() G D B A.8V2 B. 2+2V2 C.4+2V2 D 16+8√2 类型八、定义法求向量数量积的最值 1、定义：已知两个非零向量d,6,则acos a,b叫做ā，b的数量积，记作db,即 a·b=cosa,6.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，a·a=à. 注意：数量积是数量，不是向量。 2、根据定义表示出向量数量积，然后通过讨论夹角或模长来讨论数量积的范围。 例8.(25-26高三上安徽开学考试)已知a,6C均为单位向量，且a16,则a-c+26c的最大值为 () A.⑤ B.2 C.v5 D.3 b 变式8-1.(2025高三全国专题练习)已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，向量‘也是单位向量， 则a++da+d的最大值是一 变式2。(205吉林长春模拟预测)已免平面内两个非零向量瓜满足网=万，且网反与的火角为 135°，则m:”的最大值为《) 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +2 A.2 B.√2+1 C.2 D.√2+2 变式83.(2025浙江合州二模)已知问=2,3，=4，则下列选项正确的是（) A.6+6+d的取值范围是[0,9列 .(任+5+5的最大值为30 C(6+d+的最小值为引 D.(a+i(d+的最小值为-10 压轴专练 1.(2025高三全国专题练习)已知向量a、6、c满足=3，-2，=1，且(a-6-=0,则 a-可的取值范围是一 2.（2526高二上湖北襄阳期中)若a=1,ā-6=7，向量。满足(+万-c-2a)=0,则的最大值 为() V3+V5 3+7 V5+√6 √+V万 A. 2 B.2 C.2 D.2 3.(25-26高三上·湖南长沙·月考)已知△ABC是边长为4的等边三角形，点P是△ABC所在平面内的一 点，且满足P+P+C可=3，则P.B的最大值是() A.82V5 B.8 C.l65 D.12 3 4.(25-26高三上·山东德州期中)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为三角形ABC内一点（包括 边界)，O为BC的中点，则PAPO的取值范围是 10/12